同济大学弹性力学全解共26页文档
弹性力学总结与复习全ppt课件
的选取：
直角坐标下
y 0
O
b
xl
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y 习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
寒 假 来 临 ， 不少的 高中毕 业生和 大学在 校生都 选择去 打工。 准备过 一个充 实而有 意义的 寒假。 但是， 目前社 会上寒 假招工 的陷阱 很多
结构特点
（1）一般多连体
1(z)
1 8
m
(Xk
k 1
iYk ) ln(
z
zk ) 1 (z)
1(z)
3 8
m
(Xk
k 1
iYk ) ln(
z
zk ) 1*(z)
其中： 1(z),1(z) 为该多连体中单值解析函数。
(2-26)
（3） 再让 x , y , xy 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
（2-18）
us u （2-17） vs v
寒 假 来 临 ， 不少的 高中毕 业生和 大学在 校生都 选择去 打工。 准备过 一个充 实而有 意义的 寒假。 但是， 目前社 会上寒 假招工 的陷阱 很多
（4－11）
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r 2 ln
) r)
2C 2C
r r 0
（4－12）
ur
1 E
(1
同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义塑性(3)R1
x yx zx m 0 0
xy y zy 0 m 0
xz
yz
z
0
0 m
x m
xy
xz
yx y m
yz
zx
zy
z
m
记
2
m 0 0 0 m 0 m ij 0 0 m
可得：
ij mij sij
sx yx zx
s1s2s3
5
4.8 八面体应力、应力强度（第三章的补充）
lmn 1 3
fvx xl yxm zxn 1l fvy xyl ym zyn 2m fvz xzl yzm zn 3n
fv
f2 vx
f
2 vy
f2 vz
l2 2
1
2 2
m2
32n2
1 3
)
3
I3(sij) det(sij)
因为 (sx sy sz )2 0
s2x
s
2 y
s2z
-2(sxsy
sysz
szsx )
所以
(sxsy sysz szsx )
2 3
(s x s y
sysz
szsx
)
1 3
(s
xs
y
sysz
szsx
)
13[s2x
s
2 y
s
2 z
-
(s x s y
① E ；
② 变形可恢复，但不成线性比例关系； ③ 屈服； ④ 强化；软化；
⑤
卸载，再加载，后继屈服，
s
s
1
初始屈服条件 s；
后继屈服条件
s
。
s
与塑性变形的历史有关，
同济大学弹塑性力学Ch5Constitutive
E = E = E = Eklij ijkl jikl ijlk
How comes the number of
parameters are reduced from 81 to 36 then to 21?
2012/11/6
X. Zhuang
17
General Hooke’s law 广义虎克定律
∂W σ ij = ∂ε ij
If we can work out W ( ε ) , then we can find the relation between σ ij and ij .
Green function 格林公式
ε
2012/11/6
X.Zhuang
9
Strain energy 应变能
= σ= σz, σ x′ σ= x , σ y′ y , σ z′ τ xy , τ y′z′ = −τ yz , τ z′x′ = −τ zx τ x′y′ =
For example if such plane is x-y plane then we will get the mapping between stresses and strains as
General Hooke’s law 广义虎克定律
In the initial state, we assume the absence of strain(初始状态无应变), it requires bij = 0 and c = 0
σ ij = bij + Eijklε kl = Eijklε kl
A large variety of constitutive equations for different materials Materials are too COMPLICATED… Here we only look at LINEAR ELASTIC MATERIAL （我们只关注线弹性材料）
弹性力学 同济大学共32页
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
谢谢！Biblioteka 13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
同济大学弹性力学第二章-修改20140226
2.1 体力和面力 2.2 应力和一点的应力状态 2.3 与坐标倾斜的微分面上的应力 2.4 平衡微分方程 应力边界条件 2.5 转轴时应力分量的变换 2.6 主应力 应力张量不变量 2.7 最大切应力
第二章 应力状态理论
弹性力学研究的都是超静定问题，故而必 须从静力学、几何学和物理学三个方面一起考 虑。
2.4 平衡微分方程 应力边界条件
B
B A
A
物体受外力作用处于平衡状态也保证了单元体的平衡 分别在物体内取任意一个平行六面体和四面体分析其平衡
z
考虑 Fx 0 ，有
z z dz
z zy zy dz
z
(x x dx)dydz xdydz (yx yx dy)dxdz
x
y
yx
y
zx zx dz
fz xzl yzm zn
2.5 转轴时应力分量的变换
z
c
f xz
x’
M
f xy
O
f xx
b
y’ a
z’
x
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
y
？
x xy xz
ij yx
y
yz
zx zy z
x
xl12
ym12
zn12
2
yzm1n1
Fz 0
Mx 0
My 0
Mz 0
z
z z dz z
zy zy dz z
yx
zx zx dz z
xy
x yz yz dy
y
xz xz dx
y
x xz
xy xy dx x
y y dy
同济大学硕士弹性力学第1讲_绪论、张量简介
硕士研究生课程弹塑性力学II(C)第一讲绪论、张量分析简介同济大学地下建筑与工程系《弹性力学》，徐芝伦，高等教育出版社，2006v4《弹性力学》，杨桂通，高等教育出版社，1998《弹塑性力学引论》，杨桂通，清华大学出版社2004《塑性力学》，夏志皋，同济大学出版社，1991《塑性力学基础》，王仁等，科学出版社，1982《塑性力学基础》，北川浩，高等教育出版社，1982《岩土塑性力学原理》，郑颖人等，建筑工业出版社，2002相关书籍Timoshenko S.P, Goodier J N. Theory of elasticity. 3rd ed. New York: McGraw-Hill Book Co, 1970 (徐芝伦译)Chen W.F. Limit analysis and soil plasticity. 1975, New York: Elsevier Scientific Publishing Company;J. C. Simo, T. J. Hughes. Computational Inelasticity.1998,Springer.弹性力学部分目录§1.1弹性力学的任务、内容和方法§1.2弹性力学的基本假设§1.3弹性力学的发展简史§1.1弹性力学的任务、内容和方法•弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支基本任务：解决构件的强度、刚度和稳定问题。
最大限度解决并统一经济与安全的矛盾。
研究对象：完全弹性体（包括构件、实体）。
主要研究内容：在外界因素（载荷或温度变化）作用下，弹性体的应力和变形问题。
•弹性是变形固体的基本属性。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
•“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
弹性力学基础(程尧舜_同济大学出版社)课后习题解答(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】习题解答第二章2.1计算：(1)piiqqjjkδδδδ，(2)pqi ijkjke e A ，(3)ijp klpkilje e B B 。
解：(1)piiqqjjkpqqjjkpjjkpkδδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qpe e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ije e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jke a =。
证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jki e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c证：()()ij ijkk l m lmn n i j l m ijk lmk a b ec d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e【最新整理，下载后即可编辑】图2.4)(jmim jl δδ-=()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。
数学弹性力学PPT课件
第48页/共210页
说明
物理方程的两种形式：
ε f─(应σ)变用应力表示，用于
按应力求解；
(2 4) n l 21 m2 2
l 2 m2 1 n l 21 (1 l 2 ) 2 n l 2 (1 2 ) 2
0l
1 max
min
1 2
第31页/共210页
xy 0, x 1, y 2
(2 5) n lm( 2 1)
l 2 m2 1 n l 1 l 2 ( 2 1) l 2 l 4 (1 2 )
形变与位移的关系
形变确定，位移不完全确定 ：
从物理概念看， 、 确 定，物体还可
作刚体位移。
从数学推导看， 、 确定，求位移是
积分运算，出现待定函数。
第40页/共210页
形变与位移的关系
例：若 x y ,x求y 位0移：
由
u x
x两边0 对x积分，
u(x,y)0 f1( y).
由
v y
y两 边0 对y积分，
第22页/共210页
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲
必然相同（可用来检验方程的正确性）。
2.将条件 M,c改0为对某一角点的
，
将得出M什0么结果？
3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，
将得出什么结果？
第23页/共210页
问题
§2－3 平面问题中一点的 应力状态
问题的提出：
已知坐标面上应力 σx , σ y，, xy
只有 εx , εy，, γxy
且为 f x, y
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平面应变
ox z
y
定义
§2－2 平衡微分方程 平衡微分方程 ─表示物体内任一点的微分体的
弹性力学
弹性力学网络课程第一章绪论内容介绍知识点弹性力学的特点弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务弹性力学的研究方法内容介绍：一. 内容介绍本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。
偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
本章介绍弹性力学分析的基本假设。
弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。
课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。
目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。
如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。
二. 重点1.课程的研究对象；2.基本分析方法和特点；3.弹性力学的基本假设；4.课程的学习意义；5.弹性力学的发展。
特点：弹性力学，又称弹性理论。
作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。
弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
弹性力学讲课文档
因此，即应力与应变关系可用胡克定律表示 （物理线性）。
31
第三十一页，共39页。
（3）均匀性--假定物体由同种材料组成。
因此， E、μ等与位置 无关。 （4）各向同性--假定物体各向同性。
因此， E、μ等与方向无关。
由（3）,（4）知E、μ等为常数 符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。
21
第二十一页，共39页。
z
oy x
yz
σy
yx
图1-6
（2）符号规定：
图示单元体面的法线为y,称为y
面，应力分量垂直于单元体面的应 力称为正应力。
正应力记为σy,沿y轴的正向 为正,其下标表示所沿坐标轴的方向
。
平行于单元体面的应力称为切
应下力标，y表用示所在、yx的平面表yz，示第，二其下第标一x
、z分别表示沿坐标轴的方向。如
图1－6所示的 、 yx。 yz
22
第二十二页，共39页。
其它x、z正面上的应力
分量的表示如图1－7所示。
凡正面上的应力沿坐
标正向为正，逆坐标正向
z
为负。
图1-7
oy
x
23
第二十三页，共39页。
z
oy x
图1-8
图1－8所示单元体
面的法线为y的负向，正
应力记为
,沿y轴负向
37
第三十七页，共39页。
《绪论》习题课
[练习2]弹性力学中基本假设是什么？
答：为了简化计算，弹性力学中采用如下基本假设： （1）连续性假设，（2）完全弹性假设，（3）均匀性假 设，（4）各向同性假设，（5）小变形假设。
38
第三十八页，共39页。
弹性力学讲义
弹性力学01绪论1.1弹性力学的内容1.2弹性力学的几个基本概念 1.3弹性力学中的基本假定。
1.1、弹性力学的内容弹性力学：研究弹性体由于受外力、边界约束或温度等原因而发生的应力、变形和位移。
研究弹性体的力学：有材料力学、结构力学、弹性力学。
它们的研究对象分别如下： ①材料力学：研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。
②结构力学：在材料力学基础上研究杆系结构（如桁架、钢架等）③弹性力学：研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。
在研究方法上，弹性力学和材料力学也有区别：弹力研究方法：在区域V 内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程；在边界s 上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。
材力也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设(如平面截面假设)来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。
因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。
从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件。
例如：材料力学：研究直梁在横向载荷作用下的平面弯曲，引用了平面假设，结果：横截面上的正应力按直线分布。
()zM x yI σ⋅=弹性力学：梁的深度并不远小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，横截面的正应力并不按直线分布，而是按曲线变化的。
22()345z M x y y y q I h h σ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭这时，材料力学中给出的最大正应力将具有很大的误差。
弹性力学在力学学科和工程学科中，具有重要的地位：弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。
尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。
工科学生学习弹力的目的：1）理解和掌握弹力的基本理论； 2）能阅读和应用弹力文献；3）能用弹力近似解法(变分法、差分法和有限单元法)解决工程实际问题： 4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。
弹塑性力学第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
指标符号表示
衣凹啦修仪让洛莉攘擞沥庶利礼通谊耸跑观值帧淡敞商蹲注献蔑摔铀嘻针《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
b. 变形协调方程
指标符号表示
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
*
*
§5-2 位移法
上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程
在V上
或
在V上
（拉米－纳维叶方程）
及芽孰松茄桔甭稿窒刮录羌格累态赡傀眉守恐苟究屏巩掠冗课阿朴错卡吞《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
1.3 本构（物理）方程（六个）
指标符号表示
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。
必局洲斟死法广呆坞渤扣图审漓逆乓湾浩嗣废桥调擒卢贸违晶那舀乍汞跟《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。
撩末辰问苯接恒辙肾顿陶说马证以毕石钢编岗宿捷丹腮敖笆崖蒸司群戒俏《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
位移法求解思想：
2024年度-弹性力学讲课文档
弹性力学讲课文档contents •弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法•一维问题求解方法与应用•二维问题求解方法与应用•三维问题求解方法与应用•弹性力学在工程中应用案例目录01弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内部应力分布规律的科学。
研究对象主要研究弹性体（如金属、岩石、橡胶等）在小变形条件下的力学行为。
弹性体基本假设与约束条件基本假设连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。
约束条件弹性体在变形过程中，必须满足几何约束（如位移连续、无重叠等）和物理约束（如应力平衡、应变协调等）。
应力单位面积上的内力，表示物体内部各部分之间的相互挤压或拉伸作用。
应变物体在外力作用下产生的形状和尺寸的变化，反映物体变形的程度。
位移物体上某一点在变形前后位置的变化，描述物体的整体移动。
关系应力与应变之间存在线性关系（胡克定律），位移是应变的积分结果。
应力、应变及位移关系弹性力学中能量原理能量守恒原理弹性体在变形过程中，外力所做的功等于弹性体内部应变能的增加。
最小势能原理在所有可能的位移场中，真实位移场使系统总势能取最小值。
虚功原理外力在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚应变上所做的虚功。
02弹性力学分析方法解析法分离变量法通过分离偏微分方程的变量，将其转化为常微分方程进行求解。
积分变换法利用积分变换（如傅里叶变换、拉普拉斯变换等）将偏微分方程转化为常微分方程或代数方程进行求解。
复变函数法引入复变函数，将弹性力学问题转化为复平面上的问题，利用复变函数的性质进行求解。
将连续问题离散化，用差分方程近似代替微分方程进行求解。
有限差分法有限元法边界元法将连续体划分为有限个单元，对每个单元进行分析并建立单元刚度矩阵，然后组装成整体刚度矩阵进行求解。
将边界划分为有限个单元，利用边界积分方程进行求解，适用于处理无限域和复杂边界问题。
半解析法有限体积法将计算区域划分为一系列控制体积，将待解的微分方程对每一个控制体积积分得出离散方程进行求解。
(同济大学)结构动力学教程 第五章 连续弹性构件的振动
x) sin( mπ 2l
x)dx
=
l
0 /2
m≠n m=n
∫ 求得：
A'n
=
2 l
ε
l o
x sin( mπ x)dx = 2 ε ⋅ 4l 2 sin( nπ ) =
8l
n−1
ε (−1) 2
2l
l n2π 2
2 n2π 2
∑ u( x, t )
=
8l n2π 2
ε
∞
(−1)
n−1 2
sin(
=
G ρ
∂ 2θ ∂x 2
⇒a=
G ρ
⇒
∂ 2θ ∂t 2
= a2
∂ 2θ ∂x 2
→a 为剪切波传播速度。
波动方程 ∂2u = a2 ∂2u 与直杆纵向振动相同
通解： ∂t 2
∂x 2
θ
(
x,
t
)
=
ω A'sin(
x)
+
B'
ω cos(
x)
sin(ωt
+
ϕபைடு நூலகம்
)
a
a
4 个常数 A', B',ω,ϕ 由边界条件及初始条件确定
∂x 2
T (t) + ω 2T (t) = 0
U (x)T (t) = a2T (t)U ''(x) ⇒ T (t) = a2 U ''(x) = −ω 2 T (t) U (x)
U ''(x) + ω 2 U (x) = 0 a2
T (t) + ω 2T (t) = 0 解：T ω 为振动固有频率、ϕ
弹性力学复习资料全同济大学
弹性力学第三章应变分析1、点的运动：i i u =u e ；2、★Cauchy 应变张量ε：描述微线段的相对伸长的夹角变化，刻画任一点处的变形状态。
几何方程：1()2=∇+∇εu u ，即(),,12ij i j j i u u ε=+用n ε表示n 方向的无穷段线段的相对伸长：n ij i jn n εε=⋅⋅=n εn 某点处任意两条微线段之间的夹角变化量：12sin ()cos 22ij i j n m ϕϕεεϕε∆++=⋅⋅=n εm 应变张量ε二阶对称张量，只有六个独立的分量。
有时把112233,,εεε写成,,x y z εεε，称为正应变分量；把122331,,εεε写成,,xy yz zx εεε，成为剪应力分量。
几何方程的分量形式：1, 21, 21, 2x xy y yz z zx u u v x y x v v w y z y w w u z x z εεεεεε⎧⎛⎫∂∂∂==+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎛⎫∂∂∂⎪==+⎨ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂∂⎛⎫⎪==+ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎩应变分量的几何意义：11x εε=表示x 方向的正应变，12xy εε=表示角度变化的一半。
3、主应变：若某方向的微线段变形后方向不变，则该方向称为应变主方向，主方向的正应变称为主应变。
ε⋅=εn n ，应变主方向n 就是应变张量ε的主方向，主应变ε就是应变张量的特征值。
应变张量的特征方程：321230J J J εεε-+-=三个不变量：()11232122331312312det ii ii jj ij ij J J J θεεεεεεεεεεεεεεεεε===++⎧⎪⎪=-=++⎨⎪==⎪⎩ε，体积应变就是第一不变量。
4、★应变协调方程：∇⨯⨯∇=ε0注：i i x ∂∇=∂e ，旋度,curl i j j j i ijk k iu u e x∂=∇⨯=⨯=∂u u e e e 指标形式：,0ij kl ikp jlq e e ε=第四章应力分析1、外力：体力和面力。