平面向量空间向量知识点资料

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平面向量与空间向量有关内容的比较

平面向量与空间向量有关内容的比较把平面向量和空间向量有关内容进行比较，有助于我们对空间向量的学习，也有助于我们加深对平面向量的理解.长度为0的向量叫做零向量，记作。

记作a则这些向量叫做共线向量边形法则为零向量；长度的λ倍。

加法交换律：a b b +=+(a b )c a (b ++=++(a b )a b λλλ+=+； a )()a μλμ=、b (0b ≠)，a ∥b 的充要条件a b λ=. 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使p xa yb =+e e 对于这一平面内的任一向量.，存在一个唯一的有序实数组xa yb ++上表中，不共线的向量e 、e 叫做表示这一平面内如果三个向量a 、b 、c 不共面，叫做空间的一个基底，a 、b 、c b |a ||b |cos a,b =<其中a,b b,a <>=<>表示两个向量的夹角a (bc )a b ⋅+=⋅+a e e a |a |cos θ⋅=⋅=； 0a b a b ⊥⇔⋅=；a a |a |⋅=； a bcos |a ||b|θ⋅=；a ||b |.(x ,y ),b (x ,y ==1212b (x x ,y y )+=++；12b (x x ,y -=-12a b x x ⋅=+1a (x ,y λλλ=∥1b x ⇔12a b x x ⊥⇔+11233b (a b ,a b )=++；1a b (a b -=-11a b a b a ⋅=+1a (a ,λλλ=1b a ⇔=33a b (λλ=∈设a (x ,y )=，21|a |x =+， 222|b|x y =+， 222x cos x y θ=++(x =-设12a (a ,a ,a =21|a a =+，2|b|b =+22332a b a cos a,b ab ++<>=++),,(z y x ，。

空间向量知识点总结简单

空间向量知识点总结简单一、空间向量的概念空间向量是指在空间中既有方向，又有大小的有向线段，它通常用两个端点来确定。

空间向量与数集合相似，但它比数多了方向和长度属性，而且可以进行加法运算。

二、空间向量的表示1. 向量的表示：（1）向量的坐标表示：设 A、B 两个点在空间直角坐标系中的坐标分别为 (x1, y1, z1) 和(x2, y2, z2)，则向量 AB 可用有向线段 OA = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 表示。

（2）向量的分量表示：向量的三个分量包括它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。

2. 向量的线性运算：（1）向量的加法：两个向量的加法就是将其对应分量相加。

（2）向量的数乘：一个向量的数乘就是将其三个分量都乘以同一个实数。

（3）向量的减法：向量 C 是向量 A 减向量 B 的运算，其方向由 A 指向 B。

3. 向量的模：（1）向量的模长：在空间直角坐标系中，向量 (x, y, z) 的模长公式为√(x^2 + y^2 +z^2) 。

（2）单位向量：模长为 1 的向量称为单位向量。

三、向量的线运算1. 点积（数量积）：两个向量的点积定义为：A · B = |A| × |B| × cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角。

性质：点积满足交换律、分配律、结合律。

应用：点积可以用来判断两个向量的夹角、求向量的投影、求向量的模等。

2. 叉积（向量积）：两个向量的叉积定义为：A × B = |A| × |B| × sinθ × n，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角，n 为法向量。

性质：叉积不满足交换律，但满足分配律。

应用：叉积可以用来求向量的方向、求平行四边形或平行六面体的面积、求直线、平面的方程等。

四、空间向量的几何应用1. 平面向量的应用：（1）平行四边形面积公式：S = |A × B| = |A| × |B| × sinθ。

知识归纳：平面向量与空间向量

知识归纳：平面向量与空间向量平面向量及其运算一、知识导学模（长度）：向量AB 的大小，记作|AB |。

长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。

2平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。

3相等向量：长度相等且方向相同的向量。

4相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。

记作-a。

5向量的加法：求两个向量和的运算。

已知a ，b 。

在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。

记作a b 。

6向量的减法：求两个向量差的运算。

已知a ，b 。

在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。

记作a -b 。

7实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，并规定：①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |；②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λμa =λμa ②λμa =λa μa ③λa b =λa λb8向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。

另外，设a =（1,y 1）,b =2,y 2，则a b ⇔面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

10定比分点设P 1，P 2是直线l 上的两点，点P 是不同于P 1，P 2的任意一点则存在一个实数λ,使21P P =λ21P P ，λ叫做分有向线段所成的比。

若点P 1、P 、P 2的坐标分别为1，y 1，,y ，（2,y2），则有特别当λ=1，即当点P 是线段P 1P 2的中点时，有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 11平面向量的数量积1定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积或内积，记作a ·b ，即a ·b＝|a ||b |cosθ规定：零向量与任一向量的数量积是0。

平面向量和空间向量的知识点对比

平面向量和空间向量的知识点对比知识点平面向量空间向量。

---定义既有大小又有方向的量，在平面内既有大小又有方向的量，在空间中。

表示方法通常用有向线段表示，如→AB，也可以用坐标表示(x,y)通常用有向线段表示，如→AB，坐标表示为(x,y,z)向量的模对于平面向量→a=(x,y)，|→a|=√(x^2)+y^{2}对于空间向量→a=(x,y,z)，|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}相等向量大小相等且方向相同的向量，在平面内大小相等且方向相同的向量，在空间中。

平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，在平面内→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b方向相同或相反的非零向量，在空间中→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b加法运算三角形法则和平行四边形法则。

<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)三角形法则和平行四边形法则。

<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)减法运算三角形法则。

<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)三角形法则。

<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)数乘运算若→a=(x,y)，k∈ R，则k→a=(kx,ky)若→a=(x,y,z)，k∈ R，则k→a=(kx,ky,kz)数量积若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）向量的夹角设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，cosθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}·√(x_2)^2+y_{2 ^2}}，θ∈[0,π]设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，co sθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{√(x_1)^2+y_{1^2+z_1^2}·√(x_2)^2+y_{2^2+z_2^2}}，θ∈[0,π]向量垂直若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0L eftrightarrow x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0向量的应用在平面几何、物理（如力的合成与分解等）中有广泛应用在立体几何（如证明线面平行、垂直，求异面直线所成角、线面角、二面角等）、物理（如空间力的分析等）中有广泛应用。

空间向量的知识点归纳的总结(经典)

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

(整理)平面向量空间向量知识点

平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB u u u r ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、b a +≤b a +.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同；当0<λ时, λ的方向与的方向相反. 2、平面向量共线定理：向量()0≠a a 与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、设()()2211,,,y x y x ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x b a --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、在θ.3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥b a b a .§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=r r r r2、设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==r r r r4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=u u u r ，则.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =r平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB u u u r 为直线l 的一个方向向量；与AB u u u r平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n r 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥r ，如果n α⊥r，那么向量n r叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =r．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==r u r．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r r r r .⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.（如图）1、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a r ∥b r ，即()a kb k R =∈r r. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

平面向量与空间向量重要概念解析

平面向量与空间向量重要概念解析向量是数学中常见的概念，它在平面几何和空间几何中都扮演着重要的角色。

本文将对平面向量和空间向量的概念进行解析，并探讨它们在几何学和物理学中的应用。

一、平面向量的概念解析平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

平面向量通常用符号表示，如AB表示从点A指向点B的向量。

平面向量有两个重要的性质，即大小和方向。

平面向量的大小可以用模长来表示，通常用两个坐标差的平方和的开方来计算。

设向量AB的坐标为(x1, y1)和(x2, y2)，则向量AB的模长记作||AB||，计算公式为：||AB|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)平面向量的方向可以用角度或方向角来表示。

与x轴的正向之间的夹角称为向量的方向角。

方向角的计算可以通过与x轴的夹角的三角函数比值来得到。

如果向量AB的方向角为α，则有：tanα = (y2 - y1) / (x2 - x1)平面向量的加法、减法和数量乘法等运算规则也是平面向量的重要性质。

向量的加法按照平行四边形法则进行，向量的减法可以通过加上负向量来实现，向量的数量乘法是将向量的模长与一个标量相乘。

二、空间向量的概念解析空间向量是指在空间中具有大小和方向的量。

与平面向量相比，空间向量多了一个维度，即在三维空间中进行描述。

空间向量通常用符号表示，如AB表示从点A指向点B的向量。

空间向量也有大小和方向两个重要的性质。

空间向量的大小可以用模长来表示，计算公式同平面向量。

设向量AB的坐标为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则向量AB的模长记作||AB||，计算公式为：||AB|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)空间向量的方向可以用方向角来表示。

与x轴的正向之间的夹角称为向量的方向角，与xOy平面的法线向量之间的夹角称为倾斜角。

空间向量的方向可以通过方向角和倾斜角来确定。

高中数学平面空间向量知识点总结

平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx,λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积）规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =0 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=121y x +当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质空间向量与立体几何 1、空间向量及其运算：（1）空间中的平行（共线）条件：()//0,a b b x R a xb ≠⇒∃∈=（2）空间中的共面条件：,,a b c 共面（,b c 不共线）,,x y R a xb yc ⇔∃∈=+推论：对于空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，OP xOA yOB zOC =++ ()1x y z ++=，则四点O 、A 、B 、C 共面（3）空间向量分解定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++ （4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±±()111,,a x y z λλλλ= 121212a b x x y y z z ⋅=++注1：数量积不满足结合律；注2：空间中的基底要求不共面。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。

大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。

1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。

3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。

零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

(完整版)空间向量知识点归纳总结(经典)

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a 共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。

平面向量与空间向量

平面向量与空间向量在数学中，向量是一种有大小和方向的量，常用于描述物理力、速度、位移等等。

根据向量所处的维度，向量可以分为平面向量和空间向量两种类型。

本文将探讨平面向量和空间向量的特点和应用。

一、平面向量平面向量是指位于同一个平面内的向量。

平面向量通常用箭头在笛卡尔坐标系上标示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

平面向量可以用坐标形式表示为：<x, y>，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

平面向量具有以下特点：1. 平面向量可以进行加法和乘法运算。

向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

向量乘法包括数量乘法和点乘法。

数量乘法是指用一个标量乘以一个向量的每个分量，得到一个新的向量。

点乘法是指将两个向量的对应分量相乘，然后将乘积相加，得到一个标量。

2. 平面向量可以用几何方法进行表示。

向量的起点可以任意选择，终点与起点之间的位移即为向量的大小和方向。

3. 平面向量之间可以进行运算性质的证明和推导。

例如，向量加法满足交换律和结合律，向量乘法满足分配律等等。

平面向量在几何、物理等学科中有广泛的应用。

例如，在几何中，平面向量可以用于研究线段的长度和方向。

在物理学中，平面向量可以用于描述力、速度等物理量的大小和方向。

此外，在计算机图形学等领域，平面向量也被广泛应用于三维模型的表示与计算。

二、空间向量空间向量是指位于三维空间中的向量。

与平面向量类似，空间向量也可以用箭头在三维坐标系上标示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

空间向量可以用坐标形式表示为：<x, y, z>，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

空间向量具有以下特点：1. 空间向量可以进行加法和乘法运算，运算规则与平面向量相似。

向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

向量乘法包括数量乘法和点乘法，运算规则与平面向量一致。

2. 空间向量可以用几何方法进行表示。

高中数学平面向量与空间向量知识点总结

高中数学平面向量与空间向量知识点总结为了帮助高中数学学习者更好地掌握平面向量与空间向量的知识，以下是对于这两个概念的详细总结。

通过阅读本文，你将对平面向量与空间向量的定义、表示、运算以及相关性质有一个全面的了解。

平面向量1. 定义与表示平面向量是由起点和终点确定的有向线段，通常用→AB 或 AB 来表示，其中 A 为起点，B 为终点。

向量可以用坐标、分量、或单位向量的形式进行表示。

2. 向量的运算a) 向量的加法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点放在另一个向量的终点，以第一个向量的终点为新向量的终点，新向量即为原向量的和。

b) 向量的数乘：将向量的每个分量乘以一个标量，得到的新向量即为原向量的数乘。

c) 两个向量的数量积：平面向量的数量积满足平行四边形的面积公式，即对于向量→A 和→B，其数量积为A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量的模长，θ 表示两个向量之间的夹角。

3. 向量的性质平面向量具有以下性质：a) 两个向量相等，当且仅当它们有相同的模长和方向。

b) 两个向量平行，当且仅当它们的夹角为 0°或 180°。

c) 三角形的三条边可以看作是由两个向量的和构成。

d) 对于任意向量 A，A+(-A) = 0，其中 0 表示零向量。

e) 若向量 A·B = 0，则称向量 A 和 B 互相垂直。

空间向量1. 定义与表示空间向量与平面向量相似，但是在三维空间中存在。

空间向量通常用→AB 或 AB 来表示，其中 A 为起点，B 为终点。

2. 向量的运算空间向量的运算与平面向量类似，但是需要注意三个维度的变化。

向量的加法、数乘等运算仍然适用。

3. 向量的性质空间向量的性质与平面向量类似，但在三维空间中，还需要考虑向量与平面的相交等问题。

总结通过对平面向量与空间向量的知识点的总结，我们可以得出以下结论：- 平面向量和空间向量的定义和表示方式类似，都是由起点和终点确定的有向线段。

高二数学平面向量与空间向量的投影与夹角

高二数学平面向量与空间向量的投影与夹角在高二数学学习中，平面向量与空间向量是必不可少的内容，其中投影与夹角是这两个概念中的重要部分。

接下来，本文将重点讨论平面向量与空间向量的投影与夹角，以帮助同学们更好地理解和应用这一知识点。

一、平面向量的投影与夹角1. 平面向量的投影平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。

由于向量是具有方向的，因此投影也具有正负之分。

计算平面向量a在平面向量b上的投影的方法如下：设向量a的长度为|a|，向量b的长度为|b|，向量a与向量b的夹角为θ。

则向量a在向量b上的投影长度为|a|cosθ。

2. 平面向量的夹角平面向量的夹角是指两个向量之间的夹角，它可以通过内积公式计算得出。

设向量a和向量b分别为AB和AC两条线段的方向向量，它们的夹角可以通过以下公式计算得出：cosθ = (AB·AC) / (|AB||AC|)，其中AB·AC表示向量AB和向量AC 的内积。

二、空间向量的投影与夹角与平面向量类似，空间向量的投影和夹角也是指一个向量在另一个向量上的投影长度以及两个向量之间的夹角。

1. 空间向量的投影计算空间向量a在空间向量b上的投影的方法与平面向量类似，即投影长度为|a|cosθ。

2. 空间向量的夹角空间向量的夹角可以通过两个向量的点积和模长相除得到：cosθ = (a·b) / (|a||b|)，其中a·b表示向量a和向量b的点积。

三、应用举例现以一个典型的应用举例来加深对平面向量与空间向量的投影与夹角的理解。

例：已知平面向量a = (3, 2) 和平面向量b = (5, -1)，求a在b上的投影长度以及a与b的夹角。

解：首先，计算a在b上的投影长度：|a| = √(3^2 + 2^2) = √13|b| = √(5^2 + (-1)^2) = √26θ = arccos((3*5 + 2*(-1))/(√13 * √26)) ≈ 0.705 弧度因此，a在b上的投影长度为|a|cosθ = √13 * cos(0.705) ≈ 3.61。

三角学中的平面向量与空间向量——向量分析知识要点

三角学中的平面向量与空间向量——向量分析知识要点平面向量与空间向量是三角学中的重要概念之一，它们在数学、物理等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍平面向量和空间向量的基本概念、运算法则以及向量分析的要点。

一、平面向量的基本概念平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

平面向量可以表示为一个有序数对，也可以表示为一个点的坐标差。

平面向量的大小可以用向量的模长来表示，记作|AB|或||AB||，其中A和B是平面上的两个点。

模长的计算公式为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分别是A和B的坐标。

平面向量的方向可以用向量的方向角来表示。

方向角的计算公式为tanθ=(y2-y1)/(x2-x1)，其中θ是向量与x轴正方向的夹角。

二、平面向量的运算法则1. 平面向量的加法：将两个向量的对应分量相加即可。

设向量A=(x1,y1)，向量B=(x2,y2)，则A+B=(x1+x2,y1+y2)。

2. 平面向量的减法：将被减向量取负后与减向量相加即可。

设向量A=(x1,y1)，向量B=(x2,y2)，则A-B=(x1-x2,y1-y2)。

3. 平面向量的数量乘法：将向量的每个分量都乘以一个实数即可。

设向量A=(x,y)，实数k，则kA=(kx,ky)。

4. 平面向量的数量积：将两个向量的对应分量相乘后再相加。

设向量A=(x1,y1)，向量B=(x2,y2)，则A·B=x1x2+y1y2。

5. 平面向量的夹角：设向量A和向量B的夹角为θ，则cosθ=(A·B)/(|A||B|)。

三、空间向量的基本概念空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的量。

空间向量通常用有向线段或箭头来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

空间向量可以表示为一个有序数组，也可以表示为两个点的坐标差。

空间向量知识点总结及典型题

空间向量知识点总结及典型题一、空间向量知识点总结。

（一）空间向量的概念。

1. 定义。

- 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。

2. 表示方法。

- 用有向线段表示，如→AB，其中A为起点，B为终点；也可以用字母→a,→b,→c·s表示。

3. 向量的模。

- 向量的大小叫做向量的模，对于向量→AB，其模记为|→AB|；对于向量→a，其模记为|→a|。

（二）空间向量的运算。

1. 加法。

- 三角形法则：→AB+→BC=→AC；平行四边形法则：对于不共线的向量→a 和→b，以→a和→b为邻边作平行四边形，则这两个向量之和为平行四边形的对角线所对应的向量。

- 运算律：→a+→b=→b+→a（交换律）；(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)（结合律）。

2. 减法。

- →a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量。

3. 数乘向量。

- 实数λ与向量→a的乘积λ→a仍是一个向量。

- 当λ> 0时，λ→a与→a方向相同；当λ<0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。

- 运算律：λ(μ→a)=(λμ)→a；(λ+μ)→a=λ→a+μ→a；λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。

（三）空间向量的坐标表示。

1. 坐标定义。

- 在空间直角坐标系O - xyz中，设→i,→j,→k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量。

对于空间向量→a，若→a=x→i+y→j+z→k，则(x,y,z)叫做向量→a的坐标，记为→a=(x,y,z)。

2. 坐标运算。

- 设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)；→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)；λ→a=(λx_1,λ y_1,λ z_1)。

- 向量的模|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。

- 设A(x_1,y_1,z_1)，B(x_2,y_2,z_2)，则→AB=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)。

平面向量与空间向量

平面向量与空间向量平面向量和空间向量是数学中的重要概念，它们在几何和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍平面向量和空间向量的概念、性质和运算规则，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

1. 平面向量的概念和表示方法平面向量是二维空间中的有向线段，可以用两个点表示，也可以用坐标表示。

设P和Q是平面上的两个点，向量PQ可以表示为向量→PQ或向量→QP。

向量PQ的长度称为向量的模，用||→PQ||表示。

向量PQ的方向可以用一个角度或者一个与坐标轴的夹角来表示。

2. 平面向量的运算规则(1) 加法：向量的加法满足“三角形法则”和“平行四边形法则”。

即若有向量→AB和→AC，则它们的和为→AB + →AC，可以通过将向量→AB和→AC的起点相连得到向量→AE，其中E为连接AB和AC的对角线的交点。

(2) 减法：向量的减法相当于加上其相反向量，即A - B = A + (-B)。

(3) 数乘：向量与一个实数的乘积称为数量积，即k→AB = →AB +→AB + ... + →AB (k个)。

3. 空间向量的概念和表示方法空间向量是三维空间中具有大小和方向的量，可以用有向线段、坐标或者参数方程来表示。

三维空间中的向量与平面向量类似，可以进行加法、减法和数量积运算。

4. 平面向量和空间向量的关系平面向量是空间向量的特殊情况，即在三维空间中z轴分量为零的向量。

因此，平面向量的运算规则可以直接应用于空间向量。

同时，空间向量也可以投影到平面上，得到平面向量。

5. 平面向量和空间向量的应用平面向量和空间向量在几何和物理学等领域中有广泛的应用。

在几何学中，平面向量可以用来研究平面图形的性质和关系，例如线段的垂直、平行、共线等。

在物理学中，向量可以描述物体的位移、速度、加速度等物理量，并用于力的合成和分解，以及研究物体受力平衡的条件。

综上所述，平面向量和空间向量是数学中的基础概念，它们具有重要的理论和应用价值。

通过研究和掌握平面向量和空间向量的定义、性质和运算规则，可以帮助我们更好地理解和解决与向量相关的问题。

空间向量-平面向量

例如:
a
3a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即：(a b) a b
（）a a a
(a) ()a 其中、是实数。
类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)

D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC
D1
C1
(2) AB AD AA1
(3)
1 3
(
AB
AD
AA1 )
(4) AB
AD
1 2
CC1
解：(1)AB BC＝AC;
(2) 2AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1) AD1 D1C1 AC1
x 1.
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。
(3) AC AB1 AD1 xAC1
(3) AC AB1 AD1
降维
点动成线线动成面面动成体.
复习回顾：平面向量
这是什么? 向量
1、定义：
2、几何表示法:
字母表示法：坐标表示法：
3、相等向量相反向量
共线向量B（平行向量）

平面向量与空间向量知识点对比优秀版

平面向量与空间向量知识点对比优秀版平面向量与空间向量知识点对比12//a b a b x y λ⇔=⇔-0⇔=⋅⇔⊥b a b a ()()2211,,,y x B y x A ，则：第十二讲空间向量基本理论知识梳理：1．空间向量的有关概念（1）空间向量：空间里具有大小和方向的量叫做向量，记为a。

（2）空间向量的长度或模：空间向量也可以用有向线段来表示，有向线段的长度教做向量的长度或模，记为a 。

（3）零向量和单位向量：长度为0的向量和长度为1的向量分别为零向量（规定：方向任意）和单位向量（4）相等向量和相反向量：长度和方向相同的向量为相等向量；长度相同方向相反的向量为相反向量。

2．空间向量加减与数乘运算 ➢ +：b a AB OA OB +=+= —：b a OB OA BA -=-= 数乘：)(R a OP ∈=λλ●运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(3共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．Ifa 平行于b ,then 记作b a//．That means:当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：➢ 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a＝b λ.➢推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式: t OA OP +=a．其中向量a 叫做直线l 的方向向量.5．共面向量：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

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