8用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
微分方程中常数变易法的应用
微分方程中常数变易法的应用杨秀香【摘要】利用微分方程中常数变易法、线性代数以及微分方程理论，研究伯努利方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、二阶变系数齐次线性微分方程、二阶变系数非齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程组的解法，得到各类方程的通解与特解。
%Using the variation of constants in differential equation, the knowledge of linear algebra and theory of differentiale⁃quation to research Bernoulli equations, two order nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients, two order homogeneous linear differential equation with variable coefficient, two order variable coefficient linear differential equation, n order nonhomogeneous linear differential equations, and non-homogeneous linear differential equations, the general solution and special solution of equations are got.【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2016(031)008【总页数】6页(P9-13,30)【关键词】常数变易法;微分方程;求解;应用【作者】杨秀香【作者单位】渭南师范学院数理学院，陕西渭南714099【正文语种】中文【中图分类】O175.1常数变易法是解微分方程的一种很特殊的方法,常微分方程教材中是在求解一阶非齐次线性微分方程时提出的,这种方法指的是将一阶线性齐次微分方程通解中的常数变易成待定的函数,代入原方程从而确定方程的解。
微分方程的解法与常数变易法
微分方程的解法与常数变易法微分方程是数学中常见的一类方程，描述了函数与其导数之间的关系。
解微分方程是研究微分方程的重要问题之一。
常数变易法是解非齐次线性微分方程的一种常用方法。
本文将介绍微分方程的解法以及常数变易法的基本原理和应用。
一、微分方程的解法微分方程按照阶数可以分为一阶微分方程和高阶微分方程。
一阶微分方程是指方程中最高阶的导数为一阶导数的微分方程，高阶微分方程则是指方程中最高阶的导数大于一阶的微分方程。
解微分方程的一般步骤如下：1. 将微分方程转化为标准形式，确保方程的最高阶导数系数为1。
2. 求解齐次微分方程。
齐次微分方程是指方程中非零项的系数为0的微分方程。
通过假设解的形式为指数函数的乘积，并代入微分方程，得到解的通解表达式。
3. 求解非齐次微分方程。
非齐次微分方程是指方程中至少存在一个非零项的系数不为0的微分方程。
通过常数变易法，可求得非齐次微分方程的一个特解，并利用齐次微分方程的通解和特解得到非齐次微分方程的通解。
4. 利用初始条件确定常数。
通过已知的初值条件，将常数确定为具体的数值，得到微分方程的具体解。
二、常数变易法常数变易法是解非齐次线性微分方程的一种常用方法，基本原理是假设非齐次微分方程的解和齐次微分方程的解具有相同的形式，通过适当选择常数的变化方式，使得原非齐次微分方程的解满足初值条件。
常数变易法的一般步骤如下：1. 求解齐次微分方程。
齐次微分方程的解可以通过假设解的形式为指数函数的乘积，并代入齐次微分方程得到。
2. 选择常数的变化方式。
将非齐次微分方程的解中的常数看作变量，并逐步调整常数的值，使得解满足非齐次微分方程。
3. 确定常数的值。
通过已知的初值条件，将常数确定为具体的数值，得到非齐次微分方程的解。
常数变易法可以应用于一阶和高阶的非齐次线性微分方程，是解非齐次微分方程的重要方法。
三、常数变易法的应用举例以下是一个应用常数变易法解非齐次线性微分方程的例子：例：求解微分方程 y'' - y' - 2y = e^x步骤1：求解齐次微分方程 y'' - y' - 2y = 0假设解的形式为 y = e^rx，代入齐次微分方程，得到特征方程 r^2 - r - 2 = 0，解得 r1 = 2，r2 = -1。
二阶微分方程
二阶微分方程二阶微分方程作为微积分中的一种常用形式，它的求解方法十分重要。
本文将围绕二阶微分方程的基本定义、求解方法及其应用展开讲述。
一、二阶微分方程的基本定义及形式二阶微分方程指的是形如 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 的微分方程。
其中$y$ 表示一个未知函数，$P(x)$ 和$Q(x)$ 是已知函数，$f(x)$ 是已知的函数。
二阶微分方程中的 $y''$ 表示未知函数 $y$ 的二阶导数，$y'$ 表示 $y$ 的一阶导数。
$P(x)$ 和 $Q(x)$ 是已知函数，它们可能包含 $x$ 或 $y$，甚至二者的组合。
$f(x)$ 是已知的函数，它是一个关于 $x$ 的函数，通常是我们要寻求的解函数。
二阶微分方程是高阶微分方程的一个特例。
如果方程中只包含 $y''$ 与 $y$，则称为二阶常系数齐次微分方程。
二阶微分方程的一些常见形式：1. $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$，这是二阶非齐次线性微分方程的一般形式。
2. $y''+w(x)y=0$，这是二阶齐次线性微分方程的一般形式。
3. $y''-c^2y=0$，这是二阶常系数齐次微分方程的一般形式，其中 $c$ 是常数。
二、二阶微分方程的求解方法1. 变量分离法当二阶微分方程形如 $y''=f(x)$ 时，我们可以用变量分离法求解。
首先将方程两边同时积分得到 $y'=F(x)+C_1$，再次积分得到$y=\\int[F(x)+C_1]dx+C_2$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 分别是积分常数。
2. 特征方程法对于形如 $y''+ay'+by=0$ 的二阶常系数齐次微分方程，我们可以采用特征方程法求解。
首先设 $y=e^{mx}$，代入方程得到 $m^2+am+b=0$，这就是所谓的特征方程。
用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程
2
x
hw：p319 2,4.
一类特殊变系数非齐次线性微分方程
Euler Equation：
xn y(n) a1 xn1 y(n1) an1 xy an y f ( x)
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
其中 Qm ( x) 和 Rm ( x) 为两个 m 次待定多项 式, m max{l,n};
§9 用常数变易法求解 二阶非齐次方程
基本思想：将 y P( x) y Q( x) y f ( x) 对应齐次方程的通解 y C1 y1( x) C2 y2( x) 中的常数变易成函数 C1( x) 与 C2( x) 然后求出 C1( x) 与 C2( x).
例. 已知 y1( x) x 是齐次方程 x2 y 2xy 2 y 0 的一个解，求非齐次线性方程 x2 y 2xy 2 y 2x3 的通解。
hw：p301 5,8.
§9 欧拉方程
Euler Equation 欧拉方程
xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x) ( pk为常数) 令 x et , 即 t ln x
hw：p319 2,4.
欧拉方程解法思路
变系数的线 变量代换
常系数的线
性微分方程 x et 或 t ln x 性微分方程
注意：欧拉方程的形式．
令 x et 将方程转化为常系数微分方程。
将自变量换为 t ,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d2y dx2
1 x2
d2y
dt 2
dy , dt
d3y dx 3
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。
本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。
二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。
其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。
常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。
其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。
而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。
三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。
常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。
以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。
将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。
对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。
不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。
常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程
(４)和(5)联立起来,便得到了一个u1'和ｕ2'的方程组。解这个方程组,便可得到u1＇和ｕ2'的表达式;再积分,便可得到u1和ｕ2的表达式。
这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地,有：
其中W表示朗斯基行列式。
接下来的文章,我觉得是可以解释为什么可以用常数变易法来解线性微分方程
常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程
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欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。
和 都非常有用，看到下面就知道了。
让我们看看讲代换 代入(1）式会出现什么：
ﻩﻩﻩﻩﻩ………（4）
如果现在利用分离变量法来求 对应于 的函数关系，那么
就是我们刚刚遇到的没法把 单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。怎么变？这是 的用处就有了。令 ，解出v对应x的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题,可以将其解出来。
进一步：变量代换法
筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果会让你跌破眼镜。
就是这么符合要求的一个函数。其中 和 都是关于 的函数。这样求 对应于
的函数关系就转变成分别求 对应于 的函数关系和 对应于 的函数关系的问题。你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现——非也,
同济版的实质就是变量代换u，然后变成可分离变量。求出u,然后回代。解出方程。
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:'''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为'''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。
则方程(1) 可以写成'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---=记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程'1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰[5] (3) 知其通解为1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+⎰这里0()xh t dt ⎰表示积分之后的函数是以x 为自变量的。
再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰ 解得12212()()340012[(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-⎰⎰ 应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰ 1122121200121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰ (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为'''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]xkx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'10()xkx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+⎰ 即10()()xkx kt de y ef t dt c dx --=+⎰故120()()xkx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++⎰(5)例1 求解方程'''256x y y y xe -+=解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 32()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是332222321200x x x t t x t t xxy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200x xx t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132x x xx x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里321c c =-.例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=解 特征方程2210k k -+= 有重根1 , ()ln x f x e x =.由公式(5) 得到方程的解是 120()ln x x t t x x y ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln x x x x e x t tdt c xe c e =-++⎰ 1200[ln ln ]x xxx x e x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰ 21213ln 24x x x x e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦ 二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是'''()y py qy f x ++=, (6) '''0y py qy ++= , (7) 其中p q 、 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方程(7) 的通解。
用常数变易法求解非齐次线性偏微分方程
的解，得特征值问题，
( ) + ( ) = 0, 0 < < (0) = ( ) = 0
(10)2018.8（下） 知识 237知识 第 16 期
求解特征值为
( )=
22
= 2 ( = 1,2,3 … ) ， 特 征 函 数 为
( = 1,2,3 … ) 。利用常数变易法，设
原模型有解形如 常微分方程初值问题, 求解得，
( )+ 2 ( )=
(0) = , (0) =
其中， ， ， 是 ( )， ( )， ( , ) 关于 ( ) 的傅
里叶系数。利用拉普拉斯变换法或常数变易法，求解该常微分
方程得，
( )=
+1
故(6),(2),(7)的解为，
+1
()
0
(−)
∞
( , )= [
+1
=1
3 总结与举例
+1
()
0
(− ) ] ()
变易法，设原模型有解形如
∞
( , )=
()
(2 + 1) 2
。
=1
代入得到常微分方程初值问题, 得，
(
,
)
=
32
3
1
−2
∞ (−1) +1 (2 + 1)3
=1
−(2
+1)2 42
2
2
(2 + 1) 2
（作者单位：中国地质大学（北京）数理学院）
. All Rights Reserved.
。代入得到
( )=
+
+
()
0
故固定的有界弦强迫振动模型的形式解为:
用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程
其根
则①对应的齐次方程的通解为
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设特解: y At 2 B t C 代入①确定系数, 得
① 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为
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例2. 解: 将方程化为 则方程化为
(欧拉方程)
即
②
特征根:
设特解: y At 2et , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
于是欧拉方程 xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x)
转化为常系数线性方程:
Dn y b1Dn1 y bn y f (et )
即
dn dt
y
n
b1
dn1 y d t n1
bn
y
f (原方程化为
亦即
①
特征方程
C1 cos(2ln
x)
C2
sin( 2 ln
x)
1 x
利用初始条件④得
C1 1,
C2
1 2
故所求特解为
y cos(2ln x) 1 sin(2ln x) 1
2
x
hw：p319 2,4.
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一类特殊变系数非齐次线性微分方程
Euler Equation：
xn y(n) a1 xn1 y(n1) an1 xy an y f ( x)
1 x2
d2 y dt2
dy dt
计算繁!
x2
y
d2 dt
y
2
d d
y t
第8页/共24页
记D d , dt
Dk
dk dtk
(k 2, 3, ),则由上述计算可知:
x y D y
二阶微分方程
25
函数的线性相关性：设 y1 , y2 ,, yn为定义在
区间 I 内的n个函数．如果存在n个不全为零的
常数，使得当 x在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这n个函数在区间 I 内线性相关．否则
称线性无关. 例如 当x (, )时，
e x，e x , e2 x
15
例 5 求方程 yy y2 0的通解.
解 将方程写成 d ( yy) 0,
dx
故有 yy C1, 即 ydy C1dx, 积分后得通解 y2 C1x C2.
注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.
5.3 二阶微分方程（92）
16
5.3.5 小结与思考题1
解法 通过代换将其化成较低阶方程求解.
5.3.1 可降阶的二阶微分方程
1、形如 y f ( x) 的二阶微分方程
例 1 求解自由落体运动微分方程
d2s dt 2
g,
s |t0 s0 ,
s |t0 v0 ,
其中 g 为重力加速度.
解 对原方程作一次不定积分，得
5.3 二阶微分方程（92）
3
ds
dt gdt gt C1,
P(x) dx
Q(x) y
0
二阶线性非齐次微分方程的标准形式
（1）
d2 y dx2
P(
x)
dy dx
Q(
x)
y
f (x)
（2）
5.3 二阶微分方程（92）
23
即，二阶线性微分方程
d2 y dx2
P(
x)
dy dx
Q(
x)
y
f (x)
当 f ( x) 0时， 二阶线性齐次微分方程；
微分方程论文常数变易法论文：求二阶非齐次线性微分方程通解的一种方法
微分方程论文常数变易法论文：求二阶非齐次线性微分方程通解的一种方法摘要：二阶线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。
利用常数变易法对二阶非齐次线性微分方程yn+p（x）y′+q（x）y=f（x）进行讨论后，可给出求其通解表达式的具体方法。
关键词：微分方程；通解；常数变易法一、引言对于二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=f （x）（其中p、q是常数）当f（x）为以下两种形式：①f（x）=pm（x）eλx，其中λ是常数，pm（x）是x 的一个m次多项式；②f（x）=eλx［pl（x）cosωx+pn（x）sinωx］，其中λ、ω是常数，pl（x）、pn（x）分别是x的l次，n次多项式，它们中有一个可为零。
此时求其通解的方法已有公式可循，具体公式这里从略。
现在的问题是假若p、q不是常数，而是x的函数p（x）、q（x），即为方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）（1）时，又如何求其通解呢？这正是本文所要讨论的问题。
二、二阶非齐次线性微分方程的求解方法在求一阶非齐次线性微分方程y′+p（x）y=q（x）的通解时，我们使用了常数变易法。
这种方法是把齐次线性微分方程y′+p（x）y=0的通解φ（x）中的任意常数c换成未知函数u（x），即利用变换y=u（x）φ（x）来解非齐次线性微分方程。
这一方法也适用于解二阶非齐次线性微分方程。
下面我们就来讨论方程（1）的具体求解方法。
设φ（x）是方程（1）对应的齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=0 （2）是一个不恒为零的解，则令y=u（x）φ（x），有y′=u′（x）φ（x）+u（x）φ′（x），y″=u″（x）φ（x）+2u′（x）φ′（x）+u（x）φ″（x）代入方程（1），得u″（x）φ（x）+2u′（x）φ′（x）+u（x）φ″（x）+p（x）［u′（x）φ（x）+u（x）·φ′（x）］+q（x）u（x）φ（x）=f（x）,即φ（x）u″（x）+［2φ′（x）+p（x）φ（x）］u′（x）+［φ″（x）+p（x）φ′（x）+q（x）φ（x）］u（x）=f（x）,而φ″（x）+p（x）φ′（x）+q（x）φ（x）＝0，因此上式变为φ（x）u″（x）+［2φ′（x）+p（x）φ（x）］u′（x）=f（x）。
常微分方程 练习题
常微分方程练习题常微分方程练习题常微分方程是数学中的重要分支，也是应用数学中的基础知识。
通过解常微分方程，可以描述许多自然现象和工程问题。
在学习常微分方程的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的解答，可以加深对常微分方程的理解和应用。
下面，我们来看一些常微分方程的练习题。
1. 求解一阶线性常微分方程y' + 2xy = x解：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。
首先，求出齐次方程的通解：y' + 2xy = 0齐次方程的通解为 y = Ce^(-x^2)，其中 C 为常数。
然后，我们可以猜测特解形式为 y = u(x)e^(-x^2)，将其代入原方程得到： u'(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) = x简化后得到 u'(x)e^(-x^2) = xe^(x^2)，两边同时除以 e^(x^2) 得到：u'(x) = x对 u(x) 求积分，得到 u(x) = 1/2x^2 + C1，其中 C1 为常数。
将 u(x) 代入特解形式，得到特解为 y = (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)。
因此，原方程的通解为 y = Ce^(-x^2) + (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)，其中 C 和C1 为常数。
2. 求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' + 4y' + 4y = 0解：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程来求解。
首先，设 y = e^(rx) 为方程的解，代入方程得到：r^2e^(rx) + 4re^(rx) + 4e^(rx) = 0化简后得到 r^2 + 4r + 4 = 0，解这个二次方程得到 r = -2。
因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 为常数。
3. 求解二阶非齐次线性微分方程y'' - y' - 2y = 2x解：这是一个二阶非齐次线性微分方程，可以通过常数变易法来求解。
二阶常系数线性非齐次微分方程特解的若干种求法
2009 , 9( 3): 74- 75. [ 2] 张 云燕 . 常系数非齐次线性微分方程的几个解法 [ J] . 黄 山学院学报 , 2004, ( 6): 8- 9. [ 3] 秦军 . 二阶常系数非齐次线性 微分方程特解的一些求法
,
[ J]. 皖 西学院学报 , 2005, 4( 2): 12- 13 . [ 4] 王春草 . 常数变易法求二阶常 系数线性微分方程的特解 [ J]. 杨 凌职业技术学院学报 , 2009, 12( 4): 22- 23. [ 5] 刘培进 . 二阶 常系 数线 性非 齐次 微分 方 程的 公式 解法 [ J]. 山 东师范 大学 学报 ( 自然 科学 版 ), 2002, 9( 3) : 70 - 71. [ 6] 王焕 . 求二阶和三阶常系数非 齐次线性微分方程特解的 一个公式 [ J]. 高等数学研究 , 2006, 5( 3) : 25- 27.
的 实部 函 数, 而 f2 ( x ) 可 以 被 看作 的复部函数, 于是类型 ∀ 也可转化为
程得 : # C 1 (x)xe + C 2 (x) e = 0 C 1 ( x ) ( e + x e ) + C 2 (x ) e = x e C 1 (x ) = x
2 x x x 2 x x x
2
1 4 x, 12 1 4x x e. 12
4
# 原方程的特解为: y = uv = 方法 7 : 积分法 ( 1) 特征方程为 # y =
x 2 [ 2]
=
1 4x x e. 12 方法 12: 降阶法
[ 2] 2 2 x
- 2 + 1= 0 , # ) ( f (x)
1
=
2
常数变易法详释
一Ｐ （ ｚ ） ［ （ ） 一 （ ） ］
。 ’
，
其 中 （ ｚ ）为待定 函数 ． 记
Ｃ（ ＿ ｚ ）一 Ｃｅ （ 一，
即 （ ｚ ） 一 （ ｚ ）为 方 程 （ ５ ）的 解 ． 定理 １ ＿ ｌ １ ｊ ４ 。 一 阶非 齐次线 性方 程 （ １ ）的 通 解
孔志宏 ， 米芳 ： 常数 变 易 法 详 释
３ １
所 有 的解 ， 故存 在某 个 常数 ｅ， 使 得
—
（ １ １ ） ， 即得二 阶非 齐次 线性 方程 （ ９ ）的通解 ．
以上 就 是 二 阶 线 性 方 程 情 形 “ …， 在理论上 ， 这
ｅLeabharlann Ｊ 出 ｌ Ｑ （ ） ｅ １ Ｊ Ｐ ‘ 如 ｄ —ｅ ｅ Ｊ Ｐ ‘ ｚ 妇 ，
文献标识码 Ａ
～
文章编号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ３ ０ — ０ ２
现有教材 。 在求解一些非齐次线性微分方程
时常常用到 常数变 易法 ， 但 对其 原 理缺 少 详 细说 明 ， 学生 往往 只知其 然 ， 不知其所 以然 ， 故本文 拟对一 阶 、
是非 齐次 线性 方程 （ １ ）与它 对 应 的齐 次 线 性方 程 的
通解 之 间的联 系 与 区别 之 处
．
接 下 来 的 事情 就 是 将
１ 一 阶线 性 方 程 的情 形
将 方 程
ｄ ｙ
—
．
式（ ４ ） 代人方程（ １ ） 中， 确定待定函数 ｃ （ ｚ ） 了． 以上
就 是一 阶线性 方 程可 以利用 常数 变 易法 的原 因．
常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法
ｒ Ｉ
（ ｔ ０ ） ７ ７ ＋ （ ）
ｓ ： 。 聪 ｌ Ｌ ＋ Ｊ Ｉ ＋ 。 髑 Ｉ 卜 一 。 ｊ ｌ
…
Ｊｔ Ｏ
Ｊ
（ ） ｅ ｘ ｓ ） ｄ ｓ
（ ｓ ）＝ｅ ｘ ｐ ［ （
又
—
（ ｓ ）＝ ｅ ｘ ｐ （一 ｓ Ａ） ， （ ｔ ）
１ ２
都 存在 拉普 拉斯 变换 ． 利 用拉 普拉 斯变 换法 的求解 常 系数 非齐 次线性
微 分方 程组 的过 程类 似 于利用 拉普拉 斯 变换法 求 二
［ 】 ｅ ～ ， 其 中 ｑ ｌ ｌ ￣ ＇ ｑ ２ １ 为 待 定 系 数 ． 代 人 原 方 程 组 得
－
阶微分 方程 的解 的过 程 ， 下 面直 接通 过举 例说 明． 例 ２利 用拉普 拉 斯变换 法求 解例 １ ．
＝ ＝ ＋
ｃ ＝ ｅ 【 】 【 三 】 ＋ ｌ 二 Ｉ ｅ ＿ Ｉ
又 由初 值 条件 可 得 ｃ 。 ＝ ， ｃ ＝ １ ７
，
３
１
５
１
４ （ ｓ一３）
一
１ ６ ｓ＋ １
ｚ— １ １ ７ １
代 人 上 述
ｘ ２ （ ｓ ）
３ ｌ １ １
、
＋
４ （ ｓ一３）
１ ６ ｓ＇ ４ －１
取拉普 拉斯 逆变 换 即可得 原方 程组 的特解 为
『 。 （ ￡ ） ＝ ｅ ３ ‘ ＋ ３ ‘ 一 ５ ｅ — Ｉ
ｅ
Ｉ （ ） ＝ １ ７ ｅ ３ ‘ ＋ｔ ｅ ｔ ＿ １ ｅ
解法， 并对这四种解法分别进行 求解举例． 关键词 ：常数 变易法 ； 拉普拉斯变换法 ； 比较 系数法 ； 初 等解法
用常数变易法求解二阶线性非齐次方程
特点 各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变 量的方次数相同．
解法 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量 代换可化为常系数微分方程.
作变量变换 x et (或 x et ) , 将自变量换为 t,
dy dy dt dy et ,
dx dt dx dt
d2y dx2
yt
dt dx
1 x2
( yt
yt ),
代入原方程得 yt 4 yt 5 y te2t ,
(1)
和(1)对应的齐次方程为
yt 4 yt 5 y 0,
(2)
(2)的特征方程为 r 2 4r 5 0, 特征根为 r1 5, r2 1,
(2)的通解为 Y C1e5t C2et . 设(1)的特解为 y* (at b)e2t ,
d2y dt 2
dy dt
e2t
,
t ln x,
d3y dx3
d3y dt3
3
d2y dt 2
2
dy dt
e3t
,
dk y dxk
C1
dy dx
C2
d2y dx2
Ck
dk dx
y
k
e
kt
,
k 1, , n
代入原方程 ekt xk 1 k 1, 2, k
化为常系数微分方程
b0
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn
y
0
其中b0 ,b1, ,bn 为确定的常数.
例 求解方程 x2 y 3xy 5 y x2 ln x. 解 这是一个欧拉方程．
令 t ln x, x et ,
二阶常系数非齐次线性微分方程通解的简易求解法
ｐ。 ） 一） ＋ ｔ Ｊ ｔｔ ｄ
ｒ ｒｘ Ｉ （－ ） ｘ＋Ｃｅ ｅｌ２ｄ ２ｒ ． ２
ｇ。 ）（—） ＝ ｔ ｔｔ Ｊ ｄ ， ）Ｊ ［ ｔ （ ＋。 （—） ） ＋
（ —ｔ ｑ ｘ—ｔ］ ｔ＝ｆ ｘ ）＋ ｇ（ ）ｄ （）
其中 Ｐ ｑ为常数 ， ， 其通解 Ｙ为式 （ ） １对应 的齐次
线 性微 分方程
＋ ＋ｑ ＝ ０ Ｙ （） ２
的通解 Ｙ ） （ 与式 （ ） 身 的一 个 特解 Ｙ 和 ． １本 之 求 式 （） １的通解 的关 键是 求 其 特 解 ， 目前 的 高等 数 而 学 教材在 讲授 ＋Ｐ Ｙ＝ （ 特解 的求 法 时 ， Ｙ ＋ｑ 厂 ） 式 （ ） 自 由 项 厂（ ）＝ｅｘ （ ） ，（ ）＝ １的 ＡＰ 或
对 于
解 ［ ５． 自由项 不 属 于 上 述 ２种 特 殊 形 式 则 用 １ 一 若
＋ ＋ｑ ＝ Ｙ ） （） １
常数 变易 法 ． 学 生 往 往 对 这 ２种 方 法 感 到 知 其 但 然而 不知 其所 以然 ， 且 运算 很 麻 烦 ． 研 究介 绍 而 本 ２ 方法 ， 管 自 由项 为 何 种 形 式 ， 能 简 易 的求 种 不 都 出式 （） １的通解 ， 并举 例 说 明它们 的应 用 ．
关 键 词： 微分方程 ； 通解 ； 特解 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：６ １ ９４ ２ｏ ） 一０８ —０ １７ 一ｏ２ （ｏ８￣ ０５ ２ 中图分 类号 ： １５ ０ ７
Ａ ｉ ｐｅ Ｍ ｅ ｈ ｄ ｔ ｏ ｖ ｎ ｒ ｌＩ ｔｇ ａ ｆＯｒ ｅ ｎ ｔ ｎ Ｓｍ ｌ ｔ ｏ ｏ Ｓ ｌｅ Ｇｅ ｅ ａ ｎ ｅ ｒ ｌｏ ｄ ｒ２ Ｃｏ ｓａ ｔ Ｃｏ ｆ ｃｅ ｔＮｏ － ｏ ｇ ｎ ｏ ｓＬｉ ｅ ｒ Ｄｉ ｅ ｅ ｔ ｌＥｑ ａ ｏ ｅ ｉｎ ｎ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｎ ａ ｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔ ｎ ｉ ａ ｉ
二阶非齐次常系数微分方程的积分通解
二阶非齐次常系数微分方程的积分通解
二阶非齐次常系数微分方程的积分通解可以通过以下步骤得到：
首先，我们需要找到对应的二阶齐次常系数微分方程的通解。
这通常可以通过求解特征方程来完成。
假设特征方程为r2+ar+b=0，其解为r1和r2。
那么，齐次微分方程的通解就是yh=c1er1x+c2er2x，其中c1和c2是常数。
接下来，我们需要找到非齐次微分方程的特解。
这通常可以通过尝试法来完成。
假设非齐次项为f(x)，我们可以尝试一个形如yp=Axn的函数，其中A是待定的常数，n是非齐次项f(x)的最高次幂。
将yp代入原方程，解出A，得到特解yp。
最后，将齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解相加，就得到了原方程的积分通解：y=yh+yp。
需要注意的是，以上步骤仅适用于二阶非齐次常系数微分方程，对于其他类型的微分方程，求解方法可能会有所不同。
此外，在实际应用中，还需要根据具体的问题和条件，选择合适的求解方法和步骤。
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Euler Equation 欧拉方程
xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x) ( pk为常数) 令 x et , 即 t ln x
常系数线性微分方程
欧拉方程的算子解法:
xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x)
x y D y
x2 y D2 y D y D(D 1) y
用归纳法可证 xk y(k) D(D 1) (D k 1) y
于是欧拉方程 xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x)
转化为常系数线性方程:
Dn y b1Dn1 y bn y f (et )
是特征方程的单根 ,
Ae , 不是特征方程的根
x
2). 0, y py qy Pm ( x)
y*
Qm ( x), 0不是特征根 xQm ( x)， 0是特征单根
x2Qm ( x)， 0是特征复根
2. f ( x) erx (Pl ( x)cosx Pn( x)sinx) 型
1) . 当 r i 不是特征根时，则特解具有形式
y* erx (Qm(x)cosx Rm(x)sinx)
2. 当 r i 是特征根时， 则特解具有形式
y* xerx (Qm(x)cosx Rm(x)sinx)
其中 Qm ( x) 和 Rm ( x) 为两个 m 次待定多项 式, m max{l,n};
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d2y dx2
1 x2
d2y
dt 2
dy , dt
d3y dx 3
1 x3
d3y
dt 3
d2y 3
dt 2
2 dy , dt
例 1. 求 x2 y 3xy y 0 的通解； 2. 求解方程 x3 y x2 y 4xy 3x2.
令 x et,
则
d y d y dt 1d y dx dt dx x dt
x y d y dt
d2 y d x2
d (1 d y) dt dt x dt dx
1 x2
d2 y dt2
dy dt
计算繁!
x2
y
d2 dt
y
2
d d
y t
记D d , dt
Dk
dk dtk
(k 2, 3, ),则由上述计算可知:
Euler Equation：
xn y(n) a1 xn1 y(n1) an1 xy an y f ( x)
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
令 x et 将方程转化为常系数微分方程。
将自变量换为 t,
hw：p319 2,4.
欧拉方程解法思路
变系数的线 变量代换
常系数的线
性微分方程 x et 或 t ln x 性微分方程
注意：欧拉方程的形式．
§9 用常数变易法求解 二阶非齐次方程
基本思想：将 y P( x) y Q( x) y f ( x) 对应齐次方程的通解 y C1 y1( x) C2 y2( x) 中的常数变易成函数 C1( x) 与 C2( x) 然后求出 C1( x) 与 C2( x).
解方程
C1( x) y1( x) C2 ( x) y2( x) 0 C1( x) y1( x) C2 ( x) y2( x) f ( x)
即
②
特征根:
设特解: y At 2et , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
例3.
解: 由题设得定解问题 ③ ④
令 x e t , 记 D d , 则③化为 dt
[D(D 1) D 4] y 5et
(D2 4) y 5et
⑤
特征根: r 2i, 设特解: y Aet , 代入⑤得 A＝1
即
dn y
dn1 y
d t n b1 d t n1
bn y
f (et )
例1.
解:
则原方程化为
亦即
①
特征方程
其根
则①对应的齐次方程的通解为
设特解: y At 2 B t C 代入①确定系数, 得
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
例2. 解: 将方程化为 则方程化为
(欧拉方程)
Dec. 20 Mon. Review
对非齐次线性微分方程 y py qy f ( x)
1. f ( x) Pm ( x)ex 型
y xkexQm ( x) ,
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
特殊情形
1). Pm ( x)
y
py
qy
e x
Ax
e
2
x
是特征方程的重根
y *
Axe x
例 求 y y 1 的通解；
cos x
若已知齐次方程
y P( x) y Q( x) y 0
的一个不恒为零的解 y y1( x), 则利用变换 y uy1( x)，可将非齐次方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 化为一阶线性方程，进行求解。
例. 已知 y1( x) x 是齐次方程 x2 y 2xy 2 y 0 的一个解，求非齐次线性方程 x2 y 2xy 2 y 2x3 的通解。
得通解为
y C1 cos 2t C2 sin 2t et
C1 cos(2ln
x)
C2
sin( 2 ln
x)
1 x
利用初始条件④得
1 C1 1, C2 2 故所求特解为
y cos(2ln x) 1 sin(2ln x) 1
2
x
hw：p319 2,4.
一类特殊变系数非齐次线性微分方程