8用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程

是特征方程的单根 ,
Ae , 不是特征方程的根
x
2). 0, y py qy Pm ( x)
y*
Qm ( x), 0不是特征根 xQm ( x)， 0是特征单根
x2Qm ( x)， 0是特征复根
2. f ( x) erx (Pl ( x)cosx Pn( x)sinx) 型
即
dn y
dn1 y
d t n b1 d t n1
bn y
f (et )
例1.
解:
则原方程化为
亦即
①
特征方程
其根
则①对应的齐次方程的通解为
设特解: y At 2 B t C 代入①确定系数, 得
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
例2. 解: 将方程化为 则方程化为
(欧拉方程)
hw：p319 2,4.
欧拉方程解法思路
变系数的线 变量代换
常系数的线
性微分方程 x et 或 t ln x 性微分方程
注意：欧拉方程的形式．
Euler Equation：
xn y(n) a1 xn1 y(n1) an1 xy an y f ( x)
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
令 x et 将方程转化为常系数微分方程。
将自变量换为 t,
1) . 当 r i 不是特征根时，则特解具有形式
y* erx (Qm(x)cosx Rm(x)sinx)
2. 当 r i 是特征根时， 则特解具有形式
y* xerx (Qm(x)cosx Rm(x)sinx)
其中 Qm ( x) 和 Rm ( x) 为两个 m 次待定多项 式, m max{l,n};
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d2y dx2
1 x2
d2y
dt 2
dy , dt
d3y dx 3
1 x3
d3y
dt 3
d2y 3
dt 2
2 dy , dt
例 1. 求 x2 y 3xy y 0 的通解； 2. 求解方程 x3 y x2 y 4xy 3x2.
§9 用常数变易法求解 二阶非齐次方程
基本思想：将 y P( x) y Q( x) y f ( x) 对应齐次方程的通解 y C1 y1( x) C2 y2( x) 中的常数变易成函数 C1( x) 与 C2( x) 然后求出 C1( x) 与 C2( x).
解方程
C1( x) y1( x) C2 ( x) y2( x) 0 C1( x) y1( x) C2 ( x) y2( x) f ( x)
hw：p301 5,8.
§9 欧拉方程
Euler Equation 欧拉方程
xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x) ( pk为常数) 令 x et , 即 t ln x
常系数线性微分方程
欧拉方程的算子解法:
xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x)
Dec. 20 Mon. Review
对非齐次线性微分方程 y py qy f ( x)
1. f ( x) Pm ( x)ex 型
y xkexQm ( x) ,
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
特殊情形
1). Pm ( x)
y
py
qy
e x
Ax
e
2
x
是特征方程的重根
y *
Axe x
x y D y
x2 y D2 y D y D(D 1) y
用归纳法可证 xk y(k) D(D 1) (D k 1) y
于是欧拉方程 xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x)
转化为常系数线性方程:
Fra Baidu bibliotek
Dn y b1Dn1 y bn y f (et )
例 求 y y 1 的通解；
cos x
若已知齐次方程
y P( x) y Q( x) y 0
的一个不恒为零的解 y y1( x), 则利用变换 y uy1( x)，可将非齐次方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 化为一阶线性方程，进行求解。
例. 已知 y1( x) x 是齐次方程 x2 y 2xy 2 y 0 的一个解，求非齐次线性方程 x2 y 2xy 2 y 2x3 的通解。
得通解为
y C1 cos 2t C2 sin 2t et
C1 cos(2ln
x)
C2
sin( 2 ln
x)
1 x
利用初始条件④得
1 C1 1, C2 2 故所求特解为
y cos(2ln x) 1 sin(2ln x) 1
2
x
hw：p319 2,4.
一类特殊变系数非齐次线性微分方程
令 x et,
则
d y d y dt 1d y dx dt dx x dt
x y d y dt
d2 y d x2
d (1 d y) dt dt x dt dx
1 x2
d2 y dt2
dy dt
计算繁!
x2
y
d2 dt
y
2
d d
y t
记D d , dt
Dk
dk dtk
(k 2, 3, ),则由上述计算可知:
即
②
特征根:
设特解: y At 2et , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
例3.
解: 由题设得定解问题 ③ ④
令 x e t , 记 D d , 则③化为 dt
[D(D 1) D 4] y 5et
(D2 4) y 5et
⑤
特征根: r 2i, 设特解: y Aet , 代入⑤得 A＝1