第四节 随机事件和条件概率

【思路点拨】 首先明确居民订甲、乙两种报纸的所有可能情况，
然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系．
【解】
(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报
纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可 能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导致事件E一
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一个关系
两个事件对立则一定互斥， 两个事件互斥未必对立． 两 事件对立是这两事件互斥的充分而不必要条件．
两种方法
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事 件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； (2)间接法： 先求此事件的对立事件的概率， 再用公式 P(A) ＝ 1 － P( A ) ， 即运用逆向思维 ( 正难则反 ) ，特别是 “ 至 多”、“至少”型题目，用方法二就显得比较简便．
个事件互斥的充分而不必要条件．
3．P(B|A)＝P(B)在什么条件下成立？
【提示】
若事件A、B是相互独立事件，
则P(B|A)＝P(B)．
4．若事件A、B互斥，则P(B|A)是多少？ 提示：A与B互斥，即A、B不同时发生．
∴P(AB)＝0，∴P(B|A)＝0.
1．(2012·梅州模拟)掷一颗质地均匀的骰子，观察所得 的点数a，设事件A＝“a为3”，B＝“a为4”，C＝“a为 奇数”，则下列结论正确的是( A ) A．A与B为互斥事件 B．A与B为对立事件
1．频率与概率有什么区别与联系？ 【提示】 频率随着试验次数的变化而变化，概率却是
一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时
，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地
当作随机事件的概率．
2．互斥事件与对立事件有什么区别和联系？
【提示】
两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事
件对立，它们一定互斥．也就是说，两个事件对立是这两
【解】
条件概率
(2012· 揭阳质检)甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3 个黑球， 乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球．先从甲罐中随机取 出一球放入乙罐，分别以 A1， A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是 红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表 示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 ________(写出所有正确结论的编号)． 2 5 ①P(B)＝ ；②P(B|A1)＝ ；③事件 B 与事件 A1 相互独立； 5 11 ④ A1，A2，A3 是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为 它与 A1，A2， A3 中究竟哪一个发生有关．
对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：
(1)求次品出现的频率； (2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)； (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至 少需进货多少件？
(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05. m (2)由(1)知，出现次品的频率 在 0.05 附近摆动，故 P(A)＝0.05. n (3)设进货衬衣 x 件，则 x(1－0.05)≥1 000，解得 x≥1 053.则至少需进 货 1 053 件．
4、一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放 回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件 下，第二次取到黑球的概率．
【解】 法一：记“第一次取到白球”为事 件 A，“第二次取到黑球”为事件 B. 显然，事件“第一次取到白球，第二次取到 6× 4 4 黑球”的概率为 P(AB)＝ ＝ . 10×9 15 方法二： 由条件概率的计算公式，得 4 n( AB) 6 4 24, PAB 15 4 n( A) 6 9 54 P(B|A)＝ ＝ ＝ . 6 9 PA n( AB) 4 P( B / A) 10 n( A) 9
【解析】
) D．0.5
B．0.65
C．0.35
“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，
∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.
3．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A
为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)
7 ＝________.( 结果用最简分数表示) 26
1 13 【解析】 ∵ P(A)＝ ， P(B)＝ ， 52 52 1 13 14 7 ∴ P(A∪B)＝ P(A)＋ P(B)＝ ＋ ＝ ＝ . 52 52 52 26
3．条件概率及其性质
条件概率的定义 条件概率的性质 设 A、B 为两个事件， (1)0≤P(B|A)≤1 且 P(A)＞0，称 P(B|A) (2)若 B、C 是两个互斥 PAB ＝_________ PA 为在事件 事件，则 P(B∪C|A)＝ A 发生的条件下，事件 P(B|A)＋P(C|A) ___________________ B 发生的条件概率
考点梳理
5.概率的几个基本性质 0≤P(A)≤1 (1)概率的取值范围：______________. (2)必然事件的概率 P(E)＝___. 1 (3)不可能事件的概率 P(F)＝___. 0
(4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝__________ P(A)＋P(B)． ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件， 则 P(A)＝________ 1－P(B)．
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
n( AB ) P ( B | A) n( A)
4.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P( AB) 表示在样本空间 中, 计算 AB发生 的概率, 而 P(B A ) 表示在缩小的样本空间 A 中, 计算 B 发生的概率.用古典概率公式, 则 AB 中样本点数 P( B A ) , A 中样本点数 AB 中样本点数 P( AB) 中样本点数 一般来说, P(B A ) 比 P( AB) 大.
(2012· 揭阳质检)甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3 个黑球， 乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球．先从甲罐中随机取 出一球放入乙罐，分别以 A1， A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是 红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表 示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 ________(写出所有正确结论的编号)． 2 5 ①P(B)＝ ；②P(B|A1)＝ ；③事件 B 与事件 A1 相互独立； 5 11 ④ A1，A2，A3 是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为 它与 A1，A2， A3 中究竟哪一个发生有关．
的样本空间缩小为A所包含的基本事件．
某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订
甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报
纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判 断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事 件． (1)A与C；(2)B与E；(3)B与C.
4、一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放 回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件 下，第二次取到黑球的概率．
法三：这个问题还可以这样理解：第一次取 到白球，则只剩 9 个球，其中 5 个白球，4 个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的 4 概率当然是 . 9
【思维总结】 求 P(B|A) ，实际上就是把 B 发生
第四节
随机事件和条件概率
考点梳理
1．频率与概率
(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出 现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频 nA 数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝ 为事件 A 出现的频率． n (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 频率 fn(A) 稳定在某个常数 常数 A 发生的 ___________ _____上，把这个 ____记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率．
(2011· 陕西高考)如图10－1－1，A地到火车站共有两条路径
L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果 如下：
图10－1－1 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了 尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如
考点梳理
2．事件的关系与运算
定义 符号表示 包含关 如果事件 A 发生， 则事件 B 一定发生， 这时称 B⊇A (或 A⊆B) _______ 包含A(或称事件 A 包含于事件 B) 系 事件 B______ 相等关 ________ 若 B⊇A 且 A⊇B A=B 系 并事件 若某事件发生当且仅当 A 发生或事件 B 发生， (和事 称此事件为事件 A 与事件 B 的________( 并事件 或和 A∪B(或 A＋B) 件) 事件) 事件 A 发生 且 交事件 若某事件发生当且仅当_______________ (积事 _____________ A∩B(或 AB) 事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 件) B 的交事件(或积事件) 互斥事 若 A∩B 为不可能事件， 则事件 A 与事件 B 互 A∩B＝∅ 件 斥 对立事 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件， A∩B＝∅P(A∪B) 件 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 ＝P(A)＋P(B)＝1
C．A与C为对立事件
【解析】
D．A与C为互斥事件
事件A与B不可能同时发生，A、B互斥，但不是对立事
件，显然A与C不是互斥事件，更不是对立事件．
2．(2012·揭阳调研)从一箱产品中随机地抽取一件，设事 件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽 到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则 事件“抽到的不是一等品”的概率为( C A．0.7
何选择各自的路径．
【解】 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的 有12＋12＋16＋4＝44(人)， ∴用频率估计相应的概率为0.44. (2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1 ，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站． 由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分 别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5. ∴估计P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，则P(A1)＞P(A2)， 因此，甲应该选择路径L1， 同理，50分钟赶到火车站，选择路径L1，L2的频率分别为 48÷60＝0.8, 36÷40＝0.9， ∴估计P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)， 因此乙应该选择路径L2.
定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立
事件． (3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、
“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”．
事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“什么报纸也不订”、 “只订甲报纸”、“只订乙报纸”．
由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
【思路点拨】 (1)B＝BA1＋BA2＋BA3.
（2） P(BA1)＝P(B|A1)·P(A1)， P(BA2)＝P(B|A2)·P(A2)，
P(BA3)＝P(B|A3)P(A3)．
(3)可通过判断P(A1B)与P(A1)P(B)是否相等来判断事件B与A1是否相互独立．
(2012· 揭阳质检)甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3 个黑球， 乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球．先从甲罐中随机取 出一球放入乙罐，分别以 A1， A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是 红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表 示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 ________(写出所有正确结论的编号)． 2 5 ①P(B)＝ ；②P(B|A1)＝ ；③事件 B 与事件 A1 相互独立； 5 11 ④ A1，A2，A3 是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为 它与 A1，A2， A3 中究竟哪一个发生有关．