基于三维IFS算法的建筑分形设计_林秋达
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3 IFS 蕨叶图形生成过程（图片来源：http://upload.wikimedia. org/wikipedia/commons/4/4b/Fractal_fern_explained.png）
4 典型二维IFS迭代（图片来源：http://upload.wikimedia.org/ wikipedia/en/8/86/IFS-construction.png）
论上是没有限制的，软件以点云实时计算显示的方 （reverse-engineering）。这样，既可以利用点云
式形成最终的分形结果。然而，建筑学中需要的反 分形软件的迭代能力得到超乎想象力的结果，又利
馈次数往往需要受到限制，纯粹的“同规则无限缩 用其他软件平台的可操作性简化设计成果，得到适
放”(3d infinite scaling) 对建筑设计的意义不大。 用于建筑设计的最终结果。
IFS 方法是分形迭代生成的“反问题”。在 二 维 计 算 机 图 形 学 中， 利 用 拼 贴 原 理（Collage Theorem），对于一个任意给定的图形 ( 比如一幅 叶片的图片 )，通过 ifs 迭代的方式求得生成规则， 能够很大幅度地压缩图像的容量，也能快速重建被 压缩的图像（图 3）。常规的二维 IFS 分形算法从平 面几何的角度为设计师提供了一种创造和研究二维 分形图形的工具 , 同样的方式可以推广到适用于建 筑设计的三维空间和形体（图 4）。因此，以 IFS 逆 向设计（reverse engineering）的作用，以丰富的 建筑或者自然现象为出发点，可以反求具有类似生 成规则却又与原始实例不完全相同的设计衍生体。 本文的多个实例，就是以悉卡罗神庙为出发点，通 过 IFS 方法反推生成法则生成的。
序等等无关。
这 个 词。 建 筑 的 分 形 设 计 必 须 是 有 限 的， 不 可 能
下列案例（图 7-10）是多个类似于印度悉卡 同纯数学分形一样迭代无穷多层次，一般 4~5 次
罗神庙的分形建筑形态。从这些案例得知，改变 迭代以后三维形体的数目就已经超出视觉能分辨
holon 的空间组织关系，产生的最终三维形态随之 的范围，也超出当前个人计算机计算能力的限制
基于三维IFS算法的建筑分形设计 Architectural Fractal Generating Based on 3D IFS Methodology
林秋达/LIN Qiuda
摘要: 本文以迭代函数系统IFS和仿射变换为基本方法， 探讨在不同软件平台上生成三维分形建筑形态的算法和 工具，并且以类似印度悉卡罗神庙的建筑形体为具体事 例，研究三维迭代函数系统（3D IFS）算法在建筑设计过 程中的作用。本文尝试提供一种与传统二维计盒维数法 分析分形属性的不同设计方法，为理解与设计具有分形 属性的建筑形态提供直观并且易于操作的软件算法和工 具。 Abstract: Based on the methodology of 3D IFS and related affinitive transformations, various algorithms in different software platforms, such as Xenodream and Growfx plugin for 3dsmax，are tested to generate architectural fractal forms. Different from classical 2D boxing-counting fractal analysis，the research provides an intuitive and design oriented method for generating architectural forms with fractal attributes. 关键词：分形，自我相似，迭代函数系统，仿射变换， 子整体 Key word: Fractal, Self-similarity, IFS, Affinitive transformation, Holon
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作者单位：清华大学建筑学院 收稿日期：2013-08-20
IFS与仿射变换 分形几何学对现代科学产生了深远的影响，建 筑的分形特征以及相对应的分析方法和设计方法也成 为建筑学研究的一个新热点。常规对建筑分形现象的 研究采用的是传统的计盒维数法（boxing-counting method），即用不断缩小尺寸的二维网格覆盖需要研 究的分形形体，通过计算被建筑形体占据的网格数量， 利用计盒维数公式得到研究对象的分形维度。如图 1 所示，被研究的悉卡罗（Shikhara）神庙建筑立面以 计盒维数法计算得出的分形维度为 1.83。 然而，二维计盒维数法分析仅仅能从数学上证 明被研究对象（往往为二维图形）具有分形维度和 分形特征，常规的分形公式迭代的生成方式又过于 抽象，在建筑设计的推敲过程中缺乏直观和有效的 控制操作手段，无法从实际设计操作的角度为建筑 设计提供一种更为直观、易于理解、易于控制的设 计方法和设计工具。 IFS 分形（Iterated Function System，函 数迭代系统）是由自身的原始图形 ( 生成元 ) 经过 特定函数的变换映射后形成的复制图形的集合 [1]。 IFS 算法的关键步骤是仿射变换 ，或称为关联式变 形（affine transformations）。IFS 迭代方法的 核心，不在于迭代本身，而在于其单元体在空间坐
由于现有商业分形软件（如 xenodream 软件
则丰富的设计灵活性。
Βιβλιοθήκη Baidu
等），最终生成的结果大多数以离散点云的方式体
建筑形体的有限次分形迭代
现， 为 生 成 的 形 态 雏 形 进 行 后 续 的 建 筑 学 加 工 造
由 IFS 的迭代生成方式得知，分形算法的要点 成了许多障碍。因此，为了得到简单并且可以灵
在于对生成元进行仿射变换操作的多重“嵌套”，实 活控制的建筑雏形，可以参考 xenodream 软件的
现生成元基于一定规则的自我复制，通过迭代次数 holon 方法，运用常规三维软件，例如 3dsmax，
的增加实现分形增长。Xenodream 的迭代次数理 rhino，grasshopper 等进行相应的分形的反求
因为建筑是为人的活动所服务的，建筑需要建造，
在运用更复杂的算法系统进行自我相似迭代之
需要容纳人类生存空间，需要和人体尺度相适应。 前，我们尝试用最为基本的软件平台，不利用任何自
在建筑学的范畴中，当缩放到一定比例，例如，小 动化算法步骤的前提下，实现特定类型的分形形态。
于 10mm 尺度的细节就没有意义了。因此，从建筑 通过这种最基本的算法操作的研究，为深入理解 IFS
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数字渗透与参数化主义
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Xenodream与子整体 分 形 设 计 软 件 xenodream 利 用 了 子 整 体 [4] （holon）的概念，整体与局部的关系以针对 holon 线框的直观操作来实现。如图 6 的左图所示，黑 色 holon 线框在空间中相对坐标系原点的旋转和缩 放（缩放 93%，旋转 30°）带动蓝色 holon 线框， 经过迭代后形成了中图的简单螺旋图形 ；而蓝色 holon 在空间中相对坐标系原点的移动和缩放（缩 放 36%，向右移动 20）再一次使总体图形自我迭代， 形成右图的最终分形图案。 在对 holon 的控制中，仿射变换操作（平移、旋转、 缩放以及扭转等拓扑变形），形成了最基本和最重要 的操作，由此确定了子整体之间的空间关系构架。 只要仿射变换的基本操作参数不变，IFS 的吸引子就 是不变的，最终形成的分形图案就极为类似。 如图 7 所示，xenodream 软件界面的左边是 子整体的基本构架以及各个子整体的基本空间映射 关系，以线框的六面体代替，主要的参数就是前面 所探讨的仿射变换，即移动、旋转、缩放（position, rotation, scale）；界面的右边则是子整体迭代映 射后最终生成的形态。这两个图的对比实际上反应 了分形理论的最基本原则 ：非常纯粹的基本框架由 于中间迭代算法的作用，往往可以产生不可预测的 最终结果。 我们平常所理解的层级关系一般认为最先形成 的代系会影响后面形成的代系，也就是说，祖先的 改变会影响后代，但是后代的改变不会影响祖先。 然而 holon 各个代系之间的关系是互为关联的，任 何一个代系迭代的改动都会影响其他的所有子体， 因此，在这种关系没有上下层的明确关系，没有母
体没有子体，没有主要的和次要的，正所谓牵一发 上已经超出了建筑学的需求范畴。
而动全身。在子整体里，任何一个微小的单体的改
用于生成自然植物模型的 Xfrog 软件，其名称
变都会影响整体效果，而这种影响只和各个子体之 是 "X-windows based Finite Recursive Object
间的仿射变换关系有关，和子体之间形成的先后顺 Generator" 的缩写，其定义的关键在于“finite"
产生相应的变化。在这些例子中，除了图 10 的角 了。从这个意义上讲，IFS 分形建筑方法可以简
部 holon 增加了旋转 45°的操作以外，以 box 作 写成 ：FRAG（Finite Recursive architectural
为基本构造体的多个 holon 仅仅进行了移动和缩放 Generator），也就是建筑分形形态的有限次迭代生
两种操作，就依靠 IFS 迭代系统本身产生的丰富细 成。建筑的分形不必要也不可能涵盖所有数学模型。
节创造出了和印度悉卡罗神庙类似的体量和效果。 因此，建筑学的分形方法永远只是数学上的分形方
这些形体以悉卡罗为原型，具有同样的构造规则， 法的一个“子集”。
却和原始的悉卡罗神庙不完全雷同，体现了 ifs 法
IFS 仿射变换的 4 个基本变换法则，移动、旋转、 缩放及空间拓扑已经涵盖了所有空间生成元的所有 操作。由于 IFS 的操作方法不需要抽象的数学公式 和对高等数学的深入了解，可以通过的常规 cad 软件功能实现，具有直观的可操作性，能够生成明 确具有分形特性的三维空间形体，因此三维 IFS 分 形算法适用于以设计为导向的建筑形态和空间的分 析及其生成。本文着眼于三维 IFS 空间形态的算法 原则和操作过程，不是从抽象的数学公式出发，根 据未知结果的参数迭代得出分形形态，而是从现象 学的角度和设计师擅长的形象思维出发，从设计意 向通过设定的规则“反推”设计结果。下文以类似 于印度悉卡罗神庙的形态为例，以 xenodream/ sketchup/growfx 等跨平台软件构筑谢尔宾斯基 三角形类型 [3] 的三维分形空间形态，探讨适用于建 筑学范畴的分形形态生成方法（图 5）。
1 悉卡罗神庙建筑立面计盒维数法分析过程（图片来源： Fractal geometry as the synthesis of Hindu cosmology in Kandariya Mahadev temple）
2 仿射变换的空间对应关系（图片来源：http://www.baike.com/ wiki/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%8F%98%E6%8D%A2）
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标系中的相对对应关系，也就是物体在空间坐标系 中的相对位移，相对旋转量，相对比例尺度，以及 拓扑变形的关系等（图 2）。简单地说，IFS 是初始 单元体基于一定原则的移动、旋转、缩放以及空间 拓扑（Position, Rotation, Scale, topological t r a n s f o r m a t i o n）的变形等基本变形法则的集合， 再通过迭代操作得到最终的复杂形态。IFS 设计思 路的基本概念，是将任意复杂分形形态的生成过程， 简化为仅仅包含移动，旋转，缩放以及空间拓扑变 形的实体化操作。研究表明，即使是以最简单的长 方体（box）作为初始单元体，运用 IFS 仿射变换 的 4 个基本变换法则就可以产生任意数量的变形结 果，甚至是接近自然形态的分形。
4 典型二维IFS迭代（图片来源：http://upload.wikimedia.org/ wikipedia/en/8/86/IFS-construction.png）
论上是没有限制的，软件以点云实时计算显示的方 （reverse-engineering）。这样，既可以利用点云
式形成最终的分形结果。然而，建筑学中需要的反 分形软件的迭代能力得到超乎想象力的结果，又利
馈次数往往需要受到限制，纯粹的“同规则无限缩 用其他软件平台的可操作性简化设计成果，得到适
放”(3d infinite scaling) 对建筑设计的意义不大。 用于建筑设计的最终结果。
IFS 方法是分形迭代生成的“反问题”。在 二 维 计 算 机 图 形 学 中， 利 用 拼 贴 原 理（Collage Theorem），对于一个任意给定的图形 ( 比如一幅 叶片的图片 )，通过 ifs 迭代的方式求得生成规则， 能够很大幅度地压缩图像的容量，也能快速重建被 压缩的图像（图 3）。常规的二维 IFS 分形算法从平 面几何的角度为设计师提供了一种创造和研究二维 分形图形的工具 , 同样的方式可以推广到适用于建 筑设计的三维空间和形体（图 4）。因此，以 IFS 逆 向设计（reverse engineering）的作用，以丰富的 建筑或者自然现象为出发点，可以反求具有类似生 成规则却又与原始实例不完全相同的设计衍生体。 本文的多个实例，就是以悉卡罗神庙为出发点，通 过 IFS 方法反推生成法则生成的。
序等等无关。
这 个 词。 建 筑 的 分 形 设 计 必 须 是 有 限 的， 不 可 能
下列案例（图 7-10）是多个类似于印度悉卡 同纯数学分形一样迭代无穷多层次，一般 4~5 次
罗神庙的分形建筑形态。从这些案例得知，改变 迭代以后三维形体的数目就已经超出视觉能分辨
holon 的空间组织关系，产生的最终三维形态随之 的范围，也超出当前个人计算机计算能力的限制
基于三维IFS算法的建筑分形设计 Architectural Fractal Generating Based on 3D IFS Methodology
林秋达/LIN Qiuda
摘要: 本文以迭代函数系统IFS和仿射变换为基本方法， 探讨在不同软件平台上生成三维分形建筑形态的算法和 工具，并且以类似印度悉卡罗神庙的建筑形体为具体事 例，研究三维迭代函数系统（3D IFS）算法在建筑设计过 程中的作用。本文尝试提供一种与传统二维计盒维数法 分析分形属性的不同设计方法，为理解与设计具有分形 属性的建筑形态提供直观并且易于操作的软件算法和工 具。 Abstract: Based on the methodology of 3D IFS and related affinitive transformations, various algorithms in different software platforms, such as Xenodream and Growfx plugin for 3dsmax，are tested to generate architectural fractal forms. Different from classical 2D boxing-counting fractal analysis，the research provides an intuitive and design oriented method for generating architectural forms with fractal attributes. 关键词：分形，自我相似，迭代函数系统，仿射变换， 子整体 Key word: Fractal, Self-similarity, IFS, Affinitive transformation, Holon
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作者单位：清华大学建筑学院 收稿日期：2013-08-20
IFS与仿射变换 分形几何学对现代科学产生了深远的影响，建 筑的分形特征以及相对应的分析方法和设计方法也成 为建筑学研究的一个新热点。常规对建筑分形现象的 研究采用的是传统的计盒维数法（boxing-counting method），即用不断缩小尺寸的二维网格覆盖需要研 究的分形形体，通过计算被建筑形体占据的网格数量， 利用计盒维数公式得到研究对象的分形维度。如图 1 所示，被研究的悉卡罗（Shikhara）神庙建筑立面以 计盒维数法计算得出的分形维度为 1.83。 然而，二维计盒维数法分析仅仅能从数学上证 明被研究对象（往往为二维图形）具有分形维度和 分形特征，常规的分形公式迭代的生成方式又过于 抽象，在建筑设计的推敲过程中缺乏直观和有效的 控制操作手段，无法从实际设计操作的角度为建筑 设计提供一种更为直观、易于理解、易于控制的设 计方法和设计工具。 IFS 分形（Iterated Function System，函 数迭代系统）是由自身的原始图形 ( 生成元 ) 经过 特定函数的变换映射后形成的复制图形的集合 [1]。 IFS 算法的关键步骤是仿射变换 ，或称为关联式变 形（affine transformations）。IFS 迭代方法的 核心，不在于迭代本身，而在于其单元体在空间坐
由于现有商业分形软件（如 xenodream 软件
则丰富的设计灵活性。
Βιβλιοθήκη Baidu
等），最终生成的结果大多数以离散点云的方式体
建筑形体的有限次分形迭代
现， 为 生 成 的 形 态 雏 形 进 行 后 续 的 建 筑 学 加 工 造
由 IFS 的迭代生成方式得知，分形算法的要点 成了许多障碍。因此，为了得到简单并且可以灵
在于对生成元进行仿射变换操作的多重“嵌套”，实 活控制的建筑雏形，可以参考 xenodream 软件的
现生成元基于一定规则的自我复制，通过迭代次数 holon 方法，运用常规三维软件，例如 3dsmax，
的增加实现分形增长。Xenodream 的迭代次数理 rhino，grasshopper 等进行相应的分形的反求
因为建筑是为人的活动所服务的，建筑需要建造，
在运用更复杂的算法系统进行自我相似迭代之
需要容纳人类生存空间，需要和人体尺度相适应。 前，我们尝试用最为基本的软件平台，不利用任何自
在建筑学的范畴中，当缩放到一定比例，例如，小 动化算法步骤的前提下，实现特定类型的分形形态。
于 10mm 尺度的细节就没有意义了。因此，从建筑 通过这种最基本的算法操作的研究，为深入理解 IFS
106 WA 2013/09
数字渗透与参数化主义
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Xenodream与子整体 分 形 设 计 软 件 xenodream 利 用 了 子 整 体 [4] （holon）的概念，整体与局部的关系以针对 holon 线框的直观操作来实现。如图 6 的左图所示，黑 色 holon 线框在空间中相对坐标系原点的旋转和缩 放（缩放 93%，旋转 30°）带动蓝色 holon 线框， 经过迭代后形成了中图的简单螺旋图形 ；而蓝色 holon 在空间中相对坐标系原点的移动和缩放（缩 放 36%，向右移动 20）再一次使总体图形自我迭代， 形成右图的最终分形图案。 在对 holon 的控制中，仿射变换操作（平移、旋转、 缩放以及扭转等拓扑变形），形成了最基本和最重要 的操作，由此确定了子整体之间的空间关系构架。 只要仿射变换的基本操作参数不变，IFS 的吸引子就 是不变的，最终形成的分形图案就极为类似。 如图 7 所示，xenodream 软件界面的左边是 子整体的基本构架以及各个子整体的基本空间映射 关系，以线框的六面体代替，主要的参数就是前面 所探讨的仿射变换，即移动、旋转、缩放（position, rotation, scale）；界面的右边则是子整体迭代映 射后最终生成的形态。这两个图的对比实际上反应 了分形理论的最基本原则 ：非常纯粹的基本框架由 于中间迭代算法的作用，往往可以产生不可预测的 最终结果。 我们平常所理解的层级关系一般认为最先形成 的代系会影响后面形成的代系，也就是说，祖先的 改变会影响后代，但是后代的改变不会影响祖先。 然而 holon 各个代系之间的关系是互为关联的，任 何一个代系迭代的改动都会影响其他的所有子体， 因此，在这种关系没有上下层的明确关系，没有母
体没有子体，没有主要的和次要的，正所谓牵一发 上已经超出了建筑学的需求范畴。
而动全身。在子整体里，任何一个微小的单体的改
用于生成自然植物模型的 Xfrog 软件，其名称
变都会影响整体效果，而这种影响只和各个子体之 是 "X-windows based Finite Recursive Object
间的仿射变换关系有关，和子体之间形成的先后顺 Generator" 的缩写，其定义的关键在于“finite"
产生相应的变化。在这些例子中，除了图 10 的角 了。从这个意义上讲，IFS 分形建筑方法可以简
部 holon 增加了旋转 45°的操作以外，以 box 作 写成 ：FRAG（Finite Recursive architectural
为基本构造体的多个 holon 仅仅进行了移动和缩放 Generator），也就是建筑分形形态的有限次迭代生
两种操作，就依靠 IFS 迭代系统本身产生的丰富细 成。建筑的分形不必要也不可能涵盖所有数学模型。
节创造出了和印度悉卡罗神庙类似的体量和效果。 因此，建筑学的分形方法永远只是数学上的分形方
这些形体以悉卡罗为原型，具有同样的构造规则， 法的一个“子集”。
却和原始的悉卡罗神庙不完全雷同，体现了 ifs 法
IFS 仿射变换的 4 个基本变换法则，移动、旋转、 缩放及空间拓扑已经涵盖了所有空间生成元的所有 操作。由于 IFS 的操作方法不需要抽象的数学公式 和对高等数学的深入了解，可以通过的常规 cad 软件功能实现，具有直观的可操作性，能够生成明 确具有分形特性的三维空间形体，因此三维 IFS 分 形算法适用于以设计为导向的建筑形态和空间的分 析及其生成。本文着眼于三维 IFS 空间形态的算法 原则和操作过程，不是从抽象的数学公式出发，根 据未知结果的参数迭代得出分形形态，而是从现象 学的角度和设计师擅长的形象思维出发，从设计意 向通过设定的规则“反推”设计结果。下文以类似 于印度悉卡罗神庙的形态为例，以 xenodream/ sketchup/growfx 等跨平台软件构筑谢尔宾斯基 三角形类型 [3] 的三维分形空间形态，探讨适用于建 筑学范畴的分形形态生成方法（图 5）。
1 悉卡罗神庙建筑立面计盒维数法分析过程（图片来源： Fractal geometry as the synthesis of Hindu cosmology in Kandariya Mahadev temple）
2 仿射变换的空间对应关系（图片来源：http://www.baike.com/ wiki/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%8F%98%E6%8D%A2）
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标系中的相对对应关系，也就是物体在空间坐标系 中的相对位移，相对旋转量，相对比例尺度，以及 拓扑变形的关系等（图 2）。简单地说，IFS 是初始 单元体基于一定原则的移动、旋转、缩放以及空间 拓扑（Position, Rotation, Scale, topological t r a n s f o r m a t i o n）的变形等基本变形法则的集合， 再通过迭代操作得到最终的复杂形态。IFS 设计思 路的基本概念，是将任意复杂分形形态的生成过程， 简化为仅仅包含移动，旋转，缩放以及空间拓扑变 形的实体化操作。研究表明，即使是以最简单的长 方体（box）作为初始单元体，运用 IFS 仿射变换 的 4 个基本变换法则就可以产生任意数量的变形结 果，甚至是接近自然形态的分形。