2021届福建省厦门六中高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析

2021届福建省厦门六中高三上学期期中考试
数学（文）试题
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
1．sin300°的值为（）
A．B．﹣ C．D．﹣
2．设a，b∈R，则使a＞b成立的一个充分不必要条件是（）
A．a3＞b3B．log
2
（a﹣b）＞0 C．a2＞b2D．
3．若数列{a
n }满足：a
n+1
=1﹣且a
1
=2，则a
2009
等于（）
A．1 B．C．D．
4．在数列{a
n }中，a
n
=2n+3，前n项和S
n
=an2+bn+c，n∈N*，其中a，b，c为常数，则a﹣b+c=（）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
5．设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是（）
A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥βD．若α⊥β，m⊥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
6．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c＞b＞a，若向量=（a﹣b，1），=（b﹣c，1）平行，且sinB=，则当△ABC的面积为时，B=（）
A．B．2 C．4 D．2+
7．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为（）
A．2+B．1+C．2+2D．4+
8．已知平面上四个互异的A，B，C，D满足（﹣）•（2﹣﹣）=0，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．斜三角形
9．已知点A（1，1）和坐标原点O，若点B（x，y）满足，则x2+y2﹣2x﹣2y的最小值是（）
A．﹣2 B．3 C．D．5
10．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）
A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③
12．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（
﹣x）是（）
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
13．已知tanθ=，则sin2θ﹣2cos2θ= ．
14．已知x≥0，y≥0，且x+2y=1，则的最小值等于．
15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
16．等差数列{a
n }的公差为d，关于x的不等式x2+（a
1
﹣）x+c≥0的解集为[0，22]，则使数列{a
n
}的
前n项和S
n
最大的正整数n的值是．
三．解答题：本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．
17．设集合A={x|x2＜4}，B={x|＞1}．
（1）求集合A ∩B ；
（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．
18．已知函数f （x ）=sin （2x+）+sin （2x ﹣）+2cos 2x+a ﹣1（a 为常数），若函数f （x ）的最大值为+1．
（1）求实数a 的值；
（2）求函数f （x ）所有对称中心的坐标；
（3）求函数g （x ）=f （x+π）+2减区间．
19．已知数列{a n }的前n 项和S n =n （n ﹣1），且a n 是b n 与1的等差中项．
（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；
（2）若c n =（n ≥2），求c 2+c 3+c 4+…+c n ．
20．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
21．如图，多面体ABCDEFG 中，面ABCD 为正方形，AE ，BF ，DG 均垂直于平面ABCD ，且AB=AE=4，BF=DG=2，M ，N 分别为AB ，BC 的中点．
（1）若P 为BF 的中点，证明NP ∥平面EGM ；
（2）求三棱锥N ﹣EGM 体积．
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（t 为参数，t ≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sin θ，C 3：ρ=2cos θ．
（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；
（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．
2021届福建省厦门六中高三上学期期中考试
数学（文）试题参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
1．sin300°的值为（）
A．B．﹣ C．D．﹣
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】把300°变为360﹣60，利用诱导公式sin=sinα及正弦函数为奇函数化简，再利用特殊角的三角函数值即可得到结果．
【解答】解：sin300°
=sin
=﹣sin60°
=﹣．
故选D
2．设a，b∈R，则使a＞b成立的一个充分不必要条件是（）
A．a3＞b3B．log
2
（a﹣b）＞0 C．a2＞b2D．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】要求a＞b成立的一个充分不必要条件，则要求一个条件能够推出a＞b成立，但是反之不成立，针对于四个选项进行分析，得到结果．
【解答】解：要求a＞b成立的一个充分不必要条件，
则要求一个条件能够推出a＞b成立，但是反之不成立，
选项A是充要条件，选项B是a﹣b＞1是充分不必要条件，选项C，D既不充分又不必要，
故选B
3．若数列{a
n }满足：a
n+1
=1﹣且a
1
=2，则a
2009
等于（）
A．1 B．C．D．【考点】数列递推式．
【分析】由，a
1=2，令n=1，2，3，分别求出a
2
，a
3
，a
4
，观察它们的结果可知{a
n
}是周期为3
的周期数列，由此可以得到a
2009
的值．
【解答】解：∵，a
1
=2，∴令n=1，得，
令n=2，得，
令n=3，得，
∴{a
n
}是周期为3的周期数列，∵2009=666×3+1，
∴．
故选D．
4．在数列{a
n }中，a
n
=2n+3，前n项和S
n
=an2+bn+c，n∈N*，其中a，b，c为常数，则a﹣b+c=（）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】把n等于1代入a
n
=2n+3求出数列的首项，然后利用等差数列的前n项和的公式根据首项和第n
项表示出前n项的和，得到前n项的和为一个关于n的多项式，根据多项式相等时，各对应的系数相等即可求出a，b，c的值，即可求出a﹣b+c的值．
【解答】解：令n=1，得到a
1
=2+3=5，
所以，
而S
n
=an2+bn+c，则an2+bn+c=n2+4n，
所以a=1，b=4，c=0，
则a﹣b+c=1﹣4+0=﹣3．
故选A
5．设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是（）
A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥βD．若α⊥β，m⊥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】选项A中还有直线n在平面α上的情况，选项B中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，选项C中还有n⊂β，D选项中注意到上面忽略的细节．
【解答】解：选项A中还有直线n在平面α上的情况，故A不正确，
选项B中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故B不正确，
选项C中还有n⊂β，故C不正确，
故选D．
6．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c＞b＞a，若向量=（a﹣b，1），=（b﹣c，1）平行，且sinB=，则当△ABC的面积为时，B=（）
A．B．2 C．4 D．2+
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】利用向量共线的充要条件得a，b，c的关系，利用三角形的面积公式得到a，b，c的第二个关系，利用三角形的余弦定理得到第三个关系，解方程组求出b．
【解答】解：由向量和共线知a+c=2b①，
由②，
由c＞b＞a知角B为锐角，③，
联立①②③得b=2．
故选项为B
7．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为（）
A．2+B．1+C．2+2D．4+
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图中，三个视图的对应关系：长对正，高平齐，宽相等，得出侧视图的数据，再求面积．【解答】解：根据三视图中，三个视图的对应关系：长对正，高平齐，宽相等，得出侧视图的数据如图中所示
其面积S=×2+2×2=4+
故选D．
8．已知平面上四个互异的A，B，C，D满足（﹣）•（2﹣﹣）=0，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．斜三角形
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（﹣）•（2﹣﹣）=0，化为•=0，取BC的中点E，则．可得CB⊥AE，且BE=EC．即可判断出．=AC．
【解答】解：（﹣）•（2﹣﹣）=0，
化为•=0，
取BC的中点E，则．
∴=0，
∴CB⊥AE，且BE=EC．
∴AB=AC．
∴△ABC的形状是等腰三角形．
故选：B．
9．已知点A（1，1）和坐标原点O，若点B（x，y）满足，则x2+y2﹣2x﹣2y的最小值是（）
A．﹣2 B．3 C．D．5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论
【解答】解：点B（x，y）满足，对应的平面区域如：x2+y2﹣2x﹣2y=（x﹣1）2+（y﹣1）2
﹣2，表示A到区域内的点距离的平方减去2，所以A到直线x+2y=8的距离为最小距离，所以（x﹣1）2+（y ﹣1）2﹣2最小值为=3；
故选B．
10．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】展开图复原几何体，标出字母即可找出异面直线的对数．
【解答】解：画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，
所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：
AB与GH，AB与CD，GH与EF，
共有3对．
故选：C
11．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）
A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】分析选项，即可得出结论．
【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；
当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
故选C．
12．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（
﹣x）是（）
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先对函数f（x）运用三角函数的辅角公式进行化简求出最小正周期，根据正弦函数的最值和取得最值时的x的值可求出函数的解析式，进而得到答案．
【解答】解：已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R），
∴的周期为2π，若函数在处取得最小值，不妨设
，
则函数=，
所以是奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，
故选：D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 13．已知tanθ=，则sin2θ﹣2cos2θ= ﹣．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：∵tanθ=，
则sin2θ﹣2cos2θ===﹣，
故答案为：﹣．
14．已知x≥0，y≥0，且x+2y=1，则的最小值等于．
【考点】基本不等式．
【分析】由于=+=2+++6，利用基本不等式求出它的最小值．
【解答】解：x≥0，y≥0，且x+2y=1，则=+=2+++6≥8+2=，当且仅当y=x时，等号成立．
故的最小值等于，
故答案为．
15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，再根据公式求解即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，
三棱柱的体积V 1为：
剪去的三棱锥体积V 2为：
所以几何体的体积为：
16．等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式 x 2+（a 1﹣）x+c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是 11 ．
【考点】数列的函数特性．
【分析】根据已知中等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式++c ≥0的解集为[0，22]，我们根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，即可得到答案． 【解答】解：∵关于x 的不等式++c ≥0的解集为[0，22]，
∴22=，且＜0，
即＞0，
则a 11=a 1+10d ＞0，a 12=a 1+11d ＜0，
故使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是11．
故答案为：11．
三．解答题：本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．
17．设集合A={x|x 2＜4}，B={x|＞1}．
（1）求集合A ∩B ；
（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．
【考点】一元二次不等式的解法；交集及其运算．
【分析】利用一元二次不等式的解法分别化简A ，B ．
（1）利用交集的运算即可得出；
（2）2x 2+ax+b ＜0的解集为B={x|﹣3＜x ＜1}，可得﹣3和1为2x 2+ax+b=0的两根，再利用根与系数的关系即可得出．
【解答】解：A={x|x 2＜4}={x|﹣2＜x ＜2}，
由
化为0，∴（x+3）（x ﹣1）＜0，解得﹣3＜x ＜1． ∴B={x|＞1}={x|﹣3＜x ＜1}．
（1）A ∩B={x|﹣2＜x ＜1}；
（2）∵2x2+ax+b＜0的解集为B={x|﹣3＜x＜1}，
∴﹣3和1为2x2+ax+b=0的两根，
故，
解得a=4，b=﹣6．
18．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x+a﹣1（a为常数），若函数f（x）的最大值
为+1．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）所有对称中心的坐标；
（3）求函数g（x）=f（x+π）+2减区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
=+1【分析】（1）利用两角和与差的正弦、辅助角公式可化简f（x）=sin（2x+）+a，再由f（x）
max
即可求得实数a的值；
（2）由2x+=kπ（k∈Z）可求得函数f（x）所有对称中心的坐标；
（3）化简函数g（x）=f（x+π）+2=﹣sin2x+3，再由2kπ﹣≤2x≤2kπ+（k∈Z）即可求得函数g（x）=f（x+π）+2减区间．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x+a﹣1
=sin2x+cos2x+sin2x﹣cos2x+cos2x+a
=sin2x+cos2x+a
=sin（2x+）+a，…
=+1得a=1 …
由f（x）
max
（2）由2x+=kπ（k∈Z）得：x=π﹣（k∈Z），
所以，函数f（x）所有对称中心的坐标为（π﹣，1），k∈Z．…
（3）g（x）=f（x+π）+2=sin[2（x+）+]+1+2
=﹣sin2x+3，…
由2kπ﹣≤2x≤2kπ+（k∈Z）得：
单调递减区间为[k π﹣
，k π+]（k ∈Z ） …
19．已知数列{a n }的前n 项和S n =n （n ﹣1），且a n 是b n 与1的等差中项．
（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；
（2）若c n =（n ≥2），求c 2+c 3+c 4+…+c n ．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）当n=1时，a 1=S 1=0，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）（n ﹣2），a n =S n ﹣S n ﹣1，即可求得数列{a n }通项公式，由2a n =1+b n ，求得b n =2n ﹣3；
（2）由（1）可知：c n ==（﹣）（n ≥2），采用“裂项法”即可求得c 2+c 3+c 4+…+c n 的值．
【解答】解：（1）当n=1时，a 1=S 1=0，
当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）（n ﹣2），
∴a n =S n ﹣S n ﹣1=[n （n ﹣1）]﹣[（n ﹣1）（n ﹣2）]=n ﹣1，
当n=1时，成立，
故a n =n ﹣1；
a n 是
b n 与1的等差中项，
∴2a n =1+b n ，
∴b n =2n ﹣3，
数列{a n }通项公式a n =n ﹣1，数列{b n }的通项公式b n =2n ﹣3；…
（2）因为c n ===（﹣）（n ≥2），… ∴c 2+c 3+c 4+…+c n ． =（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）， =（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）， =﹣．
c 2+c 3+c 4+…+c n =﹣
．…
20．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】设投资人对甲、乙两个项目各投资x 和y 万元，列出x 和y 的不等关系
及目标函数
z=x+0.5y ．利用线性规划或不等式的性质求最值即可．
【解答】解：设投资人对甲、乙两个项目各投资x 和y 万元，则
， 设z=x+0.5y=0.25（x+y ）+0.25（3x+y ）≤0.25×10+0.25×18=7， 当即时，z 取最大值7万元 答：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大．
21．如图，多面体ABCDEFG 中，面ABCD 为正方形，AE ，BF ，DG 均垂直于平面ABCD ，且AB=AE=4，BF=DG=2，M ，N 分别为AB ，BC 的中点．
（1）若P 为BF 的中点，证明NP ∥平面EGM ；
（2）求三棱锥N ﹣EGM 体积．
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）取AE 的中点H ，根据面BCF ∥面ADGE 推出PN ∥EG ，根据直线与平面的性质定理可知PN ∥面EGM ；
（2）将三棱锥N ﹣EGM 体积转化成V N ﹣EGM =V P ﹣EGM =V G ﹣EMP =V D ﹣EMP ，又AD ⊥面ABEF ，DC ∥AE ，再根据三棱锥的体积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）取AE 的中点H ，由题意知，BF ∥AE ，BC ∥AD
∴面BCF ∥面ADGE ，
∴FC ∥HD ∥EG ，又PN ∥FC ，
∴PN ∥EG ．
∴PN ∥面EGM
（2）∵PN ∥面EGM ，
∴V N ﹣EGM =V P ﹣EGM =V G ﹣EMP =V D ﹣EMP ，
又AD ⊥面ABEF ，DC ⊥AE ， ∴
．
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（t 为参数，t ≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sin θ，C 3：ρ=2cos θ．
（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；
（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）由曲线C
2
：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理
由C
3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C
2
与C
3
交点的直角坐标．
（2）由曲线C
1
的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．
【解答】解：（I）由曲线C
2
：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，
∴x2+y2=2y．
同理由C
3
：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，
联立，
解得，，
∴C
2与C
3
交点的直角坐标为（0，0），．
（2）曲线C
1
：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B都在C
1
上，
∴A（2sinα，α），B．
∴|AB|==4，
当时，|AB|取得最大值4．。