第二章 薄板振动

m 1 n 1 mn


w 0 sin mx a sin ny b 0
m 1 n 1 mn
由此可知 wmn 必满足二阶线性常微分方程
C 2 t mn cost 0 mn wmn t wmn m 0 0 wmn 0 wmn
设有四边夹支的矩形薄板如图所示。试用 瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。
O
C
a b
x
A
y
B
解
取振形函数为
W x -a
2

2 2
y
2
-b
2 2

可以满足位移边界条件（无内力边界条件） 。代入瑞次 方程，得
1 U W 2 m W 2 dxdy 2 214 D 4 4a2b 2 5 5 215 2 m 9 9 4 a b 2 2 a b 34 5 2 7 2 a b 0 3 5 7 7
mn mn
思考题
能否将薄板受迫振动化为初值问题处理？
谢谢
p Px, y cost
的作用，试求解挠度的级数解，并讨论共振问题。
简支矩形薄板的固有函数为
sinmx a sinny b
采用固有函数展开法，可得：
固有函数展开
w wmn t sin mx a sin ny b
m 1 n 1
p Cmn sin mx a sin ny b cost
于是得
63 a 4 4a2 1 4 2 2 b 7b a2 D m

对于正方形薄板

9.000 D a2 m
与最低固有频率的精确答案

几乎相同。
8.996 D a2 m
Байду номын сангаас 思考题
对于方形薄板 •是简支的基频较高 •还是夹支的基频较高
2 2 a2 D 8.996 D m a2 m
m 1 n 1


共振现象
在挠度 w(x,y,t) 表达式中存在共振发散项
1 cost - cos mnt 2 2 mn 1 2 2 cost - cos mnt , mn t sin mnt , 2 mn
m2 n 2 2 D Cmn 4 t cost sin mx a sin ny b 0 a 2 b2 m wmn t wmn m m 1 n 1

w 0 sin mx a sin ny b 0
将挠度的初始条件展成固有函数的级数
wt 0 Cmn sin mx a sin ny b
m 1 n 1 w Dmn sin mx a sin ny b t t 0 m1 n1


解得
Amn Cmn Bmn
最低固有频率的近似计算
若基函数只取一项W1，瑞次方程可简写成
1 2 U W dxdy m W dxdy 0 2
2
• 若基函数W1为最低固有函数，则可以得到精确的最低固 有频率； • 若基函数W1的振形非常接近最低固有函数，，则可以得 到近似的最低固有频率。
例 2 四边夹支矩形板
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题： •分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在； •方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
§2-3 瑞次法及其应用
设薄板振形变形能为
例 3 夹支圆形板
设有边界夹支的圆形薄板 如图所示。试用瑞次法计 算薄板最低固有频率的近 似值。
a
圆形薄板 夹支 边界条件
解
取振形函数为
r W 1 - a2
2 2
可以满足位移边界条件（无内力边界条件） 。代入瑞次 方程，得
1 U W 2 m W 2 dxdy 2 U W 2 m W 2 rdr
2W 2W 2W 2 1 2 2 U W D W 21 2 2 xy dxdy 2 x y


（5）
对于具有夹支或简支边的矩形薄板，可简化为
m 1 n 1

Cmn
4 a b mx ny P x , y sin sin dxdy 0 0 ab a b
其中w已经满足边界条件，wmn(t)为待定函数。
D 4 2 w px, y, t w 2 m t m
将级数表达式代入方程（1）和齐次初始条件，可得
U W
2 1 2 D W dxdy 2


（6）
对于圆形薄板轴对称问题，振形变形能为
d 2W 2 1 dW 2 dW d 2W U W D r dr 2 r dr 2 dr dr 2 dr
mn
Dmn
其中
4 a b mx ny wt 0 sin Cmn sin dxdy 0 0 ab a b 4 a b w mx ny Dmn sin sin dxdy 0 0 ab a b t t 0
挠度表达式
4 a b mx ny wt 0 sin sin dxdy cosmn t 0 0 ab a b w sin mx a sin ny b a b w mx ny m 1 n 1 4 sin sin d x d y sinmn t ab 0 0 t a b t 0 mn
的初值问题，方程的解等于齐次通解加特解
wmn t Amn cos mn t Bmn sin mn t Cmn cost 2 2 m mn


由初值条件可确定通解中的两个系数，最后得
w wmn t sin mx a sin ny b
Cmn cost - cosmn t sinmx a sinny b 2 2 m1 n 1 m mn
i 1 m
将此式代入泛函的变分方程，得
1 2 2 U W m W dxdy 0 Ci 2
瑞次方程。瑞次方程是 m 个齐次 线性方程，由 m个系数Ci 的非零解条件，从而得出m个固有值的表达式。
例 1 四边简支矩形板固有频率
取振形函数为
W Cmn sin mx a sin ny b
m 1 n 1
可以满足齐次位移边界条件。代入泛函表达式，得
1 U W 2 m W 2 dxdy 2
abD
4
8
m n 2 m ab 2 C a2 b2 8 Cmn m 1 n 1 m 1 n 1
（7）
对于夹支圆形薄板，可简化为
d 2W 2 1 dW 2 U W D r dr 2 r dr dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2
m W 0 D
1 U W m W 2 dxdy 2
§2-2 四边简支矩形薄板的自由振 动
设有四边简支的矩形薄板如图所示。 取振形函数形式为
W sinmx asinny b
O a b
C
x
代入振形方程（4）得
2
D m
4
m n a2 b2
2 2
2
A
y
B
给定一组m,n的值，就可得到一个相应的固有频率，不妨用 两个下标来表示某个固有频率，上式可写成
2 mn
D 4 m
m2 n2 a2 b2
2
由此可写出挠度函数的形式解
w Amn cos mn t Bmn sin mn t sin mx a sin ny b
m 1 n 1
其中待定系数由挠度函数的非齐次初始条件决定。
4W m T 0 W D T
分离变量得常微分方程
T 2T 0
其的通解为
（3）
T Acos t Bsin t
和微分方程固有值问题
4W 2 m W 0 D
（4）
4W 2
m W 0 D
因此薄板的自由振动问题可化为微分方程的固有值问题，即 求振形函数在齐次边界条件下的非零解。使自由振动问题有 非零解的频率ω称为固有频率，相应非零解W称为固有函数。 振形微分方程（4）以及齐次边界条件完全确定固有频率的 数值，而与动载荷无关。
a 0
32D 2 m 2 a 0 2 3a 10
于是得
8 15 D 10.33 D 2 2 3a m a m
比最低固有频率的精确答案
10.22 D 2 a m
仅大出1%。
§2-4 四边简支薄板的受迫振动
采用固有函数展开法求解薄板非齐次运动方程。 举例，设四边简支矩形薄板受到动载荷
2
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。 为了求固有频率或固有函数的近似解，设
W CiWi
i 1
m
其中Wi为满足齐次位移边界条件且线性互不相关的基函数， Ci为待定系数。振形的变分是由系数变分实现的，基函数在 变分中保持不变
瑞次方程
W WiCi
2 2 2 mn
2
于是由瑞次方程，得
abD
4
8
m n 2 m ab 2Cmn a2 b2 8 2Cmn 0
2 2
2
由系数Cmn的非零解条件，得固有频率表达式
D m
2 4
m n a2 b2
2 2
2
与上一节中的精确答案相同。
第二章 薄板的振动问题
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
m 2 w px, y, t w 2 D t D
4
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。 首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
m 2w w 0 2 D t
4
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得