第二章 薄板振动
薄板振动理论与数值对比分析
票 著 三
：
ｆ ｆ ： ａ ｘ ａ ｙ
对于圆形薄板
＝
警｝ ， ５
（ ２ — ６ 一 ａ ）
（ ２ — ６ ＿ ｂ ）
靠性有时值得商榷 但一般 当有限元程序 与理论解 结
果比较接近时， 一般有限元的结果比较可靠， 本文就薄
板的基本振动理论与 Ａ Ｎ Ｓ Ｙ Ｓ的结果进行对比。 ２薄 板的振 动方 程 ， 自振频 率 ， 振 型 ２ ・ 薄板 由振动的微分方程为
一
０
ｌ１
（ ２— ２ ）
（ 一 ） ／ ０ Ｃ ： ： ０ ， Ｗ 有非零解 有非 张 ， 该线性方程 组得系数行列式必须等于零 ， 解方程可求得 最低 自然 频率。 １ ） ４边夹 支 的矩形 薄板 ， 把振 形 函数取 为
（ ２ ＿ ３ ）
当矩形薄板的四边 均为简支边 时， 取振型 函数 为 Ｗ＝ ｓ ｉ ｎ （ ｍ ｒ ｒ ｘ ／ ａ ）ｓ ｉ ｎ （ ｎ ￣ ｙ ／ ｂ ）代 入 振 型 微 分 方 程 （ ２一
由Ｋ ： Ｕ ｍ ａ ｘ ， 可以得到 “ ” 一
． ． ． …
（ ２ — ９ ）
， ， ）
＆ ｏ ／ ｄ ｔ ＝ｃ ｏ ｓ ｔ ｏ ｔ Ｗ （ ， Ｙ ） 在运 动过程 中， 最大变形势 能是
～
： －
（ ６ ３ ／ ２ （ １ ／ ０ ４ ＋ ４ ／ （ ７ ｄｂ ９ ＋ １ ／ ｂ Ｏ Ｄ ／ ｍ ／ ）
）
（ ２— ４ ） ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如 果 以 薄 板 则 有 ＝ｓ ｉ ｎ ｗ ｔ Ｗ（ ，
，
机械振动-课后习题和答案--第二章-习题和答案
弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=、 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===- 因此：振幅为、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
<解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k "一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
薄板振动分析的辛空间波传播方法
薄板振动分析的辛空间波传播方法张亚辉;马永彬【摘要】基于弹性力学问题求解的辛方法,结合波传播理论,提出一个薄板结构稳态动力响应分析的新思路.首先,将薄板振动的控制方程导入辛对偶体系,应用分离变量法得到薄板波传播问题的本征值方程,求解得到本征值(波传播参数)与本征向量(波形);然后将物理空间求解体系转换到波空间,进而结合波传播以及波反射关系求解薄板结构的受迫振动问题.算例给出了矩形薄板在四边简支(SSSS)和一对边固支、另一对边简支(CCSS)两种边界条件下的输入点导纳以及动能和应变能;四边简支的结果与模态叠加法给出的解析解以及波有限元法的结果做了对比,对边固支一对边简支边界下的结果与有限元程序系统ABAQUS的参考解以及波有限元法结果做了对比,对比结果验证了该方法的精确性与有效性.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(033)012【总页数】7页(P1-6,14)【关键词】辛对偶体系;波导;波有限元;波传播【作者】张亚辉;马永彬【作者单位】大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,大连116023;大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,大连116023【正文语种】中文【中图分类】O326基于模态思想的有限元方法在进行结构振动分析时，在结构一个振动波长内需要划分6至15甚至更多单元才能准确地模拟结构的振动,而在高频振动下，结构振动波长非常小，应用有限元方法不得不采用大量的自由度来分析结构的振动,因此，高频振动问题需要寻求更为有效的分析方法。
统计能量分析(SEA)作为高频振动分析的典型方法[1]，自上世纪60年代提出以来，已经推广到多个领域并得到成功的应用。
采用SEA方法进行高频振动分析的计算成本极小，不过只适用于初步验证阶段。
因为SEA按振动模式将结构分为若干子系统，分析结果只能给出各子系统能量均方值，随着对结果的需求更加精细化，还需要借助别的方法进行辅助分析。
从另一个角度来看，结构的振动可以用波的传播、反射以及传递的形式来表述[2]。
路用薄板结构屈曲、弯曲及振动问题的解析与数值分析
介绍数值模拟的基本原理、数值模型的建立及求 解方法。
数值模拟过程
详细描述模拟操作流程、参数设置及模拟结果。
数值模拟结果分析
根据模拟结果，对薄板结构的优化设计进行深入 分析，得出相关结论。
06
结论与展望
研究成果与结论
发现了路用薄板结构在屈曲、弯曲及振动问题中 的一些重要特性。 提出了针对这些问题的解析与数值分析方法。
薄板结构的基本定义与分类
01
根据材料和制造工艺对薄板结构进行定义和分类，包括金属薄
板、复合材料薄板等。
薄板结构弯曲的基本原理
02
介绍薄板结构弯曲的基本原理，包括弯曲变形、弯曲应力、弯
曲刚度等。
经典薄板弯曲理论
03
介绍经典薄板弯曲理论，如Mindlin板理论、Kirchhoff板理论
等。
薄板结构弯曲实验研究
3
薄板结构振动的稳定性
研究薄板结构在受到外部激励时的稳定性，以 及分岔和混沌现象。
薄板结构振动实验研究
实验设备和方法
介绍实验所用的测试设备和实验方法，包括激励方式、测量仪器、数据采集和处 理等。
实验结果和分析
通过实验测量薄板结构的振动响应，并对实验结果进行分析，验证理论模型的正 确性。
薄板结构振动数值模拟
研究内容与方法
研究内容
对路用薄板结构的屈曲、弯曲及振动问题进行深入研究，包括基本理论、解 析解和数值分析方法等。
研究方法
采用理论推导、数值模拟和实验验证相结合的方法，对路用薄板结构的屈曲 、弯曲及振动问题进行全面分析。
02
路用薄板结构屈曲分析
薄板结构屈曲基本理论
薄板结构屈曲定义
板壳理论 课件 chapter2 弹性薄板的稳定和振动
2D
2
(2.2.7)
其中
m r K r m
2
, r
a b
(2.2.8)
利用dK/dr=0，可知r=m当时K值最小，其最小值为K=4，因而最 小的临界屈曲应力为：
s x cr
4 2 D 2 b h
(2.2.9)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
应该注意到，当n=1, r=m时，sx具有最小值，这说明当板屈曲时， 在受压方向上可能形成几个半波，而在y轴方向则只有一个半波， 且(2.2.9)式仅当a/b为整数时才成立。 当a/b非常小时，(2.2.7)式括号内的第二项恒小于第一项，只要使括 号内的第一项取最小值m=1 ，即得sx的最小临界值。
(2.1.1)
y
Qx q0 x y
将(2.1.1)式的前两式一并代入第三式有：
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 x y x2 y2
(2.1.2)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
将(1.2.4)代入(2.1.2)式中有：
4 w 4w 4w D w D w D 4 2 2 2 q x x y y4
图2.3 单向受压板
第二章 弹性薄板的稳定和振动
如以受压为正，且取代入方程(2.1.13)中，即得这一问题的 屈曲控制方程为： 边界条件是：
2w D w N x 0 2 x
4
(2.2.1)
2w x 0, a: w 0 2 x 2w y 0, b: w 0 y2
2 xy 2 w 2 w 2 w x 2 2 x y x 2 y 2 x y y x
第二章 薄板振动分析
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
薄板振动特性的实验研究
毕业设计（论文）任务书摘要随着科技水平的发展，随着振动理论以及结构学的发展，越来越多的结构，开始使用薄板，薄板，即为厚度小于长度方向的1/6。
由于薄板，重量轻，体积小，节省材料。
在一定程度上，尤其是对以工业生产，可以降低成本。
但是，由于薄板的厚度比较薄，在实际情况中的振动，尤其是长期的振动条件下，损坏可能会较严重。
为了解决薄板的耐震寿命，以及了解在振动环境中，薄板结构的振动特点，做了实验研究。
首先，薄板的理论研究，已经趋于成熟。
无论是从基本的薄板的振动理论，还是发展到今天的各种薄板振动精确解的求解方法。
所以，对于理论的学习，是做薄板振动实验的基础。
从理论的角度，了解了薄板结构在边界条件下的振动特点，包括振动阻尼、频率以及振型函数的特点。
其次，是对于实验仪器的选择。
包括，激振方式的选择，传感器的选择，以及后续处理实验设备的选择和选择的注意事项。
再次，在实验模拟条件下，进行薄板的振动研究。
通过力锤进行敲击，通过传感器采集信号，以及后续的处理系统，得到薄板振动的振型函数、振动频率、以及直观的了解薄板结构在试验状态下的振动特点，分析了自由振动条件下和强迫振动条件下，薄板结构的振动特点，而且还分析了，不同的试验条件下，不同的输入条件下得到不同的输出响应，以及各自的特点。
本文对薄板结构的振动特性做了实验研究。
重点探讨了，在不同的激振条件下，薄板结构所表现出来的振动特性。
即在三种不同情况下，包括单输入单输出（SISO）、单输入多输出（SIMO）和多输入多输出（MIMO）情况下，薄板结构表现出来的各自的振动特点，以及不同点。
从而验证了理论研究中，所得到的结果。
而且，还可以通过比较，确定在实际的情况中，根据不同的需要，使用不同的约束条件、可以避免减少对薄板结构的损害，延长耐振寿命。
关键词：薄板结构；振动特性；实验研究AbstractWith the development of scientific and technological level, with the development of the vibration theory and the structure of science, more and more of the structure, start using the thin plate, that is, the length of the direction of thickness of less than 1 / 6. As the thin, light weight, small size, material savings. To some extent, especially in industrial production, to reduce costs. However, due to the thickness of thin sheet metal, the vibration in the actual case, especially in long-term vibration conditions, the damage may be more serious. In order to solve the seismic plate life, and to understand the vibration environment, the vibration characteristics of thin plate and do experiments.Fristly，the thin plate theoryhas been maturing. Either from the basic theory of thin plate, or developed to a variety of thin plate solution of the exact solutions. Therefore, study of the theory is the basis for doing sheet metal vibration test. From a theoretical point of view, understanding of the thin structure in the vibration characteristics of the boundary conditions, including vibration damping, frequency and vibration mode function features.Secondly, the choice of the experimental apparatus. Include the choice of excitation methods, sensor selection, and subsequent processing laboratory equipment selection and choice of notes.Thirdly, the experiment simulated conditions, to the vibration of sheet metal. Carried out by hammer tapping, collecting signals through sensors, and follow-up treatment systems, are rectangular plate vibration mode function, vibration frequency, and the intuitive understanding of thin plate vibration in the experimental conditions to the characteristics of the free vibration conditions and under forced vibration, the vibration characteristics of thin plate structures, but also analyzes the different experimental conditions, different input conditions are different output response, and their respective characteristics. In this paper, thin structure of the vibration characteristics is studied. Focus on, and at different excitation conditions, plate structure shown by vibration. That is, in three different cases, including single-input single-output (SISO), single-input multiple-output (SIMO) and multiple-input multiple-output (MIMO) case, the thin plate shown their vibration characteristics, and different points. To verify the theoretical study, the results obtained. Moreover, it can be compared to determine the actual situation, according to the different needs of different constraints, can be avoided to reduce the damage to the sheet structure, vibration-resistant to extend life span.Keywords: thin plate; vibration characteristics; experimental study目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1.1课题研究的意义及现状 (1)1.2薄板理论的发展简况 (1)1.3振动实验研究的发展简况 (2)1.4论文主要研究内容 (3)第2章薄板振动的基本原理 (4)2.1振动的基本概念以及特点 (4)2.1.1 振动的基本概念 (4)2.1.2 振动的基本特征量 (4)2.1.3 振动的基本形式 (4)2.2薄板的横向振动的微分方程 (4)2.2.1 弹性薄板横向振动的基本假设 (5)2.2.2 弹性薄板横向振动的几何方程与物理方程 (5)2.2.3 弹性薄板的内力分析 (8)2.2.4 弹性薄板自由振动的微分方程和边界条件 (10)2.3矩形板的固有振动 (11)2.3.1 四边简支矩形板 (12)2.3.2 一对边简支一对边任意的矩形板 (14)2.4薄板的强迫振动 (16)第3章薄板振动的实验研究 (18)3.1研究振动的意义 (18)3.2研究薄板振动的意义 (19)3.3工程测振的一般方法 (19)3.4实验仪器的选择 (20)3.4.1 激振方式的选择 (20)3.4.2 激振试验设备的选择 (22)3.4.3 传感器的选择 (23)3.5不同试验条件下，薄板振动特性的研究 (28)3.5.1 自由振动下，薄板振动特性的研究 (30)3.5.2 谐振激励下，薄板振动特性的研究 (30)3.5.3 三种不同的激励方式下的，薄板振动特性的研究 (30)致谢 (31)附件1 ........................................................................... 错误！未定义书签。
高等结构动力学4_连续体3_薄板弯曲强迫振动
2 wr ,s
òò pst (x, y )Wr,s (x, y )dxdy
W
而正则坐标的初始速度显然等于零
r ,s (0) = 0 h
如此以来，可求解初始分布载荷突然移去时，薄板在初始条件下 的响应。
5. 薄板的强迫振动
5. 薄板的强迫振动
5. 薄板的强迫振动
¥
上面两式乘以 rhWr ,s ，并在面积域积分，利用正交性条件，得到
hr ,s (0) = r ,s (0) = h
òò rhf1(x, y )Wr ,s (x, y )dxdy
W
òò rhf2 (x, y )Wr,s (x, y )dxdy
W
5. 薄板的强迫振动
2 r ,s (t ) + wr h ,s hr ,s (t ) = qr ,s (t )
W T
ksr = òò D0κT( Ws )D1κ( Wr )dxdy
W
4. 薄板主振型的正交性
T T D κ D κ d x d y = a Ka òò 0 1
W
T κ D òò 0 D1κdxdy
w2 = st
W
2 dxdy r h W òò
2 hW dxdy r òò W
= òò rh ( aW i i + a jWj )( aW i i + a jWj ) dxdy = a Ma
i =1 j =1 i =1 j =1 ¥ ¥
两边乘以 Wr ,s ，并在薄板的面积域积分
i, j òò rhWi, jWr ,s dxdy å å hi, j òò D0 ( 4Wi, j )Wr ,s dxdy + å å h
i =1 j =1 ¥ ¥ ¥ ¥
机械振动 课后习题和答案 第二章 习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-= 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
薄板的振动固有频率的求解
ua z
w x w va z y wa w (高阶小量)
(1.1)
根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为
ua 2w z 2 x x v 2w y a z 2 y y
x
(1.2)
xy
ua va 2w 2 z y x xy
4 X ( x) 4X 4 x 2 X ( x) 2 X x 2
(1.17)
(1.18)
现讨论式(1.17)中，首先要满足边界条件，设
(1.19)
根据上两式，有
4 X ( x) 2 X 4 X x 4
则 4 4 ，故有
(1.20)
固体力学作业 薄板的振动的固有频率与振型
1 、 问题
矩形薄板的参数如下
a 150mm, b 100mm, h 5mm, E 210GPa, v 0.3, 7.93 103 kg / m3
求矩形薄板在 （1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型
2 、薄板振动微分方程
(1.23)
于是变量得到了分离，要满足式(1.14)的三角函数为
sin x X ( x) cos x
类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为
(1.24)
sin y Y ( y) cos y
(1.25)
现设 x 方向板的长度为 a， y 方向板的长度为 b， 且当 x=0 和 x=a 边为简支， 则满 足此边界的条件 m / a ，故式(1.24)可写为
4 X ( x) 4X 4 x 2 X ( x) 2 X 2 x
将上两式(1.21)代入式(1.19)第一式中，可写为
2022秋新教材高中物理第二章电磁感应第五节涡流现象及其应用课件粤教版选择性必修第二册
答案：C
2．(多选)位于光滑水平面的小车上放置一螺线管，一个比螺线管长的条形磁铁沿
着螺线管的轴线水平穿过，如图所示，在此过程中
()
A．磁铁做匀速直线运动 C．小车向右做加速运动
B．磁铁做减速运动 D．小车先加速后减速
解析：磁铁水平穿过螺线管时，螺线管中将产生感应电流，由于电磁阻尼，整 个过程中，磁铁做减速运动，B正确；对于小车上的螺线管，在此过程中，螺线 管会产生感应电流，由于电磁驱动，使小车向右运动起来，在磁铁穿过螺线管 过程中，一直做加速运动，C正确。 答案：BC
较差 D．电磁炉通电线圈加变化的电流后，在锅底产生涡流，进而发热工作
解析：锅体中的涡流是由变化的磁场产生的，所加的电流是变化的电流，不是 恒定的电流，故A错误，D正确；在锅和电磁炉中间放一纸板，不会影响电磁 炉的加热作用，故B错误；金属锅自身产生无数小涡流而直接加热锅，陶瓷锅 或耐热玻璃锅属于绝缘材料，里面不会产生涡流，C错误。 答案：D
1．填一填
(1)涡流：由于电磁感应，在导体内部产生的 感应电流 ，看起来就像水中的旋涡。 (2)涡流现象：整块导体内部发生 电磁感应 而产生感应电流的现象。
(3)涡流的热效应：高频感应炉、电磁炉等。
2．判一判
(1)导体中产生了涡流，导体本身会产生热。
(√)
(2)涡流不是感应电流，而是一种有别于感应电流的特殊电流。
(3)电磁阻尼 ①定义：当导体在磁场中运动时，导体中产生的涡流使导体受到安培力，并且 安培力总是 阻碍 导体的运动的现象。 ②应用：磁电式电表指针转动时，铝框中产生的涡流，由于电磁阻尼作用，铝 框很快停止摆动。
(4)涡流的磁效应
①概念：涡流产生磁场的现象。
②应用：金属探测器。
薄板的振动
对于矩形薄板两相邻边都是自由边，例如图6.5(a)中，y＝b和x＝a两边有公 共点，它们都是自由边，就是这种情况，这时还需要附加一个角点条件。如 果这个角点(x＝a，y＝b)处没有集中质量，也没有集中动载荷作用，那么该 角点条件是
2 f ( x, y, t ) 0 xy x a , y b
( y b) ( y b)
(r a) (r a)
圆形薄板
1 f (r , , t ) 1 2 f (r , , t ) 2 f (r , , t ) 2 0 r 2 r r r 2
2 1 1 2 f (r , , t ) 1 f (r, , t ) f (r , , t ) 2 0 r r r r r
D 2 f (r , , t ) r
山东理工大学 交通与车辆工程学院 5
2009-2
1 2 f (r , , t ) 1 f (r , , t ) 1 2 f (r , , t ) Q (r , , t ) D 2 2 r r r r r 2 D 1 2 f (r , , t ) r
2 f ( x, y, t ) 2 f ( x, y, t ) Qx ( x, y, t ) D x x 2 y 2
2 f ( x, y, t ) 2 f ( x, y, t ) Qy ( x, y, t ) D y x 2 y 2
2 21 2 (ch1 cos 2 1) ( 12 2 )sh1 sin 2 0
通常对于一个指定的m值，方程有无穷多个根
mn
2009-2
m2 2 K n (m)b K n (m) 2 a
板的振动
1.薄板横向振动微分方程
2.薄板的边界条件
中面 当薄板弯曲变形时，中间弯成曲面，称为弹性曲面 板上任意一点沿x、y、z方向的位移分别用u、v、w表 示，其中w称为横向位移或挠度
克希霍夫的薄板理论有下面几个基本假设： （1）变形前与中面垂直的法线在板弯曲时仍保持为直线并 与弹性曲面垂直。这个假设称为直法线假设，它表示横向 剪切变形 xz yz 被忽略不计，虽然横向剪应力 yz 并不为零。 及 xz （2）板弯曲时板内的应力以弯曲应力 为主，而 为次要应力， 为更次要应力。 （3）板弯曲时厚度的变化略去不计。这表示 ，于 是与中面垂直的直线上各点都具有相同的横向位移w，即w 与z无关。 （4）板的挠度w比板的厚度h小得多。由这个假设认为，板 弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面，因而中面内各 点都没有平行于中面的位移。
7.2 薄板的边界条件
1.固定边 薄板在AD边上的挠度为零，绕y轴的转角为零，因此AD边的边界条件为
w x 0 0
w x
x 0
0
（7.17）
2.简支边 薄板在AD边上的挠度为零，弯矩M x 为零，由式（7.11），AD边的边界 条件为
2w 2w w x 0 0，（ 2 2 ）x 0 0 x y
v 2w y z 2 z y y y
z z x y x y xy
2w x 2 x
y
2w 2 y
x y
2w 2 xy
（7.2）
图7-3
h
2w t 2
中面取出一矩形微元ABCD，弯曲变形 后成为曲面A’B’C’D’，如右图所示， 这个弹性曲面沿x、y方向的倾角分别为
在薄板中取一截面与oxz平面平行
[薄板,研究进展,力学]浅析电磁弹性薄板振动力学研究进展
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浅析电磁弹性薄板振动力学研究进展引言电磁效应是变形场同电磁场、温度场在弹性固体内外产生相互作用的一种效应。
在线性状态的范围内，此效应无论是对电介质，还是对导电物体均具各式各样的数学模型。
最近几年，把研究此效应的新兴学科称为耦合场理论。
其中，磁弹性理论将专门研究电磁场同变形场的耦合，即研究在弹性固态物体中电磁场同变形场的相互作用。
这个理论基本是线弹性理论和在自由运动介质中线性电动力学理论的耦合。
如果所研究的弹性体位于初始强大的磁场中，机械荷载、热荷载在引起变形场的同时，将要产生电磁场。
两个场将发生相互作用和相互影响，出现耦合机制。
电磁场对变形场的作用是由运动方程中的洛仑兹力引起。
变形场会影响磁场的强度、磁弹性波和电磁波的传播速度与位相，具体表现在欧姆定律中多了电流密度增长项，而且该项取决于变形物体在磁场中的位移速度。
电磁结构的磁弹性非线性问题理论的广泛研究对于处在高温、高压和强电磁场作用下的结构元件的设计、制造及可靠性分析都具有非常重要的意义。
当电磁结构处在外加电磁场环境中时，一方面电磁结构受到电磁力作用而变形; 另一方面结构的变形又导致电磁场发生改变进而使电磁力的分布发生变化。
对于载流导电体，其电磁力为Lorentz 力; 对于可极化或可磁化的电磁介质材料，电磁力是通过电极化或磁化与外界电磁场相互作用而产生的。
这种电磁场与力学场相互耦合的一个基本特征就是非线性，即使将电磁场与力学场分别处理为线性的，经耦合后的电磁弹性力学边值方程仍呈非线性，这无疑给磁弹性理论的力学行为的定量分析带来难度，使它成为近代力学研究中的一个极富挑战性的课题。
1 薄板磁弹性振动问题的研究国内外学者对电磁弹性振动问题已经做了大量的研究，取得了很多成果。
Pan E 等研究了支持多层板的电磁弹性振动解。
C. L. Zhang 等研究了多铁叠层板壳的电磁影响。
Yang Gao 等总结了研究磁弹性板壳结构的精细理论。
A. Dorfmann 和R. W. Ogden 等学者对非线性磁弹性体的变形作了大量的研究工作，得到一些有益的结论。
第二章 薄板振动
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
m 2 w px, y, t w 2 D t D
4
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。 首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
m 2w w 0 2 D t
4
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
m2 n 2 2 D Cmn 4 t cost sin mx a sin ny b 0 a 2 b2 m wmn t wmn m m 1 n 1
w 0 sinmx a sinny b 0
m 1 n 1
Cmn
4 a b mx ny P x , y sin sin dxdy 0 0 ab a b
其中w已经满足边界条件，wmn(t)为待定函数。
D 4 2 w px, y, t w 2 m t m
将级数表达式代入方程（1）和齐次初始条件，可得
2 mn
D 4 m
m2 n2 a2 b2
2
由此可写出挠度函数的形式解
w Amn cos mn t Bmn sin mn t sin mx a sin ny b
m 1 n 1
其中待定系数由挠度函数的非齐次初始条件决定。
的初值问题，方程的解等于齐次通解加特解
wmn t Amn cos mn t Bmn sin mn t Cmn cost 2 2 m mn
由初值条件可确定通解中的两个系数，最后得
w wmn t sin mx a sin ny b
板的振动
单自由度振动的例子
薄板自由振动的一般问题：在一定的横向 荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力 的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后， 在该平衡位置附近作微幅振动。
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动 取振形函数为
k x W Y k sin a
y x
其中 Yk 是待定的 y 的函数。 W 可 以满足该两简支边的边界条件。 将其代入振形微分方程
4 W 4 W 0
2 4 2 2 2
命k及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形 的自然频率
2 2 D k n 2 2 a2 b m
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
k x n y W sin sin kn a b
而薄板的挠度为
k xn y w ( A cos t B sin t ) sin sin kn kn kn kn a b
m D
而这个代数方程的四个根是
2 2 k 2 2 a
2 2 k 2 2 a
在大多数的情况下，γ2>k2π2/a2，而上面所示的 四个根是两实两虚，取正实数
2 2 2 2 k m k 2 2 2 a D a 2 2 2 2 k m k 2 2 2 a D a
薄板的总挠度为
k x n y w ( A cos t B sin t ) sin sin kn kn kn kn a b k 1 n 1
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2 1 2 D W dxdy 2
（6）
对于圆形薄板轴对称问题，振形变形能为
d 2W 2 1 dW 2 dW d 2W U W D r dr 2 r dr 2 dr dr 2 dr
mn mn
思考题
能否将薄板受迫振动化为初值问题处理？
谢谢
第二章 薄板的振动问题
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
m 2 w px, y, t w 2 D t D
4
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。 首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
m 2w w 0 2 D t
4
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
2W 2W 2W 2 1 2 2 U W D W 21 2 2 xy dxdy 2 x y
（5）
对于具有夹支或简支边的矩形薄板，可简化为
于是得
63 a 4 4a2 1 4 2 2 b 7b a2 D m
对于正方形薄板
9.000 D a2 m
与最低固有频率的精确答案
几乎相同。
8.996 D a2 m
思考题
对于方形薄板 •是简支的基频较高 •还是夹支的基频较高
2 2 a2 D 8.996 D m a2 m
设有四边夹支的矩形薄板如图所示。试用 瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。
O
C
a b
x
A
y
B
解
取振形函数为W x -a2 Nhomakorabea
2 2
y
2
-b
2 2
可以满足位移边界条件（无内力边界条件） 。代入瑞次 方程，得
1 U W 2 m W 2 dxdy 2 214 D 4 4a2b 2 5 5 215 2 m 9 9 4 a b 2 2 a b 34 5 2 7 2 a b 0 3 5 7 7
（7）
对于夹支圆形薄板，可简化为
d 2W 2 1 dW 2 U W D r dr 2 r dr dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2
m W 0 D
1 U W m W 2 dxdy 2
m2 n 2 2 D Cmn 4 t cost sin mx a sin ny b 0 a 2 b2 m wmn t wmn m m 1 n 1
w 0 sin mx a sin ny b 0
§2-2 四边简支矩形薄板的自由振 动
设有四边简支的矩形薄板如图所示。 取振形函数形式为
W sinmx asinny b
O a b
C
x
代入振形方程（4）得
2
D m
4
m n a2 b2
2 2
2
A
y
B
给定一组m,n的值，就可得到一个相应的固有频率，不妨用 两个下标来表示某个固有频率，上式可写成
最低固有频率的近似计算
若基函数只取一项W1，瑞次方程可简写成
1 2 U W dxdy m W dxdy 0 2
2
• 若基函数W1为最低固有函数，则可以得到精确的最低固 有频率； • 若基函数W1的振形非常接近最低固有函数，，则可以得 到近似的最低固有频率。
例 2 四边夹支矩形板
2 2 2 mn
2
于是由瑞次方程，得
abD
4
8
m n 2 m ab 2Cmn a2 b2 8 2Cmn 0
2 2
2
由系数Cmn的非零解条件，得固有频率表达式
D m
2 4
m n a2 b2
2 2
2
与上一节中的精确答案相同。
的初值问题，方程的解等于齐次通解加特解
wmn t Amn cos mn t Bmn sin mn t Cmn cost 2 2 m mn
由初值条件可确定通解中的两个系数，最后得
w wmn t sin mx a sin ny b
Cmn cost - cosmn t sinmx a sinny b 2 2 m1 n 1 m mn
2 mn
D 4 m
m2 n2 a2 b2
2
由此可写出挠度函数的形式解
w Amn cos mn t Bmn sin mn t sin mx a sin ny b
m 1 n 1
其中待定系数由挠度函数的非齐次初始条件决定。
i 1 m
将此式代入泛函的变分方程，得
1 2 2 U W m W dxdy 0 Ci 2
瑞次方程。瑞次方程是 m 个齐次 线性方程，由 m个系数Ci 的非零解条件，从而得出m个固有值的表达式。
例 1 四边简支矩形板固有频率
取振形函数为
W Cmn sin mx a sin ny b
4W m T 0 W D T
分离变量得常微分方程
T 2T 0
其的通解为
（3）
T Acos t Bsin t
和微分方程固有值问题
4W 2 m W 0 D
（4）
4W 2
m W 0 D
因此薄板的自由振动问题可化为微分方程的固有值问题，即 求振形函数在齐次边界条件下的非零解。使自由振动问题有 非零解的频率ω称为固有频率，相应非零解W称为固有函数。 振形微分方程（4）以及齐次边界条件完全确定固有频率的 数值，而与动载荷无关。
m 1 n 1 mn
w 0 sin mx a sin ny b 0
m 1 n 1 mn
由此可知 wmn 必满足二阶线性常微分方程
C 2 t mn cost 0 mn wmn t wmn m 0 0 wmn 0 wmn
m 1 n 1
共振现象
在挠度 w(x,y,t) 表达式中存在共振发散项
1 cost - cos mnt 2 2 mn 1 2 2 cost - cos mnt , mn t sin mnt , 2 mn
2
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。 为了求固有频率或固有函数的近似解，设
W CiWi
i 1
m
其中Wi为满足齐次位移边界条件且线性互不相关的基函数， Ci为待定系数。振形的变分是由系数变分实现的，基函数在 变分中保持不变
瑞次方程
W WiCi
将挠度的初始条件展成固有函数的级数
wt 0 Cmn sin mx a sin ny b
m 1 n 1 w Dmn sin mx a sin ny b t t 0 m1 n1
解得
Amn Cmn Bmn
m 1 n 1
Cmn
4 a b mx ny P x , y sin sin dxdy 0 0 ab a b
其中w已经满足边界条件，wmn(t)为待定函数。
D 4 2 w px, y, t w 2 m t m
将级数表达式代入方程（1）和齐次初始条件，可得
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题： •分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在； •方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
§2-3 瑞次法及其应用
设薄板振形变形能为
p Px, y cost
的作用，试求解挠度的级数解，并讨论共振问题。
简支矩形薄板的固有函数为
sinmx a sinny b
采用固有函数展开法，可得：
固有函数展开
w wmn t sin mx a sin ny b
m 1 n 1
p Cmn sin mx a sin ny b cost
mn
Dmn
其中
4 a b mx ny wt 0 sin Cmn sin dxdy 0 0 ab a b 4 a b w mx ny Dmn sin sin dxdy 0 0 ab a b t t 0
挠度表达式
4 a b mx ny wt 0 sin sin dxdy cosmn t 0 0 ab a b w sin mx a sin ny b a b w mx ny m 1 n 1 4 sin sin d x d y sinmn t ab 0 0 t a b t 0 mn
m 1 n 1
可以满足齐次位移边界条件。代入泛函表达式，得
1 U W 2 m W 2 dxdy 2
abD
4
8
m n 2 m ab 2 C a2 b2 8 Cmn m 1 n 1 m 1 n 1
a 0
32D 2 m 2 a 0 2 3a 10
于是得
8 15 D 10.33 D 2 2 3a m a m