全国卷函数与导数试题的命题特点及复习策略和建议
高三数学-“函数与导数”命题研究与备考策略 精品
“函数与导数”命题研究与备考策略1.考查形式与特点(1).高考对函数概念的考查主要有:求函数的定义域、值域及反函数。
这类题型直接通过具体问题找出函数关系，再研究函数的定义域、值域及反函数。
(2).在每年的高考试题中，以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态——即函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图象的对称性等，近两年，以组合形式一题多角度考查函数性质的高考题正成为新的热点。
(3).以比较容易的中档题来考查函数性质的灵活运用，在考查函数内容的同时也考查能否用运动、变化的函数观点观察问题、分析问题、解决问题。
(4).函数的最值问题在高考试卷中几乎年年出现，它们是高考中的重要题型之一．特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，这类考题在近几年考查明显增加．此类考题一要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧。
二要灵活、准确地列出模型函数．(5).近几年．为了突出函数在中学数学中的主线地位，高考强化了对函数推理、论证能力(代数推理题是高考的热点题型)及探索性问题的综合考查，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．这类试题或者是函数与其他知识的糅合，或者是多种方法的渗透，每道考题都具有鲜明的特色，值得深思．(6).函数与解析几何、不等式、方程、数列、参数范围、导数等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题综合在一起编拟的新颖考题，成为近几年高考中的高档解答题，以综合考查应用函数知识分析、解决问题的能力坝I试对函数思想方法的理解与灵活运用，等价转化及数形结合和分类讨论等解题策略和掌握程度．这类试题每年至少会有一个．(7).高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题也是导数的一个重要作用，并且也是高考考查的重点内容之一.函数y=f(x)在X=Xo处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x))处的切线斜率．③运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考中所占的地位是比较重的．2.命题趋势由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍必将是2018年高考的一个热点，而且对能力的考查还将高于教学大纲．(1)对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现．(2)函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大．(3)通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是2018年高考命题的热点之一．(4)新课程新增内容中与函数有关的内容——函数连续与极限、导数是考查的重点，所占比重将进一步加大.典例剖析例1 已知函数f(x)=|x 2-2ax+b|(x∈R)．给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于直线x=1对称；③若a 2-b≤0，则f(x)在区间[0，+∞]上是增函数；④f(x)有最大值|a 2-b|．其中正确的命题的序号是_______．解析 ①显然是错误的；②由f(O)=f(2)有|b|=|4-4a+b|,而f(x+1)=|(x+1)2-2a(x+1)+b|=|x 2+(2-2a)x-2a+b+l|,f(1-x)=|(1-x)2-2a(1-x)+b|=|x 2-(2-2a)x-2a+b+1|，f (x+1)≠f(l -x)．故f(x)不是关于x=1对称，所以②不对．③f(x)=|(x-a)2+b-a 2|，当a 2-b≤0时，b-a 2≥0，所以f(x)=(x-a)2+b-a 2，故当x≥a 时．f(x)单调递增的．故③正确．④当a 2-b>0时,f(a)=|b-a 2|=a 2-b其图象如图，所以④错误．答案 ③剖析 函数的性质是高考试题考查的热点之一，本题涉及了函数的单调性、奇偶性、对称性以及最值，综合性较强．对于多项选择填空题，由于各选项相互独立，解答时应逐一检验判断．例2 已知二次函数y=f(x)经过点(0，10)，导函数f /(x)=2x-5，当x∈(n，n+1] (x ∈N *)时，f(x)是整数的个数记为a n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =14 n n a a ，求数列{a n +b n }的前n 项和S n (n≥3). 解析 (1) 由 f /(x)=2x-5 可以设此二次函数为f(x)=x 2-5x+c(c 为常数)． 因f(x)图象过(0，10)，故c=10，故二次函数为f(x)=x 2-5x+10=(x-25)2+415，又因x∈(n，n+1)(n∈N *)时，f(x)为整数的个数为a nf(x)在(1，2)上的值域为[4，6]，a l=2.f(x)在(2，3)上的值域为[415，4]，a 2=1． 当n≥3时，f(x)在(n ，n+1)上单调递增，其值城为(f(n)，f(n+1))∴a n =f(n+1)-f(n)=2n-4． ∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)3(42)2(1)1(2n n n n(2)令c n =a n +b n ，则c 1=a 1+b 1=4，c 2=a 2+b 2=3, 当n≥3时S n =c 1+c 2+(c 3+…+c n )=7+(a 3+…+a n )+(b 3+…+b n ) =7+2)42(2-+n (n-2)+424⨯+644⨯+…+)22)(42(4--n n =7+(n-1)(n-2)+2(22121--n ) =n 2-3n+11110--n n 剖析 本题主要体现导数与函数、数列方面的综合应用.3.应试对策(1).由于函数内容固有的重要性，预计在以后高考试题中所占比例仍远远大于在课时和知识点中的比例(约为20％)，既可以“低档题”——选择、填空形式出现(如集合、映射、函数基本性质以及反函数多属此类)。
高考中函数与导数命题特点分析
高考中函数与导数命题特点分析
函数的观念和思想方法贯串整个高中数学的全进程，在近几年的高考中，函数类试题在试题中所占分值普通为
22---35分．普通为2个选择题或2个填空题，1个解答题，而且常考常新。
在选择题和填空题中通常考察反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的运用以及从函数的性质研讨笼统函数。
在解答题中通常考察函数与导数、不等式的综合运用。
其主要表如今：
1．经过选择题和填空题，片面考察函数的基本概念，性质和图象。
2．在解答题的考察中，与函数有关的试题经常是以综合题的方式出现。
3．从数学具有高度笼统性的特点动身，没有无视对笼统函数的考察。
4．一些省市对函数运用题的考察是与导数的运用结合起来考察的。
5．涌现了一些函数新题型。
6．函数与方程的思想的作用不只触及与函数有关的试题，而且关于数列，不等式，解析几何等也需求用函数与方程思想作指点。
7．多项式求导〔结合不等式求参数取值范围〕，和求斜率〔切线方程结合函数求最值〕效果。
8．求极值，函数单调性，运用题，与三角函数或向量结合。
高考数学导数试题解题研究以新课标全国卷为例
高考数学导数试题解题研究以新课标全国卷为例一、本文概述本文旨在深入研究高考数学导数试题的解题策略，以新课标全国卷为例进行详细分析。
我们将首先概述导数的基本概念及其在高考中的重要性，然后深入探讨导数试题的常见题型和解题技巧。
通过对新课标全国卷历年导数试题的系统梳理，我们将揭示导数试题的命题规律和趋势，为考生提供有针对性的备考建议。
本文还将分享一些成功的解题经验和策略，帮助考生更好地应对高考数学导数试题，提高解题效率和准确性。
通过本文的研究，我们期望能为广大考生和教师提供有益的参考，推动高考数学导数试题解题水平的提升。
二、导数基础知识回顾导数作为高中数学的核心知识点，其基础知识的掌握对于解答导数试题至关重要。
我们需要明确导数的定义。
导数描述了函数在某一点处切线的斜率，它表示函数在该点处的瞬时变化率。
在求解导数试题时，我们应熟练掌握导数的定义，能够根据给定的函数求出其在某一点的导数。
我们需要掌握导数的基本公式和运算法则。
例如，常见的导数公式包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
同时，我们还需要熟悉导数的运算法则，如加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则等。
这些公式和法则将为我们求解导数试题提供有力的工具。
导数的几何意义和应用也是我们需要关注的重点。
导数的几何意义体现在函数图像的切线斜率上，我们可以通过导数来判断函数的单调性、极值点等性质。
同时，导数在实际生活中的应用也十分广泛，如物理学中的速度、加速度等都与导数密切相关。
对于新课标全国卷中的导数试题，我们还需要关注其命题特点和趋势。
近年来，导数试题的命题逐渐趋于灵活和多样化，不仅涉及到导数的基础知识，还涉及到导数在实际问题中的应用。
因此，我们需要加强对导数综合应用能力的培养，提高解题的灵活性和创新性。
对于高考数学导数试题的解题研究，我们需要从导数的基础知识入手，熟练掌握导数的定义、公式、运算法则和几何意义等方面的知识。
我们还需要关注导数在实际问题中的应用和命题趋势的变化，加强综合应用能力的培养和实践经验的积累。
高考全国卷理科数学“函数和导数”试题特点及复习策略
高考全国卷理科数学“函数和导数”试题特点及复习策略作者：陈序平来源：《课程教育研究·学法教法研究》2019年第08期【中图分类号】H310.4 【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2019）08-0266-01“函数和导数”是高考数学的重要内容之一，全国卷理科数学从分值比重来看，近三年（2016年～2018年）高考所占分值基本上保持在17～27分之间，具体如下表：导数的应用是函数考查的重要要求之一，从近三年全国卷高考理科数学试题分析看，常见考点可分为六个方面：（1）含参变量的取值范围问题，如2018年全国Ⅱ卷第21题、2016年全国Ⅰ卷第21题，通常在“函数与导数”的解答题出现。
（2）证明不等式的问题，如2017年全国Ⅲ卷第21题、2016年全国Ⅰ卷第21题。
（3）函数零点（方程的根）问题，如2017年全国Ⅰ、Ⅱ卷。
（4）函数的最值与极值问题，如2018年全国Ⅰ卷第16题、2016全国Ⅱ卷第21题。
（5）导数的几何意义问题，如2018年全国Ⅱ卷14题、2016全国Ⅱ卷16题，通常在选择填空题较多。
（6）存在性问题，如2018年全国Ⅱ卷21题、2017年全国Ⅱ卷第21题。
选择、填空题考点可总结为八类：一是分段函数，如2018全国Ⅰ卷第9题、2017年全国Ⅲ卷第15题；二是函数的性质，如2017全国Ⅰ卷第5题；三是基本函数，如2016年全国Ⅲ第6题；四是函數图象，如2018年全国Ⅱ卷第3题；五是函数零点（方程的根），如2017全国Ⅲ卷第11题；六是函数的最值，如2018年全国Ⅰ卷第16题；七是导数及其应用，如2016全国Ⅰ卷第7题；八是定积分，虽然近三年全国卷没有考查到，但这以前的全国卷也偶尔涉及到，也应引起关注。
选择、填空题考查涉及到的数学思想方法也相当丰富，如分段函数问题常与分类讨论思想相结合，有关方程根的情况判断常涉及函数与方程思想和等价转化思想，研究函数的图象问题和基本函数的性质时常利用数形结合思想等。
如何备考高考数学函数与导数部分重点知识点及解题思路
如何备考高考数学函数与导数部分重点知识点及解题思路高考数学是每位学生备战高考的关键科目之一，其中函数与导数部分作为数学的重点内容之一，需要我们充分理解其中的知识点和解题思路。
本文将详细介绍备考高考数学函数与导数部分的重点知识点和解题思路，帮助同学们在备考过程中更好地准备这一部分考试内容。
一、函数的基本概念与性质在备考高考数学函数与导数部分，首先要掌握函数的基本概念与性质。
函数是两个集合之间的一种对应关系，其中自变量和因变量之间存在确定的对应关系。
在学习函数的过程中，需要掌握函数的定义域、值域、图像和性质等相关概念。
在解题时，常用的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
每种函数都有自己的特点和主要的解题方法。
在备考过程中，我们需要深入理解每种函数的定义及其特点，同时掌握它们的常用解题方法。
例如，对于一元一次方程，可以通过求解方程组或消元法来确定方程的解。
二、函数的运算与复合函数函数的运算与复合函数也是备考高考数学函数与导数部分的重点内容。
在函数的运算中，我们常遇到的有函数的加减乘除、复合函数的概念和求导法则等。
同学们要熟练掌握函数的运算方法，能够熟练解答相关题目。
复合函数是由两个或多个函数按照一定的顺序组成的新函数。
在解题时，常用的方法是利用函数之间的复合关系求导，根据链式法则将复合函数的导数转化为基本函数的导数。
通过反复练习和掌握相关的解题技巧，我们能够更好地应对高考中的相关题目。
三、导数的基本概念和运算规则导数是函数在某一点的变化速率，也是备考高考函数与导数部分需要掌握的重点内容之一。
在备考过程中，我们需要理解导数的定义和运算规则，并能够熟练计算导数。
导数的定义是函数变化率的极限值，也可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率。
计算导数时，常用的方法有基本导数法则、导数的四则运算法则和复合函数求导法则等。
在备考过程中，我们要掌握这些法则的使用方法，能够熟练计算各种函数的导数。
四、函数的应用数学函数在实际问题中有着广泛的应用，备考高考数学函数与导数部分也需要理解其中的应用题。
2020年高考全国Ⅰ卷函数及导数试题分析及备考建议
(
)
=4b + log2 a − 4b + log2 2 + log2 b = −1 < 0.
因 此 f (a) < f (2b), 故 a < 2b. 因 为 2a + log2a = 4b +
2log4b = 22b + log2b, 从而
f (a)
−
f
(b2)
=
2a
+
log2
a
−
( 2b2
+
log2
2020 年第 9 期 (上)
中学数学研究
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2020 年高考全国 Ⅰ 卷函数及导数试题分析及备考建议
广东省惠州市第一中学 (516007) 郭慧敏 华南师范大学数学科学学院 (5106311) 苏洪雨
摘要 评析 2020 年高考数学全国 Ⅰ 卷“函数与导数”试 题, 以客观题和解答题两个类型为方向, 对题目特点, 考查的 知识及能力及解答方法进行剖析, 通过对试题内涵与外延的 探索, 给出相关的教学及备考建议.
关键词 2020 年高考数学; 函数与导数; 分析; 建议 历年高考中,“函数与导数”是较为重要, 也是较为稳定 的考查模块, 今年也不例外. 其题型设置选择题, 填空题, 解 答题均有; 难度分布易, 中, 难, 梯度明显; 知识点考查全面, 主要涉及: 函数模型识别, 指对数函数, 导数的几何意义及应 用, 函数单调性研究, 函数零点等; 将函数与方程, 转化与化 归, 分类与整合, 数形结合的数学思想方法贯穿始终; 深刻体 现了数学建模, 逻辑推理, 数学运算、直观想象等的数学核心 素养. 其“稳”且“重”的试题特点, 以“秤砣效应”突出了今年 试题的均衡与平稳, 为数学整体达到高考评价“一核四层四 翼”的要求, 做出了重要的贡献.
近三年全国卷导数题的考查特点与备考建议
２， ａ ＝一
３，一
一 或 丢 或 一 。 一 ÷ ， ÷ ＜ 。 ＜ 一 丢 ．
近 三 年全 国卷 导 数 题 的考 查 特点 与备 考建 议
安徽 省 五 河县 高级 中学
１ 问题 的提 出
２ ３ ３ ３ ０ ０
合 自己平时 的研究 ， 从 中洞悉 导数试 题 的考查 特点 和
命题方 向并 对 今后 的复 习备 考提 出相应 的意见 和 建 议， 望通过拙文 ， 能对正在紧张复 习备考 中的师 生有所
帮助和引领．
２ 导数题 的考查特点分析及典例剖析
２ ． １ 以函数的单调性 为铺 垫 ， 考查 函数 的极值 与最值 函数的单调性是 函数 的重 要性 质 ， 在 高考 试题 中 以考查函数的单调 性为背 景 的试 题 屡见 不鲜 ， 可 以说
横坐标大于 １ ， 此 时函数 （ ）的零点个数为 １ ．
综上可得 ， 函数 ｈ （ ｘ ）的零点个数为 ：
１
，
５
－
ｎ ＜ 一 － 。 ４ ４
￣ ａ ＞一 ３， ＞ 一
，
类讨 论思想 ， 转化 与化 归 思想 要求 较 高 ， 试 题平 淡 无 奇， 却凸显能力 ， 展示 学生 智慧 ， 深层 次 考查学 生综 合 解题 能力 ， 其高考 选拔功 能不 言而喻． 紧扣课本 ， 命 制试题 ； 少些华 丽 ， 多些本 质 ； 来点 升
法． 已知 函数 ， （ ） ＝ ＋ａ ｘ＋＿ Ａ 二 ｇ － （ ） ＝ 一ｌ ｎ
叶
（Ｉ）当 ａ 为何值时 ， 轴为曲线 Ｙ＝ ＿ 厂 （ ）的切线 ；
（ Ⅱ）用 ｍ ｉ ｎ ｛ ｍ， ２ ／ ｝ 表示 ｍ， ｎ中的最小值 ， 设 函数 ｈ （ ） ＝ｍｉ ｎ ｛ ． 厂 （ ） ， ｇ （ ） ｝ （ ＞０ ） ， 讨论 ｈ （ ）零点的个
2019年高考全国卷Ⅰ“函数与导数”试题分析与备考建议
8 福建中学数学 2020年第4期2019年高考全国卷I “函数与导数”试题分析与备考建议王 瑜 林梦雷闽南师范大学数学与统计学院（363000）本文对2019年全国理科卷“函数与导数”试题进行评析，并分析了近三年来全国卷“函数与导数”的命题特点，明确备考方向，最后提出备考建议．根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》，“函数及其导数”相关知识属于选择性必修课程，可见其在高中课程中占了比较重要的地位，目的是提升学生数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理等核心素养．2019年全国理科卷对于“函数与导数”相关知识的考查，万变不离其宗，与前几年考查方式类似，考查内容仍然是函数的性质（包括函数单调性、奇偶性、对称性、周期性等），极值点和零点问题，但每次考查都会出现新奇之处!事实上，“函数”始终贯穿高中数学的函数和方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想的教学主线，与“导数”结合可以很好地考查学生的数学思维能力和计算能力， 特别是考查学生的数学思维的严谨性与发散性，是选拔人才的重要保证．1 2019年全国理科I 卷“函数与导数”试题评析 题目1 （2019年高考全国卷I ·理20）已知函数()sin ln(1)f x x x =−+，()f x ′为()f x 的导数，证明：（1）()f x 在区间π(1)2−，存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．评析 “函数与导数”是压轴题，有“拉差距”的作用，予以重点解析．2019年的“函数与导数”压轴题的表述与往年类似，简明不啰唆，不在题目表述上做文章，但要求学生有较好的函数与导数基本功．第一问不难，往年考查含参函数的问题，而2019年干脆直接是熟悉的函数．以下对第二问进行解法分析．解法 由（1）知0π(0)4x ∃∈，，使得0()0f x ′′=． 故()f x ′在0(1)x −，上单调递增，在0π()2x ，上单调递减．0()(0)0f x f ′′∴>=，π1()00π212f ′=−<+，10π()2x x ∴∃∈，使得1()0f x ′=．(10)x ∴∈−，，()f x 单调递减． 1(0)x x ∈，，()f x 单调递增； 1π()2x x ∈，，()f x 单调递减． 又(0)0f =，ππ()1ln(1)022f =−+>． π(1)2x ∴∈−，时，()f x 仅有一个零点，又π[π]2x ∈，时，1()cos 01f x x x ′=−<+，π()02f >，(π)0ln(π1)0f =−+<， π[π]2x ∴∈，，()f x 仅有一个零点，当[π)x ∈+∞，时，ln(1)ln(π1)1x +>+>，sin 1x ≤， 故()f x 无零点．综上所述，()f x 有且仅有两个零点．题目2 （2019年高考全国卷I ·文20）已知函数()2sin cos f x x x x x =−−，()f x ′为()f x 的导数．（1）证明：()f x 在区间(0π)，存在唯一零点． （2）若[0π]x ∈，，()f x ax ≥，求a 的取值范围． 评析 文科卷“函数与导数”题，与往年一样，是在理科卷的基础上降低了一些难度，本题与理科20题相比没有对数函数，只留下了学生较为熟悉的三角函数，在一定程度上降低了难度．第一小问与理科类似，只需证明存在唯一零点即可，不需判断是否极值点．以下对第二问进行多种解法分析．解法1 构造函数，直接讨论 设()()2sin cos h x f x ax x x x x ax =−=−−−，则()cos sin 1h x x x x a ′=+−−， 由（1）知()h x ′在π(0)2，上单调递增， 在π(π)2，上单调递减， max ππ()()122h x h a ′==−−，(0)h a ′=−，(π)2h a ′=−−，2020年第4期 福建中学数学 9并且(0)(π)h h ′′>，当π()02h ′≤即π12a ≥−时，()h x 在(0π)，单调递减，且(0)0h =，即()(0)0h x h <=，不合题意；当π()02h ′>即π12a <−时，若(π)0h ′≥，即2a ≤−时，()0h x ′≥，()h x 在[0π]，上单调递增，即()(0)0h x h ≥=，符合题意；若(0)0h ′≥，(π)0h ′<即20a −<≤时， π()02h ′> ，即1π(π)2x ∃∈，使得1()0h x ′=， ()h x ∴在1(0)x ，单调递增，在1(π)x ，单调递减，故()min{(0)(π)}0h x h h ≥=，，符合题意； 若(0)h ′<0即0a <时，由于π()02h ′>， 即2π(0)2x ∃∈，使得2()0h x ′=，()h x ∴在2(0)x ，单调递减， ∴当2(0)x x ∈，，()(0)0h x h <= ，不符合题意． 综上所述，a 的取值范围为(0]−∞，． 解法2 缩小范围，减少讨论 由题可知(π)0f =，可得0a ≤．又由（1）得'()f x 在(0π)，只有一个零点， 设为0x ，并且当0(0)x x ∈，时，()0f x ′>； 当0(π)x x ∈，时，()0f x ′<，()f x ∴在0(0)x ，单调递增，在0(π)x ，单调递减， 又(0)0f =，(π)0f =，∴当[0π]x ∈，时，()0f x ≥，又当0a ≤，[0π]x ∈，时，()f x ax ≥． 因此，a 的取值范围是(0]−∞，．评析 以上是解决恒成立问题的通解通法，解法1直接对参数进行全面的讨论，做到不重不漏；解法2通过借助一些特征，将参数的取值范围先缩小，减少讨论过程．当然我们还可以运用特殊值与端点的方法，以及将等号两边看作两个函数，通过数形结合的思想来解题，但是后两种方法一般多用于选择、填空题，对于解答题采用前两种方法更为严谨些．2 备考建议（1）基础是成功的保障紧抓函数与导数两条主线，构建其知识结构框架．对于“基本函数的概念与性质”，熟练掌握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、等基本知识以及求解方法，做到灵活应用；对于“基本函数的图象与性质”，要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象，会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，会利用导数探讨函数图象的形状、探讨函数的零点及其性质．（2）阅读是必备的能力常言道“读书破万卷，下笔如有神”，也就说，想要出口成章，阅读是最基础、最重要、最直接也是最有效的手段．而随着中、高考的改革，阅读的重要性也越来越凸显．在未来，阅读能力直接影响分数，如果阅读能力不过关，连卷子都做不完，考试更是会吃大亏！这可不是危言耸听，这是“部编本”教材总主编温儒敏在公开演讲中的原话．不仅仅是语文，从今年高考改革的形式来看，数学也同样需要较好的阅读能力．所以，想要学得好，考得好，一定要重视阅读能力的培养，尤其是多涉猎一些数学史相关的书籍．（3）素养是前进的动力近几年全国卷“函数与导数”的试题内容 充分体现高考命题强调“以素养立意”的指导思想，全国高考卷对“函数与导数”的考查重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，综合考查用函数与方程思想、转化与化归思想、分类与整合思想， 还综合考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，并且是多种素养同时考查．自从《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出六大核心素养以来，一直成为比较热的话题，素养的培养实际上外在表现就是学生能力的培养，因此，要始终围绕六大数学核心素养来备考，是永远不会偏离路线的，它是学生乃至教师前进的动力所在．参考文献 [1]冯海容．“函数与导数”高考复习专题[J]．中学教研（数学），2019（05）：42-47[2]舒华瑛．“导数与函数”高考题解题策略探析[J]．延边教育学院学报，2019，33（01）：128-130，134 [3]任冲．导数工具巧应用 函数零点妙解决——以一道高考题为例[J]．中学数学教学参考，2019（Z3）：135-136[4]李晓波，方德兰．2018年高考全国Ⅰ卷“函数与导数”试题分析与备考建议[J]．中学数学研究（华南师范大学版），2018（17）：33-36[5]冯建国．2018年高考“函数与导数”专题命题分析[J]．中国数学教育，2018（Z4）：20-25[6]周志国．2018年高考“函数与导数”专题解题分析[J]．中国数学教育，2018（Z4）：26-32 [7]黄如炎，林晴岚．2018年高考函数与导数综合题探析和教考建议[J]．中10 福建中学数学 2020年第4期学数学杂志，2018（07）：50-54[8]李志敏．2017年高考函数与导数试题分析与2018年高考备考建议[J]．中学数学研究（华南师范大学版），2017（17）：23-28 [9]黄玫婷．一道高考“函数与导数”压轴题的讲评[J]．福建中学数学，2017（08）：22-24[10]逄玲玲．高考函数与导数综合题的探究与教学构想[J]．数学学习与研究，2017（15）：136[11]龙正武．从一道高考真题谈函数导数压轴题的备考[J]．数学通报，2017，56（05）：48-51[12]李立美．高考函数导数压轴题分析及应对策略[J]．中学数学，2017（03）：82-84（本文系福建省教育教学科研项目《核心素养视角下大学生数学教学改革研究》（立项批准号：FBJG20180021）研究成果）厦门市2019年高一期末质检数学第10题的探究李若璕 福建省厦门实验中学（361000）1 试题呈现试题 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A B ，的距离之比为(1)λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，(20)A −，，(40)B ，，点P 满足||1||2PA PB =，设点P 的轨迹为C ．下列结论正确的是（ ）．A ．C 的方程为22(4)9x y ++=B ．在x 轴上存在异于A B ，的两定点D E ，，使得||1||2PD PE = C ．当A B P ，，三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ，使得||2||MO MA = 2 教材背景题目1 （人教A 版必修2第124页B 组习题）已知点M 与两个定点(00)O ，，(30)A ，的距离之比为12，求点M 的轨迹方程． 解析 设动点()M x y ，，由题意知||1||2||||2MO MA MO MA =⇒=，化简得22230x y x ++−=， 即22(1)4x y ++=．所以22(1)4x y ++=为点M 的轨迹方程， 是以(10)−，为圆心，2为半径的圆．题目2 （人教A 版必修2第140页[信息技术应用]）已知点(20)P ，，(80)Q ，，点M 与点P 的距离是它与点Q 的距离的15，用《几何画板》探究点M 的轨迹，并给出轨迹的方程．根据题意，在《几何画板》中作出点(20)P ，，(80)Q ，，以及点M ，测量点M 与点P 的距离以及点M 与点Q 的距离，使得||5||MQ MQ =．当点M 移动时，||5||MQ MQ =保持不变，点M 运动形成轨迹，猜想点M 的轨迹是圆，进而用“坐标法”证明猜想成立，点M 的轨迹方程为22725()416x y −+=．题目3 （人教A 版必修2第144页B 组习题）已知点()M x y ，与两个定点12M M ，距离的比是一个正数m ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑1m =和1m ≠两种情形）上述问题将前两个结论进一步推广到比值为m 的讨论，引导学生们发现，当1m ≠时，动点轨迹是圆．由此得到：在平面内，到A B ，两点距离之比等于常数λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是一个圆．此结论为古希腊数学家阿波罗尼斯发现，相应的轨迹称为阿波罗尼斯圆．图1 图23 阿波罗尼斯圆（1）从代数的角度探讨 题目4 动点()C x y ，到定点(0)(0)A c B c −，，，的距离之比为λ（c λ，为正常数），求()C x y ，的轨迹方程． ， 则2222222(1)(1)2(1)(1)0x y c x c λλλλ−+−+++−=，P AB QCP ABQC。
全国卷高考导数类型题及备考建议
考情统计及命题思路分析
高考导数概述
导数在高考题中一直占领着压轴的王者位置，是决 定高分学生在高考中能否取得绝对优势的关键题目。从 近几年的高考题目中看，对导数问题的考察力度正在逐 年增加，不仅题型与背景在变化，而且设置问题的难度， 深度与广度也在不断加大，将导数与其它数学知识的结 合已成为高考题的一种流行趋势。
A．AA（ A．． ．20121127112
课标
III，B理 ．B．BB131． ．113）113 已知函数
fC(．Cx．)12CC12． ．x2
2x a(ex1 ex1) 有唯一零点，则 a
1 12
DD．．1 1D．1 D．1
=（
分f分 分析fx析析 析：xx：： ：零22(零2零 零 点x2((点x点 点x1)11) )aae含axe含1主 x参e含 含1x主参参讨e1主 主 参 参参讨ex分论参 参 讨 讨e1x分论3离1x分 分 论 论离 1发离 离 发计现 计发 发 现算函算函计 计 现 现量数量数算 算 函 函大特大特量 量 数 数点点大 大 特 特点 点2
解得 x1＝21，x2＝－12，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.]
（（ （20221007117课7课课 标标标IIIIII，III，理，理1理11）11）1已）已知已知函知函数数函f 数 (fx()xf)(xx2)x22xx22xa2(aex(xe1xa1(eexex11x)1有)e有唯x唯1一) 一有零零唯点点一 ，，则零则点 a =a，（=（则 a =（ ）
发发现f 现现两x两两个个个 函2(函数函x 数极数1极)值极值点值a点相e点相x同相 1同，同，e联，联x想1联想到想 到：：到研研：究究研曲曲线究线与曲与曲线曲线与线的曲的交线交点的点。交。点。
以“函数与导数”为例谈谈新高考数学命题及教学策略
以“函数与导数”为例谈谈新高考数学命题及教学策略摘要：“函数与导数”是当前高中数学教学内容中相当重要的内容，也是当前新高考中的高频考点，导数是探究函数性质的关键性工具，依托各种数学方法与数学思想同导数计算的结合可以有效获取函数的单调性、极值、最值等等性质的解答。
同时“函数与导数”也是当前新高考中综合考察的要点，通过与不等式证明、圆锥曲线等知识点进行结合，以综合压轴的问题出现，考察学生的综合问题解决能力。
本篇文章首先就以“函数与导数”为例从考题新结构、考题新情境、考题新认识三个角度来说明当前新高考数学的命题思路与命题方法，而后就如何依托新高考的时代背景开展有效的数学教学提出相应的建议。
关键词：数学核心素养；高考命题；高考复习；建议引言：在高考革新的时代背景之下，高考数学命题方向、题目立意都有了针对性的优化与创新，以求通过高考考试真正的选拔高质量学生，做好对素质教育的有效检验。
当前新高考的数学试卷中往往将“函数与导数”作为基础题目与压轴题目的出题点，这类题目往往彰显着对学生数学思想运用、逻辑推理能力、数学计算能力、创新能力等核心素养的检验，并能有效突出了当前新高考下数学试卷命题的本质和强调理性思维为导向的命题原则。
以期本篇文章能够以“函数与导数”为例有效分析当前新高考数学命题的基本角度、立意与创新，从而据此探究新高考背景下数学教学的有效途径。
一、试题命题分析高考命题选择哪种类型的题目，依托哪种学生数学能力检验形式才能真正有效的反映出学生数学学习与教师数学教学的成效，从而有效增强数学教学的目的性与针对性，是当前新高考背景下数学命题研究的永恒方向。
本篇文章将以“函数与导数”为例，从题目新结构、题目新情境、以及题目新认识这三个层次上对当下新高考数学命题进行分析。
１、考题新结构数学高考试卷的命题结构往往关乎着考试的区分度和试题的难度以及有效性，影响着学生总体高考的选拔性与基础性。
因而，教育部考试中心在保障命题结构平稳浮动的情况下，在试卷命题开放性上做出了精巧改变，例如针对选题目来说，选考题目由传统的三选一转变为后来的二选一，至今改变为多选题甚至出现了开放题目的设计。
全国卷命题特点及复习建议
角形
16.解三角形
文2.三角函数值的 文8.图像单调性17. 正负7.三角函数周 解三角形
期16.解三角形应用；
三 角 函 数
三角函数与解三角形（理科）
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选择题
填空题 解答题 大小题 个数
3.三角 函数的
图像， 9.三角 求值
1.三角 函数求 ω，3. 解三角 形，7. 三角化 简求值
14
理科3.等差数列求某 项 文科17.等比数列求 通项、数列求和
全国14
理17.递推数列、等 差数列 文17.等差数列求通 项、数列求和
15
理科8.数列（函数） 文科16.数列（函数） 17.数列求通项求和
全国15
理科17.数列通项、 求和（裂项） 文科7.等差数列求某 项13.等比数列求和
数 列
数
两个，其中一个是关于通项与求和公式的计算问题，题目
列
比较简单。还有一个是性质的运用或简单递推的题目，这
个题目比较新颖，难度也比较大，多放在后面的位置。
➢ 如果高考题出了大题，那么当年考小题可能性较小
。数列大题一般放在大题的第一个，应该是比较简单的，
多涉及常规的运算，一些常用的求和方法特别要注意。因
等式最值
等式求参数
不等式
21.导数（切线、零
点）
函 数 与 导 数
试题的个数稳定在小题1-3个，大题1个. 函数与导数（理科）
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客选观择题题 ：主1线0要.面导积数是切以考10.查定积函分 数的1值2.函基数本最 性3线质.导数、的函切 数2质.图函，数9像.的定性积及变1像0换.，函1数2、.图反
全国课标卷《函数与导数》五年分析及复习建议
全国课标卷《函数与导数》五年分析及复习建议作者：陈荣桂来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第01期函数是高中数学极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿高中数学的全过程.函数与导数在历年高考中都占有较大的比重，内容丰富，题型多样，综合性较强.2016年，又有多个省份加入了使用全国卷的行列，本文对近五年全国高考数学课标卷Ⅰ进行分析，为2016年使用全国卷的省份提供备考的参考.1近五年课标卷的考查内容分析表12011年—2015年全国课标卷Ⅰ函数与导数考点分布统计表（理科）选择题填空题解答题2011年第2题函数奇偶性、单调性第9题定积分第12题函数图象、对称性第21题导数的几何意义、已知恒成立求参数范围2012年第10题函数图象第12题指数、对数函数互为反函数、导数的应用第21题导数的应用（单调区间、最值）、已知恒成立求参数的最值2013年第11题分段函数、不等式恒成立第16题函数图象的对称性、解析式、最值第21题导数的几何意义、已知不等式恒成立求参数范围2014年第3题函数奇偶性第11题函数零点第21题导数的几何意义、导数的应用（最值）、证明不等式恒成立2015年第12题函数概念、不等式的整数解第13题函数奇偶性第21题导数的几何意义、新定义函数、讨论函数零点个数表22011年—2015年全国课标卷Ⅰ函数与导数考点分布统计表（文科）选择题填空题解答题2011年第3题函数奇偶性、单调性第10题函数零点第12题函数图象、周期性第21题导数的几何意义、证明不等式恒成立2012年第11题指数、对数函数的图象、不等式第13题导数的几何意义第16题函数的最值，奇偶性第21题导数的应用、单调区间、最值（恒成立问题）2013年第5题函数零点第12题分段函数、不等式恒成立第20题导数的几何意义、函数单调性、求函数的极值2014年第5题函数奇偶性第12题函数零点第15题分段函数、解不等式第21题导数的几何意义、已知不等式能成立问题求参数的取值范围2015年第10题分段函数求值第12题指数、对数函数、函数图象对称性第14题导数的几何意义第21题函数零点、证明不等式恒成立可以看出，在选择填空题中基本上每年都有单独考查函数的概念（分段函数、函数的定义域、值域）、图象与性质（函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性），有时单独考查函数与方程以及导数的概念及其几何意义，理科有时考查定积分与微积分基本定理；解答题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在研究函数中的应用（考查次数最多的是不等式问题）.。
全国卷导数部分考情统计及命题思路分析
2017 2016
Ⅲ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ Ⅲ卷
导数的乘法运算及导数的几何意义·T14 导数的运算，利用导数判断单调性及极值·T11 函数的零点·T11 导数与函数图象·T7 利用导数求解两个函图象的公切线方程 T16 函数的奇偶性、利用导数求解函图象的切线方程·T15
2015
Ⅱ
导数的运算，利用导数判断单调性· T12
考点 2：含参的（一元二次）不等式的解法
（2019.新课标 III. 20.）已知函数 f (x) 2x3 ax2 b .（1）讨论 f (x) 的单调性；
解析： f (x) 6x2 2ax 2x(3x a) ．
（2018.新课标 I. 21.）已知函数 f x 1 x a ln x ．（1）讨论 f x 的单调性；
度中等偏上． 三、备考建议
1.提高求导运算的准确性； 2.掌握导数的几何意义，熟记切线的求解方法； 3.客观题中的压轴题注意数形结合，小题小做。 (二 )导数在高考主观题中考点分布（理科）
年份 卷别
导数 几何意义
单调 性
零点
不等式恒成立， 极值与
求参数范围
最值
不等式 证明
2020 2019 2018 2017 2016 2015
(1)求 a 的取值范围；
解析： f x x 1ex 2ax 1
x 1ex 2a
当 a 0 时, f x 的减区间为 ,1 ，增区间为 1,
当 a 0 时，可转化为 f x x 1x ln 2a
（三）备考建议
题型一、利用导数讨论函数单调性
1.加 强 因 式 分 解 ， 合 并 同 类 项 能 力 ；
） ）
设 g
x
ex1 ex1 ，则 g
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h(x) x2 ex 指数函数
h(x) et 分式函数 t2
g(t) 2at2 (a 1)t 1
二次函数
二、2017年新课标卷试题分析
卷类
题设函数
导函数
全国 卷Ⅰ
f (x) ae2x (a 2)ex x
f (x) 2axe2x (a 2)ex 1
（ x1 1 ，令 ex 2a 0 ex 2a ，由于不知道 2a 与 0 的大小关系，需
全国卷函数与导数试题的命题特 点及2018届复习策略和建议
南昌二中 孙庆宏
一、总体认识（研究考纲、教材、考题） 二、规律探索（总结解题思路与方法） 三、应对策略（复习建议、实践反思）
一、总体认识（研究考纲教材考题）
（一）考纲的角度 （二）教材的角度 （三）试题的角度
（一）考纲的角度
（文）（十六）导数及其应用 （4）能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和
（二）导数及其应用 1．了解，5 个，略 2．理解，2 个，略 3．掌握 （1）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数；公式略 常用的导数运算法则：略 （2）能求简单的复合函数（仅限于形如 f (ax b) ）的复合函数）
的导数【理】． （3）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中
例 1、（2016 年全国新课标Ⅰ卷理科 21 题） 已知函数 f (x) (x 2)ex a(x 1)2有两个零点 （1）求 a 的取值范围； （2）设 x1, x2是 f ( x)的两个零点，证明： x1 x2 2．
解析：（1） f '(x) (x 1)(ex 2a) ．
求导后的目的、解不等式步骤，分类讨论思想
导数的四则运算法则求简单函数的导数. （理）（十七）导数及其应用 （4）能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和
导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解 复合函数求导法则，能求简单复合函数（仅限于 形如 y f (ax b) 复合函数）的导数.
考试说明要求
（一）函数部分 1．了解，17 个，略 2．理解，7 个，略 （7）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系【课 标到此】，判断一元二次方程根的存在性及根的个数【高于课标】．【课 标还有二分法】 3．掌握 （1）掌握幂的运算． （2）掌握指数函数图象通过的特殊点， （3）掌握对数函数图象通过的特殊点， （4）会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
分类讨论 数形结合
分类讨论 构造函数 数形结合
分类讨论
二、规律探索（总结解题思路方法）
一、2016年新课标卷试题分析
卷类
题设函数
f (x) (x 2)ex a(x 1)2
全国 卷Ⅰ
由两个零点构造函数
g(x) xe2x (x 2)ex
导函数
f '(x) (x 1)(ex 2a)
g'(x) (x 1)(e2x ex )
导数几何意义 最值 单调性
零点存在定理 切线 单调性
零点存在定理 单调性
零点存在定理
函数模型 含 ex 型的函数 ex 型+二次函数 ex ln x 型函数 ln x 型+多项式函数 ex 型+二次函数 关于 ex 的二次函数
数学 思想方法
分类讨论 构造函数
分类讨论 构造函数
分类讨论 构造函数 分离参数
多项式函数一般不超过三次）． （4）会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不
超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一 般不超过三次）．
（5）会用导数解决某些实际问题．【高于课标】
导数及其应用（文理）
（5）了解函数的单调性与导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区间
从函数的角度，四个二次（二次函数,二次方程 及其根的分布、二次不等式、二次三项式）它们在 高考中占有重要的地位,二次函数是高中新课程中一 个最基本的函数，其有关性质仍是我们研究函数性 质最基本、也是最主要的简单基本初等函数，而二 次函数的定义域及值域的考查也以灵活多变的方式 出现、三次函数、指数函数、对数函数、对勾函数、 分式函数、分段函数在考题中多有出现,应予特别关 注.
核心函数及形式
ex (ax b)
全国 卷Ⅱ
f x ax2 ax xln x
f (x) 2ax a 1 ln x
ax ln x
全国 卷Ⅲ
f (x) x 1 a ln x
f (x) 1 a x
a x
近几年高考函数与导数试题展现
（一）分类讨论的函数思想分析
分类讨论的思想是高中重要数学思想之一. 它体现在两个方面,一是函数解析式的分段 讨论方面,二是含有参数的函数问题.学生 遇到这类问题要么无法解下去，要么不明 白分类的动机.分类讨论的思想是高考的重 点，也是难点.
全国
f (x) x 2 ex x 2
卷Ⅱ
ex ax a
g(x)
x2
x2 ex f '(x) (x 2)2
(x 2)( f (x) a)
g(x)
x3
全国 卷Ⅲ
f (x) acos2x (a 1)(cos x 1) f '(x) 2asin2x (a 1)sin x
核心函数及形式
（其中多项式函数不超过三次）.
（6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中 多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的 最大值、最小值
（其中多项式函数不超过三次）
（7）会用导数解决实际问题.
（二）教材的角度
从高等数学的角度，导数概念的起点是极限，从 数列的极限→函数的极限→导数。新课标教材 （北师大版）对于导数的引入做了一定的简化， 从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义 导数，旨在强调导数的几何意义，从而顺利的过 渡到导数与单调性之间的关系，突出了导数在研 究函数单调性、最角度
年份 2012 年 2013 年
设问特点
解析式 单调区间 参数最大值
知切线求值 证明不等式
2014 年
知切线求值 证明不等式
2015 年
知切线求值 零点个数
2016 年 2017 年
零点 参数取值范围 证不等关系
单调性 己知零点个数求参
数范围
涉及 知识点
单调区间 不等式
导数几何意义 最值 单调性