湖南省2019届高三六校联考试题数学(理科)含答案解析

A．P1>P2
B．P1<P2
C．P1＝P2
D．大小关系不能确定
2
7．已知△ABC 中，AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，AD⊥BC 于 D，A→D＝λA→B＋μA→C，则λμ＝
A．6
B．3 2
C．3
D．2 3
x2 y2 8．已知双曲线 C：a2－b2＝1(a>0，b>0)，以点 P(b，0)为圆心，a 为半径作圆 P，圆 P 与双曲 线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，若∠MPN＝90°，则 C 的离心率为
A．2x－y－1＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．x＋2y－2＝0
( ) π ，0 6．如图，在矩形 OABC 中的曲线分别是 y＝sin x，y＝cos x 的一部分，A 2 ，C(0，1)， 在矩形 OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为 P1，
取自非阴影部分的概率为 P2，则
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1．复数 z 满足(1＋i)z＝|－4i|，则 z＝
A．2＋2i
B．1＋2i
C．1－2i
D．2－2i
{ } x＋3
x| ≥ 0
2．已知集合 A＝ 1－x
，则∁RA＝
A．[－3，1)
1
A．e
B．1
C.e
D．－1
( [ ]) π
ω > 0，φ ∈ ，π
11．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)
2
的部分图象如图所示，且 f(x)在
[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为 1，最小值为－1)，则 ω 的取值范围是
( ] 7 13 ， A. 12 12
[ ) 7 13 ， B. 12 12
23．(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|x－2a|－|x－a|，a∈R. (Ⅰ)若 f(1)>1，求 a 的取值范围； (Ⅱ)若 a<0，对x，y∈(－∞，a]，都有不等式 f(x)≤|y＋2020|＋|y－a|恒成立，求 a 的取 值范围．
8
湖南省 2019 届高三六校联考试题
9．B 【解析】值为 2019 的“简单的”有序对的个数是 3×1×2×10＝60.故选 B.
1
10．B 【解析】考虑到 x1，x2 是函数 y＝ex、函数 y＝ln x 与函数 y＝x的图象的公共点 A，B
( ) ( ) 1
1
x1，
x2，
的横坐标，而 A x1 ，B
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．
其中正确的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积
为 8，则俯视图中三角形的高 x 等于
A．2
B．3
C．4
D．1
x 5．已知 f(x)是奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－x－2，则函数在 x＝－1 处的切线方程是
{ ) x＋y－4 ≤ 0，
2x－3y－8 ≤ 0， 14．若实数 x，y 满足不等式组 x ≥ 1， 则目标函数 z＝3x－y 的最大值为
________．
15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂
直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥 P－ABCD 为阳马，侧棱
PA⊥底面 ABCD，且 PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径
A→B A→C
A→B A→C
∴(λ ＋μ )·(－ ＋ )＝0，
∴－wenku.baidu.comA→B2＋μA→C2＋(λ－μ)A→B·A→C＝0，∴λ＝6μ，∴λμ＝6.
8．C 【解析】不妨设双曲线 C 的一条渐近线 bx－ay＝0 与圆 P 交于 M，N，因为∠MPN＝90°， b2 b2 2
所以圆心 P 到 bx－ay＝0 的距离为 a2＋b2＝ c ＝ 2 a，即 2c2－2a2＝ 2ac，解得 e＝ 2.故选 C.
数学(理科)参考答案
一、选择题
题 号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案
DBBCCAACB B D C
4 1.D 【解析】(1＋i)z＝4，z＝1＋i＝2－2i.
2．B 【解析】∵(x＋3)(x－1)≤0 且 x≠1，∴A＝{x|－3) ≤ x < 1}，∴∁RA＝(－∞，－3) ∪[1，＋∞)．
4．C 【解析】该几何体为四棱锥，体积为
1 （2＋4） × 2 2
V＝
3
·x＝8，
∴x＝4.
9
x
x
5．C 【解析】当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)＝－x＋2，∴f(x)＝x＋2(x<0)，
k＝f′(－1)＝2，切点为(－1，－1)，∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)．
∴切线方程为 2x－y＋1＝0.
R 为 R，内切球半径为 r，则r＝________．
16．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 c＝2b，△ABC 的面积为 1，则 a 的 最小值为________．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17－21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
6
每日前 8 个小时 销售量(单位：份)
15 16 17 18 19 20 21
频数
10 x 16 16 15 13 y
若以 100 天记录的频率作为每日前 8 小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利 润的期望值为决策依据，当购进 17 份比购进 18 份的利润的期望值大时，求 x 的取值范围．
21．(本小题满分 12 分) k
已知 f(x－1)＝2ln(x－1)－x＋k(x>1)． (Ⅰ)判断当－1≤k≤0 时 f(x)的单调性； (Ⅱ)若 x1，x2(x1≠x2)为 f(x)两个极值点，求证：x[f(x1)＋f(x2)]≥(x＋1)[f(x)＋2－2x]．
7
(二)选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分。
22．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
{ ) x＝m＋2t，
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 y＝ 2t (t 为参数)，以坐标原点为极点， 4
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2＝1＋sin2θ. (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (Ⅱ)设 P 为曲线 C 上的点，PQ⊥l，垂足为 Q，若|PQ|的最小值为 2，求 m 的值．
( ] 11 17 ， C. 12 12
[ ) 11 17 ， D. 12 12
12．已知函数 f(x)＝ex－ax－1 在区间(－1，1)内存在极值点，且 f(x)<0 恰好有唯一整数解， 则 a 的取值范围是(其中 e 为自然对数的底数，e＝2.71828…)
[ ) e2－1 ，e A. 2e2
B．(－∞，－3)∪[1，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3]∪(1，＋∞)
3．对某两名高三学生在连续 9 次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面
是关于这两位同学的数学成绩分析．
1
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为 130 分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；
(一)必考题，共 60 分。
17．(本小题满分 12 分)
( ) Sr r 2
已知数列{an}中，a1＝1，Sn 是数列{an}的前 n 项和，且对任意的 r、t∈N*，都有St＝ t .
4
(Ⅰ)判断{an}是否为等差数列，并证明你的结论； an
(Ⅱ)若数列{bn}满足bn＝2n－1(n∈N*)，设 Tn 是数列{bn}的前 n 项和，证明：Tn<6.
湖南省 2019 届高三六校联考试题
数学（理科）
考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时量 120 分钟，满分 150 分。答题前， 考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准 考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。
使用堆沤肥料 x (千克) 2 4 5 6 8
产量增加量 y(百斤)
34445
y^ b^ a^ 依据表中的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ＝ x＋ ；并根据所求线性回归 方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料 10 千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量 y 是多少 百斤？
(Ⅱ)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份 10 元的价格销 售到生鲜超市．“乐购”生鲜超市以每份 15 元的价格卖给顾客，如果当天前 8 小时卖不完，则超市 通过促销以每份 5 元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处 理完毕后，当天不再进货)．该生鲜超市统计了 100 天有机蔬菜在每天的前 8 小时内的销售量(单位： 份)，制成如下表格 (注：x，y∈N*，且 x＋y＝30)：
7 A. 2
5 B. 2
C. 2
D. 3
9．若 m，n 均为非负整数，在做 m＋n 的加法时各位均不进位(例如：2019＋100＝2119，则称 (m，n)为“简单的”有序对，而 m＋n 称为有序对(m，n)的值，那么值为 2019 的“简单的”有序对 的个数是
A．30
B．60
C．96
D．100
10．若 x1 是方程 xex＝1 的解，x2 是方程 xln x＝1 的解，则 x1x2 等于
18．(本小题满分 12 分) 1
在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2.已知 E，F 分别是 BC，AC 的中点．将△CEF 沿 EF 折起，使 C 到 C′的位置且二面角 C′－EF－B 的大小是 60°.连接 C′B，C′A，如图：
(Ⅰ)求证：平面 C′FA⊥平面 ABC′； (Ⅱ)求平面 AFC′与平面 BEC′所成二面角的大小．
19．(本小题满分 12 分)
43
3
已知平面上一动点 P 到定点 F( 3，0)的距离与它到直线 x＝ 3 的距离之比为 2 ，记动点 P
的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求曲线 C 的方程；
5
(Ⅱ)设直线 l：y＝kx＋m 与曲线 C 交于 M，N 两点，点 M 在 x 轴上的射影为 G，O 为坐标原点， O→M O→N O→G O→N 若 4 · ＝9 · ，求△MON 面积的最大值．
3．B 【解析】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高 130 分，平均成绩为低于 130 分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内， ②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙 同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选 B.
20．(本小题满分 12 分)
随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎， 同时生产－运输－销售一体化的直销供应模式，不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问 题．
(Ⅰ)在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的．根据统计某种有机蔬菜的产量与 有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量 y(百斤)与使用堆沤肥料 x(千克)之间对应 数据如下表：
6．A 【解析】根据题意，阴影部分的面积的一半为
π 4 ∫ 0(cos x－sin x)dx＝ 2－1，
2－1 π 4（ 2－1） 4（1.4－1） 1 于是此点取自阴影部分的概率为 P1＝2× 2 ＝ π > 3.2 ＝2.
1 又 P2＝1－P1<2，故 P1>P2.
B→C A→C A→B A→D B→C 7．A 【解析】 ＝ － ，∵ ⊥ ，
[ ) ( ] e2－1
e2－1
，1 e－1，
B. 2e2 ∪
2
3
[ ) e2－1 e－1 ， C. 2e2 e ∪(e－1，e)
D．(e－1，e)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
( )1
ax－
6
13．已知二项式 x 的展开式中的常数项为－160，则 a＝________．