高数(多元函数的极值和条件极值)

z z z
x x x
y y y
2
定理1 必要条件 必要条件) 定理 (必要条件 函数 偏导数, 偏导数 且在该点取得极值 , 则有
存在
′ ′ fx (x0, y0) = 0 , f y (x0, y0) = 0
证: 取得极值 , 故 取得极值 取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明: 的点称为驻点 说明 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 但驻点不一定是极值点. 但驻点不一定是极值点 例如, 例如 有驻点( 但在该点不取极值. 有驻点 0, 0 ), 但在该点不取极值
ε i = yi − ~i = yi − (axi + b ) ( i = 1,L, n). y
作偏差的平方和
2 2 ε 2 = ε 12 + ε 2 + L + ε n = ∑ ( yi − axi − b )2 , i =1 n
称ε=ε(a,b)为平方总偏差 为平方总偏差. 达到最小， 现在求a,b， 现在求 ，使得平方总偏差ε达到最小，则所得直线 9 y=ax+b就是所给数据的最佳拟合直线 就是所给数据的最佳拟合直线. 就是所给数据的最佳拟合直线
2 n n n
于是得到a、b所满足的方程 于是得到a、b所满足的方程
n n n 2 ( ∑ xi )a + ( ∑ xi )b = ∑ xi yi , i =1 i =1 i =1 n n ( ∑ xi )a + nb = ∑ yi . i =1 i =1
由此方程组解出a、 ， 就是所要求的直线方程. 由此方程组解出 、b，则y=ax＋b就是所要求的直线方程 ＋ 就是所要求的直线方程
10
二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 驻点(假设 可微) 驻点 假设 f 可微 最值可疑点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 只有一个极值点 极值点P 特别 当区域内部最值存在 且只有一个极值点 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大)值
sinα ≠ 0 , x ≠ 0 12 −2x + xcosα = 0 24cosα −2xcosα + x(cos2α −sin2α) = 0
解得: 解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内只有
14
α = = 60o, x =8 (cm )
ϕx ϕy
fx
=
fy
=−λ
16
极值点必满足
fx +λϕx = 0 f y +λϕy = 0 ϕ(x, y) = 0
引入辅助函数 F = f (x, y) +λϕ(x, y) 则极值点满足: 则极值点满足
辅助函数F 称为拉格朗日( 函数.利用拉格 辅助函数 称为拉格朗日 Lagrange )函数 利用拉格 函数 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 拉格朗日乘数法
11
某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱 例3. 某厂要用铁板做一个体积为 问当长、 高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时 才能使用料最省 设水箱长,宽分别为 解: 设水箱长 宽分别为 x , y m ,则高为 则高为 则水箱所用材料的面积为
2 m, xy
由极值的必要条件， 由极值的必要条件，有
n n n n ∂ (ε 2 ) = −2∑ ( yi − axi − b ) xi = 2(a ∑ xi2 + b∑ xi − ∑ xi yi ) = 0, ∂a i =1 i =1 i =1 i =1
∂ (ε ) = −2∑ ( yi − axi − b ) = 2( a ∑ xi + nb − ∑ yi ) = 0. ∂b i =1 i =1 i =1
2 2
x 24
αx
24−2x
13
A= 24xsinα −2x2 sinα + x2 cosαsinα ( D: 0 < x <12, 0 <α < π ) 2
令
A =24sinα −4xsinα +2xsinαcosα = 0 x
A =24xcosα −2x2 cosα + x2(cos2α −sin2 α) = 0 α
转 化
条 ϕ(x, y) = 0 件
y =ψ(x)
求一元函数 z = f (x,ψ(x)) 的无条件极值问题
15
方法2 拉格朗日乘数法. 例如, 方法 拉格朗日乘数法 例如
极 . 在 件 (x, y) = 0下 求 数 z = f (x, y) 的 值 条 ϕ , 函
如方法 1 所述 , 设 ϕ(x, y) = 0 可确定隐函数 y =ψ(x), 则问题等价于一元函数 z = f (x,ψ(x)) 的极值问题 故 的极值问题, 极值点必满足 dz dy = fx + f y =0 dx dx ϕx dy ϕx 因 = − , 故有 fx − f y =0 dx ϕy ϕy 记
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
18
的长方体开口水箱, 例5. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱 试问 水箱长、 高等于多少时所用材料最省？ 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 分别表示长、 则问题为求x 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,则问题为求 , y , z 使在条件 xyz =V 下水箱表面积 S = 2(xz + yz) + xy 0 最小. 最小 令 F = 2(xz + yz) + xy +λ(xyz −V ) 0
2
A<0 时取极大值; 时取极大值; A>0 时取极小值 时取极小值.
2) 当 AC−B < 0时, 没有极值 没有极值.
2
3) 当 AC−B2 = 0时, 不能确定 , 需另行讨论 需另行讨论.
4
例1. 求函数 求驻点. 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: 得驻点 (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别 求二阶偏导数 判别.
z
x
y
2z + y +λyz = 0
解方程组
2z + x +λxz = 0
2(x + y) +λxy = 0 xyz −V = 0 0
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4 V 得唯一驻点 x = y = 2z = 3 2 0 , λ = 3 −V 2
0
由题意可知合理的设计是存在的, 由题意可知合理的设计是存在的 因此 , 当高为 3 V0 , 倍时，所用材料最省. 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省 思考: 思考 1) 当水箱封闭时 长、宽、高的尺寸如何 x 当水箱封闭时, 高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 提示 利用对称性可知 x = y = z = 3 V 0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时 欲使造价 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 最省, 应如何设拉格朗日函数? 高尺寸如何? 最省 应如何设拉格朗日函数 长、宽、高尺寸如何 提示: 提示 F = 2(xz + yz) +2 xy +λ(xyz −V ) 0 长、宽、高尺寸相等 .
因此 为极小值. 为极小值.
7
最小二乘法) 例(最小二乘法 在实际问题中，常常要从一组观测数据 最小二乘法 在实际问题中， (xi,yi)(i=1,⋅⋅⋅ 出发，预测函数 ⋅⋅⋅,n)出发 的表达式． ⋅⋅⋅ 出发，预测函数y=f(x)的表达式．从几何上 的表达式 去描绘曲线y=f(x)的近似 就是由给定的一组数据(x 去描绘曲线 的近似 看，就是由给定的一组数据 i,yi)(去描绘曲线 图形，这条近似的曲线称之为拟合曲线， 图形，这条近似的曲线称之为拟合曲线，要求这条拟合曲 线能够反映出所给数据的总趋势(参看下图 参看下图). 线能够反映出所给数据的总趋势 参看下图 作曲线拟合 有多种方法，其中最小二乘法是常用的一种，它是根据实 有多种方法，其中最小二乘法是常用的一种， 际数据采用一种“直线拟合” 的方法 的方法,也就是用线性函数 际数据采用一种“直线拟合”:的方法 也就是用线性函数 来作逼近． 来作逼近．
§9.8-9.9多元函数的极值及条件 多元函数的极值及条件 极值
一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
1
一、 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值 极小值).极大值和极小值 极大值(极小值 则称函数在该点取得极大值 极小值 极大值和极小值 统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点. 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点 极值 极值点 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 有极小值 有极大值; 在点 (0,0) 有极大值 无极值. 在点 (0,0) 无极值
2⋅ 2
12
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 一个断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面面 积最大. 积最大 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为α , 则断面面积 1 为 (24 −2x+ 2xcosα ) ⋅ xsinα 2
= 24xsinα −2x sinα + x cosαsinα ( D: 0 < x <12, 0 <α < π ) 2
不是极值; 不是极值; 不是极值; 不是极值;
AC−B2 = −12×6 < 0,
在点(− 在点 −3,2) 处
AC−B2 = −12×(−6) > 0, A< 0,
为极大值. 为极大值.
fxx (x, y) = 6x +6, fxy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y +6
= 2( xy + 2 + 2 ) x y
令
x Ay = 2(x − 2 ) = 0 y2
A = 2(y − 2 ) = 0 x 2
得驻点 (3 2 , 3 2)
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、 断定此唯一驻点就是最小值点 即当长、宽均为 3 2 水箱所用材料最省. 高为 3 2 = 3 2 时, 水箱所用材料最省 3
的极值. 的极值.
B
C
fxx (x, y) = 6x +6, fxy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y +6
A
在点(1,0) 处 在点
AC−B2 =12×6 > 0, A> 0,
为极小值; 为极小值;
5
在点(1,2) 处 在点
AC−B2 =12×(−6) < 0,
在点(− 在点 −3,0) 处
π
一个驻点, 故此点即为所求. 一个驻点, 故此点即为所求.
三、条件极值
极值问题 无条件极值: 无条件极值 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 条件极值的求法: 条件极值的求法 方法1 代入法 例如 , 方法 代入法.
函 极 条 转 ϕ(x, y) = 0 , 求 数z = f (x, y) 的 值 件
A
B
C
6
例2.讨论函数 讨论函数 是否取得极值. 是否取得极值
及
在点(0,0) 在点
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值 不是极值. 0
2 2
2 2 2
z
o x
y
当x + y ≠ 0时 z = (x + y ) > z (0,0) = 0 ,
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8
假定所给的数据点(x 假定所给的数据点 i,yi)(的分布大致成一条直 线，设它的 的分布大致成一条直 方程为 y=ax+b 其中系数a、 待定 待定.将 代入直线方程， 其中系数 、b待定 将xi 代入直线方程，得 这与实测到的值y 这与实测到的值 i有偏差
~ = ax + b ( i = 1,L, n), yi i
3
点 定理2 充分条件 充分条件) 定理 (充分条件 若函数 z = f (x, y) 在 (x0 , y0) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且
fx (x0 , y0) = 0 , f y (x0 , y0) = 0
令 A= fxx (x0 , y0) , B = fxy (x0 , y0) , C = f y y (x0 , y0) 则: 1) 当AC−B > 0时, 具有极值
17
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 推广 个约束条件的情形. 个约束条件的情形 例如, 例如 求函数 u = f (x, y, z) 在条件 ϕ(x, y, z) = 0,
ψ(x, y, z) = 0下的极值 下的极值. 设 F = f (x, y, z) +λ ϕ(x, y, z) +λ2ψ(x, y, z) 1