《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》第一章：数据的描述1.1 数据的概念与分类理解数据的概念掌握数据的分类：定量数据、定性数据1.2 数据的收集与整理学习数据收集的方法理解数据整理的意义掌握数据整理的基本技巧第二章：平均数2.1 平均数的定义与计算理解平均数的概念学会计算简单数据的平均数2.2 平均数的作用与局限性理解平均数在数据分析中的作用认识平均数的局限性第三章：中位数3.1 中位数的定义与计算理解中位数的概念学会计算简单数据的中位数3.2 中位数的作用与局限性理解中位数在数据分析中的作用认识中位数的局限性第四章：众数4.1 众数的定义与计算理解众数的概念学会计算简单数据的众数4.2 众数的作用与局限性理解众数在数据分析中的作用认识众数的局限性第五章：方差5.1 方差的定义与计算理解方差的概念学会计算简单数据的方差5.2 方差的作用与局限性理解方差在数据分析中的作用认识方差的局限性第六章：标准差6.1 标准差的定义与计算理解标准差的概念学会计算简单数据的标准差6.2 标准差的作用与局限性理解标准差在数据分析中的作用认识标准差的局限性第七章：离散系数7.1 离散系数的定义与计算理解离散系数的概念学会计算简单数据的离散系数7.2 离散系数的作用与局限性理解离散系数在数据分析中的作用认识离散系数的局限性第八章：数据的关系与趋势8.1 数据的关系：相关系数理解相关系数的概念学会计算简单数据的相关系数8.2 数据的趋势：趋势线理解趋势线的作用学会绘制简单数据的趋势线第九章：数据的分布9.1 数据的正态分布理解正态分布的概念学会识别正态分布的数据9.2 数据的偏态分布理解偏态分布的概念学会识别偏态分布的数据回顾本章所学的内容理解各种数字特征在数据分析中的应用10.2 数据的数字特征应用实例通过实例分析，运用所学知识解决实际问题重点和难点解析重点一：数据的分类数据的分类是理解后续数字特征的基础。
定量数据和定性数据的区别需要学生深刻理解，这将直接影响到对平均数、中位数、众数等概念的理解。
5.1.2 高中必修二数学教案《数据的数字特征》
高中必修二数学教案《数据的数字特征》教材分析在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。
（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。
）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地领悟它们各自的特点，在详尽的问题中依照情况有针对性地选择一些合适的数字特点。
学情分析在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。
在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，学生经历分析数据、作出推断的过程，可以进一步体会统计对决策的作用。
教学目标1、通过实例，理解数据的数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数，理解不同数字特征的优势与不足。
2、会用求和符号表示平均数，掌握求和符号的性质。
3、能根据现实问题的需要选择适当的数字特征来表达数据信息，体会数字特征在分析数据时的重要作用，培养数学抽象能力、数学运算能力、数据分析素养。
教学重点平均数、中位数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。
教学难点根据问题的需要，选择适当的数字特征来表达数据的信息。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比。
在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值。
例如，上述情境中的两个班的成绩，我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较。
二、学习新知1、最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况。
一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。
日常生活中，有时我们只关心数据的最值。
比如，高考部分科目实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值；举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩；末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等。
《数据的数字特征》 讲义
《数据的数字特征》讲义在当今这个数字化的时代，数据无处不在。
无论是科学研究、商业决策，还是日常生活中的各种活动，我们都在不断地产生和处理着大量的数据。
而要理解和分析这些数据，就需要了解数据的数字特征。
这些数字特征能够为我们提供有关数据的重要信息，帮助我们做出更明智的决策。
一、平均数平均数是最常见的数据特征之一。
它表示一组数据的平均水平。
计算平均数的方法很简单，就是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
例如，有一组数据：10，20，30，40，50。
那么这组数据的平均数就是：（10 ＋ 20 ＋ 30 ＋ 40 ＋ 50）÷ 5 ＝ 30平均数在很多情况下都非常有用。
比如，在评估学生的考试成绩时，我们可以计算班级的平均分数来了解整体的学习水平；在计算工人的平均工资时，可以了解员工的收入状况。
然而，平均数也有其局限性。
如果数据中存在极端值（极大值或极小值），那么平均数可能会被扭曲。
例如，一个班级里大多数学生的成绩都在 70 分到 90 分之间，但有一个学生考了 20 分，这会拉低班级的平均成绩，导致平均数不能准确反映大多数学生的真实水平。
二、中位数中位数是将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列后，位于中间位置的数值。
如果数据个数是奇数，那么中位数就是中间的那个数；如果数据个数是偶数，中位数则是中间两个数的平均值。
还是以上面那组数据为例：10，20，30，40，50。
将其从小到大排列为：10，20，30，40，50。
因为数据个数是 5，为奇数，所以中位数就是 30。
如果数据变为：10，20，30，40，50，60。
那么从小到大排列为：10，20，30，40，50，60。
数据个数是 6，为偶数，中位数就是（30＋ 40）÷ 2 ＝ 35中位数的优点在于它不受极端值的影响。
在前面提到的班级成绩例子中，如果存在极端低分，中位数可能更能反映班级成绩的中等水平。
三、众数众数是一组数据中出现次数最多的数值。
高中教育数学必修第二册人教B版《5.1.2 数据的数字特征》教学课件
度越小．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，
数据没有离散性．
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程
度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，
5．1.2 数据的数字特征
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】
(1)结合实例，理解最值、平均值、众数、极差、方差、标准差的含
义．
(2)结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值．
状元随笔 最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用
值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．
跟踪训练3 在例3中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，
那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？
解析：甲的数据为99＋10，100＋10，98＋10，100＋10，100＋10，103＋10，平均数为100＋10＝110，
1
7
方差仍为6[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝3.
知识点四 极差、方差与标准差
1．一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．
2．如果x1，x2，…，xn的平均数为തx，则方差可用求和符号表示为s2
1
＝ σ=1 − ҧ 2 .
3．方差的算术平方根称为标准差．
数据的数字特征
数据的数字特征
4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差
4.2 标准差
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的 特点．
2．要重视数据的计算，体会统计思想．
【核心扫描】
1．各种数字特征的意义以及计算．(重点)
2．学习标准差的概念，通过实例理解样本标准差的意义 和作用，会由方差求标准差．(重点、难点)
课前探究学习 课堂讲练互动
1 s乙＝ [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋ 6 (100－100)2＋(100－100)2]＝1(cm2)． (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 s2 >s2 ，所 甲 乙 以乙机床加工零件的质量更稳定．
用标准差．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
求一组数据的平均数、中位数和众数
【例1】在一次乒乓球单打比赛中，甲选手在1比3落后的情况 下连扳三局，4比3击败乙选手成功卫冕，这七局的比分 是：4∶18，8∶11，11∶5，4∶11，11∶9，11∶8，
11∶6.试分别计算这两位运动员成绩的平均数、众数和中
【题后反思】 用样本估计总体时，样本的平均数、标准 差只是总体的平均数、标准差的近似值．实际应用中，当 所得数据平均数不同时，须先分析平均水平，再计算标准 差(方差)分析稳定情况．
课前探究学习 课堂讲练互动
【训练3】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了 检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为： 甲：99 100 98 100 100 103
1 [错解] (1)该单位员工的月工资的平均数为 ×(5×800＋ 50 10×1 000＋20×1 200＋7×1 500＋5×2 000＋3×2 500)＝ 1 320(元)，中位数为 1 200 元，众数为 1 200 元．
北师大版数学必修三课件.4数据的数字特征4
[特别提示] 中位数不一定在这组数据中，而众数必定在该组数据中，有时一组数中有 好几个众数. 2．极差、方差、标准差 刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差． 极差：把一组数据中最大值与最小值的__差___ 叫作这组数据的极差．极差对 极值非常敏锐，一定程度上表明了该组数据的分散程度．
[解析] (1)平均数 x ＝115×(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋ 120×2)＝320(件)，中位数为 210 件，众数为 210 件．
(2)不合理．因为 15 人中就有 13 人的销售额达不到 320 件，也就是说 320 虽 是这一组数据的平均数，但它却不能反映销售人员的一般水平．销售额定为 210 件要合理些，这是由于 210 既是中位数又是众数，是绝大部分人都能达到的销售 额．
1．下列刻画一组数据离散程度的是( B )
A．平均数
B．方差
C．中位数
D．众数
[解析] 方差能够刻画一组数据的离散程度，故选B．
2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：
件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( A )
A．3,5
B．5,5
C．3,7
『规律总结』 (1)平均数与每一个样本数据有关，任何一个样本数据的改 变都会引起平均数的改变，而中位数、众数都不具有该性质．
(2)众数考查各数据出现的次数，大小只与这组数据中的部分数据有关，当 一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反应问题.
(3) 中 位 数 仅 与 数 据 的 排 列 位 置 有 关 ， 某 些 数 据 的 变 动 对 中 位 数 没 有 影 响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在该组数据中．
数据的数字特征高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
,中位数是 46
,25%分位数是 42.5 .
解析 将所给数据按从小到大的顺序排列是40,42,43,45,47,47,48,58.这组数
据的最大值是58.
因为这组数据共8个,处于中间位置的是第4个数和第5个数,故这组数据的
45+47
中位数是
=46.
2
42+43
因为8×25%=2,所以这组数据的25%分位数是
际问题时,一般采用标准差.
过关自诊
某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则:(1)命中环数的平均数为
;Hale Waihona Puke 7+8+7+9+5+4+9+10+7+4
=7.
10
解析 =
(2)命中环数的标准差为
解析∵s
7
2
.
1
=10×[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2
人教B版 数学 必修第二册
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.会求样本的最值、平均数、中位数、百分位数及众数.
课程标准 2.会求样本的极差、方差与标准差.
3.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数学建模能力.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 最值
2
+(7-7)2+(4-7)2]=4,∴s=2.
重难探究·能力素养全提升
教案《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》一、教学目标：1. 理解数据的数字特征的概念和意义。
2. 学会计算数据的众数、平均数、中位数、方差等数字特征。
3. 能够运用数字特征对数据进行分析和解释。
二、教学内容：1. 数据的数字特征的定义和意义。
2. 众数的计算方法和应用。
3. 平均数的计算方法和应用。
4. 中位数的计算方法和应用。
5. 方差的计算方法和应用。
三、教学过程：1. 导入：通过实例引入数据的数字特征的概念，激发学生的兴趣。
2. 众数：讲解众数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握众数的计算和应用。
3. 平均数：讲解平均数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握平均数的计算和应用。
4. 中位数：讲解中位数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握中位数的计算和应用。
5. 方差：讲解方差的定义和计算方法，通过例题让学生掌握方差的计算和应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解数据的数字特征的概念和计算方法。
2. 例题解析法：通过例题让学生理解和掌握数据的数字特征的计算和应用。
3. 练习法：通过练习题让学生巩固和加深对数据的数字特征的理解和应用。
五、教学评价：1. 课堂问答：通过提问了解学生对数据的数字特征的概念和计算方法的掌握情况。
2. 练习题：通过练习题的完成情况了解学生对数据的数字特征的计算和应用的能力。
3. 课后作业：通过课后作业的完成情况了解学生对数据的数字特征的理解和应用的情况。
六、教学资源：1. 教学PPT：用于展示数据的数字特征的概念和计算方法。
2. 练习题库：用于巩固学生的学习和检测学生的掌握情况。
3. 数据分析软件：用于展示数据的数字特征在实际应用中的效果。
七、教学环境：1. 教室：提供宽敞的学习空间和舒适的学习环境。
2. 计算机：用于展示PPT和数据分析软件。
3. 投影仪：用于展示PPT和数据分析软件。
八、教学拓展：1. 数据的数字特征在实际应用中的案例分析。
2. 数据的数字特征在其他学科中的应用。
3. 数据的数字特征的进一步研究和发展。
数据的数字特征PPT课件
第五章 统计与概率
1．最值
一组数据的最值指的是其中的__最__大__值___与_最___小__值___，最值反 应的是这组数最__极__端_____的情况．一般地，最大值用___m__a_x___ 表示，最小值用___m__in____表示．
2．平均数
(1) －x ＝n1(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＝__n1_i_＝n_1 _x_i__，其中符号“∑”表
奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉
一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因
为( )
A．减少计算量
B．避免故障
C． C.因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中
采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止
个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较
栏目 导引
第五章 统计与概率
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)中位数是一组数据中间的数．( × ) (2)众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )
(3) 一 组 数 据 的 标 准 差 越 小 ， 数 据 越 稳 定 ， 且 稳 定 在 平 均 数 附
近．(√ )
栏目 导引
第五章 统计与概率
第五章 统计与概率
5．1.2 数据的数字特征
第五章 统计与概率
考点
基本数 字特征
数字特 征的应用
学习目标
核心素养
理解数据的基本数字特征：最值、平
均数、中位数、百分位数、众数、极 数据分析
差、方差与标准差等
会用数字特征解决相关问题
数学运算
第五章 统计与概率
问题导学 预习教材 P61－P67 的内容，思考以下问题： 1．数据的数字特征主要有哪些？ 2．实际问题是如何用数字特征刻画的？ 3．方差与标准差有什么关系？
数据的数字特征教案
数据的数字特征教案一、教学目标1. 让学生理解数据的数字特征的概念。
2. 让学生学会计算数据的众数、中位数、平均数、方差和标准差。
3. 培养学生运用数字特征分析数据的能力，提高数据处理和解决问题的能力。
二、教学内容1. 众数：一组数据中出现次数最多的数。
2. 中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数。
3. 平均数：一组数据的总和除以数据的个数。
4. 方差：衡量一组数据波动大小的量。
5. 标准差：方差的平方根，衡量一组数据离散程度的量。
三、教学重点与难点1. 教学重点：众数、中位数、平均数、方差和标准差的计算方法及其应用。
2. 教学难点：方差和标准差的计算方法，以及如何运用数字特征分析数据。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究问题来学习数据的数字特征。
2. 利用实例和练习题，让学生动手计算和分析数据，提高实际操作能力。
3. 采用小组讨论和汇报的形式，培养学生的合作意识和沟通能力。
五、教学过程1. 导入：通过一个现实生活中的问题，引出数据的数字特征的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解众数、中位数、平均数、方差和标准差的定义和计算方法。
3. 练习：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
4. 案例分析：给出一个实际案例，让学生运用数字特征分析数据，解决问题。
6. 作业布置：布置一些有关数据的数字特征的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习题，评估学生对数据的数字特征的理解和应用能力。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作意识和沟通能力。
3. 案例分析报告：评估学生在案例分析中的分析能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 介绍其他数据的数字特征，如极值、范围、四分位数等。
2. 介绍方差和标准差的计算公式及其推导过程。
3. 探讨数据的数字特征在实际应用中的重要性，如统计学、经济学、生物学等领域。
八、教学资源1. 教案、PPT和教学素材。
教案数据的数字特征》
课时教案4课题：数据的数字特征一、教学分析在初中阶段，学生已经学习了平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差等概念，它们都是一些统计量，反映了数据的集中趋势与离散程度。
在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。
二、教学建议1、本节开始，可结合上一节茎叶图的相关内容，让学生计算初中已经学习过的统计量，让学生复习初中学习的统计量的内容，并能在这个过程中体会用不同的统计量刻画数据集中趋势的不同。
2、在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。
在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，在此基础上，再鼓励他们积极交流，并认真观察、比较不同刻画方式之间的异同。
3、作为本节的结束，可安排教材的“动手实践”活动，让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断的过程，进一步体会统计对决策的作用。
三、教学目标1、知识与技能（1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。
（2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
2、过程与方法在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。
23、情感态度价值观通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性。
四、教学重点、难点教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差。
教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据。
（一）课题引入数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征。
（二）探求新知请大家思考，初中时我们学习了几个统计量？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考。
数据的数字特征
x1 x2 xn 数据x1, x2, …, xn的平均数为 x n
注意: 任何一个数据的改变都会引起平均数的变化, 这是众数 和中位数都不具有的性质. 2.中位数 一组数据按从小到大的顺序排成一列, 处于中间位 置的数或中间两个数的平均数称为这组数据的中位数. 注意: 一组数据中的中位数是唯一的, 反映了该组数据的集中 趋势. 3.众数 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数. 注意: 一组数据中的众数可能不止一个, 也可能没有, 反映了 该组数据的集中趋势.
问哪个班男生100米短跑平均水平高一些? 解: x甲 1 (15.1 14.8 14.1 14.6 15.3 14.8 14.9 10 14.7 15.2 14.5) 14.8( s) 1 x乙 (15.0 15.0 14.2 14.5 16.1 15.2 14.8 10 14.9 15.1 15.2) 15.0( s)
15.67 3.9585(m/s) 1 又 x乙 (33 29 38 34 28 36) 33 6 1 s乙 [(33 33) 2 (29 33) 2 (36 33) 2 ] 6 12.67 3.5595(m/s)
x甲 x乙 , s甲 s乙
x甲 x乙 ∴ 甲班男生短跑的平均水平高些.
练习2.对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行6次测试,测 得他们最大速度(m/s)的数据如右: 甲 27 38 30 37 35 31 33 29 38 34 28 36 试比较这两名划艇运动员谁更优秀. 乙
1 x ( 27 38 30 37 35 31) 33 甲 解: 6 1 s甲 [(27 33) 2 (38 33) 2 (31 33) 2 ] 6
20-21版：5.1.2 数据的数字特征（步步高）
5．1.2 数据的数字特征学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释．知识点一 最值、平均数、中位数、百分位数、众数1．一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示． 2．平均数如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn ，简记为x ＝1n i ＝1nx i . 如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，且a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b . 3．中位数如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数． 4．百分位数设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数．特别地，规定：0分位数是x 1(即最小值)，100%分位数是x n (即最大值)． 5．众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个． 知识点二 极差、方差与标准差 1．极差一组数据中最大值减去最小值所得的差称为这组数据的极差．2．方差如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则方差可用求和符号表示为s 2＝1n ∑i ＝1n(x i －x )2.此时，如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2. 3．标准差方差的算术平方根称为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s 表示． s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].1．中位数是一组数据中间的数．( × ) 2．众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( √ ) 4．一组数据10,11,9,8,6,12,4的25%分位数是6.( √ )一、利用概念求平均数、中位数、百分位数、众数 例1 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数分别为 甲：18 19 20 20 21 22 23 31 31 35 乙：11 17 19 21 22 24 24 30 30 32则这10天甲的日加工零件的平均数为________；乙的日加工零件的众数与中位数分别为________和________． 答案 24 24与30 23解析 甲每天加工零件的个数分别为18,19,20,20,21,22,23,31,31,35， 所求平均数为x 甲＝110×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.乙每天加工零件的个数分别为11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，故众数为24与30. 中位数为12×(22＋24)＝23.反思感悟 平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．跟踪训练1 十名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >c >a答案 B解析 从小到大排列此数据为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17. 平均数为110(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7；数据17出现了三次，17为众数；在第5位、第6位均是15，故15为中位数．所以这组数据的平均数是14.7，中位数是15，众数是17. 二、极差、方差、标准差的计算及应用例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲>s 2乙， 所以乙机床加工零件的质量更稳定． 延伸探究在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？解 甲的数据为99＋10,100＋10,98＋10,100＋10,100＋10,103＋10，平均数为100＋10＝110， 方差为16[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝73. 反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．跟踪训练2某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；(2)哪一组的成绩较稳定？解(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，平均分为x甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，方差为s2甲＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，标准差为s甲＝s2甲＝119≈10.91(分)．乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，平均分为x乙＝110×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，方差为s2乙＝110×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，标准差为s乙＝s2乙＝75.25≈8.67(分)．(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定．1．2019年某高一学生下学期政治考试成绩为79798484868487909097则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为()A．8584 B．8485C．8684 D．8486答案 C解析由题意可知，平均数x＝79＋79＋84＋84＋86＋84＋87＋90＋90＋9710＝86，众数为84.2．某地铁运行过程中，10个车站上车的人数统计如下：70,60,60,50,60,40,40,30,30,10，则这组数据的众数、极差的和为()A ．120B ．165C ．160D ．150 答案 A解析 这组数据的众数是60，极差为70－10＝60，它们的和为120. 3．计算∑i ＝13(2i ＋1)等于( )A ．6B ．9C ．10D ．15 答案 D解析 ∑i ＝13(2i ＋1)＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋(2×3＋1)＝3＋5＋7＝15.4．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：甲 乙 丙 丁 平均成绩x 8.5 8.8 8.8 8 方差s 23.53.52.18.7则应派________参赛最为合适． 答案 丙解析 由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．5．样本中共有5个个体，其值分别为a ,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为________． 答案 2解析 由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1.所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.1．知识清单：(1)数据的数字特征的计算方法． (2)数据的数字特征的应用． 2．常见误区：(1)数据同时增加或减少相同的数，平均数变化，方差不变． (2)方差、标准差的计算．。
人教B版高中数学必修二课件 《统计》统计与概率PPT(数据的数字特征)
3.做一做:某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则:(1)平均命中环数为
;
(2)命中环数的标准差为
.
答案:(1)7 (2)2
7+8+7+9+5+4+9+10+7+4
解析:(1) =
=7.
10
1
(2)∵s2= 10
[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(107)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,∴s=2.
探究四
当堂检测
1
解:(1)甲 = ×(99+100+98+100+100+103)=100,
1
6
乙 = ×(99+100+102+99+100+100)=100,
6
1
2
甲
= 6×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(1007
2
2
100) +(103-100) ]= ,
则没有众数.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
延伸探究求出变式训练1中数据的众数与中位数.
解:众数为24与30.
1
中位数为×(22+24)=23.
2
课堂篇探究学习
探究一
探究二
数据的数字特征
n
甲：s＝0.16（mm） 乙：s＝0.077(mm) 因为甲的标准差比乙大，因此乙更稳定
练
习
1、下列说法中正确的有___________ （1）在统计中，把所需考察对象的全体 叫做总体， （2）一组数据的平均数一定大于这组数 据中的每一个数据， （3）平均数、众数、中位数，从不同的 角度描述一组数据的集中趋势， （4）一组数据的标准差越大，说明数据 波动越大。
1 2 n
0
24
4、数据a 1 , a 2 a n , 的方差为 S 的方差为（ ） A
1 2 S
2
2
，则 2 a , 2 a
1
2
2an
B
S
2
C
2S
2
D
4S
2
25
小结：
• 1 . 众数、中位数、平均数的概念
• 2. 三种数字特征的优缺点 • 3. 极差、方差、标准差的概念
• 4. 如何利用标准差刻画数据的离 散程度?
16
方差与标准差：
2 2 2
方差：
s
2
(x
=
1
- x
)
+
(x
2
- x
)
+ L +
(x
n
- x
)
n
2
2
2
标准差：
(x
s =
1
- x
)
+
(x
2
- x
)
+ L +
(x
n
- x
)
n
注：（1）方差变形式 （2）极差，方差和标准差用来反映离散程度 （3）若一组数据全部相等则离散度为0
1.4《数据的数字特征》说课稿
《数据的数字特征》说课稿瀛湖中学李善斌一、教材分析与学情分析教材地位与作用在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。
（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。
）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。
学情分析：本节课的学习者是普通班学生，他们的观察、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、紧密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。
二、教学目标1．知识与技能①能结合具体情境理解不同数字特征的意义②结合实际, 能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。
2.过程与方法通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。
3.情感、态度与价值观通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风。
三、教学重、难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。
教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。
四、教学方法与策略本节课让学生通过熟知的一组数据的代表-众数，中位数，平均数下，并辅以计算器、多媒体手段，通过一定手脑结合的训练，在课堂结构上，我根据学生的认知水平，采取“仔细观察—分析研究---小组讨论---总结归纳”的方法，使知识的获得与知识的发生过程环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。
四、设计思路（1）、教法构想本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。
通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。
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中位数：将一组数据从小到大排列或从大到小 排列，处在中间位置上一个数据（或中间两个 数据的平均数）。中位数将观测数据分成相同 数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另 一部分都比这个数据大，对于非对称的数据 集，中位数更能实际地描述数据的中心。某些 数据的变动对它的中位数影响不大。当一组数 据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其 集中趋势。
探求新知
众数：一组数据中出现次数最多的数据。 众数着眼于对各数据出现的次数的考察, 是一组数据中的原数据，其大小只与这组 数据中的部分数据有关,当一组数据中有 不少数据多次重复出现时,其众数往往是 我们关心的一种统计量；
探求新知
注意： （1）一组数据中的众数有时不只一个，如数
据 2、3、-1、2、l、3 中，2 和 3 都出 现了 2 次，它们都是这组数据的众数． （2）如果出现个数一样的数据，或者每个数 据都只有一次，那么众数可以不止一个 或者没有。
知识应用
8 6 7 7
解：（1） x甲
10
7 （环），
6 7 7 5
x乙
10
7 （环）
（2）s
2 甲
1 [(8 10
7)2
(6
7)2
(7
Hale Waihona Puke 7）2]3.0（环
2）
s
2 乙
1 [(6 10
7)2
(7
7)2
(5
7)2 ]
1.2（环
2）
知识应用
解：（3）因为 x甲 x乙，所以说明甲、乙两
名战士的平均水平相当．
探求新知
方法 3、 甲： ( 40 40 39.8 40
39.8 40 10 0.14mm
乙： ( 40 40 40 40
39.9 40 ) 10 0.06mm ；
探求新知
方法 4、 甲： ( 40 40 3 39.8 40 3
39.8 40 3 ) 10 0.005mm
探求新知
计算公式：设在一组数据
x1
,
x2
,
…,xn
中，x
是
它们的平均数，则方差为：
S2
1 n [( x1
x)2
( x2
x)2
… ( xn
x)2 ]
探求新知
（3）标准差：定义为方差的算术平方根， 反映组内个体间的离散程度。 即：
探求新知
标准差的意义：标准差越高,表示实验 数据越离散,也就是说越不精确；反之, 标准差越低,代表实验的数据越精确。
数据的数字特征
高二（文）数学
主讲教师：罗靓
课题引入
数据的信息除了通过前面介绍的各 种统计图表来加以整理和表达之外，还可 以通过一些统计量来表述，也就是将多个 数据“加工”为一个数值，使这个数值能 够反映这组数据的某些重要的整体特征。
探求新知
请大家思考，初中时我们学习了几个统 计量？它们在刻画数据时，各有什么样 的优点和缺点？
x1 x2 xN
我们把
N 叫做这 N 个数的算术
平均数，简称平均数。平均数是数据的重
心，它是反映数据集中趋势的一项指标。
探求新知
它的优点在于：对变量的每一个观察值都 加以利用，比起众数与中位数，它会获得 更多的信息；但是平均数对个别的极端值 敏感，当数据有极端值时，最好不要用均 值刻画数据。
探求新知 1、平均数、中位数、众数
某公司的41名职工的月工资（单位：元） 如下：
董事 副董
总经
管理
职务
董事
经理
职员
长 事长
理
员
人数 1 2 2 3 6 7 20
工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500
探求新知
（1） 求该公司职工月工资的平均数、中位 数、众数；
那么，我们可以用哪些数据来刻画数据的离 散情况呢？
探求新知
方法 1、极差 甲：40.2-39.8=0.4（mm）， 乙：40.1-39.9=0.2（mm）；
探求新知
方法 2、方差
甲：s12
1 10
10 i 1
xi 40 2 0.026 ，
乙：s22
1 10
10 i 1
xi 40 2 0.006 ；
又因为
s
2 甲
s
2 乙
，所以说明甲战士射击
情况波动大．
故乙战士比甲战士射击情况稳定．
课堂练习
1、一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋 20 双，其中各种尺码的鞋的销量如表所示：
鞋的尺码（cm） 30 28 20 23 21 25
销售量（双） 5 1 2 3 5 4 指出这组数据的众数、中位数、平均数。
2、极差、方差
甲、乙两台机床同时生产直径是 40mm 的零 件。为了检验产品的质量，从两台机床生产的 零件中各抽取 10 件进行测量，结果如下：
甲 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8 乙 40.0 40.0 39.9 40.0 39.9 40.1 40.1 40.1 40.0 39.9
知识应用
例 甲、乙两名战士在相同条件下各射击靶 10 次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．
（1）分别计算以上两组数据的平均数； （2）分别求出这两组数据的方差； （3）请根据这两名射击手的成绩画出折线统计
图，并估计这两名战士的射击情况。
2、下表是某班 40 名学生参加“环保知识竞 赛”的得分统计表： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 x 8 y
请参照这个表解答下列问题：
（1）用含 x，y 的式子表示该班参加 “环保知识竞赛”的班平均分 f；
（2）若该班这次竞赛的平均分为 2.5 分， 求 x，y 的值。
（2）假设副董事长的工资从 5000 元提升 到 20000 元，董事长的工资从 5500 元提升到 30000 元，那么新的平均 数、中位数、众数又是什么？
探求新知
（3）公司经理会选取上面哪个数据来代表 该公司员工的月工资情况？税务官 呢？工会领导呢？
探求新知
平均数：一般地，对于 N 个数 x1, x2,, xN ，
乙： ( 40 40 3 40 40 3
39.9 40 3 10 0.0006mm
探求新知
（1） 极差是指一组数据内的最大值和最小 值之间的差。 即：极差=最大值—最小值
探求新知
（2）方差，是一组数据据内，每个数与平 均数的差数的平方和。
方差是表现数据的离散程度的（波动情况）， 方差越小，数据的离散程度越小，也就越接 近平均值,当要求某问题的稳定程度就用它.