高数(多元函数的极值和条件极值)
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值在数学分析中，极值是一个重要的概念。
对于多元函数而言，我们可以通过求取偏导数或利用拉格朗日乘数法来确定其极值点。
在这篇文章中，我们将探讨多元函数的极值以及条件极值。
一、多元函数的极值在开始讨论多元函数的极值之前，我们先来回顾一元函数的极值。
对于一个实数域上的函数f(x)，如果存在x=a，使得在a的某个去心邻域内，函数值小于（或大于）f(a)，则称f(a)是函数f的一个极大（或极小）值。
同样地，我们可以将这一概念推广到多元函数上。
考虑一个定义在n维欧几里得空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，其中x₁,x₂,...,xₙ是实数。
我们称向量x=(x₁,x₂,...,xₙ)为函数f的一个驻点，如果在x的某个邻域内，函数值在x点取得极值。
对于多元函数，我们需通过求取偏导数来判断其极值点。
偏导数的定义如下：对于函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，它在x=(a₁,a₂,...,aₙ)处的偏导数∂f/∂xᵢ (i=1,2,...,n)是当变量xᵢ在点(x₁,x₂,...,xₙ)处以及其他变量a₁,a₂,...,aₙ保持不变时的导数。
求解偏导数后，我们可以通过将偏导数相应的变量取0，得到一组等式，从而解得极值点。
二、多元函数条件极值在实际问题中，我们经常会遇到有约束条件的优化问题，这就引出了条件极值的概念。
对于一个满足一组约束条件的多元函数，我们要在满足条件的前提下，找到它的极值点。
拉格朗日乘数法是求解带有约束条件的多元函数极值的常用方法。
设函数f(x₁,x₂,...,xₙ)的约束条件为g(x₁,x₂,...,xₙ)=0。
首先构建拉格朗日函数L(x₁,x₂,...,xₙ,λ)=f(x₁,x₂,...,xₙ)+λg(x₁,x₂,...,xₙ)，其中λ为拉格朗日乘数。
然后，求解函数L的偏导数∂L/∂xᵢ(i=1,2,...,n)和∂L/∂λ，并将它们置为0。
解这组方程，即可得到满足条件的极值点。
多元函数的极值及最大值
例5 求表面积为 a 而体积为最大的长方体 的体积 .
2
三、最小二乘法
作业：P70 1 5 8
要找函数z f ( x, y)在附加条件 ( x, y) 0 下的可能极值点，可以 先构成辅助函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 由： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 ( x, y ) 0
例3：某厂要用铁板做成一 个体积为2m 的有盖 长方形水箱 .问长、宽、高各取怎样 的尺 寸时，才能使用料最省 ？
例4：有一宽为 24cm的长方形铁板，把它两 边 折起来做成一个断面为 等腰梯形的水槽 . 问怎样折法才能使断面 的面积最大？
3
二、条件极值 拉格郎日乘数法
无条件极值 条件极值 拉格郎日乘数法
(1) AC B 2 0时具有极值，且当 A 0时有极大 值，当A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B 2 0时可能有极值，也可能 没有极值， 还需另作讨论 . 3 3 2 2 例2：求函数f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .
驻点：能使 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0同时成立的点 .
可导：极值点 驻点. 驻点 ？极值点.
定理2(充分条件)：设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的 某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y )在( x0 , y0 )处是否取得极值的条件 如下：
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值一、引言在数学中，多元函数是指依赖于多个变量的函数。
研究多元函数的极值和条件极值是优化理论和实际问题求解的基础。
本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、求解方法以及应用案例。
二、多元函数的极值多元函数的极值指的是函数取得的最大值和最小值。
对于二元函数f(x, y)，当f(x, y)在一定范围内取得最大值或最小值时，称之为极值。
同样地，对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，当f(x1, x2, ..., xn)在一定范围内取得最大值或最小值时，也称之为极值。
确定多元函数的极值有以下几种常用方法：1. 梯度法：通过计算函数的梯度向量，找到函数的驻点，再通过二阶导数的判别方法来确定驻点处的极值。
2. 拉格朗日乘子法：求解约束条件下的最优解，通过引入拉格朗日乘子，将多元函数的极值问题转化为无约束极值问题。
3. 二次型判别法：对于二元二次函数，可以使用二次型的正负来判定极值。
4. 图像法：对于二元函数，可以通过画出等高线图或三维曲面图来观察极值点的位置。
三、多元函数的条件极值条件极值是指在一定约束条件下，函数取得的最大值和最小值。
常见的条件极值问题可以表示为：在约束条件g(x, y) = 0的条件下，求多元函数f(x, y)的最大值和最小值。
求解条件极值的常用方法是拉格朗日乘子法。
假设函数f(x, y)和约束条件g(x, y)具有连续的一阶和二阶偏导数，而且约束条件g(x, y)在解集上的梯度不为零，那么存在实数λ，使得∇f(x, y) = λ∇g(x, y)。
通过求解λ和对应的x、y可以得到函数f(x, y)的条件极值点。
四、应用案例多元函数的极值和条件极值在实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个应用案例的简要介绍：1. 优化问题：如生产过程中的成本最小化、利润最大化等，可以通过求解函数的极值来得到最优解。
2. 建模问题：如平面上点到曲线的最短距离、材料的最优分配等问题，可以通过多元函数的条件极值来建立数学模型并求解。
多元函数的极值与条件极值的求解方法
多元函数的极值与条件极值的求解方法一、引言多元函数在数学和应用领域中扮演着重要的角色。
求解多元函数的极值是一个常见的数学问题，而条件极值则进一步考虑了多个约束条件下的最优解。
本文将介绍多元函数极值和条件极值的求解方法。
二、多元函数极值的求解方法要求解多元函数的极值，需要判断函数在特定点的局部极值，并进一步确定全局极值。
常用的方法包括二阶条件、梯度以及拉格朗日乘子法。
1. 二阶条件法对于一个二次可导函数，可以通过计算其二阶偏导数来确定函数的极值。
具体步骤如下：a. 计算函数的一阶偏导数，并令其等于零，得到临界点；b. 计算函数的二阶偏导数，并检查其正负性；c. 若二阶偏导数为正，则临界点是局部极小值；若二阶偏导数为负，则临界点是局部极大值。
2. 梯度法梯度法可以用于求解多元函数的极值，其思想是在梯度的指引下，逐步迭代寻找函数的最优解。
具体步骤如下：a. 计算函数的梯度向量，并初始化变量值；b. 根据梯度向量的反方向更新变量的取值；c. 重复步骤b，直到满足收敛条件。
3. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法用于求解多元函数在一组约束条件下的极值。
通过构建拉格朗日函数，并利用约束条件和拉格朗日乘子进行求解，得到函数的条件极值。
三、条件极值的求解方法在现实问题中，多元函数的极值求解往往伴随着条件限制。
求解条件极值需要考虑约束条件，并结合优化理论中的拉格朗日乘子法。
1. 求解过程a. 构建拉格朗日函数，将约束条件引入目标函数中，得到增广拉格朗日函数；b. 求解增广拉格朗日函数的临界点，即通过求解方程组来确定目标函数的条件极值点。
c. 验证求得的临界点是否满足约束条件，并通过比较确定全局的条件极值。
2. 案例分析假设有一个三角形，其面积为目标函数，而周长为约束条件。
通过使用拉格朗日乘子法，可以求解出在给定周长下，使得三角形面积最大的顶点。
四、总结本文介绍了多元函数极值和条件极值的求解方法。
对于多元函数极值的求解，可以使用二阶条件法、梯度法和拉格朗日乘子法来确定函数的极值点。
关于多元函数的极值和最值计算
关于多元函数的极值和最值计算多元函数的极值和最值计算是高等数学中的重要部分，它涉及到多元函数的极大值和极小值的求解以及在给定区域内的最大值和最小值的确定。
在这篇文章中，我们将详细介绍多元函数的极值和最值计算的方法和步骤。
首先，让我们来了解一下多元函数的概念。
在高等数学中，一个多元函数是指具有多个变量的函数，它通常被表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn是变量，f是一个函数。
多元函数与一元函数不同，它的输入变量不再是一个实数，而是多个实数。
因此，多元函数的求解方法也与一元函数有所不同。
下面我们将分别介绍多元函数的极大值和极小值的求解方法。
首先是多元函数的极大值和极小值的求解。
要求解多元函数的极大值和极小值，我们需要找到函数的驻点（即导数等于零的点）以及临界点（即定义域的边界点）。
第一步是计算多元函数的偏导数。
在多元函数中，我们根据变量的个数来计算偏导数。
例如，对于一个两个变量的函数f(x1,x2)，我们需要计算f对x1的偏导数∂f/∂x1和f对x2的偏导数∂f/∂x2第二步是找到偏导数为零的点。
我们将得到一个方程组，其中每个方程都是一个偏导数等于零的方程。
通过求解这个方程组，我们可以找到多元函数的驻点。
第三步是找到临界点。
临界点是指函数定义域的边界点。
我们需要判断多元函数在这些边界点是否存在极值。
为此，我们可以计算函数在边界点处的取值，并与其他驻点的函数值进行比较。
通过这些步骤，我们可以确定多元函数的极大值和极小值。
接下来，让我们介绍多元函数在给定区域内的最大值和最小值的确定方法。
要确定多元函数在给定区域内的最大值和最小值，我们需要利用拉格朗日乘数法。
首先，确定给定区域的边界条件。
给定区域可以是一个封闭区域，也可以是一个开放区域。
第一步是通过拉格朗日乘数法构建一个方程。
这个方程的形式是多元函数加上一个或多个约束条件的等式。
拉格朗日乘子是用来考虑约束条件对函数极值的影响的。
大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，
高等数学(下) 第3版课件-多元函数的极值
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用 是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称 为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ， 这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解 设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。
研究多元函数的极值和条件极值可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，在各种实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、判别法以及求解方法，以深入探讨这一重要数学概念。
一、多元函数的极值多元函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
对于具有两个自变量的函数，通常使用偏导数的概念来进行讨论。
偏导数是指将函数对于某一个自变量求导时，将其他自变量看作常数，得到的导数。
考虑一个具有两个自变量的多元函数 f(x, y)，其中 x 和 y 是定义域内的变量。
函数 f(x, y) 的极值点可以通过以下步骤确定：1. 求出函数 f(x, y) 的偏导数，即 f 对于 x 的偏导数∂f/∂x 和 f 对于 y 的偏导数∂f/∂y；2. 解方程组∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = 0，得到可能的极值点；3. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。
当二阶偏导数的行列式D = ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² 大于 0 时，判断该点为极值点，否则不是。
二、多元函数的条件极值条件极值是指多元函数在满足一定条件下取得的极值。
通常在实际问题中，函数的自变量受到一定的限制条件约束。
此时，我们需要使用拉格朗日乘子法来求解条件极值。
假设有一个多元函数 f(x, y) 和一个条件方程 g(x, y) = 0。
使用拉格朗日乘子法求解条件极值的步骤如下：1. 构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子；2. 求出 L 对于 x、y 和λ 的偏导数∂L/∂x，∂L/∂y 和∂L/∂λ；3. 解方程组∂L/∂x = 0，∂L/∂y = 0 和∂L/∂λ = 0，得到可能的条件极值点；4. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。
高等数学A第6章多元函数微分学9-10(多元函数的极值 条件极值—拉格朗日乘数法则)
证
设z f ( x, y)在( x0 , y0 )取得极小值, 则f ( x, y) f ( x0 , y0 ),
取x x0 , y y0 , 仍有f ( x0 , y) f ( x0 , y0 ),
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 , y 故 Q(h, k ) 与 A 同号.
3 2 例1 求f ( x , y ) x y y 3 x 2 1的极值. 2
3 3
例 2 求由方程x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 10 0 所确定的函数z z ( x , y )的极值.
例4. 设 f(x , y)=2x2-3xy2+y 4, 求它的极值
( 2) z f ( x , y)在极值点处的切平面为 z z0 , 平行于xoy面.
(3) 如果三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有 偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条件为 f x ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
2 (1)对x求偏导得1 z x zz xx 2 z xx 0
(1)对y求偏导得z y z x zz xy 2 z xy 0
大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点， 是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步 求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
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y y y
结束
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多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） ：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )
12多元函数的极值与最值
A 1 (24 2x 2x cos 24 2x) x sin
2
24x sin 2x2 sin x2 cos sin ( D : 0 x 12, 0 π )
2
x x
24 2x
2019年12月22日星期日
8
高等数学（下）主讲杨益民
拉格朗日乘数法推导（略）
2019年12月22日星期日
14
高等数学（下）主讲杨益民
例9 将正数12分成三个正数 x, y, z 之和,使得 U=x3 y2 z 最大。
解: 令：F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12)
Fx 3 x2 y2z 0
解: 1. 利用隐方程组求偏导及必要条件zx=zy=0得驻点(1,-1)； 2. 带入原方程求得相应的z=-2, z=6；
3. 隐方程组再求偏导得A,B,C； 4. 判断并求出极值。
注：偏导数不存在的点，也是极值可疑点。如：z x2 y2 , (0,0)
2019年12月22日星期日
5
高等数学（下）主讲杨益民
4
高等数学（下）主讲杨益民
例4 求函数
的极值。
解: 1. 求驻点(1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) ； 2. 求相应的A,B,C； 3. 判断并求出极值。
例5 求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 确定的 函数z=f (x, y)的极值。
过 P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为：
x0 a2
(x
x0
)
y0 b2
(
y
y0
多元函数的极值
课堂练习 求函数 f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 xy 的极值 . 解 取到极值的必要条件 : f x ( x , y ) = 3 x 2 − 3 y = 0, x 2 − y = 0, 定理1 用P110定理 定理 即 2 2 y − x = 0. f y ( x , y ) = 3 y − 3 x = 0, y = x2, y = x2, y = x2, 即 2 2 即 即 3 ( x ) − x = 0 . x ( x − 1 ) = 0 . x = 0 或 x = 1 . 得驻点 (1,1), ( 0,0 ).
又, A = f xx( x, y) = 6x, B = f xy ( x, y) = −3, C = f yy ( x, y) = 6 y.
∵ AC − B2 = 6 ⋅ 6 − (−3)2 > 0, 又 A > 0, 点(1,1 )处 ,
定理2 用P110定理 定理
∴ f (1,1) = − 1是极小值 ;
又设 又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导 数的 隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 15
又设 又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导 数的 隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 代入得 z = f [ x , y( x )], 化成了无条件极值 一元函 数 z = f [ x , y ( x )] 在 x 0 处取得极值的 dz 由隐函数求导公式得到 必要条件是 x = x0 = 0, dx dy 即 [ f x ( x , y ( x )) + f y ( x , y ( x )) ⋅ ] x = x 0 = 0, dx dx ϕ x ( x 0 , y0 ) ) = 0, 即 f x ( x0 , y0 ) + f y ( x0 , y0 )( − ϕ y ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 令 即 = =− λ, ϕ x ( x 0 , y0 ) ϕ y ( x 0 , y0 )
8.8 多元函数极值及其求法-文档资料
取得极值的必要条件： 定理1 设函数zf (x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点
(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0．
类似地可推得，如果三元函数uf (x，y，z)在点(x0，y0，z0) 具有偏导数，则它在点(x0，y0，z0)具有极值的必要条件为
处有极小值f(1，0)5，所以f (1，2)不是极值；
在点(3，0)处，ACB 212·6<0，所以f (3，0)不是极值；
在点(3，2)处，ACB 212·(6)>0，又A<0，所以函数的
(3，2)处有极大值f(3，2)31．
应注意的问题： 不是驻点也可能是极值点． 例 如 函 数 z x 2 y 2 在 点 ( 0 ， 0 ) 处 有 极 大 值 ， 但 ( 0 ， 0 ) 不 是
函数的驻点．因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的 驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑．
z O
y
x
最大值和最小值问题：
解 设 水 箱 的 长 为 x m ， 宽 为 y m ， 则 其 高 应 为 2 m ． xy
此水箱所用材料的面积为
A 2 ( x y y · 2 x · 2 ) ， 即 2 ( x y 2 2 ) ( x > 0 ， y > 0 ) ． x x y y x y
令 A x 2 ( y x 2 2 ) 0 ， A y 2 ( x y 2 2) 0 ． 得 x 3 2 ， y 3 2 ． 由题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域
高中数学备课教案多元函数的极值与条件极值的计算
高中数学备课教案多元函数的极值与条件极值的计算高中数学备课教案多元函数的极值与条件极值的计算导言：多元函数的极值和条件极值在高中数学中扮演着重要的角色。
通过计算多元函数的极值，我们可以找到函数的最大值和最小值，帮助我们解决实际问题。
本教案将重点介绍多元函数的极值和条件极值的计算方法。
一、多元函数的极值1.1 极值的概念在单变量函数中，我们已经学习了极值的概念。
对于多元函数，极值的定义也类似。
对于函数f(x₁, x₂, ..., xn)，如果在特定点(x₁₀,x₂₀, ..., xn₀)处，存在一个邻域，使得在这个邻域内，函数值都小于（或大于）f(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)，那么这个点就被称为函数的极小值（或极大值）点，相应的函数值就是函数的极小值（或极大值）。
1.2 极值的判定要判定一个多元函数的极值，我们可以使用以下方法：1）求偏导数，令偏导数为0，解方程组，找到可能的极值点；2）求二阶偏导数，根据二阶偏导数的性质，判断极值点的类型。
1.3 举例说明考虑函数f(x, y) = x² + y² - 2x - 4y + 1，我们来求解该函数的极值。
解：首先，求偏导数：∂f/∂x = 2x - 2∂f/∂y = 2y - 4令偏导数为0，解方程组：2x - 2 = 02y - 4 = 0解得x = 1，y = 2，因此极值点为(1, 2)。
然后，求二阶偏导数：∂²f/∂x² = 2∂²f/∂x∂y = 0∂²f/∂y² = 2计算得到二阶偏导数的值。
根据二阶偏导数判断极值点的类型：当∂²f/∂x² > 0，∆= ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² > 0 时，极值点为极小值点；当∂²f/∂x² < 0，∆ < 0 时，极值点为极大值点；当∆ = 0 时，判定不出来。
第八节多元函数的极值及其求法
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
再求它的无条件极值就行了.
这是一种间接求条件极值的方法. 但是，在很多情形，条件极值问题不能或很难化为
无条件极值问题，(比如，从附加条件不能将其中一个 变量由其余变量表示出来)，这时， 上述方法就行不 通了. 可是， 实际中又有大量这类问题需要解决， 为此， 下面给大家介绍一种直接求条件极值的方法，
对该邻域内的异于 (x0, y0) 的任意点 (x, y), 都有 f (x, y) f (x0, y0) .
取定 y y0,当0 | x x0 | 时, 点(x, y0) U (P0, ) , 且(x, y0) (x0, y0), 因而应有
f (x, y0) f (x0, y0)
即 当0 | x x0 | 时, 有
第三步 根据极值的充分条件， 对驻点 (x0, y0) 是否为极值点，以及是极大值点还是极小值点
作出判断。
例1 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值.
解 定义域: 整个平面
fx 3x2 6x 9 0
fy
3y2 6y
0
解得: x 1 x 1 x 3
求 V xyz (x 0, y 0, z 0)
在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值.
条件极值问题
怎样求条件极值？ 有些可以化为无条件极值问题来求。
例如上面的问题：
求 V xyz (x 0, y 0, z 0) 在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值. 由附加条件解得
f (x, y) f (x0, y0)
( )
则称函数 f (x,y) 在点 (x0 ,y0) 有极大值 f(x0 ,y0)， (极小值)
高等数学第九章第八节 多元函数的极值及其求法
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
例 3 求函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值。
练习题答案
一、1、(3,2),大,36； 二、(8 , 16).
55
2、大, 1； 4
练习题
一、
填空题:
1、
函数 f ( x, y) (6x x 2 )(4 y y 2 ) 在
_______点取得极_________值为___________.
2、
函数 z xy 在附加条件 x y 1下
的极______值为_____________.
二、 在 平 面 xOy 上 求 一 点 , 使 它 到 x 0, y 0 及 x 2 y 16 0三平面的距离平方之和为最小.
求函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的极值。
(2)拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中 为某一常数，可由
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： （1） AC B2 0时具有极值，
当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值；
（2） AC B2 0时没有极值； （3） AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
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ϕx ϕy
fx
=
fy
=−λ
16
极值点必满足
fx +λϕx = 0 f y +λϕy = 0 ϕ(x, y) = 0
引入辅助函数 F = f (x, y) +λϕ(x, y) 则极值点满足: 则极值点满足
辅助函数F 称为拉格朗日( 函数.利用拉格 辅助函数 称为拉格朗日 Lagrange )函数 利用拉格 函数 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 拉格朗日乘数法
A
B
C
6
例2.讨论函数 讨论函数 是否取得极值. 是否取得极值
及
在点(0,0) 在点
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值 不是极值. 0
2 2
2 2 2
z
o x
y
当x + y ≠ 0时 z = (x + y ) > z (0,0) = 0 ,
2 2
x 24
αx
24−2x
13
A= 24xsinα −2x2 sinα + x2 cosαsinα ( D: 0 < x <12, 0 <α < π ) 2
令
A =24sinα −4xsinα +2xsinαcosα = 0 x
A =24xcosα −2x2 cosα + x2(cos2α −sin2 α) = 0 α
的极值. 的极值.
B
C
fxx (x, y) = 6x +6, fxy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y +6
A
在点(1,0) 处 在点
AC−B2 =12×6 > 0, A> 0,
为极小值; 为极小值;
5
在点(1,2) 处 在点
AC−B2 =12×(−6) < 0,
在点(− 在点 −3,0) 处
2⋅ 2
12
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 一个断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面面 积最大. 积最大 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为α , 则断面面积 1 为 (24 −2x+ 2xcosα ) ⋅ xsinα 2
= 24xsinα −2x sinα + x cosαsinα ( D: 0 < x <12, 0 <α < π ) 2
§9.8-9.9多元函数的极值及条件 多元函数的极值及条件 极值
一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
1
一、 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值 极小值).极大值和极小值 极大值(极小值 则称函数在该点取得极大值 极小值 极大值和极小值 统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点. 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点 极值 极值点 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 有极小值 有极大值; 在点 (0,0) 有极大值 无极值. 在点 (0,0) 无极值
10
二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 驻点(假设 可微) 驻点 假设 f 可微 最值可疑点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 只有一个极值点 极值点P 特别 当区域内部最值存在 且只有一个极值点 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大)值
π
一个驻点, 故此点即为所求. 一个驻点, 故此点即为所求.
三、条件极值
极值问题 无条件极值: 无条件极值 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 条件极值的求法: 条件极值的求法 方法1 代入法 例如 , 方法 代入法.
函 极 条 转 ϕ(x, y) = 0 , 求 数z = f (x, y) 的 值 件
由极值的必要条件， 由极值的必要条件，有
n n n n ∂ (ε 2 ) = −2∑ ( yi − axi − b ) xi = 2(a ∑ xi2 + b∑ xi − ∑ xi yi ) = 0, ∂a i =1 i =1 i =1 i =1
∂ (ε ) = −2∑ ( yi − axi − b ) = 2( a ∑ xi + nb − ∑ yi ) = 0. ∂b i =1 i =1 i =1
sinα ≠ 0 , x ≠ 0 12 −2x + xcosα = 0 24cosα −2xcosα + x(cos2α −sin2α) = 0
解得: 解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内只有
14
α = = 60o, x =8 (cm )
11
某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱 例3. 某厂要用铁板做一个体积为 问当长、 高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时 才能使用料最省 设水箱长,宽分别为 解: 设水箱长 宽分别为 x , y m ,则高为 则高为 则水箱所用材料的面积为
2 m, xy
因此 为极小值. 为极小值.
7
最小二乘法) 例(最小二乘法 在实际问题中，常常要从一组观测数据 最小二乘法 在实际问题中， (xi,yi)(i=1,⋅⋅⋅ 出发，预测函数 ⋅⋅⋅,n)出发 的表达式． ⋅⋅⋅ 出发，预测函数y=f(x)的表达式．从几何上 的表达式 去描绘曲线y=f(x)的近似 就是由给定的一组数据(x 去描绘曲线 的近似 看，就是由给定的一组数据 i,yi)(去描绘曲线 图形，这条近似的曲线称之为拟合曲线， 图形，这条近似的曲线称之为拟合曲线，要求这条拟合曲 线能够反映出所给数据的总趋势(参看下图 参看下图). 线能够反映出所给数据的总趋势 参看下图 作曲线拟合 有多种方法，其中最小二乘法是常用的一种，它是根据实 有多种方法，其中最小二乘法是常用的一种， 际数据采用一种“直线拟合” 的方法 的方法,也就是用线性函数 际数据采用一种“直线拟合”:的方法 也就是用线性函数 来作逼近． 来作逼近．
17
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 推广 个约束条件的情形. 个约束条件的情形 例如, 例如 求函数 u = f (x, y, z) 在条件 ϕ(x, y, z) = 0,
ψ(x, y, z) = 0下的极值 下的极值. 设 F = f (x, y, z) +λ ϕ(x, y, z) +λ2ψ(x, y, z) 1
z
x
y
2z + y +λyz = 0
解方程组
2z + x +λxz = 0
2(x + y) +λxy = 0 xyz −V = 0 0
19
4 V 得唯一驻点 x = y = 2z = 3 2 0 , λ = 3 −V 2
0
由题意可知合理的设计是存在的, 由题意可知合理的设计是存在的 因此 , 当高为 3 V0 , 倍时，所用材料最省. 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省 思考: 思考 1) 当水箱封闭时 长、宽、高的尺寸如何 x 当水箱封闭时, 高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 提示 利用对称性可知 x = y = z = 3 V 0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时 欲使造价 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 最省, 应如何设拉格朗日函数? 高尺寸如何? 最省 应如何设拉格朗日函数 长、宽、高尺寸如何 提示: 提示 F = 2(xz + yz) +2 xy +λ(xyz −V ) 0 长、宽、高尺寸相等 .
ε i = yi − ~i = yi − (axi + b ) ( i = 1,L, n). y
作偏差的平方和
2 2 ε 2 = ε 12 + ε 2 + L + ε n = ∑ ( yi − axi − b )2 为平方总偏差. 达到最小， 现在求a,b， 现在求 ，使得平方总偏差ε达到最小，则所得直线 9 y=ax+b就是所给数据的最佳拟合直线 就是所给数据的最佳拟合直线. 就是所给数据的最佳拟合直线
3
点 定理2 充分条件 充分条件) 定理 (充分条件 若函数 z = f (x, y) 在 (x0 , y0) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且
fx (x0 , y0) = 0 , f y (x0 , y0) = 0
令 A= fxx (x0 , y0) , B = fxy (x0 , y0) , C = f y y (x0 , y0) 则: 1) 当AC−B > 0时, 具有极值
z z z
x x x
y y y
2
定理1 必要条件 必要条件) 定理 (必要条件 函数 偏导数, 偏导数 且在该点取得极值 , 则有
存在
′ ′ fx (x0, y0) = 0 , f y (x0, y0) = 0
证: 取得极值 , 故 取得极值 取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明: 的点称为驻点 说明 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 但驻点不一定是极值点. 但驻点不一定是极值点 例如, 例如 有驻点( 但在该点不取极值. 有驻点 0, 0 ), 但在该点不取极值
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
18
的长方体开口水箱, 例5. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱 试问 水箱长、 高等于多少时所用材料最省？ 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 分别表示长、 则问题为求x 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,则问题为求 , y , z 使在条件 xyz =V 下水箱表面积 S = 2(xz + yz) + xy 0 最小. 最小 令 F = 2(xz + yz) + xy +λ(xyz −V ) 0