概率方法在积分中的应用
试论概率论在积分中的应用
7 3
窑13
+
8 3
=
35 9
.
乙 例 2 +肄 渊ax2+bx+c冤e-渊ix2 +jx+k冤dx 的值遥 -肄
解: 直接计算是比较麻烦的遥 现利用随机变量的数学期望与 方差公式以及分布函数的性质进行计算遥
如果随机变量 孜 服从正态分布 N渊滋袁滓2冤袁则 E渊孜冤=滋袁D渊孜冤=
滓2袁于是
乙 +肄 渊ax2+bx+c冤e-渊ix2 +jx+k冤dx -肄
法在其它方面的应用已成为数学研究的一个很重要的内容之一袁
因此学习概率论的解法具有一定的应用价值遥
本文通过一些实例的分析袁 探讨了概率论与积分两者之间
的联系袁进一步说明概率论在积分中的应用袁一方面显示出概率
论的方法与思想在解决积分问题中的独特性和简捷性袁另一方面
也体现了数学学科间的深刻联系遥 1.预备知识
2仔滓1滓2 1-籽
其中 滋1袁滋2袁滓1,滓2袁籽 均为常数袁且 滓1跃0袁滓2跃0袁 籽 约1袁则称
渊X袁Y冤服从参数为 滋1袁滋2袁滓1袁滓2袁p 的二维正态分布袁记为渊X袁Y冤~
N渊滋1袁滋2袁滓1袁滓2袁籽冤袁其中渊X袁Y冤关于 X袁关于 Y 的边缘分布均为
正态分布袁分别为 X~N渊滋1袁滓12冤袁X-N渊滋2袁滓22冤遥
设{孜n}为独立同分布随机变量序列袁并且 a=E孜k渊k=1袁2袁噎袁n冤
n
移 存在袁则{孜n
}服从大数定律袁即对任意
着跃0袁有lim n寅肄
P渊
1 n
孜k-a
K=1
约
着冤=1 2.构造概率模型计算积分
直接概率积分法
直接概率积分法概率积分法是概率论中的一种重要方法，它是通过对概率密度函数进行积分来求解概率问题的方法。
在实际应用中，概率积分法有两种常见的形式：直接概率积分法和变量代换法。
本文将重点介绍直接概率积分法。
一、直接概率积分法的基本思想直接概率积分法是指直接对概率密度函数进行积分，从而求解概率问题的方法。
其基本思想是：对于一个随机变量X，其概率密度函数为f(x)，则X在区间[a,b]内取值的概率为：P(a≤X≤b)=∫ba f(x)dx其中，f(x)是X的概率密度函数，P(a≤X≤b)表示X在区间[a,b]内取值的概率。
二、直接概率积分法的应用直接概率积分法可以应用于各种概率问题的求解，下面将分别介绍其在离散型随机变量和连续型随机变量中的应用。
1. 离散型随机变量对于一个离散型随机变量X，其概率分布列为：X x1 x2 x3 ... xnP(X=xi) p1 p2 p3 ... pn则X在区间[a,b]内取值的概率为：P(a≤X≤b)=∑i=1n P(X=xi) (ai≤xi≤bi)其中，ai和bi分别表示区间[a,b]的左右端点。
2. 连续型随机变量对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，则X在区间[a,b]内取值的概率为：P(a≤X≤b)=∫ba f(x)dx其中，f(x)是X的概率密度函数，P(a≤X≤b)表示X在区间[a,b]内取值的概率。
三、直接概率积分法的注意事项在使用直接概率积分法求解概率问题时，需要注意以下几点：1. 概率密度函数必须满足非负性和归一性。
2. 区间的左右端点必须明确。
3. 积分区间必须是连续的。
4. 积分区间的长度不能为负数。
5. 积分区间的长度不能为无穷大。
四、直接概率积分法的优缺点直接概率积分法的优点是：简单易懂，适用范围广，可以应用于各种概率问题的求解。
其缺点是：对于复杂的概率密度函数，直接概率积分法可能会比较困难，需要使用变量代换法等其他方法来求解。
高斯积分在概率论中的应用
高斯积分在概率论中的应用
高斯积分是数学中的一种重要积分形式，在概率论中也有着广泛的应用。
高斯积分的计算方式较为简单，其结果能够用于描述随机变量的概率分布，因此在概率论的研究中被广泛运用。
在概率论中，高斯积分可以用于求解正态分布（也就是高斯分布）的概率密度函数。
正态分布是统计学中最为重要的概率分布之一，其具有良好的数学性质和实际应用价值。
通过高斯积分，可以将正态分布的概率密度函数转化为标准正态分布的概率密度函数，从而更方便地进行概率计算。
除此之外，高斯积分还可以用于求解某些随机过程的概率分布，例如随机游走、布朗运动等。
这些随机过程的概率分布通常较为复杂，但通过高斯积分的计算，可以得到它们的概率密度函数，并进一步分析其统计性质。
总之，高斯积分在概率论中的应用广泛，不仅为概率计算提供了便利，也为理解随机现象的本质提供了重要的数学工具。
- 1 -。
概率思想在高等数学中的应用分析
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １２概率思想在高等数学中的应用分析概率思想在高等数学中的应用分析Һ郝㊀旭㊀（大同师范高等专科学校，山西㊀大同㊀０３７０３９）㊀㊀ʌ摘要ɔ随着教育事业日新月异的发展变革，人们对高等数学的教育愈加重视，这是因为高等数学，是帮助我国打造理工人才的主要学科．高等数学不仅知识难度大，还包含了大量的理论逻辑．鉴于此，只有在解决实际问题时，深度挖掘正确㊁高效的解题方法，才能提高学习效率㊁降低学习难度．而概率思想对于高等数学而言，除了能提升高数知识的直观性，更能丰富解题思路．文章主要以概率思想为分析对象，分析其在高等数学中的应用，旨在为高等数学领域贡献微薄力量，以期为我国培养大量的理工人才．ʌ关键词ɔ概率思想；高等数学；应用分析立足于学科内容视角而言，高等数学在实际教学过程中，能引导学生对数学知识进行全面研究㊁深入剖析，其不仅是各个高校逐渐重视的创新学科，更是高校教学中需要不断攻克的难点．在学习高等数学时，学生除了要具备扎实的计算能力，还要有强大的数据思维．从目前的高等数学教学发展来看，概率思想已经为各大高校所重视，将其视为关键的教学手段之一．在面对高等数学知识时，利用概率思想，能有效提高解题效率㊁降低问题难度．目前，如何将概率思想在高等数学中融合应用，已经成为广大高校教师深入研究的教育问题．一㊁概率思想的基本内涵概率思想的形成，是数学家们全面㊁深入地剖析了概率理论后得到的．直至发展到１８世纪，才促进了概率思想的变革．分析相关研究资料可以发现，使概率思想得到真正发展的人物，是瑞士的数学家伯努利，其在全面剖析概率思想时，得出了十分著名的 伯努利定理 ．此定理不仅直接促进了概率理论的发展进程，还间接促进了概率思想的发展和应用．随着概率理论的发展，法国数学家拉普拉斯也在其编写的论著中详细阐述了概率思想，还设计了整体结构，总结了概率思想的本质：在面对一个整体时，将其分解成Ｎ个可能事件，同时每个事件发生时，它们之间的可能性相等，如将可能性Ａ分解成ｎ个不同的事件，如此就可以利用ｎＮ来表示可能性Ａ的发生概率．这就是现在广义上的 概率思想 ．二㊁概率思想应用在高等数学计算中的功能优势（一）抽象性较大，复杂程度较高相较于初中㊁高中的数学而言，学习高等数学需要建立在强大的逻辑思维能力之上．鉴于此，在实际教学过程中，教师就应要求学生在学习时不断强化自身的逻辑思维能力，深度理解高数中的抽象元素，敢于突破具象元素的局限，剖析体现具象意义的数学符号与公式，从而使计算结果更加精准化．概率思想则能帮助学生将烦琐的解题过程简单化，从而更容易地理解高等数学里的一些知识点．（二）有效完善高等数学在高等数学中使用概率思想，能充分发挥其补充功能，能为传统的高数计算方法提供丰富的解题思路，能与抽象性解题方法有机融合．在解答高等数学问题时，由于抽象性带来的局限，学生需要发挥强大的想象力，固定的解题模式对于高等数学来说无法长期使用，而普通的解题方法也无法在高等数学中充分发挥作用．而概率思想在解答高等数学时，是利用估测解题成果的方法，逐步完成高数的计算过程．同时概率思想能帮助学生深度解析各种交互元素，促使学生对高数公式更加明晰．如此不仅补充了常规计算的弊端，更能提高高数解题质量．三㊁概率思想应用在高等数学中的功能意义（一）降低高数问题的计算难度计算高等数学问题，是学生学习高数必须具备的能力．由于高等数学的计算过程较为复杂，学生在计算高等数学时，不仅需要具备良好的逻辑思维，还需要具备扎实的数学思维意识，通过设计抽象的数学符号和公式，挖掘出问题的核心矛盾，看透问题的本质，从而更精准地找出解决问题的方法．如此，学生往往需要㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １２面对极其复杂且难度较高的问题，只有深入分析问题的含义，才能利用数学逻辑思维，得出正确的计算结果．此时，教师可启发学生尽量减少机械计算的方法，引导学生充分发挥概率思想的解题优势，通过抽象逻辑思维，将高数问题的计算难度大大降低．例如，在实际解答高数问题时，学生可利用０ １之间的数字来表示事情发生的概率，通过概率分布情况，将最终结果计算出来．这样的解题模式，除了能使解题过程精简化，还能保证计算结果的准确性㊁强化学生的学习效率，帮助学生深刻感悟概率思想与高等数学的潜在联系．（二）强化高等数学教学质量纵观当前的高校高数教学发展形势，在日常开展高数教学时，大多数教师往往会利用大量的课堂实践，启发学生分析处理高数问题，或向学生布置大量的作业，通过题海战术使学生深刻理解高等数学．但是，随着教育事业的快速变革，组织学生花费大量的课堂时间研究高数问题，已经严重制约了此学科的创新发展．而在高数教学中有机融合概率思想，能为师生之间提供充分的互动空间，产生全新的解题视角，突破单一的理念，促使学生理解各项高数知识内容．在长期㊁有效的师生互动下，概率思想在高数中的应用，既能使学生较为简单地理解各种高数定义，又加强了其对知识的应用．因此概率思想不仅能降低高数问题的难度，还能避免学生花费大量时间去计算高数问题，最终实现提升高数教学质量．（三）激发学生主观能动性高等数学具有极强抽象性与逻辑性，极易压抑学生的学习兴趣．深究其原因不难发现，学生在接触高等数学时，尚未形成强大的逻辑思维能力，也没有锻炼出扎实的计算水平，导致学生在计算高数问题时，产生挫败感，长此以往便会丧失钻研高数问题的兴趣．而概率思想很好地解决了这一学习现象，其可从根本上降低高数问题的计算难度，帮助学生顺利完成高数计算问题，有利于学生收获学习成就感，能建立积极学习的信心，改变 高等数学难学 的错误看法，从而积极地投入到高数学习中，激发自身的主观能动性．四㊁概率思想在高等数学中的应用（一）在化简问题中应用概率思想选定一个数字范围作为总体，并选择部分数字作为样本，用这些数字出现的频率表示事件发生的概率，探究事件发生概率的实际分布，从而提供解题思路．如此也能看出在高等数学中，概率思想的重要作用，通过简化数学问题促使学生深刻感受 概率和数理统计 的意义，并激发学生的学习兴趣．例如，为５０盏灯编制编号，编号为顺向数字表示，如１，２，３， ，５０，这５０盏灯的开关编号同样用１，２，３， ，５０表示，将全部开关视为 闸开关 ，前提条件是打开全部的灯，再展开如下操作：①反方向拉动编号１的位数开关；②反方向拉动编号２的位数开关 反方向拉动编号５０的位数开关．以上过程就是利用概率中的系统抽样思想抽出样本从而来观察总体情况．这样操作既简化了检验程序又保证了准确度．再例如，在高等数学中常见的求和问题，在面对这类问题时，教师可充分融合概率思想．另外，在面对事件发生概率表示为０＜Ｐ＜０的问题时，可通过概率分布将问题解答过程充分简化．例题：计算ðｎｋ＝ðＣｋｎａｋｂｎ－ｋ（ａ＞０，ｂ＞０）时，可将这道题视为概率问题，假设 将橡皮不规律地扔出Ｎ次 ，扔出橡皮用Ｘ代表，如此便可得出正面向上的概率Ｐ＝ａ，得到反面概率为ｐ＝ｂ，当扔出Ｎ次之后，正面向上的概率就可表示为Ｐ｛Ｘ＝ｋ｝＝Ｃｋｎｐｋ（１－Ｐ）ｎ－ｋ，ｋ＝０，１，２，３， ，ｎ．参照这种概率的分布情况，便可探究其分布规律．（二）在定积分中应用概率思想将概率思想与定积分充分融合，能使定积分的计算程序精简化，同时能将问题抽象性有效减轻，以此保证计算准确性．在实际解决定积分问题时，首先要做的是，通过概率思想变形处理，将被积函数变形成为密度函数．其次，选定一函数积分，用来表示概率密度函数．最后，全面剖析正态函数的分布规律，并联系概率密度函数，以此达到积分演算精简化．例如，在计算ʏ＋ɕ－ɕｅｄｘ这一题目时，通过概率思想，可置换定积分的不同元素内容，并得出以下内容：Ｘ Ｎ（ｕ，σ２），此时可将概率密度函数设计成ｆ（ｘ）＝１２πσｅ，ｘɪＲ．由于归一性原则ʏ＋ɕ－ɕｆ（ｘ）ｄｘ＝１，则可得出：ʏ＋ɕ－ɕ１２πσｅｄｘ＝１，ʏ＋ɕ－ɕｅｄｘ＝２πσ．经过精简化的定积分，可利用概率思想转换演算㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １２模型，如此一来不仅使抽象性得到了降低，还简化了计算过程，使定积分题目的计算效率大大提升．（三）在二重积分中应用概率思想在高等数学中，二重积分也是较为重要的知识之一．二重积分具有丰富的应用，如在平面薄片重心㊁曲面面积等，都可利用二重积分完成．教师在引导学生求解二重积分时，可利用概率思想，以此节省大量的时及精力，充分发挥概率思想的解题优势．（四）提升概率思维要想在高等数学中，充分体现概率思想的价值，教师应重点强调概率思想意识的重要性，以培养学生应用概率思想解题的能力为核心，不断帮助学生内化概率思想，使学生在面对高等数学问题时，能合理使用概率思想．但是值得注意的是，教师在帮助学生树立概率思想意识时，应启发学生练习各种形式的高数题目，并要求学生在练习过程中，充分融合概率思想完成计算，以此达到提升概率思想的应用能力．另外，教师应积极挖掘各种渠道，将概率思想深入开发研究，以便于学生能从各种角度，深刻感受概率思想的应用优势，避免单一㊁机械的演算方法，避免使学生形成思维定式．如此，才能提升学生的概率思维．（五）重视概率思想的培养力度随着现代化教育的深度变革，教师应充分尊重学生的个体差异性，帮助学生在学习高等数学知识的同时，提升概率思维．概率思想虽能有效解决高等数学的困难问题，但在培养学生建立概率思想时，教师也应积极分析学生的实际学习情况，投入更多的精力．例如，教师在开展高等数学教学㊁演示概率思想时，可发挥多媒体设备的教学优势，向学生展示更加直观化的概率思想演示过程，展示不同的高数知识内容，展示典型性公式的推演过程，通过循序渐进的引导，帮助学生更好地掌握概率思想内涵．教师要想使学生在不断发展中取得理想成绩，就应在联系理论知识的基础上，强化学生的应用概率意识，利用正确㊁有效的手段完成培养概率思想的教学目标．例如，学生面对高数题目时，教师应启发学生利用概率思想，在脑海中回顾典型性公式的推算程序，促使学生应用概率思想解题，在内心深处认可概率思想的优势．但在此过程中，教师应注意，虽然要加大培养学生应用概率思想的力度，但也要结合高等数学的教学任务及知识重难点，不能 为了培养而培养 ．这样才能在保证学生扎实掌握概率思想的同时，不断提升高等数学演算能力．（六）不断丰富应用题目类型在高校数学教学中，提供大量的数学思维练习题，逐渐成为广大高校教师经常实施的教学手段．学生在完成有效练习题时，能熟练掌握各种高数演算技巧，并不断提升高数综合素养．但在布置高数练习题时，能否做到科学㊁规范，也是值得广大教师不断探究的问题．首先，教师在布置各种类型的高数练习题时，应以教学重点为核心基础．教师在引导学生利用概率思想完成习题时，应引导学生深度分析概率思想内涵，探究其本质，以及如何利用概率思想计算，以此将高数计算的难度有效降低的同时，确保问题设计的合理性．其次，教师在引导学生将高等数学与概率思想有机融合时，应尽量保证解题方向的正确性，只有这样才能将概率思想的辅助功能充分发挥出来．另外，教师为学生选择高数题型时，应立足于高数计算重难点，在此基础上拓展题型，以便于学生能在解题时拓宽视野，最终实现学生能全面深入地理解高等数学计算方法．最后，高数中不仅可以融入概率思想，其他学科的一些解决问题的思路也是可以融入的．教师在培养学生的同时应该加强专业技能的提升，钻研一些相关学科的前沿性知识，从而增进自身对本学科的理解．结束语综上所述，高等数学由于其知识点难度大，计算过程复杂，极易使学生失去学习兴趣，从而降低了高数教学质量．鉴于此，高数教师应积极探究数学领域的科学教学手段，以概率思想为主要方法，在日常教学中充分发挥概率思想本质优势，强化学生的高数演算效率㊁调动学生主观能动性．另外，教师应紧随学科的发展脚步，深度剖析概率思想与高等数学的潜在联系，旨在提升高数教学效率．笔者相信，经过广大同仁的共同努力，定会促进我国高等数学教学水平快速发展．ʌ参考文献ɔ［１］张忠毅．浅谈概率思想在高等数学中的应用［Ｊ］．科学咨询（教育科研），２０２０（１１）：４０．［２］尹丽，高辉，高胜哲．概率思想在高等数学计算中的应用研究［Ｊ］．数学学习与研究，２０１７（０１）：１４．［３］车晋．概率思想在高等数学计算中的应用分析［Ｊ］．教育现代化，２０２０，７（１８）：１１８－１２０．。
概率论在定积分计算上的应用
概率论在定积分计算上的应用概率论是一门研究随机事件发生的规律及其计算方法的学科。
而定积分是数学中一种重要的计算工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将介绍概率论在定积分计算上的应用，以及相关的例题。
一、概率密度函数与积分概率密度函数是用来描述随机变量概率分布情况的函数。
对于一个定义在区间[a,b]上的随机变量X，其概率密度函数f(x)必须满足以下条件：1. f(x)≥0，即概率密度函数必须为非负数；2. ∫[a,b]f(x)dx=1，即概率密度函数在定义域内的积分等于1。
对于一个定义在区间[a,b]上的函数g(x)，我们可以通过概率密度函数的积分来计算其在该区间上的平均值E(g)：E(g)=∫[a,b]g(x)f(x)dx二、概率分布函数与积分概率分布函数是用来描述随机变量概率分布情况的函数，其定义为：F(x)=P(X≤x)其中，P(X≤x)表示随机变量X小于等于x的概率。
我们可以通过概率分布函数来计算随机变量X在区间[a,b]上的概率：P(a≤X≤b)=F(b)F(a)三、例题1. 已知概率密度函数f(x)=2x(0<x<1)，求函数g(x)=x^2在区间[0,1]上的平均值。
解：首先要验证概率密度函数满足条件1和条件2。
由于f(x)是一个正的偶函数，因此只需验证积分值是否为1：∫[0,1]2xdx=[x^2]0^1=1因此，f(x)是一个合法的概率密度函数。
根据公式E(g)=∫[0,1]x^2f(x)dx，可以计算出：E(g)=∫[0,1]x^2×2xdx=2∫[0,1]x^3dx=[x^4/2]0^1=1/2 因此，函数g(x)=x^2在区间[0,1]上的平均值为1/2。
2. 已知概率密度函数f(x)=k(1x^2)(1≤x≤1)，求随机变量X 小于等于0的概率。
解：同样需要验证概率密度函数满足条件1和条件2。
由于f(x)是一个偶函数，因此只需验证积分值是否为1：∫[1,1]k(1x^2)dx=[x(x^3)/3]1^1=2k/3因此，f(x)的归一化常数k=3/4。
概率积分函数
概率积分函数（最新版）目录1.概率积分函数的定义2.概率积分函数的性质3.概率积分函数的计算方法4.概率积分函数的应用实例正文概率积分函数是一种在概率论中广泛应用的数学工具，主要用于计算随机变量的数学期望和方差等统计量。
下面我们将详细介绍概率积分函数的定义、性质、计算方法和应用实例。
1.概率积分函数的定义概率积分函数，又称为数学期望函数，用符号 E(X) 表示。
它表示随机变量 X 的取值与其概率的乘积之和。
具体地，对于任意一个实数 a，若 X 的概率密度函数为 f(x)，则 E(X) = ∫[xf(x)dx]。
若 X 是离散型随机变量，则 E(X) = ∑[x * P(X=x)]。
2.概率积分函数的性质概率积分函数具有以下几个重要性质：（1）线性性：对于任意两个随机变量 X 和 Y，有 E(X+Y) = E(X) + E(Y) 和 E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)。
（2）连续性：若 X 是连续型随机变量，则 E(X) 存在。
（3）非负性：E(X) ≤ 0，当且仅当 X 的概率密度函数非负。
（4）恒等性：E(1) = 1，即随机变量取值为 1 的概率的数学期望等于 1。
3.概率积分函数的计算方法计算概率积分函数的方法主要有两种：一种是通过概率密度函数进行积分计算；另一种是通过概率质量函数进行求和计算。
具体计算方法取决于随机变量的类型（离散型或连续型）。
4.概率积分函数的应用实例概率积分函数在实际应用中有很多重要作用，例如：（1）估计随机变量的平均取值；（2）计算随机变量的方差和标准差；（3）求解随机过程的期望和方差等。
总之，概率积分函数是一种重要的数学工具，它在概率论和实际应用中都有着广泛的应用。
概率论在积分中的应用
天 津 市 经 理 学 院 学 报
Ｊ ｕ ａ ｏ Ｔａｊ ｎｇ ｒ ｏ ｅ ｅ ｏ ｒ ｌ ｆ ｉ ｉ Ｍａ ａｅ ｌ ｇ ｎ ｎｎ Ｃ ｌ
Ｏｃ ｏ ｅ ０ ｔ ｂ ｒ２ ０９
Ｎｏ５（ ｕ Ｎｏ２ ） ． Ｓ ｍ ．５
概率 论在积分 中的应 用
吕 中起
（ 苏州 工业 园 区工业技 术 学校 ， 苏苏 州 ， １ １ ５ 江 ２５ ２ ）
摘
要 ： 率 和积 分似 乎 是 不相 关 的 两个领 域 ， 者通 过 概 率论 在 积 分 中的应 用探 讨 ， 积分 概 笔 在
计算 中引进概 率 方 法 ， 以找 出两者 之 间的 关 系 ， 解决 一 些积分 中的 问题 。 来
收稿 日期 ：０ ９ ０ — ８ ２０—９０ 作者 简介 ： 吕中起（ ９ ９ ， ， １６ 一）男 苏州工业园 区工业技术学校教师 。
３ １
２０ ０ ９年 １ Ｏ月
天 津 市 经 理 学 院 学 报
Ｊｕｎｌ ｆ ｉ ｊ ａａｅ ｏｅｅ ｏｒａ ｏ ａ ｉ Ｍ ｎｇｒ ｌｇ Ｔ ｎｎ Ｃｌ
在顾客的 与维护 开发 上付出 更多的 成本。 在顾客的 发与维 开 护 成本不同的情况下， 即使不同企业的销售收入相同， 企业的价值
也是不同的。 在对股东价值的创造进行分析的时候， 也要考虑顾
客的开发与维护成本。口
参考文献：
［Ｍｉｓ ＲＷ． ｉａ ｃ，ｒｔｇ ｎ ｔ ｔｇ ａ ｅＡ ａ－ １ ｌ ， ． Ｆｎｎ ｅ ｔ ｅｙ ａｄＳｒ ｅｉ Ｖ ｌ ｎｌ ｌ ｌ Ｓａ ａ ｃ ｕ
一
、
利用密度函数来解决某些积分问题
（） ３企业“ 能力” 的大小及其利用程度。 企业“ 能力” 的大小及 其利用程度也是影响企业价值的重要因素， 它们能够反映企业 潜在的价值创造能力。由于企业“ 能力” 被看作是企业竞争优势 的—个源泉， 因此清楚地理解其含义非常重要。 类型的企业 不同 其“ 能力” 有不同的含义： 对于高新技术企业而言，能力” “ 指的是 企业研究与开发的能力； 对于一般生产工业产品和耐用消费品 的企业而言， “ 能力”指的是企业的生产能力；对于零售企业而 言， “ 能力”搬 指的是企业的营业面积。考虑企业 — 所处的行业， 再结合企业“ 能力” 大小及其利用情况， 我们可以推断一个企业 的价值创造能力。当—个企业的能力很大而这种能力的利用程
谈概率论在高等数学中的应用
谈概率论在高等数学中的应用摘要：大部分学生对高等数学的第一印象都是“难”，尤其是在计算问题及证明问题的过程中，经常会遇到各种问题和阻碍。
而概率论是数学中的重要分支，多用来研究随机现象数量规律。
实践证明，如果在高等数学学习中合理引入概率论，不仅能够提高数学解题的效率，还能够提升学生的学习积极性，为高效教学奠定良好的基础。
本文就结合高等数学教学现状，对概率论在高等数学中的应用展开分析，并提出几点策略。
关键词：概率论；高等数学；应用高等数学的学习中，涉及到很多计算、证明的问题，如果找不到正确的方法就很难抽丝剥茧，获得正确的答案。
然而在解题时，如果能够合理运用概率论，则能够起到化繁为简、化难为易的作用，大大提高解题效率，从而培养学生学习高等数学的兴趣。
同时，概率论的应用还能提高学生的解题效率，帮助其重新树立解题的自信心。
一、高等数学教学现状高等数学是必修课程之一，但很多学生一提起这门学科就感到无奈，原因是学习难度较高，学生的学习情况并不理想。
从当前高等数学的教学情况来看，主要存在以下问题：第一，学生学习目标不明确。
高校分专业培养人才，虽然基础课程相差无几，但专业课存在较大的差别。
很多学生都不理解，为什么要学习高等数学，觉得未来工作中用不到相关知识。
其实，部分专业开设高等数学也具有一定的被动性，不理解高等数学课程设置的意义，导致即便开设了高等数学课程，课时分配的也较少，教师想要完成教学任务，就要加快教学进度[1]。
学生的接受能力是有限的，课堂中向学生传输大量的知识，结果就是虽然按时完成了教学内容，但学生对知识是囫囵吞枣，难以完全接受和消化，导致学生逐渐失去学习兴趣，影响主观能动性的发展。
第二，学生没有形成良好的学习习惯。
高等数学相对于高中数学内容更加抽象、难度也更高，学生很难轻易对知识掌握透彻。
课堂中，通过教师的指导学生可以完成数学知识的记忆，但是却无法深入理解和掌握其中的概念公式和运算逻辑。
换而言之，学生的学习缺乏独立思考，课堂状态较为被动，学习目标也不够明确。
概率积分法在工业广场煤柱开采技术中的应用
２１ 年第５ ００ 期
总第９ 期 ８
橛弃 积分怯 在工 业 广场煤柱 开 采技 术 中的应 用
贾 士庆
（ 南 煤 业化 工 集 团 鹤 煤八 矿 。河 南 鹤 壁 ４ ８０ ） 河 ５０ ８
摘 要 为 了增 进 对 工 业广 场 煤 柱 开 采 技 术 的研 究 ， 过覆 岩 内部 移动 变 形 概 率 积 分 法理 论 对 回采 方 通 案进 行 科 学修 正 ， 回采 后 主 要巷 道 及 硐 室的 破坏 程度 、 形 量做 出 了科 学 的估 算 ， 前进 行 支护 加 固。 实 对 变 提 践证 明此 方 法 在 工 业广 场煤 柱 开 采 中对 于 工作 面 的科 学合 理 布置 有 重 要指 导 意 义 ， 能 够 有 效 指 导 安全 生
费。
Ｉ ｌ ｌ 一计算块段数 目；
ｌ 算 开 采任 意条 块 的 拐点 数 ； 一计
ｑ 一使用计算 的直 角坐标系 中 ｘ 与通过计算 点 ｐｘ ） ｋ 轴 （ｙ ， 和拐点 ｋ连线 间的夹角 ， 其中 ｑ＋ ＝ ｌ ｌｌｑ ；
１ ２ ， 一运算 函数 ； Ｒ 一 坐 标 半 径 ， ＝ （，， ｏ ｋ极 ｑｘ ｙ
概 率 积 分 方 法 ；以 几何 积 分 理 论 为基 础 由二 维 积 分 变 换 法 引
图 １ 极 坐标 闭合 回 路 积分 示 意
点 Ｐ的 下 沉 值 为
ｌｎ ｃ ｄ￣ ｄ 一
人岩性及下沉时间影响参数 ； 限元计算方法 。可根据具体情 有
况 需 要 ， 择计 算 方 法或 通 过 综 合 评 判方 法 评 价 。同 时对 于 影 选 响 函数 预计 采 用 了极 坐 标 闭 合 积 分 模 型 ，实 现 了 适 应 采 矿 地 质 条 件 变化 大 的要 求 ，计 算 机 模 型 采 用 极 坐 标 闭 合 路 积 分 通用模 型。其基本 的计算模 型如下 ：
概率问题中的某些积分技巧
∫
∫
例 3 求方程 y 4 3 2 解 方程 y (4) - 4 y + 6 y″ - 4 y′ + y = 0 的特征方程为 r - 4 r + 6 r - 4 r + 1 = 0 。 特征根 r1
= r2 = r3 = r4 = 1 。 于是方程 y
2 2
∫e
- a
a
- x /2
2
dx <
1 - e-
a
2
。
证明 设随机变量 X 和 Y 相互独立 , 且都服从 N ( 0 , 1) 分布 。则其联合密度函数
P ( x , y) = e
2
/ 2π,
故
1 2π
∫
- a
a
e-
x
2
2
2
dx
=
∫ ∫
- a - a
a
a
P ( x , y) d x d y <
PX ( x ) =
x 1 e - 2σ2 , P Y ( y ) = σ 2π y 1 e - 2σ2 。 σ 2π
进而可得 | X | , | Y | 的密度函数为
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为一概率密度函数 ?
∫ ce c ∫e
- ∞ +∞ - ∞ -
+∞
- x +x
2
d x = 1 ,有
2
x-
1 2
+
1 4d
x = ce 4
1
∫
2
+∞ - ∞
概率积分变换
概率积分变换
概率积分变换（Probability Integral Transformation，PIT）是概率论中的一种无偏估计方法，它利用概率函数的积分特点来形成变换函数，以实现概率数据从参数拟合数据的估计。
PIT用来对概率分布的参数估计，其基本原理是观察到的数据应是某一概率分布的秩统计量，即假定某概率分布下，观察到的数据样本数据落在概率分布函数下面的可积分区域中所占的面积比例。
根据上述理论，PIT实际上是把概率分布的分布函数的可积分区域映射到（0，1）的单位区间，即把随机变量X的概率分布序列积分变换成随机变量Y，使得Y位于单位区间 [0,1] 之内。
PIT把概率分布函数变换成随机变量Y之后，我们就可以很轻松的用Y来估计概率分布的参数。
因为Y只有一个参数，且取值在（0，1）之间，在统计学中，这个参数可以被认为是一种联合分布，也就是广义概率，这样我们就可以估计出概率分布的参数，从而计算出概率分布的某处的概率大小。
此外，PIT还可以用于实验设计，同样可以预先确定概率分布的参数，然后通过PIT 来将概率分布变换成单位区间，再对随机变量Y进行采样，这样就可以获得按照规定概率分布的样本序列。
总的来说，PIT可以大大简化概率分布意义中的参数估计的过程，使得概率数据从参数估计变换成拟合数据的过程更加简单，也可以在实验设计中使用，通过采样获取概率分布随机变量的样本。
因此，PIT可以说是概率论与统计学的一种重要突破。
关于概率积分与fresnel积分的计算
关于概率积分与fresnel积分的计算概率积分和Fresnel积分是两个在数学和物理中常用的积分。
它们在不同的领域中有着不同的应用，下面将详细介绍这两种积分及其计算方法。
概率积分，也被称为随机变量的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF），在概率论和统计学中起着重要的作用。
概率积分用于描述一个随机变量小于等于一些给定值的概率。
在数学中，概率积分可以用积分的方式表示为：F(x) = ∫[a,x] f(t) dt其中，F(x)表示随机变量小于等于x的概率，f(t)表示随机变量的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF），[a,x]表示积分的区间。
概率积分的计算方法可以根据具体的概率密度函数来确定。
对于一些简单的概率密度函数，可以直接使用积分的技巧来计算。
例如，对于均匀分布的概率密度函数，可以将积分区间分割为若干个小区间，然后计算每个小区间的面积并相加。
但是，对于一些复杂的概率密度函数，计算概率积分可能比较困难甚至无法用解析的方式表达。
在这种情况下，可以使用数值积分的方法来计算。
数值积分是通过将积分区间离散化，并使用数值计算的方法来计算积分的近似值。
常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和高斯积分法等。
这些方法都是通过将积分区间分割为若干个小区间，并对每个小区间的函数值进行估计，然后将所有小区间的结果相加来得到积分的近似值。
Fresnel积分是一种特殊的积分，它在电磁波的传播和光学中有广泛的应用。
Fresnel积分是通过求解定义在无穷区间上的霍普金斯方程得到的，其表达式如下：C(x) = ∫[0,x] cos(t^2) dtS(x) = ∫[0,x] sin(t^2) dt其中，C(x)和S(x)分别表示Fresnel C和Fresnel S函数。
Fresnel 积分可以用解析方法求解，但是其表达式相对复杂，通常需要使用数值计算的方法来求解。
概率方法在分析中的若干应用
ｆｌ … ａ ］ ａ ¨
证 构 随 变 【 … １， 明 造 机 量 ～Ｉ 则 １ Ｊ Ｉ
Ｅｌ ｌ 兰 导； 因 ． ， Ｏ 。不 有（ 为， 由Ｈ ｌ 等式 兰 ＞１ ｄ ， Ｅｌ 兰 ｅ一 ｌ ）≤ 兰 ｒ ， 故 ，
Ｉ … ＋ｎ （ ａ ＋ … ＋Ｉ Ｉ ≤ ｎ ［ ａ ＋… ＋Ｉ Ｉ ． ＋ ｎ Ｉ≤ Ｉ Ｉ ） ａ 一 Ｉ Ｉ ｎ ］
例２ 证明：（） 口６，＞０ ， 为［， 口 上连续函 则［６（）ｘ。 （一ｎ Ｉ 。ｘｄ． ］ 数， １ ｘｄ７≤ ６ ）ｒ （）ｘ 广 ｆ ６ ｆ
Ｏ Ｊ ＃
证 明 令随 机 变量 ～ Ｌ［ ，］ ＝ ， ， Ｅ７ 厂ｎ ６ ， （）则 ｊ＝
如． 根据 Ｊｎ ｅ 等 式可 得 ｅｓｎ不
关键词 概率 Ｉ 极限定理 Ｉ 等式 ； 不 积分 ， 级数
１ 证 明不 等式
在概率论中有许多重要不等式， 利用这些不等式的结论可很方便地证 明分析中的不等式． 例 １ 证明： ｒ １ 当 ＞ 时， ｌ ｌ ＋… ＋ａ ， １ｌｌ … ＋ｌ ｌ ， ∈ Ｒ ｉ １…， ａ ｌ≤ 厂 ［ ａ ＋ ａ ａ ］ ，一 ，
ｒｂａ＇ ｆ（ ｘ≤ ：ｘ ］ ｆ） 。 － ｄ
从 而可知 结论 成立 ．
２ 求 极 限 ．
大数定律和中心极限定理是概率论中的重要理论 ， 是分析中的极 限理论在概率论 中的综合运 用， 同时极限定理中的一些结果也为分析中的许多极限问题提供 了有力工具．
Ｉ ｌ ， ｒ 、 Ｉ
维普资讯
８ ８
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ ＣＯＬＬＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｅ Ｎ ＧＥ Ｍ ＣＳ
高 等 数 学 研 究
Ｖ １１ ， ｎ １ ｏ．０ Ｎ
正态分布在计算反常积分中的典型应用
正态分布在计算反常积分中的典型应用正态分布在计算反常积分中的典型应用是计算正态分布的累积概率密
度函数在一个区间内的概率。
在统计学中，这个概率通常表示为标准正态
分布的积分，通过利用正态分布的积分公式进行计算。
具体来说，我们需
要将原来的区间通过线性变换转换为标准正态分布的区间，然后再利用标
准正态分布的积分表计算累积概率密度函数的值。
例如，假设我们要求在区间[a,b]内的正态分布的概率密度函数的值，可以将这个区间通过线性变换转换为标准正态分布的区间[-1,1]，然后再
利用标准正态分布的积分表计算出在[-1,1]内的累积概率密度函数的值。
最后，我们可以再次利用线性变换将结果转换回原来的区间[a,b]。
这个
方法在统计建模和数据分析领域中非常常见，因为正态分布在自然现象中
具有广泛的应用，例如人类身高、体重等可以被视为正态分布。
概率积分公式的推广及其在积分计算中的应用
概率积分公式的推广及其在积分计算中的应用
宋香暖
【期刊名称】《河北工业大学学报：社会科学版》
【年(卷),期】1999(000)002
【摘要】本文利用复变函数的理论，将概率积分公式推广，使之有下列公式成立其中，a＞0，且a，b不同时为零。
并且当a（a＞0），p为实数，x为实变量，z 为复变量时，有下列公式利用上述二公式可以方便地计算一些著名的广义积分。
【总页数】5页(P2-6)
【作者】宋香暖
【作者单位】天津商学院!天津;300400
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.一类积分公式在简化有关二次曲线定积分计算中的应用 [J], 王理峰;
2.一类积分公式在简化有关二次曲线定积分计算中的应用 [J], 王理峰
3.Г函数及一类广义积分公式在概率统计中的应用 [J], 程龙生
4.两个积分公式及其在概率中的应用 [J], 周思纯
5.概率积分公式的推广及其在积分计算中的应用 [J], 宋香暖
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概率密度函数在积分中的运用
概率密度函数在积分中的运用马煜骞积分运算是已知概率密度函数求分布函数等一些问题中是基本的方法。
反过来，对一些形式比较复杂的定积分,运用数学分析的方法不容易计算，而运用概率密度函数的性质却可以解决一些具有某种特征的积分运算.首先,我们必须熟悉密度函数的一个基本性质:若()x p x ,则有()1p x dx +∞−∞=∫.这条性质对一切密度函数均成立.先来看二道例题.例1求12Γ的值是多少？ 解：12012xx e dx +∞−− Γ=∫，令22y x =，则有2222012y y dy dy −+∞−−∞Γ===∫ 例2.()21,,,n X X N µσK ,则2S 是2σ的无偏估计,证明S 不是σ的无偏估计.证明： 由于()()2221111,22n S n y n Ga χσ−− =−=，故11/2/21122220(1/2)(/2)(1/2)((1)/2)(/2)n y nyn n y e dy y e dy n n +∞−−−−−−Γ==Γ−Γ∫∫划线部分的值为1，1/2ES −=，这说明S 不是σ的无偏估计.以上2个所求的积分有什么特点,或者说怎么样的函数可以利用到这个方法呢？ (1)先看积分区域.因为伽马分布的定义域为(0,)x ∈+∞;正态分布的定义域(),x ∈−∞+∞.所以首先考虑所求的函数的积分区域。
若是落在常用分布的密度函数的定义域的整个或者半个区间内可以考虑用这个方法来解.如例2就是求0到+∞的定积分,落在伽马分布的定义域中.而例1落在正态分布的半个定义域中.(2)再看式子中含x 部分的构成形式,是否具有常用分布的密度函数相似的形式.例2就具有伽马分布的形式.一般来说若积分的形式如a xCx eλ−,其中的C 为常数,可考虑化到伽马函数的形式再求解;例1通过转化具有了正态分布的一般形式. 若形如(1)a b Cx x −，则可考虑先化为贝塔分布的形式,然后求解.一句话评论：通过密度函数进行积分计算是概率统计的常用方法。
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概率方法在积分中的应用概率论是研究随机现象及其规律性的数学学科，它既有着自己独特的概念和方法，内容丰富，又与其他科学分支有着紧密的联系，具有广泛的应用性。
在概率论中,连续性随机变量的概率分布函数、数学期望与积分有着一定联系, 这使得用概率论的思想方法求解证明某些复杂的、无法用常规数学分析方法解决的定积分、由定积分推广而来的广义积分、积分不等式成为可能。
下面，本文将结合实例，对上述问题做一定浅显分析：一、定积分的近似求解在实际当中，经常会碰到复杂函数的定积分，虽然积分存在，但是积不出来，这时我们不得不考虑其数值计算。
下面给出的方法是一种行之有效的数值计算法。
例1设0≤()f x≤1，求f(x)在区间[0,1]上的积分值：J=⎰10)(x f dx。
解：设（X，Y）服从正方形{}1≤y≤x上的均匀分布，则可知X服≤0,10≤从[0,1]上的均匀分布，Y也服从[0,1]上的均匀分布，且X与Y独立。
又记事件A={})(x f≤Y,则A的概率为p=P{})(x f≤Y=⎰⎰10)(0x f dydx=⎰10)(x f dx=J即定积分的值J就是事件A的概率p。
由伯努利大数定律，我们可以用重复试验中A出现的频率作为p的估计值。
这种求定积分的方法也成为随机投点法，即将（X，Y）看成是向正方形{}1x内的随机投点，用随机点落在≤≤y0,10≤≤区域{})(xY中的频率作为定积分的近似值。
≤f下面用蒙特卡洛的方法，来得到A 出现的频率：（1）先用计算机产生（0，1）上均匀分布的2n 个随机数：x i ，y i，i =1,2，n ,这里的n 可以很大，（2）对n 对数据（x i ，y i），i =1,2， n ,记录满足如下不等式yi≤)(x i f的次数，这就是事件A 发生的频数μn，由此可得事件A 发生的频率nnμ，则J ≈nnμ注:对于一般的区间[]b a ,上的定积分W=⎰ba x g )(dx ,作线性变换y =)()(b x a x --，即可化成[0,1]区间上的积分。
进一步若d x g c ≤≤)(，可令 )(y f =cd -1{}c y a b a g --+))((， 则0≤)(y f ≤1 此时有W=⎰ba x g )(dx =S 0⎰1)(y f dy +)(a b c -，其中S=)(a b -)(c d -。
这说明以上方法带有普遍性。
二、广义积分计算广义积分是高等数学中较难的概念之一，需要我们掌握其定义和相关性质。
在进行广义积分计算时，我们应选取简便且有效的方法。
对于广义积分，现有如下定义：设函数()f x 在[,)a +∞有定义，并且对任意的()A A a >在区间[,)a A 上可积，当极限lim ()AaA f x dx →+∞⎰存在时，称这极限值I 为()f x 在区间[,)a +∞上的广义积分。
记作()a f x dx I +∞==⎰lim()AaA f x dx →+∞⎰，这时也称积分()af x dx +∞⎰是收敛的，并且用记号()af x dx +∞⎰表示它的值。
如果上述的极限不存在，称积分是发散()f x dx +∞-∞⎰的，这时虽用同样的记号，但已经不表示数值了。
而含参变量的广义积分，就是形如(,)af x y dx +∞⎰的积分，称为含参量y 的广义积分。
在数理方程和概率论中经常出现这种形式的积分。
对于广义积分的计算，我们有很多方法，比如说换元法，拉普拉斯变换，Fourier 积分变换或Γ函数的性质等很多方法，而对于一些特殊类型的广义积分的计算，我们还可以用概率论的有关知识。
在概率论中，有一些重要的分布，比如说正态分布，指数分布，Γ分布等等，而关于这些分布的数字特征均是关于概率密度函数的广义积分，例如，概率积分是标准正态概率密度函数的广义积分，是很重要的积分之一，在概念论方面经常遇到，且有广泛应用。
下面通过一些实例，对概率论在特殊类型广义积分计算中的应用进行探索，并期望在这一探索中，领会出一些令人耳目一新的方法。
1. 用概率论中的指数分布计算广义积分定义 1 ：密度函数为,0()0,0x e x p x x λλ-⎧≥=⎨<⎩,分布函数为1,()0,x e x F x x λ-⎧-≥=⎨<⎩，这里0λ>，是常数，这个分布称为指数分布。
例2 计算220(456)x x x e dx ∞-++⎰这个例题可以用广义积分的分部积分法直接求解，但要用到两次分部积分法，并要求极限。
这里注意到被积函数中含有因式2x e -，刚好是参数为2λ=的指数分布概率密度函数的一部分，故有，220(456)xx x e dx ∞-++⎰2201(456)22xx x e dx ∞-=++⎰ 21(456)2E X X =++25232EX EX =++ 这里X 是服从参数为2λ=的指数分布的随机变量。
由概率论知识可知，1EX λ=，21DX λ=，2222()EX DX EX λ=+=故220(456)x x x e dx ∞-++⎰ 22512()3222=⋅+⋅+214=2. 利用概率论中的正态分布计算广义积分 1) 利用正态分布的概率密度性质计算广义积分定义 2 ： 设X 为连续型随机变量，若X 的概率密度函数为22()2()x u f x δ--=，()x -∞<<+∞，其中u ，2δ为已知参数，则称X 服从正态分布，记作X ~2(,)N u δ概率密度具有规范性，即22()21x u δ--+∞-∞=⎰①利用此式可以简单计算22()2x a P edx --+∞-∞⎰类型广义积（其中,a p 为常数，0p >）。
例3 计算广义积分⑴2x e dx +∞--∞⎰ ；⑵2(2)4x e dx -+∞--∞⎰解：⑴令x =则2x e dx +∞--∞⎰22t e dt +∞--∞=⎰22t dt +∞--∞==⑵2(2)4x edx -+∞--∞⎰2+∞-∞==此例中，⑴看作随机变量X ~2(0,1)N ；⑵看作随机变量X~)N 。
通常微积分方法求解本例题比较困难，把被积函数看作或变换成某个正态分布的概率密度，再利用①式计算积分，则较为简单。
2) 利用正态分布的期望定义计算广义积分 定义3 ：设连续型随机变量的概率密度为()f x ，若()xf x dx +∞-∞⎰绝对收敛，则称此积分为X的期望，记作()E X。
对于正态分布X~2(,)N uδ可以证明EX u=，即有：22()2x udx uδ--+∞-∞=⎰②利用②式可以较为方便地计算22()2x apxe dx--+∞-∞⎰型广义积分例4 计算广义积分2(4)6(1)xx e dx--+∞-∞-⎰解：原式22xe e+∞+∞-∞-∞=-⎰⎰22+∞+∞-∞-∞=-41=-=本例中可看作随机变量，X~2)这类广义积分一般用换元法比较麻烦，而把被积函数看作或变换成某随机变量正态分布的期望表达式，则很容易求解。
3)利用正态分布的方差定义计算广义积分定义 4 设连续型随机变量的期望为()E X，概率密度函数为()f x，若2(())E X E X-存在()x-∞<<+∞，则称2[()]()x E x f x dx+∞-∞-⎰为X的方差，记作()D X。
若X~2(,)N u s，则可证明2()D X S=，即有：22()222()x ux u dxδδ--+∞-∞-=⎰由方差的定义可以推算出其计算公式22()()D X EX EX=-，即有22()EX DX E X=+，于是对于正态分布有：22()2222x ux dx aδδ--+∞-∞=+⎰③利用①,②，③式可以比较方便地计算22()22()x apx c dx--+∞-∞-⎰型广义积分。
例5计算广义积分2(4)28(4)xx e dx--+∞-∞-⎰解：原式22(4)222(4)xx dx--+∞⋅-∞=-由③式知，原式22==这类广义积分的计算一般需要换元法和分部法，是比较繁杂的，这里把所求积分变换成某随机变量正态分布的方差表达式，简化了积分计算。
3.利用Γ分布求被积函数中含有三角函数的广义积分对于被积函数含有三角函数形式的广义积分，可以借助概率论中特征函数的知识来判断积分的敛散性，并进行求值。
定理：设X为服从概率密度为()f x的随机变量，其特征函数为[3]()tϕ，λ为常数，则有广义积分：1cos()()22i x i xEe Eexf x dxλλλϕλϕλ-+∞-∞+==+-⎰［（）]1sin()()22i x i xEe Eexf x dxiλλλϕλϕλ-+∞-∞-==--⎰［（）]证明：由欧拉公式(cos sin)ie e iαβαββ+=+可知，cos sini xe x i xλλλ=+，cos sini xe x i xλλλ-=-，故有cos cos ()2i x i xEe Ee E x xf x dx λλλλ-+∞-∞+==⎰sin sin ()2i x i xEe Ee E x xf x dx iλλλλ-+∞-∞+==⎰ 又由特征函数的定义，得()i x e λϕλ=，()i x e λϕλ-=-，即证。
例6 计算广义积分(cos )(1,0)xx x e dx αβλαβ-+∞-∞>->⎰解：因被积函数含有Γ分布密度函数的一部分，故(cos )xx x e dx αβλ-+∞⎰110(1)(cos )(1)xx e x dx αβααβαλβα-+∞++=⋅Γ+⋅⋅Γ+⎰1(1)cos E x αβαλ+=⋅Γ+1[()()]2ϕλϕλ=+-11111[]2(1)(1)i i ααβλβλ++=+-+ 其中X 为服从参数,αβ的Γ分布的随机变量，其密度函数为1()0(1,0)1xx ef x x αβααββα-+=≥>->⋅Γ+，（）()0,0f x x =< 特征函数为11()(1)t i t αϕβ+=+更进一步，如果遇到被积函数中为含有三角函数稍复杂的形势，可以考虑用三角函数的积化和差等公式先降价处理，在进行计算，也可以简化计算。
三、引进随机变量证明积分不等式例7 求证，当f(x)为[a,b]上的连续的下凸函数时，()12b a a b f f x dx b a +⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭⎰。
当f(x)为[a,b] 上的连续的上凸函数时，()12b a a b f f x dx b a+⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭⎰。
证明：设连续型随机变量ξ的密度函数为：()1,b-a0a x b p x ≤≤={当时，，其它，则1E =(),2ba ab xp x dx xdx b a ξ+∞-∞+==-⎰⎰而()11=()()()()b ba a Ef f x p x dx f x dx f x dxb a b aξ+∞-∞==--⎰⎰⎰。