习题课-5

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X 0 .5 0 .1 n 用正态逼近 P {0.4 X 0.6} P 1 1 4n 4 X 0.5 ( 0 .2 n ) ( 0 .2 n ) P 0 .2 n 1 4n 2 ( 0.2 n ) 1 0.9 . ( 0.2 n ) 0.95,
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（6）伯努利定理
n 设n A 是 次独立重复试验中事
件 A 发生的次数.p 是事件A 在每次试验中发生的概 率，则对于任意正数 0 ，有 nA lim P p 1 n n 或 nA lim P p 0. n n
1 0.9929 0.0071.
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[例题 5—4] 某计算机系统有 120 个终端，每个 终端有 5%是在使用，若各个终端使用与否是相互 独立的，试求 10 个或更多个终端在使用的概率.
[题解 5—4] 设X 表示在某时间同时使用的终端 数，则 X 服从参数为 n 120 , p 0.05 的二项分 布. E ( X ) 6, D( X ) 5.7 .
P X 4 0.9375 .
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（4） 依概率收敛 设Y1 , Y2 , , Yn ,是一个随机变量
序列，a 是一个常数.若对于任意正数 ，有
n
lim P Yn a 1 ，则称序列Y1 , Y2 , , Yn ,依
P a . 概率收敛于.记为Yn
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2、中心极限定理
（1）独立同分布的中心极限定理： 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n ,相互独立， 服从同一分 布，且具有数学期望和方差
E ( X k ) , D( X k ) 2 0( k 1,2,) ，
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则随机变量
n 1 X k E 1 X k k k Yn n D X k k 1 x 的分布函数Fn ( x ) 对于任意 满足
2 0.98124 1 0.96.
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三、习题解答
习题 5-1 据以往经验， 某种电器元件的寿命服从均 值为 100 小时的指数分布， 现随机地取 16 只， 设它 们的寿命是相互独立的.求这 16 只元件的寿命的总 和大于 1920 小时的概率.
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解：设 16 只元件寿命分别为Vk , k 1,2,16 ， 记V Vk ，由指数分布的数字特征
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[例题 5—2] 设电站供电网有 10000 盏电灯，夜 晚每一盏灯开等的概率都是 0.7，而假定开、关 时间彼此都是独立的，用切比雪夫不等式估计夜 晚同时开着灯数在 6800 与 7200 之间的概率.
[题解 5—2] 令X 表示在夜晚同时开着灯的数目， 它 服 从 的 n 10000 , p 0.7 二 项 分 布 ， 故
1 1 验， p ，设X 表示良种数，则 X ~ B(6000 , ) . 6 6
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由中心极限定理
1 X 6000 6 0.01 6000 1 X P 0.01 P 1 5 6000 6 6000 1 5 6 6 6 6 ( 2.078 ) ( 2.078 ) 2( 2.078 ) 1
即 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率为 0.2119.
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习题 5-4 设各零件的重量都是随机变量， 它们相互 独立且服从相同的分布， 其数学期望为 0.5kg， 均方 差为 0.1kg ,问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的 概率是多少？
n
1 X k n k
n
n
n t2 X k n x 1 2 k 1 lim Fn ( x ) lim P x e dt . 2 n n n
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（2） 李雅谱诺夫定理： 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n , 相互独立，它们具有数学期望和方差：
正面出现的次数 ，x i ~ ( 0 1) 分布，E ( x i ) 0.5 ，
x1 x2 xn n 因铜币是均匀的， 而 表示 次试验中 n 1 出现的概率， E ( X ) 0.5, D( X ) . 4n
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由切比雪夫不等式
P{0.4 X 0.6} P{ X 0.5 0.1} D( X ) 1 1 1 0.9 2 0.01 4n 0.1 1 1000 0.1, 取n 250 . 故 0.04 n 4
0.2 n 1.645 ，n 67.65 ，取 n 68 .
两种结果比较，按切比雪夫不等式估计多做 182 次试 验.
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1 [例题 5—6] 现有一大批种子，其中良种占 ，今 6
在其中任选 6000 粒，试问在这些种子中，良种所
1 占比例与 之差小于 1%的概率是多少？ 6
[题解 5—6] 任选 6000 粒可看作 6000 重伯努利试
布，则对于任意x ，恒有
n np lim P x n np (1 p )
t2 2

x
1 e 2
dt .
n 即二项分布当 充分大时，近似正态分布.
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二、例题分析
[例题 5—1] 已知随机变量X 的概率分布为
X P
1 0.2
2 0.3
k 1 16
E (Vk ) 100 , D(Vk ) 2 10000 .
由独立同分布的中心极限定理
Z
1Vk 1600 k
16
V 1600 2 400 16
近似服从标准正态分布 N (0,1) ，
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则
V 1600 1920 1600 P V 1920 P 400 400 V 1600 1 P 0.8 1 (0.8) 0.2119 . 400
第五章
一、内容提要
习题课
二、例题分析
三、习题解答内容提要
1、大数定律
（1）柯西--施瓦茨不等式 设 则
E ( X 2 ) , E (Y 2 ) ， [ E ( XY )]2 E ( X 2 ) E (Y 2 ) .
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（2）契比雪夫（Chebyshev ）不等式 设随机变量X 具有数学期望 E ( X ) ，方差 D( X ) 2 ，则对于任意正数 0 ，不等式
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Z n 近似服从 N (0,1) ，故 P (U 300 ) 1 P (U 300 ) U 250 300 250 1 P( ) 50 25 / 3 50 25 / 3 1 P ( Z n 2.2449 ) 1 ( 2.45 )
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由中心极限定理，
x 6 10 6 P ( x 10 ) 1 P ( x 10 ) 1 P ( ) 5 .7 5 .7
1 (1.675 ) 0.047 .
即有 10 个以上在使用的概率为0.047 .
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[例题 5—5] 用切比雪夫不等式确定，当之一均 匀铜币时，需投多少次，才能保证使的正面出现 的概率在 0.4 与 0.6 之间的概率不少于 90%？并 用正态逼近计算同一问题. n x i [题解 5—5] 设需要投掷 次， i 表示掷第 次时
P (U 300 ) .
[题解 5—3] 因为U i ~ U ( 0,10 ) ，
10 102 25 5, D(U i ) 所以 E (U i ) . 2 12 3 这里 n 50较大，可以应用中心极限定理将U 标准 U 50 5 化， Z n . 50 25 / 3
E( X k ) k ,
n k 1
2 D( X k ) k 0, ( k 1,2,) ,
2 2 记 Bn k .若存在正数 ，使得当n 时，
1 B
2 k 1 n
EX k k
n
2
0 ,
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则随机变量
n n n 1 X k E 1 X k X k k k k 1 k k 1 Zn Bn n D X k k 1 x 的分布函数Fn ( x ) 对于任意 ，满足 n
2 P X 2 成立.这一不等式称为契比雪夫 Chebyshev ） （ 不等式.
X （3）说明 契比雪夫不等式给出了在随机变量 的
分布未知的情况下事件| X | 的概率的一种估 计方法.分别取 3 ,4 得到 P X 3 0.8889 ，
（5）契比雪夫（Chebyshev ）定理
设随机变量
X 1 , X 2 , , X n ,相互独立， 且具有相同的数学期望
2 和方差： E ( X k ) , D( X k ) , ( k 1,2,) ，则
1 n 序列Yn X X k 依概率收敛于 . n k 1
n n t2 X k k x 1 2 k 1 k 1 lim Fn ( x ) lim P x e dt . 2 n n Bn
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（3）德莫佛—拉普拉斯定理：设随机变量
n ( n 1,2,) 服从参数为n, p(0 p 1) 的二项分
3 0.5
试利用切比雪夫不等式估计事件
{ X E ( X ) 1.5}的概率.
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[题解 5—1] 由切比雪夫不等式知 D( X ) P{ X E ( X ) 1.5} . 2 1.5