黄河吴龙区间河道洪水演进的数值分析与计算

（7） （8） （9）
Jj =
E1 j − A1 j G j A1 j Fj + B1 j
A2 j F j I j + B2 j I j + D2 j A2 j F j H j + B2 j H j + C2 j E2 j − A2 j F j J j − B2 j J j − A2 j G j A2 j F j H j + B2 j H j + C2 j
组进行离散，应用追赶法求解明渠非恒定流的圣维南方程组。将该模型应用于吴堡至龙门河段洪水演进过程，演算 结果表明计算值与实测值吻合较好，验证了该模型是合理可行的。 关键词：洪水演进 一维数学模型 Preissmann 格式 文献标识码：A 追赶法 文章编号：1006-7973（2007）11-0131-02 法进行长江中下游洞庭湖系统的水流模拟；王船海等将河流 水流概化为调蓄单元的零维模型、河道水流的一维模型、行 洪区水流的二维模型，采用直角坐标系下非均匀矩形网格的 控制体积法进行流域洪水模拟；周孝德等建立了包含对流项 及泥沙运动方程的隐式差分二维动床洪水模型。李大鸣对 Galerkin 有限元质量集中法进行了改进， 提出了质量加权集 中法，用于河道二维洪水演进；2000 年，童汉毅等用贴体 坐标变换与破开算子法，在计算平面的交错网格上对控制方 程进行隐格式离散， 进行了洪潮遭遇情况下的水动力学计算； 近年来，人工神经网络模型己经成功地应用于洪水预报。 本文在数学模型求解过程中所采用的隐式差分格式稳定 性不受时间步长的限制稳定性能好，对急缓变问题均适用， 由于格式仅涉及到四个网格结点，外边界和内边界的处理都 比较方便；采用追赶法求解一般经二到三次追赶叠代就能得 到十分满意的结果，因此，具有较大的发展潜力。 三、数学模型的建立 1．一维数学模型 建立圣维南方程组的基本假定是：①流速沿整个过水断 面均匀分布，可用其平均值代替。不考虑水流垂直方向的交 换和垂直加速度,从而可假设水压力呈静水压力分布；②河床 比降小，其倾角的正切与正弦值近似相等；③水流为渐变流 动，水面曲线近似水平。 描述河道一维非恒定水流运动的基本方程为圣维南方程 组，表征水流要素与流程坐标 x 和 t 的函数关系。取水位 Z 和流量 Q 为水力要素，不考虑区间汇流的情况下，可简化为 如下形式的水流连续方程和水流动量方程：
Fj +1 = −
α I j + D2 j α H j + C2 j
（11）
[5] 张挺.长河道洪水演进计算.四川大学.2001.5
Yellow River Wu dragon sector river course flood evolution numerical analysis and computation
∂Q ∂Z +B =0 ∂x ∂t QQ ∂Q ∂ Q 2 ∂Z + ( ) + gA + gA 2 = 0 ∂t ∂x A ∂x K
中图分类号：TU131.61 一、引言
随着我国经济建设的深入，水利水电工程开发愈来愈重 要，准确预报河段洪水传播过程，掌握河段洪水演进规律， 研究洪水波在天然河道中的运动特征及其对下游的影响，加 大对河道非恒定流洪水演算的研究，加强洪水管理，实现人 与水和谐共处具有重大的现实意义。 黄河龙门水文站位于晋陕峡谷尾端， 是国家重要水文站、 黄河中游洪峰编号站、三门峡水库的入库站之一，始建于 1934 年，集水面积 497552km2。由于晋陕区间是黄河上 大洪水的主要来源地之一，有效管理黄河洪水，为防洪安全 提供重要保障，进行水资源优化配置，确保黄河不断流，维 持河道和河口的生态功能，及时实施小北干流放淤工程对处 理黄河粗泥沙具有十分重要的意义。因此，该站洪水预报工 作对三门峡水库的调度运用和小北干流放淤起着非常重要的 作用，选取吴堡至龙门段进行流量演算，为其他测站提供计 算依据。 二、河道洪水演进的研究与发展 为实现人水和谐相处，无数专家、学者对其进行了大量 的研究，取得了许多研究成果。 1871 年， 法国人 Saint-Venant 建立明渠非恒定流偏微 分方程组，为洪水研究奠定了理论基础；1950 年，林秉南 提出等时段法，对特征线网进行控制；谭维炎、庚维德、苪 孝芳、王新声等用特征线法和显、隐式差分法对洪水波进行 数值模拟；1986 年，张家驹仿照计算空气动力学方程间断 解的差分格式，构造了多个计算水力学非恒定流方程的差分 格式；刘树坤等用显格式模拟了永定河泛洪区的洪水；1989 年建立了考虑对流项的迎风差分显格式，为增加稳定性，各 网点上参加差分计算值用与其有关网格值的时空加权平均值 代替；1991 年进行了小清河分洪区洪水模拟；胡四一等提 出一种有限体积高性能格式，在无结构三角形或四边形单元 中引入逆风概念，从而进行跨单元界面法向数值通量的逆风 分解，进行二维浅水流动的数值模拟。谭维炎等用有限体积
（1）
式中：Q —流量；Z —水位； A— 过水断面面积；B — 河道水面宽度； x— 沿河长的距离； g—重力加速度； K —流量模数。
收稿日期：2007-7-11 作者简介：田景环 女（1965—） 华北水利水电学院 教授 （450011） 作者简介：李芳芳 女（1981—） 华北水利水电学院 在读研究生 （450011） 研究方向：水利水电；水力学及河流动力学
第 07 卷 2007 年
第 11 期 11 月
中 国 水 运 China Water Transport
Vol.7 November
No.11 2007
黄河吴龙区间河道洪水演进的数值分析与计算
田景环
摘
李芳芳
要：本文建立了河道洪水演进的一维水流数学模型，采用 Preissmann 的四点空间中心差分格式对圣维南方程
132 2．隐式差分格式的建立及求解方法 （1）隐式差分格式的建立 本文采用 Preissmann 的四点空间中心差分格式 θ 1−θ n 1 n +1 f ( x, t ) = ( f jn++ )+ ( f j +1 + f jn ) 1 + fj 2 2 f n +1 − f jn +1 f n − f jn ∂f = θ j +1 + (1 − θ ) j +1 ∂x +x +x n +1 n n +1 n − + − f f f f ∂f j +1 j +1 j j = 2+t ∂t
n +1 = f n ++ f 并令 f
中 国 水 运
G j +1 = E2 j − α J j − A2 j G j
第 07 卷
α H j + C2 j
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四、应用实例 将该模型应用于黄河中游吴堡至龙门河段洪水演进过 程，暂不考虑区间支流汇入，主要以吴堡来水为主。吴堡至 龙门河段，河长 275km，平均河道比降 0.928‰。本河段 河道穿行峡谷之间，河谷宽度在 300～500m 之间。上游边 界条件采用吴堡水文站的实测流量过程，下游边界条件采用 龙门水文站的实测水位过程。 利用 1992 年 7 月-8 月的吴堡水文站实测洪水过程对本 文建立的数学模型进行了验证计算，龙门站洪水模拟过程线 如图 1 所示，可见计算结果与实测流量吻合较好。
（2）方程的求解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2） （3）
采用追赶法对线性方程进行求解，设有如下的两个线性 关系式，
+Q j = Fj +Z j + G j
+Z j = H j +Q j +1 + I j +Z j +1 + J j
（4） （5）
五、结语 （1） 本文根据洪水在河道中演进的特点， 建立了一维圣 维南方程组，该方程组属拟线性双曲型偏微分方程组，求得 其解析解是很困难的，因此，本文基于 Preissmann 四点空 间中心差分格式对该方程组进行离散化为线性方程组，并采 用追赶法对线性方程进行求解， 利用循环计算式 （7） （8） （9） （11） （12） ，在追的过程中可求得系数 Hj,Ij,Fj,Gj,而后在 赶的过程中求出流量 Qjn+1。 （2） 将该模型应用于黄河中游吴堡至龙门河段洪水演进 研究，选取 1992 年 7 月-8 月的实测洪水过程对模型进行了 验证计算。计算结果表明，流量过程计算值与实测值吻合较 好。 参考文献 [1] 杨国录.河流数学模型.1993（3）
将式（4）代入式（2）有 ( A1 j F j + B1 j )+Z j = −C1 j +Q j +1 − D1 j +Z j +1 + ( E1 j − A1 j G j ) （6） 比较(5)和（6）可得
Hj =
Ij = −
−C1 j A1 j Fj + B1 j
D1 j A1 j F j + B1 j
对方程组（1）进行离散，在线性化的过程中，略去增量 的乘积项，线性化后可以写成
A1 j +Q j + B1 j +Z j + C1 j +Q j +1 + D1 j +Z j +1 = E1 j
A2 j +Q j + B2 j + Z j + C2 j +Q j +1 + D2 j + Z j +1 = E2 j
Tian Jinghuan Li Fangfang
将（4） （5）代入（3）有
+Q j +1 = − +Z j +1 +
（10）
[2] 汪德爟.计算水力学理论与应用.河海大学出版社， 1989 （9） [3] 于布.水力学.华南理工大学出版社，2003（11） [4] 穆锦斌.一维非恒定流若干问题研究.武汉大学.2004（4）
比较式（10）和（4） ，设 α = A2 j Fj + B2 j ，则