2013年北京高考理科数学试题及答案
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2013年普通高等学校招生全国统一测试
数 学(理)(北京卷)
本试卷共5页,150分,测试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.测试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)已知集合{}101A =-,
,,{}|11B x x =-<≤,则A B = A .{}0 B .{}10-,
C .{}01,
D .{}101-,
, (2)在复平面内,复数()2
2i -对应的点位于( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
(3)“πϕ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
(4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为
A .1
B .
2
3
C .
1321 D .610987
(5)函数()f x 的图象向右平移1个单位长度,所得图象和曲线e x y =关于y 轴对称,则()f x =
A .1e x +
B .1e x -
C .1e x -+
D .1e x --
(6)若双曲线22
221x y a b
-=3
A .2y x =±
B .2y x =±
C .1
2
y x =±
D .2y = (7)直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且和y 轴垂直,则l 和C 所围成的图形的面积等于
A .
43
B .2
C .8
3
D 162
(8)设关于x ,y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪
+<⎨⎪->⎩
,,表示的平面区域内存在点()00P x y ,,满足
否
是结束
输出S i ≥2i =i +1S =S 2+12S +1
i =0, S =1
开始
0022x y -=,求得m 的取值范围是
A .43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,
B .13⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭, C .23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭, D .53⎛⎫-∞- ⎪
⎝⎭, 第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)在极坐标系中,点π26⎛
⎫ ⎪⎝
⎭,到直线sin 2ρθ=的距离等于 .
(10)若等比数列{}n a 满足2420a a +=,3540a a +=,则公比q = ;前n 项
和n S = .
(11)如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 和圆O 相交于D ,若3PA =,
:9:16PD DB =,则PD = ,AB = .
(12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 .
(13)向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若()c a b λμλμ=+∈R ,,则
λ
μ
= . (14)如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在线段1D E 上,点P 到直线1CC 的距离的最小值为 . 三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤
(15)本小题共(13分)
在ABC △中,3a =,26b =2B A ∠=∠. (Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)求c 的值. (16)(本小题共13分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市,并停留2天.
B
D O
a
b
c
E
P D B 1
B 1
A 1
空气质量指数
日期
37
79
86
158121
160217
40
160
220
143
57
25
86
100150200250
(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) (17)(本小题共14分)
如图,在三棱柱111ABC A B C -中,11AA C C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面11AA C C ,3AB =,5BC =.
(Ⅰ)求证:1AA ⊥平面ABC ;
(Ⅱ)求证二面角111A BC B --的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段1BC 上存在点D ,使得1AD A B ⊥,并求1
BD
BC 的值. (18)(本小题共13分) 设l 为曲线ln :x
C y x
=
在点()1,0处的切线. (Ⅰ)求l 的方程;
(Ⅱ)证明:除切点()1,0之外,曲线C 在直线l 的下方. (19)(本小题共14分)
已知,,A B C 是椭圆2
2:14
x W y +=上的三个点,O 是坐标原点.
(Ⅰ)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. (20)(本小题共13分)
已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为n A ,第n 项之后各项12
,n n a a ++的最小值记为n B ,n n n d A B =-.
(Ⅰ)若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意*n ∈N ,4n n a a +=)
,C 1
B 1
A 1
A B
C