2021届浙江五校第一次联考数学试题附参考答案
2021年10月浙江省五校(杭州高中杭州二中等)2021届高三毕业班上学期第一次联考数学试题及答案
绝密★启用前浙江省五校联考联盟(杭州高中 杭州二中 学军中学 绍兴一中 效实中学) 2022届高三毕业班上学期第一次联考质量检测数学试题2021年10月考生须知：1.本卷满分150分,考试时间120分钟；2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效；4.考试结束后,只需上交答题卷。
参考公式：若事件A,B 互斥,则P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)若事件A,B 相互独立,则P(AB)＝P(A)P(B)若事件A 在一次试验中发生的概率是p,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)＝C n k p k (1－p)n －k (k ＝0,1,2,…,n)台体的体积公式：V ＝13(S 1＋S 2)h 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式：V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式：V ＝13Sh 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式：S ＝4πR 2球的体积公式：V ＝43πR 3 共中R 表示球的半径第I 卷(选择题部分,共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|0<x<2},B ＝{x|x 2＋4x －5>0},则AI(∁R B)等于A.{x|0<x ≤1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|－1≤x<2}2.已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方,则实数b 的取值范围为A.b>－3B.b<－3C.－3<b<0D.b>0或b<－33.若a>b>0,m<0。
则下列不等式成立的是A.am 2<bm 2B.m b a ->1C.a m a b m b -<-D.22a m b m a b --> 4.已知sin(4π＋α)＝13,则cos(2π－2α)＝ A.－79 B.79C.－429D.429 5.函数f(x)＝(1－x21e +)cosx(其中e 为自然对数的底数)的图象大致形状是6.有10台不同的电视机,其中甲型3台,乙型3台,丙型4台。
浙江省高三数学9月第一次联考试题(含解析)
满足以下分布列，当 且不断增大时，〔〕
0
1
2
A. 增大， 增大
B. 减小， 减小
C. 增大， 先增大后减小
D. 增大， 先减小后增大
【答案】C
【解析】
【分析】
由分布列可知，随机变量 服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断.
【点睛】此题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.
〔 为虚数单位〕，那么复数z的模长等于〔〕
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简复数z,利用模长公式即可求解.
【详解】化简易得 ，所以 ，应选A.
【点睛】此题考查复数的根本运算和概念，了解复数的根本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答此题的关键.
，满足 .假设 那么 的最小值是___________，假设 ，且存在常数 ，使得任意 ，那么 的取值范围是______________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
第一空：令 ,将问题转化为函数问题,那么 表示点 与原点连线的斜率，观察图象即可求解.第二空：将问题转化为当 ,那么 ，结合二次函数的最值以及翻折后图象列式即可求解.
浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题〔含解析〕
考前须知：
1．本试题卷共8页，总分值150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
浙江省五校2021届高三数学上学期联考试题(含解析)
浙江省五校2021届高三数学上学期联考试题（含解析）1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}24B x x =≤，则A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. (]0,2 D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出集合,A B 后可得两个集合的交集. 【详解】()1,A =+∞，[]2,2B =-，故(]1,2AB =，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.已知向量1a =，2b =，且a 与b 的夹角为60︒，则（ ） A. ()a ab ⊥+B. ()b a b ⊥+C. ()a ab ⊥-D.()b a b ⊥-【答案】C 【解析】 【分析】逐项采用向量数量积的公式进行验证即可【详解】解析：对A ：()20a a b a a b +=+⋅≠，故不垂直，A 错； 对B ：()20b a b b a b +=+⋅≠，故不垂直，B 错； 对C ：()2110a a b a a b -=-⋅=-=，故垂直，C 对； 对D ：()2140b a b a b b -=⋅-=-≠，故不垂直，D 错； 故选C【点睛】本题考查向量数量积的运算和向量垂直的判断，是基础题型3.函数()332xx xf x =+的值域为（ ） A. [)1,+∞B. ()1,+∞C. (]0,1D. ()0,1【答案】D 【解析】 【分析】需要先对函数式进行化简，化简成()3132213xxx xf x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭形式，再进行值域求解 【详解】()3132213xx x xf x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵2210110133213xxx⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选D【点睛】本题考查复合函数的值域求解，一般复合函数值域求解需要先求内层函数的值域，形如()()f g x ，先求()g x 的值域D 再求()f D 的取值范围4.已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，则（ ） A. 0d <时，n S 一定存在最大值 B. 0d >时，n S 一定存在最大值C. n S 存在最大值时，0d <D. n S 存在最大值时，0d >【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的特点来判断n S 与d 的关系即可【详解】对A ：因为0d <，所以数列单调递减，故n S 一定存在最大值，A 正确； 对B ：因为0d >，所以数列单调递增，故n S 不存在最大值，B 错； 对C ：因为当0d =，10a <时，n S 存在最大值1S ，C 错； 对D ：由C 的解析知，D 错； 故选A【点睛】本题考查等差数列n S 与d 的关系，我们可以通过21=22n n S d d n a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭来加强理解，当公差0d =，数列为常数列，1n S na =，当10a >时，n S 有最小值，10a <时，n S 有最大值；当公差0d ≠时，0d >，n S 有最小值，0d <，n S 有最大值5.已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A. ⎛-∞ ⎝⎭B. 4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. ⎫∞⎪⎪⎝⎭D.4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 将不等式化为32aax x+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可【详解】(]0,2x ∈时，不等式可化为32aax x+<； 当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则223x a x>=，当且仅当x =所以a ，即0a <<；当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(,3-∞ 答案选A【点睛】本题考查不等式与对应函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法 6.已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a bb ab a a b>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论7.定义{}max ,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则关于实数,x y 的不等式组{}22max ,0x y x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 12【答案】D 【解析】 【分析】通过对新定义的解读，需要先求解{}max ,0x y x y +-≥，即0,00,0x y y x y y +≥≥⎧⎨-≥<⎩，再通过分类讨论形式表示不等式组，画出对应的线性规划区域，再求解对应面积即可【详解】解析：{}0,0max ,00,0x y y x y x y x y y +≥≥⎧+-≥⇒⎨-≥<⎩， 即{}22220220max ,000x x x y y y x y x y x y x y ⎧⎧⎧≤≤≤⎪⎪⎪≤⇔≤≤-≤<⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-≥+≥-≥⎩⎩⎩或 由图像可得：平面区域面积：11642122S =-⨯⨯=，故选D【点睛】本题考查根据新定义表示线性规划区域，对可行域面积的求解，难点在于通过分类讨论合理表示出符合条件的区域8.函数()()sin 22cos 0f x x x x π=+≤≤，则()f x （ ） A. 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 B. 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C. 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 D. 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 【答案】C 【解析】 【分析】由于常规方法无法进行化简，故需要对()f x 进行求导，根据导数来研究函数的增减性 【详解】()()()()22cos 22sin 22sin sin 102sin 1sin 10f x x x x x x x '=-=-+->⇒-+<，故151sin 0,,266x x πππ⎛⎫⎛⎫-<<⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，即在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 答案选C【点睛】本题考查根据导数来研究三角函数增减性问题，根据导数正负对应的区间来确定原函数的增减性，既考查了导数在函数中的应用，又考查了三角函数图像的基本性质9.三角形ABC 中，已知sin cos 0sin A C B +=，tan A =，则tan B =（ ）B. C.3D.2【答案】D 【解析】 【分析】 先将sin cos 0sin AC B+=化简，得到sin cos sin A C B =-，此时需要用到()sin sin A B C =+进行代换，化简得到关于B 与C 的正切公式，由于题中求的是角B ，故需将tan C 代换成()tan A B -+，进而化简求值【详解】解析：()sin cos 0sin cos sin sin 2tan tan 0sin AC A C B B C B C B+=⇒=-=+⇒+=，()tan tan 2tan tan tan 1tan tan 2A B B A B B A B +⇒=+=⇒=- 故选D .【点睛】本题考查三角函数的化简求值，由于前期不能锁定解题方向，所以需要进行解题方向预判，大体是弦化切，故整体思路都围绕弦化切展开，中间遇到两次三角函数的整体代换，对基本功要求较高，这就要求平时强化基础，苦练基本功 10.若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A.23B.56C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】将不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭看作两个因式，x a b --和sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，先讨论sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负，确定x 对应区间，再对x a b --的正负进行判断，确定在交汇处取到等号，进而求解【详解】解析：法一：由题意可知：当15 , 66x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin06xππ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当151,,166x⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，sin06xππ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，故当15,66x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b--≤，当151,,166x⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b--≥，即有5165316126a b aa bba b⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B；法二：由sin6xππ⎛⎫+⎪⎝⎭右图像可得：显然有5165316126a b aa bba b⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究11.已知集合{}2210A x x x=--<，{}B x a x b=<<，若{}21A B x x⋃=-<<，则a=______；若(){}13RA B x x⋂=≤<，则b=______.【答案】 (1). 2a=- (2). 3b=【解析】【分析】先化简集合A，根据题设条件，画出数轴图，根据交并补关系进行求解即可【详解】{}21210,12A x x x⎛⎫=--<=-⎪⎝⎭，因为{}B x a x b=<<，{}21A B x x⋃=-<<所以2a=-，如图所示[)1,1,2RC A⎛⎤=-∞-+∞⎥⎝⎦，(){}13RA B x x⋂=≤<所以3b=.如图：【点睛】本题考查根据集合的交并补的结果求解参数，最好的方式是结合数轴图加以理解，更具体，更直观12.已知0,6aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2sin sin21a a+=，则tan a=______；sin2a=______.【答案】 (1).12(2).45【解析】【分析】将右式的“1”化成“22sin cosαα+”，再化简求值【详解】22221sin sin21sin cos sin2cos tan2a a a a a a a+==+⇒=⇒=；22tan14sin211tan514aaa===++所以1tan2a=，4sin25a=【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“1”的代换很关键，22tan sin 21tan aa a=+为万能公式的使用，应当熟记 13.不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是______；不等式()212log 31log 4x -<的解集是______.【答案】 (1). {}0x x < (2). 15312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】将1212x-⎛⎫ ⎪⎝⎭化简成212x -，再利用指数函数性质解不等式；同理对于12log 4化简成21log 4，但要注意310x ->，再进行求解即可 【详解】123121122312102xx x x x x ---⎛⎫<=⇒-<-⇒< ⎪⎝⎭，所以不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是{}0x x <()2122310115log 31log 4log 214312314x x x x ->⎧⎪-<==-⇒⇒<<⎨-<⎪⎩ 不等式()212log 31log 4x -<的解集是15312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的求解，化成同底数再根据函数的增减性求解是常规方法，同时还需注意定义域必须符合对数函数性质14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()112nnn n S a n N *⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则3a =______，7S =______.【答案】 (1). 116- (2). 1256- 【解析】 【分析】再写一个下标减一的递推式，两式作差，表示出n a 的关系式，再根据n 为奇数和偶数求解具体数值即可【详解】当1n =时，1111124S a a =--⇒=-； 当2n ≥时，()()()()()()1111111112111111122112nn n nn n n n n n n n n n n n n n n S a a a a a a S a -------⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤⇒=---+⇒--=-+⎨ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩当n 为偶数时，112nn a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即n 为奇数时112n n a +=-，所以3411216a =-=-； 7812a =-，()7787811111222256S ⎛⎫=---=-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查根据递推数列求解具体通项和n S 的方法，涉及题设包含()1n-这种形式时，一定要分类讨论奇偶性 15.定义{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知(){}max 11,2f x x x =++，()g x ax b =+.若()()f x g x ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，则2a b +的最小值是______.【答案】5 【解析】 【分析】画出()()=11,2m x x h x x ++=的图像，根据题意，表示出()f x 的表达式，再根据()f x 与()g x 的位置关系，进行求解【详解】如图：()(]()11,222,x xf xx x⎧++∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，，若()()f xg x≤对[)1,x∈+∞恒成立，此时()[]()2,1,22,2,x xf xx x⎧+∈⎪=⎨∈+∞⎪⎩，则2a≥，2ax b x+≥+在[]1,2上恒成立，所以3a b+≥()2235a b a a b+=++≥+=当且仅当2a=，1b=时等号成立.即图中的红色直线为临界状态.则2a b+的最小值是5【点睛】本题考查根据新定义写出表达式，根据函数图像求不等式的最值，准确画出函数图像并从临界点切入是解题关键16.已知向量,,a b c，其中2a b-=，a c-=1，b与c夹角为60︒，且()()1a b a c-⋅-=-.则a的最大值为______.221【解析】【分析】可设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，a c CA -=，则2BA =，1CA =，进而可求出BA 与CA 夹角，根据几何关系能得出四点共圆，再根据正弦定理求得圆的半径即可 【详解】设OA a =，OB b =，OC c =，则2BA =，1CA =，1BA CA ⋅=- 所以1cos ,2BA CABA CA BA CA⋅<>==-,即BA 与CA 的夹角为120︒，而OB 与OC 的夹角为60︒, 所以四点,,,O B A C 共圆， 于是a OA =为圆的直径时最大，2212122172BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，72212sin1203BC r 2===︒则a 的最大值为221【点睛】本题考查向量模长的求法，通过构造向量的形式表示a b BA -=，a c CA -=是解题关键，借助几何图形能帮助我们快速解题17.已知实数,a b 满足：2224b a -=，则2a b -的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析 【详解】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点(),a b 到直线20a b -=问题若相切，则()22224b b z -+=有唯一解222440b zb z +++=，()2221684042z z z z =-+=⇒=⇒=两平行线20a b -=与20a b z --=的距离d ==所以22a b -== 方法二：柯西不等式法 补充知识：二元柯西不等式 已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by ++≥+()()()222222222222222222a b x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy ++≥+⇔+++≥++()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by --≤-()()()222222222222222222a b x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy --≤-⇔--+≤+-()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥所以()()()22242212b aa b =--≤-，所以22a b -≥.方法三：判别式法设22a b t a b t -=⇒=+，将其代入2224b a -=，下面仿照方法一即可. 方法四：整体换元0a ->0a +>设x a y a⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，则()40,0xy x y =>>，且22222y xay xa bb-⎧=⎪-⎪⇒-=-=≥=⎨⎪=⎪⎩方法五：三角换元由对称性，不妨设2tanbaθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为锐角）所以sin cos22tan222cos cosa bθθθθθθ-=-==≥=所以2a b-的最小值为2【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面18.已知()sin3f x x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ABC△中，角,,A B C所对的边为,,a b c.（1）若,22xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x的值域；（2）若()13f A=，a=2b=，求sin B的值.【答案】（1）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）6+【解析】【分析】（1）将表达式先展开再合并，化简求值即可（2）将()13f A=化简求得1sin33Aπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，通过数值进一步锁定32Aππ<<，求出22cos 3A π⎛⎫-=⎪⎝⎭，采用拼凑法求出sin sin 33A A ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用正弦定理求解sin B 【详解】解析：()13sin 3cos sin cos 3cos sin 3223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）∵51,,sin 2236632x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒-∈-⇒-∈-1, ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，即()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）()11sin 333f A A π⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，因为1132<，所以036A ππ<-<，或者563A πππ<-<，即32A ππ<<或者7463A ππ<<（舍去），故22cos 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；126sin sin 336A A ππ⎛⎫+⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理得：sin sin a b A b =⇒243sin 6B += 【点睛】本题考查复合三角函数值域的求法，三角恒等变换中关于具体角的求解问题，正弦定理在解三角形中的应用，对于角的拼凑问题是解题过程中经常会遇到的问题，如本题中33A A ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，常见的还有442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，233x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()A A B B =+-等19.已知多面体P ABCD -中，AB CD ∥，90BAD PAB ∠=∠=︒，12AB PA DA PD DC ====，M 为PB 中点. （1）求证：PA CM ⊥；（2）求直线BC 与平面CDM 所成角的正弦.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】 【分析】（1）可通过线面垂直的判定定理来证线线垂直，即设法证明PA ⊥ CD 直线所在平面 （2）过点B 作BO CMD ⊥面，连接CO ，则BCO ∠为直线BC 与平面CDM 所成角的平面角，再采用等体积法求出BO ，即可求得 也可采用建系法直接求解 【详解】法一：（1）由90BAD PAB ∠=∠=︒得：BA PAD ⊥面；如图：取PA 中点E ， 连接ME ，DE 得：ME PA ⊥，DE PA ⊥，PA DEMC ⊥面；故：PA CM ⊥；（2）过点B 作BO CMD ⊥面；连接CO ，则BCO ∠为直线BC 与平面CDM 所成角的平面角，即有B CDM M CBD V V --=， 不妨设122AB PA DA PD DC ==-==，即有：11113434213232h h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒=，所以2sin h BCO BC ∠==法二：由90BAD PAB∠=∠=︒得：BA PAD⊥面；122AB PA DA PD DC=====如图建系得：()200P，，，()3A，，，()3B，，，()004C，，,()0,0,0D，33122M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，（1）()3,0PA=-,33,,-322CM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭则0PA CM PA CM⋅=⇒⊥（2）设面CDM的法向量为(),,n x y z=，()0,0,4DC=，332DM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()1,3,2BC=--即有：()401,3,00330zDC nnDM n x=⎧⎧⋅=⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅==⎪⎩⎩，故132sin cos28BC nα-+=<⋅>==⨯【点睛】本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题20.设数列{}n a是等比数列，数列{}n b是等差数列，若223a b==，359a b==.（1）若nnnn bca⋅=，数列{}nc中的最大项是第k项，求k的值（2）设n n nd a b=⋅，求数列{}n d的前n项和n T【答案】（1）2k=（2）()131nnT n=-⨯+【解析】【分析】（1）根据题设已知条件利用通项公式直接表示出223a b ==，359a b ==的关系式，求解出{}n a 与{}n b 的通项公式，表示出{}n c 的通项公式，利用1n n c c +-进行判断（2）采用错位相减法进行求解即可 【详解】解析：（1）设公差为d ，公比为q则11112111314923a a qb d b a q b d d q =⎧⎪=+==⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎩⎪⎪=⎩，所以13-=n n a ，21n b n =-；2123n n n n n b n n c a -⋅-==，212313n nn n c +++= 222112312461333n n n n nn n n n n n c c +-++--++-=-= 当1n =时，246120n n -++=>，于是21c c >； 当2n ≥时，24610n n -++<，于是1n n c c +<； 综上所述：123n c c c c <>>⋅⋅⋅>， 于是()2max 2n c c ==，2k = （2）错位相减求和法()1213n n d n -=-⋅，()()01112133321331333213n n n nT n T n -⎧=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎪⎩，()()()()1213321233321312213223231n n nn n n T n n n ---=+⨯+⋅⋅⋅+--⨯=+--⨯=-+⨯--()131n n T n =-⨯+【点睛】本题考查等差等比数列基本量的求解，数列前n 项和最大值和对应项的辨析，错位相减法求前n 项和，错位相减法关键在于第二个式子一般乘以公比，跟第一个式子对应时，依次向后错一位，两式相减时，第二个式子多出的末项符号正负要书写正确21.过椭圆2212xy+=的左焦点F作斜率为()11k k≠的直线交椭圆于A，B两点，M为弦AB的中点，直线OM交椭圆于C，D两点.（1）设直线OM的斜率为2k，求12k k的值；（2）若F，B分别在直线CD的两侧，2MB MC MD=⋅，求FCD的面积.【答案】（1）12-（2）22【解析】【分析】（1）设直线方程为1y k x b=+，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点M的坐标为1221122(,)1212bk bk k-++，代入可得2112kk=-，进行求解（法二）（利用点差法）设点1(A x，1)y，2(B x，2)y，中点(M x，)y，由2211112x y+=与2222112x y+=，作差得21212121()()12()()y y y yx x x x-+-=-+再进行求解（2）设直线方程为()11y k x=-，联立椭圆方程得出211221412kx xk+=+，点M的横坐标为21021212kxk=+，用焦点弦公式表示出())2211122112214222212kkAB a e x xk+=++==+，同理联立方程()22222222122x yk xy k x⎧+=⇒+=⎨=⎩，用弦长公式表示出MC，MD，结合题干2MB MC MD =⋅求出2k ，再用点到直线距离公式求得F 到CD 距离，进而求得面积【详解】（1）解法一：设直线方程为1y k x b =+，代入椭圆方程并整理得：22211(12)4220k x k bx b +++-=，1122412k bx x k +=-+，又中点M 在直线上，所以1212122y y x x k b +⎛⎫⎝+⎪⎭=+，从而可得弦中点M 的坐标为1221122(,)1212bk b k k -++，2112k k =-， 所以1212k k =-解法二：设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，中点0(M x ，0)y 则1202x x x +=，1202y y y +=0122012y y y k x x x +==+，21121y y k x x -=- 又2211112x y +=与2222112x y +=，作差得21212121()()12()()y y y y x x x x -+-=-+所以1212k k =-（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y()()22222221111221242201x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨=-⎪⎩ 211221412k x x k +=+，点M 的横坐标为21021212k x k =+())221112221114221212k k AB a e x x k k +=++==++于是)212111212k MB MB k +==+ 联立方程()22222222122x y k x y k x⎧+=⇒+=⎨=⎩所以3x =4x =2121212k MC k =+，MD =所以()2221222212211212k MC MD k k k ⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭从而有)()222212122221211221121212k k k k k k ⎤+⎛⎫⎢⎥=+- ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合1212k k =-， 从而得2112k =，不妨设12k =，此时22k =-:0CD x +=此时CD ==d =1232FCD S ∆== 【点睛】本题考查直线与曲线相交问题的具体应用，要求考生具有较强的运算能力和逻辑推理能力，用点差法解决弦的中点问题可大大减小运算22.设函数()1xf x e x =+≥- （1）当1a =-时，若0x 是函数()f x 的极值点，求证：0102x -<<； （2）（i ）求证：当0x ≥时，()2112f x x x ≥+++； （ii ）若不等式()25242f x a x x a++≤对任意0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 注：e=2.71828为自然对数的底数.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析 （i i ）(]0,1【解析】【分析】（1）先求导，得()f x '=()21g x e =，求得()0g x '>，可判断()g x 单调递增恒成立，再根据零点存在定理计算两端点值，即可求证（2）（i ）要证()2112f x x x ≥+++2112x e x x ≥++，只需证()21102x h x e x x =---≥，通过求导证明()'0h x >，求得()0=0h ，即可求证 （ii ）先通过必要性进行探路，当0x =时，一定成立，推出(]0,1a ∈ ，当01a <≤时，()()25=224f x a g x x x a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭令，化简得()()2512042x g x e x x x ⎛⎫≥++≥ ⎪⎝⎭， 进一步求导得()54x g x e x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，结合（i ）中2112x e x x ≥++放缩可得()2511424x g x e x x ⎛⎫'=-+≥+- ⎪⎝⎭，再对1x ≥和01x <<分类讨论，进而求证【详解】解析：（1）()xf x e '==，令()()2120x g x e g x e e '=⇒=>即()g x 恒增，又1102g ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，()010g =>，所以()f x '在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一根，即为()f x 的极值点0x ，且0102x -<<； （2）（i ）要证()2112f x x x ≥+++2112x e x x ≥++，只需证()21102x h x e x x =---≥，()1x h x e x '=--，()10x h x e ''=->，即()h x '在[)0,+∞，即()()min 00h x h ''==，所以()0h x '≥恒成立，即()h x 在[)0,+∞单调递增，又有()()min 00h x h ==，所以()0h x ≥恒成立，即()2112f x x x ≥+++（i i ）必要性探路：当0x =，有1201a a a+≤⇒<≤， 当01a <≤时，2225551222424242x x a e a x x x x e x x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()2512042x g x e x x x ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭ ()225151142424x g x e x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=+≥1+++-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）当1x ≥时，()221111110242424g x x x '≥+->-≥->， 所以函数()()00g x g ≥=（2）当01x <<时，()2111102444g x x '≥->->> 所以函数()()00g x g ≥=综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1.【点睛】本题考查导数零点区间的证明，零点存在定理的应用，利用导数证明不等式恒成立，利用利用放缩法证明不等式，利用导数研究恒成立问题求解参数，难度系数比较大，对考生综合素质要求较高。
2021年浙江省中考数学第一次联合测评试卷附解析
2021年浙江省中考数学第一次联合测评试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图的四幅图分别是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）A ．①②③④B ．①③②④C ．④②③①D ．③④①②2．在锐角三角形ABC 中，若sinA=22,∠B=750,则tanC=（ ） A ．3 B ．33 C ．22 D ．13．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）A ．2，5，10，25B ．4，7，4，7C ．2，21，21，4 D ．2，5，25，524．抛物线2()y a x m =-的图象与坐标轴的交点个数（a ≠0）为（ ） A ．1 个 B ．2个C ．3 个D ．1个或2个 5．下列图形中，不能单独镶嵌成平面图形的是（ ） A ． 正三角形 B ． 正方形C ． 正五边形D ． 正六边形 6．如图，已知直线a,b 被直线c 所截，a ∥b ，∠2=50°，则∠1等于（ ）A ．150°B ．130°C ．40°D ．50°7．若干名工人某天生产同一种零件，生产的零件数整理成条形图（如图）,设他们生产零件的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）A ．b>a>cB ．c>a>bC ．a>b>cD ．b>c>a8．从长度为1，3，5，7的四条线段中任取三条，组成三角形的机会是（ ）A ．10％B ．25％C ．50％D ．100％ 9．已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩与方程组2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，则 a ，b 的值为（ ） A ．a = 1，b =2 B ． a=-4 , b=-6 C ．a=-6,b=2 D ．a=14,b=2二、填空题10．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于 ． 11．若一条弧长等于l ，它的圆心角等于n °，则这条弧的半径R= ． 12．有一边长为3的等腰三角形， 它的两边长是方程x 2－4x ＋k ＝0的两根，则k 的值为 ．13．□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点0，分别添加下列条件中的一个：①∠ABC=90°；②AC ⊥BD ；③AB=BC ；④AC 平分∠BAD ；⑤AC=BD ，能使得□ABCD 是矩形的条件有 (填序号)．14．一个正方体的表面积是384cm 2，求这个正方体的棱长．设这个正方体的棱长是xcm ，根据题意列方程得_____________________，解得x ＝_______cm ．15． 若一个正三角形的路标的面积为23，则它的边长为 ．16．已知直角三角形的两直角边长分别为 a 和3，则斜边长为 ．17．若代数式29x m ++是完全平方式，那么m .18．如图，AD 是线段BC 的垂直平分线．已知△ABC 的周长为14cm ，BC ＝4cm ，则AB ＝__________cm ．19． 已知三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，第三边的长为偶数，则这个三角形的周长为 .20．有五个连续奇数，中间的一个为21n +，则这五个数的和是 .21．罗马数字共有 7个：I(表示 1)，V(表示5)，X(表示10)，L(表示 50)，C(表示 100)，D(表示 500)，M(表示 1000)，这些数字不论位置怎样变化，所表示的数目都是不变的，计数时用“累积符号”和“前减后加”的原则来计数：如IX = 10 -1=9 , VI=5+1=6 , CD=500-100=400. 则XL= ,XI= .三、解答题EOD C B A22．随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图所示，根据图中数据计算坝底 CD 的宽度. (结果保留根号)23．如图所示的两组图形中，各有两个三角形相似，求图中 x、y的值.24．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点．若△ABC的周长是26 cm，EF=4 cm，求四边形AEDF的周长．25．如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形?为什么?26．如图，有4张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有字母A、B、C、D和一个算式．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录字母后放回，重新洗匀再从中随机抽取一张，记录字母.(1）用树状图或列表法表示两次抽取卡片可能出现的所有情况（卡片可用A、B、C、D表示）；(2）分别求抽取的两张卡片上算式都正确的概率和只有一个算式正确的概率.27．画图．(1)已知线段a、b(a>b)，画图：①a-b；②a+b．(2)已知∠α、∠β，画图：①∠α+∠β；②∠β-∠α28．请根据几何图形举出生活中的对应实例29．2008年十一黄金周期间，某市旅游收入再创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占的比例如图所示，其中住宿费为3438.24万元.(1)求该市2008年十一黄金周期间旅游消费共多少亿元？(2)对于十一黄金周期间的旅游消费，如果该市2009年要达到2.28亿元的目标，那么2008~2009年的增长率是多少？30．计算3(2)-，3(3)-，31()2-，31()3-，并找出其中最大的数和最小的数.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．A3．Ｃ4．D5．C6．B7．A8．B9．D二、填空题10．111．2180l n π12． 3或413．①⑤14．66x 2=384，815．．．6±18．519．16cm 或18cm20．105n +21．40, 11三、解答题22．在 Rt △ADF 中，∠D=60°,tan AF D DF=,∴9tan AF DF D ===在 Rt △BEC 中，∵∠C=45°,∴△BEC 为等腰直角三角形∴EC= BE=9,在矩形 AFEB 中，FE=AB=10，∴DC DF FE EC ⋅=++10919=+=+23．302820x =，42x =． 152535y =，21y =． 24．18 cm25．正六边形，因为正六边形的每个内角为l20°．根据(n-2)×180°=120°×n 可求出26．(1)(2)正确的是A ，共有16种可能.∴P(两张都正确)＝161；P(一个算式正确)＝83166=． 27．略28．略29．(1)由图，知住宿消费为 3438.24万元，占旅游消费的22.62%，所以旅游消费共计3438.2422.62%=15200÷（万元)= 1.52(亿元)；(2)设2008年到2009年旅游消费的年平均增长率是x ，由题意，得1.52(1) 2.28x +=，解得0.5x =答：2008年到 2009年旅游消费的年平均增长率是50%.30． 最大的数31()3-，最小的数为3(3)-。
2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题 含解析
2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题含解析【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。
但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则＝（）A． B． C． D．【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析：解：由题可知，所以D正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2.设集合，，则＝（）A． B． C． D．【知识点】集合.A1【答案解析】 C 解析：解：由题意可求出集合()(){}|13,|0|0x 3A x x B y y A B x =-<<=>∴⋂=<<，所以正确选项为C.【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集. 3. 函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C 解析：解：因为，函数为连续函数，所以函数的零点在之间. 【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间. 4. 已知m ，n ，则 “a ＝2”是“mn ”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知()//12021m n a a a a ⇒-+=∴==-或，所以“a ＝2”是“mn ”的充分而不必要条件，所以B 正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a 的值，然后再根据题意判定逻辑关系.5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 ．故选：A ．【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。
《精编》浙江省五校联考高中数学第一次试题 理 新人教A版.doc
2021学年浙江省第一次五校联考数学〔理科〕试题卷本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．共150分，考试时间为120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=第一卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1．复数21iz i=-，那么z z ⋅的值为A ．0BC ．2D ．2- 2．集合2{lg(4)}A x y x ==-，{3,0}xB y y x ==>时，AB =A ．{2}x x >-B ．{12}x x <<C ．{12}x x ≤≤D ．∅3．,p q 为两个命题，那么“p 是真命题〞是“p q ∨是真命题〞的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．等比数列{}n a 中，11a =，且2342,3,4a a a 成等差数列，那么3a 等于 A ．0 B ．14 C ．1 D ．14或1 5．位于直角坐标原点的一个质点P 按以下规那么移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为23，向右移动的概率为13，那么质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是 A ．4243 B ．8243 C ．40243 D ．802436．ABC ∆中，23sin ,tan 54B C ==，那么A ．A CB >> B ．A BC >> C ．B C A >>D ．C B A >>7．()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，当3(0,)2x ∈时，2()ln(1)f x x x =-+， 那么函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是 A ．3 B ．5 C ．7 D ．98．假设函数()y f x =图像上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件22x y >，那么称函数()f x 具有性质S ， 那么以下函数中具有性质S 的是A ．()1xf x e =- B ．()ln(1)f x x =+ C ．()sin f x x = D ．()tan f x x =9．如右图所示，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,假设OC xOA yOB =+，那么A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<10．9290129(2)x a a x a x a x +=++++，那么213579(3579)a a a a a ++++-2(2a +2468468)a a a ++的值为A ．93 B ．103 C ．113 D ．123第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分． 11．某算法的程序框图如右图所示，输出结果为 ． 12．函数22()(sin cos )2sin f x x x x =+-的单调递增区间为 ． 13．设12cos x A x +=成立，可得2212cos 2x A x +=， 3312cos3,,x A x +=由此推得*1()n n x n N x+∈= ．14．设,,a b c 为三个非零向量，且0,2,2a b c a b c ++==-=，那么b c +的最大值是 ．15．关于x 的方程320x px -+=有三个不同实数解，那么实数p 的取值范围为 ．16．数列{}n a 中，121,3a a ==，对任意*n N ∈，2132,21n n n n n a a a a ++≤+⋅≥+都成立，那么1110a a -= ．17．三对夫妇去上海世博会参观，在中国馆前拍照留念，6人排成一排，假设每位女士的旁边不能是其他女士的丈夫，那么不同的排法种数为 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．向量(2,1),(sin,cos())2Am n B C =-=+， ,,A B C 为ABC ∆的内角，其所对的边为,,a b c〔1〕假设23A π=，求n ；〔2〕当m n ⋅取得最大值时，求角A 的大小；〔3〕在〔2〕成立的条件下，当a =22b c +的取值范围．19．某旅游公司为四个旅行团提供,,,A B C D 四条旅游路线，每个旅行团任选其中一条， 〔1〕四个旅行团选择的旅行路线各不相同的概率；〔2〕设旅行团选择旅游线路的总数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．20．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==， 〔1〕分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；〔2〕假设对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围．21．函数()ln(1),()1xf x xg x e =+=-，〔1〕假设()()F x f x px =+，求()F x 的单调区间；〔2〕对于任意的210x x >>，比较21()()f x f x -与21()g x x -的大小，并说明理由．22．定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：〔1〕对任意(0,)x ∈+∞，恒有(10)10()f x f x =； 〔2〕当(1,10]x ∈时，()lg f x x x =- 〔I 〕求(100)f ，1()100f 的值； 〔II 〕记区间1(10,10]k k k I +=，其中k Z ∈，当k x I ∈时，求()f x 的解析式；〔III 〕当k x I ∈〔0,1,2,3,k =〕时, ()f x 的取值构成区间k D ，定义区间(,]a b 的区间长度为b a -，设区间k D 在区间k I 上的补集的区间长度为k a ，求证：012012lg lg lg lg n n a a a a a a a a ++++<1081．2021学年浙江省第一次五校联考数学〔理科〕参考答案一、选择题二、填空题11．2； 12．3[,]()88k k k Z ππππ-++∈； 13．2cos nA ； 14．； 15．3p >； 16．1024； 17．60． 三、解答题 18．〔1〕23A π=时，3131(,),12n n =∴=+=；---------------4分 〔2〕22sincos()2sin 2sin 1222A A Am n B C ⋅=-+=-++，-------------6分 当1sin22A =，即3A π=时，m n ⋅取得最大值；--------------------8分 〔3〕由2,2sin ,2sin sin sin sin 3a b c b B c C A sinB C π====∴==，----------------10分 22224sin 4sin 42sin(2)6b c B C B π+=+=+-，---------------12分22210,sin(2)1,36326B B b c ππ<<∴-<-≤∴<+≤．-------------------14分 19．〔1〕记事件A ：四个旅行团选择的旅行路线各不相同，4443()432A P A ==；------------------6分〔2〕-----------------7分1441(1)464C P ξ===，22124442224()21(2)464C C C A A P ξ+===，32344349(3)416C C A P ξ===，4443(4)432A P ξ===，------------------11分 1219317512346464163264E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．----------------14分 20．〔1〕由121n n a S +=+----①得121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，113,3n n n n a a a -+∴=∴=；----------------3分5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-； -----------------6分〔2〕1(1)13311132n n n n a q S q ---===--， -------------8分311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即363nn k -∴≥对*n N ∈恒成立，--------10分 令363n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，--------------12分max 32()9n c c ∴==，29k ≥．----------14分 21．〔1〕()()ln(1)F x f x px x px =+=++，11()11px p F x p x x ++'∴=+=++，-----------2分 ①当0p =时，()0F x '>在(1,)-+∞上恒成立，()F x ∴的递增区间为(1,)-+∞；---------3分 ②当0p >时，()F x 的递增区间为(1,)-+∞；--------------6分③当0p <时，()F x 的递增区间为1(1,1)p ---，递减区间为1(1,)p--+∞；------------8分 〔2〕令()()()1ln(1)(1)xG x g x f x e x x =-=--+>-，11()11x x xe x e G x e x x +-'∴=-=++， 令()1(1)x x H x e x e x =+->-，()(2)0xH x e x '=+>在(1,)-+∞上恒成立，∴当0x >时，()(0)0H x H >=成立，()0G x '∴>在0x >上恒成立， ∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，∴当0x >时，()(0)0G x G >=恒成立， ∴当0x >时，()()0g x f x ->恒成立，∴对于任意的210x x >>时，2121()()g x x f x x ->-，---------------12分又212121111()1011x x x x x x x x +--+-=>++，2212111ln(1)ln ln(1)ln(1)1x x x x x x +∴-+>=+-++， 2121()()()f x x f x f x ∴->-，即21()g x x ->21()()f x f x -．--------------15分22. (1) (100)10(10)10990f f ===, 11(10)10(1)100()1000()10100f f f f === 19()1001000f =-------------4分 (2) k x I ∈且 k N ∈ 那么()10()10()10lg 10101010k k k k kx x xx f x f f ⎛⎫====- ⎪⎝⎭10lg 10kkx x k =-+-----------6分 k x I ∈且 ,0k Z k ∈< 时 由 ()10()10x f x f = 得 1()(10)10()1010k k xf x f x f ===即 ()10lg 10kkf x x x k =-+ -------------8分故 k x I ∈且 k Z ∈ 有 ()10lg 10k kf x x x k =-+ -------------9分(3) k x I ∈且 k N ∈时, '1()1100ln10kf x x =-> 故(10,910k k k D ⎤=⎦ k D 在区间k I 上的补集为(1910,10k k +⎤⎦∴ 10kk a =--------------12分 0122012lg lg lg lg 12101010n nn a a a a nT a a a a =++++=+++2311210101010n T n+=+++119111111010101091010n n n n n n T ++⎛⎫=++-=--⎪⎝⎭91109T < 012012lg lg lg lg 1081n n a a a a T a a a a ∴=++++<． -------------15分。
浙江省温州市五校2021-2021学年度七年级数学上学期第一次联考试题(含解析) 新人教版
浙江省温州市五校2021-2021学年度七年级数学上学期第一次联考试题一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的．不选、多选、错选，均不给分）1．若，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b2．已知数轴上三点A、B、C分别表示有理数a、1、﹣1，那么|a+1|表示（）A．A与B两点的距离B．A与C两点的距离C．A与B两点到原点的距离之和D．A与C两点到原点的距离之和3．已知a2+bc=14，b2﹣2bc=﹣6，则3a2+4b2﹣5bc的值是（）A．8 B．12 C．16 D．184．已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足|x﹣|﹣1=0，则m的值是（）A．10或B．10或﹣C．﹣10或D．﹣10或﹣5．两个5次多项式之和是（）A．25次多项式B．50次多项式C．5次多项式D．不高于5次多项式6．线段AB=3cm，BC=6cm，则A、C两点之间的距离是（）A．9cm B．3cm C．9cm或3cm D．不能确定7．若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α=（x+10）°，∠β=（2x﹣25）°，则∠α的度数为（）A．45° B．75° C．45°或75°D．45°或55°8．|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．49．把前2015个数1，2，3，…，2015的每一个数的前面任意填上“+”号或“﹣”号，然后将它们相加，则所得之结果为（）A．正数 B．奇数C．偶数 D．有时为奇数；有时为偶数10．计算+（+）+（++）+++++…+（+++…+）=（）A．612 B．612.5 C．613 D．613.5二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）11．在如图的数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是1和﹣，则点C对应的实数是．12．若一个正数的平方根是a﹣5和2a﹣1，则这个正数是．13．如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．14．= ．15．如果有2015名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，…的规律报数，那么第2015名学生所报的数是．16．方程的解是x= ．17．如图所示，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起．在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧．则阴影部分的面积是平方厘米（π取3）．18．平面上有10条直线，其中有4条直线是互相平行，那么这10条直线最多将平面分成个部分．三、解答题（共5小题，满分48分）19．计算：﹣14+0.52×[﹣3+（﹣1）2015]．20．已知代数式x2+ax﹣（2bx2﹣3x+5y+1）﹣y+6的值与字母x的取值无关，求的值．21．m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求m的值．23．如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF （1）求∠EOB的度数；浙江省温州市五校2015～2016学年度七年级上学期第一次联考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的．不选、多选、错选，均不给分）1．若，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】有理数大小比较．【分析】因为＞＞，然后在不等式的两边同时乘以﹣1，然后再同时加1，即可判断．【解答】解：∵＞＞，∴﹣＜﹣＜﹣．∴﹣+1＜﹣+1＜﹣+1，即＜＜．∴a＜b＜c．故选：A．【点评】本题主要考查的是比较有理数的大小，利用不等式的性质进行变形是解题的关键．2．已知数轴上三点A、B、C分别表示有理数a、1、﹣1，那么|a+1|表示（）A．A与B两点的距离B．A与C两点的距离C．A与B两点到原点的距离之和D．A与C两点到原点的距离之和【考点】数轴；绝对值．【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解、分析．【解答】解：|a+1|=|a﹣（﹣1）|即：该绝对值表示A点与C点之间的距离；所以答案选B．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容．3．已知a2+bc=14，b2﹣2bc=﹣6，则3a2+4b2﹣5bc的值是（）A．8 B．12 C．16 D．18【考点】整式的加减．【分析】根据a2+bc=14，b2﹣2bc=﹣6，求得a2，b2的值，再代入3a2+4b2﹣5bc，求值即可．【解答】解：∵a2+bc=14，b2﹣2bc=﹣6，∴a2=14﹣bc，b2=﹣6+2bc，∴3a2+4b2﹣5bc=3（14﹣bc）+4（﹣6+2bc）﹣5bc=42﹣3bc﹣24+8bc﹣5bc=18，故选D．【点评】本题考查了整式的加减，注意整体思想的运用是解题的关键，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地2016届中考的常考点．4．已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足|x﹣|﹣1=0，则m的值是（）A．10或B．10或﹣C．﹣10或D．﹣10或﹣【考点】含绝对值符号的一元一次方程．【专题】计算题．【分析】解此题分两步：（1）求出|x﹣|﹣1=0的解；（2）把求出的解代入方程mx+2=2（m﹣x），把未知数转化成已知数，方程也同时转化为关于未知系数的方程，解方程即可．【解答】解：先由|x﹣|﹣1=0，得出x=或﹣；再将x=和x=﹣分别代入mx+2=2（m﹣x），求出m=10或故选：A．【点评】解答本题时要格外注意，|x﹣|﹣1=0的解有两个．解出x的值后，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．5．两个5次多项式之和是（）A．25次多项式B．50次多项式C．5次多项式D．不高于5次多项式【考点】整式的加减．【分析】根据合并同类项的法则：系数相加作为系数，字母和字母的指数不变即可判断出正确答案．【解答】解：根据合并同类项的法则可得：两个5次多项式相加，结果一定是不超过5次的多项式，故选D．【点评】本题考查了整式的加减，以及合并同类项得法则，注意掌握合并同类项时系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．6．线段AB=3cm，BC=6cm，则A、C两点之间的距离是（）A．9cm B．3cm C．9cm或3cm D．不能确定【考点】两点间的距离．【分析】当A，B，C三点在一条直线上时，分点C在线段AB的延长线上和在线段BA的延长线上两种情况讨论；当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能不能确定．【解答】解：（1）当A，B，C三点在一条直线上时，分点C在线段AB的延长线上和在线段BA的延长线上两种情况讨论；①点C在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=3+6=9m；②点在线段BA的延长线上时，AC=BC﹣AB=6﹣3=3cm；（2）当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能，不能确定．故选：D．【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是分类讨论A，B，C三点是否在一条直线上．7．若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α=（x+10）°，∠β=（2x﹣25）°，则∠α的度数为（）A．45° B．75° C．45°或75°D．45°或55°【考点】平行线的性质．【专题】分类讨论．【分析】根据两角的两边互相平行得出两角相等或互补，得出方程，求出即可．【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，∴∠α+∠β=180°或∠α=∠β，∵∠α=（x+10）°，∠β=（2x﹣25）°，∴x+10+2x﹣25=180或x+10=2x﹣25，解得：x=35或65，∴∠α=45°或75°，故选C．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．8．|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值．【分析】|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上某点到表示2、3、4三点的距离之和．【解答】解：∵可看作是数轴上表示x的点到2、3、4三点的距离之和，∴当x=3时，|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值．∴|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值=|3﹣2|+|3﹣3|+|3﹣4|=2．故选：B．【点评】本题主要考查的是绝对值的应用，明确|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是解题的关键．9．把前2015个数1，2，3，…，2015的每一个数的前面任意填上“+”号或“﹣”号，然后将它们相加，则所得之结果为（）A．正数 B．奇数C．偶数 D．有时为奇数；有时为偶数【考点】有理数的加减混合运算．【专题】计算题；实数．【分析】把1+2+…+2014+2015分为（1+2+…+2014）+2015，根据相邻两个数之和或之差为奇数，判断即可得到结果．【解答】解：∵相邻两个数之和或之差为奇数，且从1开始到2014共1012对，∴偶数个奇数相加为偶数，再加上2015得到所得结果为奇数．故选B【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．计算+（+）+（++）+++++…+（+++…+）=（）A．612 B．612.5 C．613 D．613.5【考点】有理数的加法．【专题】计算题；推理填空题．【分析】首先根据=，+=1，++=1，+++=2，…，判断出、+、++、+++、…、+++…+构成了为首项，为公差的等差数列；然后根据等差数列的求和方法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：+（+）+（++）+++++…+（+++…+）=+1+1+2+…+24=（）×49÷2=25×49÷2=612.5故选：B．【点评】此题主要考查了有理数的加法，以及等差数列的求和方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出、+、++、+++、…、+++…+构成了为首项，为公差的等差数列．二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）11．在如图的数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是1和﹣，则点C对应的实数是2+．【考点】实数与数轴．【分析】设出点C所表示的数为x，根据点B、C到点A的距离相等列出方程，即可求出x．【解答】解：设点C所表示的数为x，∵点B与点C到点A的距离相等，∴AC=AB，即x﹣1=1+，解得：x=2+．故答案为：2+．【点评】本题考查了实数与数轴的知识，根据条件点B、C到点A的距离相等列出方程是关键．12．若一个正数的平方根是a﹣5和2a﹣1，则这个正数是9 ．【考点】平方根．【分析】利用一个非负数的平方根互为相反数即可得到关于a的方程，解方程即可解决问题．【解答】解：∵一个正数的平方根是a﹣5和2a﹣1，则a﹣5+2a﹣1=0，解得：a=2，则a﹣5=﹣3所以这个正数是9．故填9．【点评】此题主要考查了平方的定义，要注意：一个正数有正、负两个平方根，他们互相为相反数．13．如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值 4 ．【考点】估算无理数的大小．【分析】依据被开放数越大，对应的算术平方根越大估算出与的大小，从而求得a、b 的值，然后再进行计算即可．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3．∴a=﹣2．∵36＜37＜49，∴6＜＜7．∴b=6．∴a+b﹣=﹣2+6﹣=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键．14．= 0 ．【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的性质，先去掉绝对值，然后再进行加减运算．【解答】解：原式=﹣（﹣）﹣（﹣）﹣[﹣（﹣）]=﹣+﹣++﹣=0，故答案为0．【点评】此题主要考查绝对值的性质，当a＞0时，|a|=a；当a≤0时，|a|=﹣a，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值．15．如果有2015名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，…的规律报数，那么第2015名学生所报的数是 3 ．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】首先观察题中数列存在规律：以“1，2，3，4，3，2”6个数循环出现，用2015除以6看余数是多少，进行判断即可．【解答】解：题中数列存在规律：以“1，2，3，4，3，2”6个数循环出现，2015÷6=335…5，所以第2015名学生所报的数与第5个学生报的数相同，是3，故答案为：3．【点评】此题主要考查数列的规律探索与应用，观察已知找出存在的循环出现规律是解题的关键．16．方程的解是x= 1008 ．【考点】解一元一次方程．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】方程左边整理后，利用拆项法变形，计算即可求出解．【解答】解：方程整理得：x（+++…+）=2015，即2x（1﹣+﹣+…+﹣）=2015，整理得：2x=2016，解得：x=1008．故答案为：1008．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．如图所示，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起．在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧．则阴影部分的面积是18.75 平方厘米（π取3）．【考点】扇形面积的计算；勾股定理．【专题】计算题．【分析】如图，根据图形有S阴影部分=S扇形CEG+S梯形ABCE﹣S△ABG，然后根据扇形、梯形和三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：如图，正方形ABCD的边长为3cm，正方形EFGC的边长为5cm，根据题意有，S阴影部分=S扇形CEG+S梯形ABCE﹣S△ABG，∵S扇形CEG==；S梯形ABCE=（3+5）×3=12；S△ABG=×3×8=12．∴S阴影部分=+12﹣12==18.75（cm2）．故答案为18.75．【点评】本题考查了扇形的面积公式：S=，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．也考查了梯形和三角形的面积公式以及不规则几何图形面积的求法．18．平面上有10条直线，其中有4条直线是互相平行，那么这10条直线最多将平面分成50 个部分．【考点】平行线．【分析】先计算出6条不平行的直线所能将平面分成的部分，然后再计算加入第一条平行线所增加的平面数量，从而可得出第二、第三、第四条加上后的总数量．【解答】解：6条不平行的直线最多可将平面分成（2+2+3+4+5+6）22个部分，加入第一条平行线后，它与前面的6条直线共有6个交点，它被分成7段，每一段将原有的部分一分为二，因此增加了7个部分，同理每增加一条平行线就增加7个部分，故这10条直线最多将平面分成22+7×4=50．故答案为50．【点评】本题考查直线相交所产生平面个数的问题，有一定难度，注意先计算6条不平行的直线所分成的平面数量．三、解答题（共5小题，满分48分）19．计算：﹣14+0.52×[﹣3+（﹣1）2015]．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；实数．【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣1+×4×（﹣4）=﹣1﹣8=﹣9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．已知代数式x2+ax﹣（2bx2﹣3x+5y+1）﹣y+6的值与字母x的取值无关，求的值．【考点】整式的加减—化简求值．【专题】计算题．【分析】首先对题中前一个代数式合并同类项，由代数式的值与字母x无关求得a、b的值，再把a、b的值代入后一个代数式计算即可．注意第二个代数式先进行合并同类项，可简化运算．【解答】解：x2+ax﹣（2bx2﹣3x+5y+1）﹣y+6=（1﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+5，因为此代数式的值与字母x无关，所以1﹣2b=0，a+3=0；解得a=﹣3，b=，=a3+b2，当a=﹣3，b=时，上式=×（﹣3）3+=．【点评】此题考查的知识点是整式的加减﹣化简求值，关键是掌握用到的知识点为：所给代数式的值与某个字母无关，那么这个字母的相同次数的系数之和为0．21．m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求m的值．【考点】二元一次方程组的解．【专题】计算题．【分析】利用加减消元法易得x、y的解，由x、y均为整数可解得m的值．【解答】解：关于x、y的方程组：，①+②得：（3+m）x=10，即x=③，把③代入②得：y=④，∵方程的解x、y均为整数，∴3+m既能整除10也能整除15，即3+m=5，解得m=2．故m的值为2．【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，涉及到因式分解相关知识点，解二元一次方程组有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．【考点】三元一次方程组的应用；算术平均数．【专题】应用题．【分析】假设x a、x b、x c分别表示答对题a、题b、题c的人数．根据：答对题a的人数与答对题b 的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，列出三元一次方程组，求出方程组的解．再根据：竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，求得答对1题的人数，进而求出该班总人数．再根据每题分数，求得平均成绩．【解答】解：设x a、x b、x c分别表示答对题a、题b、题c的人数．则有，由①+②+③得x a+x b+x c=37 ④由④﹣①得x c=8同理可得x a=17，x b=12∴答对一题的人数为37﹣1×3﹣2×15=4，全班人数为1+4+15=20∴平均成绩为=42．答：这个班的平均成绩是42分．【点评】本题解决以求分别表示答对题a、题b、题c的人数做为突破口，进而求出全班人数，求得平均成绩．23．如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF （1）求∠EOB的度数；【考点】平行线的性质．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=∠AOC，计算即可得解；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC=2∠OBC，从而得解；（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE=∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE=∠EOF，∵∠FOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠FOB=∠AOB，∴∠FOB=∠OBC，∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，∴∠COE=∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，故存在某种情况，使∠OEC=∠O BA，此时∠OEC=∠OBA=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．。
2020-2021学年浙江省衢州五校联盟高一上学期期末联考数学试题及答案
绝密★启用前衢州五校联盟2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题共52分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}0,1,2,3S =，{}13T x x =-<<则S T ⋃=（） A.()1,3- B.(]1,3- C.{}0,1,2D (]0,32.已知函数()21,1,1x e x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩若()04f f m ⎡⎤=⎣⎦，则实数m =（） A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知点21,tan3P π⎛⎫- ⎪⎝⎭是角θ终边上一点，则cos θ的值为（） A.12-B.12C.32-D.324.已知202112020a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120202021b =，12020log2021c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<5.函数22()xx f x e-=的图象大致是（）6.某特种冰箱的食物保鲜时间y （单位：小时）与设置储存温度x （单位：℃）近似满足函数关系3kx by +=（k ，b 为常数），若设置储存温度0℃的保鲜时间是288小时，设置储存温度15℃的保鲜时间是36小时，则设置储存温度10℃的保鲜时间近似是（） A.72小时B.96小时C.120小时D.144小时7.已知()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则，21sin 22cos 1αα+-的值为（） A.1318 B.322 C.16 D.13228.已知函数()(3lg f x x x =+，若当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立，则实数t 的取值范围是（） A.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D.1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列不等式成立的是（）A.若0a b <<，则22a b >B.4ab =，则4a b +≥C.若a b >，则22ac bc >D.若0a b >>，0m >，则b b ma a m+<+ 10.下列命题不正确的是（）A.命题“0x ∃∈R ，20013x x +>”的否定是“x ∀∈R ，213x x +≤” B.“2ω=”是“函数()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为π”的充要条件 C.22x x ax +≥在[]1,2x ∈时有解⇔()()22x xax +≥最小值最小值在[]1,2x ∈时成立D.“若20a b +≠，则0a ≠且0b ≠”的逆否命题为真命题11.已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（）A.tan 3ϕ=B.()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C.()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 12.已知函数ln ,0()1,x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()()y ff x a =+有6个不同零点，则实数a 的可能取值是（）A.0B.12-C.1-D.13- 第Ⅱ卷（非选择题共98分）三、填空题：本大题共5小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共24分. 13.函数()()22log 4f x x=-的定义域为，单调递增区间为.14.已知2log 3m =，3log 4n =，则mn =，12m n+=.15.已知一扇形的周长为20cm ，当这个扇形的面积最大时，半径r 的值为. 16.已知函数()()sin f x A x ωφ=+0,0,2A πωφ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为 .17.0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，则m 的范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）已知集合{}22320A x x ax a =-+<，集合()(){}410B x x x =--≥.（1）当3a =时，求,A B A B ⋂⋃；（2）设0a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 19.（本题满分15分）已知函数()23sin cos cos f x x x x =-.（1）求()f x 的最小正周期及()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若函数()5sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，且对任意的[]12,0,x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.20.（本题满分15分）设常数0a ≥，函数()22x x af x a-=+为奇函数.（1）求a 的值；（2）当()1,3x ∈时()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.21.（本题满分15分）已知函数()243f x x x =-+，()()43g x a x =+-，a R ∈.（1）若函数()y f x m =-在[]1,1x ∈-上有零点，求m 的取值范围；（2）若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围. （3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[]0,1上的最大值，求()M a 的最小值. 2.（本题满分15分）已知,R a b ∈，函数221()log 1b f x a x x ⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭. （1）当5,0a b ==时，解不等式()0f x >；（2）当0,1a b ==时，求证：()114f x f x ⎛⎫⋅≤⎪⎝⎭；（3）设0,0a b >=，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.2020学年第一学期衢州五校联盟期末联考 高一年级数学学科参考答案一、单项选择题1.B2.C3.A4.C5.D6.A7.B8.D 二、多项选择题9.AD 10.BCD 11.ABC 12.BD 三、填空題13.()2,2-；()[)()0,20,2或14.2；15.5 16.()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17.32m ≤四、解答题18.解：（1）当3a =时，{}{}2918036A x x x x x =-+<=<<，集合{}14B x x =≤≤， 所以{}34A B x x ⋂=<≤，{}16A B x x ⋃=≤<（2）因为0a >，所以{}2A x a x a =<<，{}14B x x =≤≤， 因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以AB ，所以24,1,a a ≤⎧⎨≥⎩解得：12a ≤≤19.解：（1）()1112cos 2sin 222262f x x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 其最小正周期为π 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦， ()max 12f x ∴=，()min 1f x =-， （2）由题意得，()()()()1122f x g x f x g x -<-令()()()122h x f x g x x =-=- 即()()12h x h x <故()h x 在区间[]0,t 上为增函数 由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得出，,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈则函数()h x 包含原点的单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即4t π≤故正实数t 的最大值为4π 20.解：（1）0a ≥及()00f =可得，1a =，此时()2121x x f x -=+，满足()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数.（2）由()220xmf x +->可得，()22xmf x ∴>-，()212221x x xmf x m -∴=>-+. 当()1,3x ∈时()()212221xx x m +->-，令()2117xt t -=<<，则有()()2121t t m t tt+->=-+，因为函数()21g t t t =-+在17t <<上为增函数， ()()5477g t g ∴<=， 547m ∴≥，故实数m 的取值范围为为54,+7⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭21.解：（1）因为函数()243x x x m μ=-+-的图象的对称轴是直线2x =， 所以()y x μ=在[]1,1-上函数. 又()y x μ=在[]1,1-上存在零点，所以()()1010μμ⎧≤⎪⎨-≥⎪⎩，解得08m ≤≤故m 的取值范围为{}08m m ≤≤（2）若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，则函数()y f x =在[]1,4上的函数值的取值集合是函数()y g x =在[]1,4上的函数值的取值集合的子集. 函数()243f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[]1,4上的函数值的取值集合为[]1,3- ①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去.②当4a >-时，()g x 在[]1,4上的值域[]1,413a a ++，只需114133a a +≤-⎧⎨+≥⎩，解得522a -≤≤-③当4a <-时，()g x 在[]1,4上的值域为[]413,1a a ++，只需413113a a +≤-⎧⎨+≥⎩，无解.综上，a 的取值范围为522a a ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭（3）()2h x x ax =+当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[]0,1上单调递增， 则()()11M a f a ==+；当20a -<<时，()()2max ,1max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭， 解22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<， 故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<⎪=⎨⎪+≤<⎩综上，()((2,22141,2? 21a a M a a a a ⎧-<<⎪=⎨⎪+≤-≥⎩或于是()M a的最小值为(()213M =-22.解：（1）由21log 50x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （2）()2211log 1f x x x =++，2221log 1x fx x x ⎛⎫∴=+ ⎪+⎝⎭， ()11f x f x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，()f x ，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭中有一个为负数，则()1104f x f x ⎛⎫⋅≤< ⎪⎝⎭成立；若()f x ，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭都为正数，则()()211124f x fx f x f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⋅≤= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭成立；综上知()114f x f x ⎛⎫⋅≤⎪⎝⎭成立. （3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减.函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +. 依题意()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥. 故a 的取值范围2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（注：各题其它解法酌情给分）。
2021届浙江省五校高三上学期第一次联考数学试题解析
2021届浙江省五校高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}02B x x =<<，则()RA B =（）A ．1,2B ．0,1C ．0,D ．(),2-∞答案：C先求定义域得集合A ，再根据补集与并集定义求结果. 解：{{}10(,1]A x y x x ===-≥=-∞所以()RA B ={}(1,)02(0,)x x +∞<<=+∞故选：C 点评：本题考查补集与并集运算、函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不必要也不充分条件答案：B根据充分必要条件的定义即可判断. 解：设命题p ：直线l 与平面α内无数条直线垂直， 命题q ：直线l 与平面α垂直， 则pq ，但q p ⇒，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B 点评：本题主要考查必要不充分条件的判断，涉及线面垂直的定义和性质，属于中档题.3．若x ，y 满足约束条件22111x y x y y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．9B ．8C ．7D ．6答案：C先作可行域，再根据目标函数表示直线，结合图象确定最大值取法，即得结果.解：142201y x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩ 先作可行域，如图，则直线2z x y =-过点(4,1)A 时z 取最大值，为7 故选：C点评：本题考查利用线性规划求最值，烤箱数形结合思想方法，属基础题. 4．已知()1,2a =，()1,7b =-，2c a b =+，则c 在a 方向上的投影为（） A ．35B ．32C 32D ．355答案：A由向量的坐标表示可得(3,3)c =-，利用数量积公式求向量夹角余弦值，进而可求c 在a 方向上的投影.解：由题意知：2(3,3)c a b =+=-， ∴10cos ,||||a c a c ab ⋅<>==-，故c 在a 方向上的投影：35||cos ,c a c <>=-， 故选：A 点评：本题考查了向量数量积的坐标表示，由向量线性关系求向量的坐标，利用向量数量积的坐标表示求向量的夹角，进而求向量的投影.5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin tan 12cos C A C =-，2c b =，则cos B 的值为（）A ．23B ．23C ．34D ．78答案：D先化切为弦，再根据两角和正弦公式以及正弦定理得2b a =，最后根据余弦定理求结果. 解：()()2sin tan 12cos 2sin cos sin 12cos C A C C A A C =-∴=- 2sin()sin 2sin sin 2C A A B A b a ∴+=∴=∴=2222222447cos 288a cb b b b B ac b +-+-=== 故选：D 点评：本题考查两角和正弦公式、正弦定理、余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.6．函数()2x xe ef x x--=的图象是下列图中的（） A ． B ．C ．D ．答案：C先确定函数奇偶性，舍去A,B ；再根据函数值确定选择项. 解：()()220,()x x x xe e e ef x x f x f x x x ----=∴≠-==-∴()2x x e e f x x --=为奇函数，舍去A,B ；因为当0x >时，()20x xe ef x x --=>，所以舍去D, 故选：C 点评：本题考查函数图象识别、奇函数判断，考查基本分析判断能力，属基础题. 7．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯- D ．6236n n S n =⨯--答案：D利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 解：因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.8．已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（） A ．45-B ．44125C ．44125-D ．45答案：B先根据二倍角余弦公式求cos α，解得cos2α，最后根据两角差余弦公式得结果. 解：2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或35因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=22443247sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()43cos 2,2(2,3)sin 255αβαβππαβ+=+∈∴+=cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++4732444525525125=-⨯+⨯=故选：B 点评：本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.9．已知抛物线2:3C x y =，过点()3,4P m m R ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭作抛物线的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，则A 、B 两点到x 轴距离之和的最小值为（）A ．3B ．32C D 答案：B由题意得到切线PA 、PB 的方程，联立求得P 点坐标，结合已知()3,4P m m R ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即可的1294x x =-，设直线AB 为y kx b =+联立抛物线方程可求34b =，即可求A 、B两点到x 轴距离之和的最小值.设221212(,),(,)33x x A x B x ，由抛物线2:3C x y =知：23x y '=， ∴切线PA 、PB 分别为：21112()33x x y x x -=-，22222()33x x y x x -=-，联立PA 、PB 的方程，可得：1212(,)23x x x x P +，而()3,4P m m R ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴1294x x =-，若设直线AB 为y kx b =+，联立抛物线方程得：2330x kx b --=， ∴12934x x b =-=-，即34b =，而123x x k +=， ∴2121233()322y y k x x k +=++=+，故当0k =时12y y +有最小值32，故选：B 点评：本题考查了抛物线，利用准线上的动点与抛物线的切线的关系求得切点横坐标的数量关系，由切点到横轴的距离为切点纵坐标之和，结合已知方程所得函数式求最值. 10．已知函数()()11f x x a x a R x a x=++-+∈-，()()()20g x p f x q pq =->⎡⎤⎣⎦，给出下列四个命题：①函数()f x 图象关于点()0,0对称；②对于任意a R ∈，存在实数m ，使得函数()f x m +为偶函数； ③对于任意a R ∈，函数()f x 存在最小值；④当1a =时，关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}3,1,1,2--， 其中正确命题为（） A ．②③ B ．②④C ．②③④D ．①③④答案：A举例说明①不成立；根据偶函数定义证明②成立；根据绝对值定义说明③成立；举例说明④不成立.当0a ≠时，f a 没有意义，即不满足()()0f a f a +-=，故①错误；对于任意a R ∈，存在实数2am =，()()h x f x m =+=112222a a x x a a x x+++-++-此时函数定义域为{|}2ax x ≠±，且1111()2222()2222a a a a x x x x h x a a a a x x x x x h -+++++=-++++=-+-+=+-即函数()f x m +为偶函数；故②正确； 对于任意a R ∈，函数()1111||||||||f x x a x x a x x a x x a x =++-+=++-+-- 当0a =时，()12(||)24||f x x x =+≥⨯（当且仅当||1x =时取等号），此时函数()f x 存在最小值；当0a >时，()11,11,011,0x x a x a x x a f x a x a x a x x x a x x x a ⎧++-+>⎪-⎪⎪=++<<⎨-⎪⎪---+-<⎪-⎩当0x a <<时，()1111()1()(2)x a x a x a f x a a a x a x x a x a a x a x+--=++=++=+++---14(2a a a a ≥++=+，当且仅当2a x =时取等号，此时当2a x =时，()f x 存在最小值()2af 当x a >时，()()()2233111111,2,20,()22()f x x x a f x f x x x a x x a x x a '''=++-+=--=++>--- 因此()'f x 在(,)a +∞上单调递增又()22111240,1210,12(1)()2f a f a a a ⎛⎫''+=--<+=--> ⎪+⎝⎭+ 因此存在唯一0(,)x a ∈+∞，使得0()0f x '=即当0a x x <<时，()0f x '<；当0x x >时，()0f x '>； 因此当0x x =时，()f x 存在最小值0()f x综上，当0,x x a >≠时，()f x 存在最小值0min{(),()}2a f x f 因为()()f x f a x =-，所以()f x 关于2ax =对称，从而函数()f x 必存在最小值，即③正确；当1a =时，()1f 没有意义，即关于x 的方程()0g x =的解集不可能为{}3,1,1,2--，故④错误； 故选：A 点评：本题考查函数奇偶性、最值以及函数与方程，考查综合分析判断能力，属中档题. 二、双空题 11．不等式231133xx x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集是___________；不等式()24log 2log x x -<的解集是___________.答案：(,1)(1,)-∞⋃+∞(1,2)利用指数函数、对数函数的单调性及其性质求不等式解集即可. 解： 231133xx x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭有23133x x x -+->，所以231x x x -+>-，即2(1)0x ->，解得1x ≠； ()24log 2log x x -<有()1222log 2log x x -<，所以()22{020x x x x >->->，解得12x <<；故答案为：(,1)(1,)-∞⋃+∞；(1,2)； 点评：本题考查了利用函数的单调性，结合一元二次不等式的解法解不等式，属于基础题.12．函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[],ππ-的图象如下图，则()f x 的最小正周期为___________；()fπ=___________.答案：43π12将4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式，即可得42962k πππωπ-+=-+，再结合22T πππω<=<，即可求得ω的值，从而求出()f x 的解析式，即可得周期和()f π的值.解： 由图知4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()cos 6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ωf x x π图象上，且为图象上升时与x 轴的交点，所以42962k πππωπ-+=-+，()k Z ∈，解得：()392kk Z ω-=∈， 因为2T ππ<<，所以22πππω<<，所以12ω<<， 令0k =，得32ω=，所以224332T πππω===，所以()3cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()31cos sin 2662f ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，故答案为：43π；12 点评：本题主要考查了利用三角函数图象求解析式，考查了周期公式和诱导公式，属于中档题.13．已知双曲线:C ()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3P 为双曲线上一点，12120F PF ∠=，则双曲线的渐近线方程为___________；若双曲线C 的实轴长为4，则12F PF △的面积为___________. 答案：2y x=833双曲线的离心率为213c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭2b a =P 在右支上，1PF m =，2PF n =，由双曲线的定义可知4n m -=，再利用余弦定理列方程，即可求出323mn =，再利用三角形面积公式即可以求面积. 解：双曲线的离心率为c e a ===b a =所以双曲线的渐近线方程为：y =，由题意知：2a =，所以c =，b =，设点P 在右支上，1PF m =，2PF n =，则4n m -=，在12F PF △中，由余弦定理得：()222121222cos120c PF PF PF PF =+-， 即222214822m n mn m n mn ⎛⎫=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭①， 将4n m -=两边同时平方得：22216m n mn +-=②， 由①②得：332mn =，所以323mn =，所以12F PF △的面积为1132sin1202232mn ⨯=⨯⨯=故答案为：y = 点评：本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率、渐近线，考查求焦点三角形的面积，涉及余弦定理和三角形面积公式，属于中档题. 三、填空题14．已知函数()1324,13,1x e x f x x x x -⎧-<=⎨-≥⎩（其中e 是自然对数的底数），则()()2f f =___________；若()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是___________. 答案：54e -(27,12](11,)---+∞根据自变量范围代入对应解析式，计算即得第一空；先转化为函数()13294,,9131x e x x h x x x x x -⎧--<=⎨-≥-⎩与y b =交点，再结合导数确定函数()h x 单调性，最后根据数形结合确定实数b 的取值范围. 解：()()()3252232(4)4f f f f e =-⨯=-=-；()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，即函数()13294,,9131x e x x h x x x x x -⎧--<=⎨-≥-⎩与y b =的图象有两个不同的公共点， 当1x <时，()194xh x ex -=--单调递减；当1≥x 时，()()322993(33(6)31)h x x x h x x x x x x -∴-=-'=-+=-，即()h x 在[1,3)上单调递减，在[3,)+∞上单调递增；画出示意图，由图可知当(27,12](11,)b ∈---+∞时，()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，点评：本题考查求分段函数值、根据函数交点求参数，考查数形结合思想方法，属中档题. 15．某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________.答案：43先还原三视图，再根据锥体体积公式求结果. 解：先还原三视图，几何体为三棱锥11A BB D -,112A BB D d -=，因此体积为1142222323⨯⨯⨯⨯= 故答案为：43点评：本题考查三视图、锥体体积公式，考查空间想象能力，属基础题.16．已知a ，b ，c 是非零向量，23a b -=，()()2c a c b -⋅-=-，λ为任意实数，当a b -与a 的夹角为3π时，c a λ-的最小值是___________. 答案：12设PA a =，PB b =，PC c =，(),C x y ，利用23a b -=可以设()3,0A -)3,0B 利用()()2c a c b -⋅-=-即可求出点C 的轨迹为单位圆，c a PC AP λλ-==+，c aλ-的最小值是点C 到直线PA 的距离，从而求得答案. 解：设PA a =，PB b =，PC c =，(),C x y 因为23a b PA PB AB -=-==，()3,0A -，)3,0B，因为a b -与a 的夹角为3π，所以BA 与PA 夹角为3π，所以3BAP π∠=， 所以tan603OP OA ==，所以()3,0P-，因为()()·2c a c b --=-得：所()()223,3,32AC BC x y x y x y ⋅=⋅=+-=-，所以221x y +=，所以点C 的轨迹为单位圆，c a PC PA PC AP λλλ-=-=+所以c a λ-的最小值是点C 到直线PA 的距离. 过点O 作OH PA ⊥于点H ,交单位圆于点G ， 所以22AOPOA OP AP OHS==， 3933OH +⨯=，解得：32OH =， 所以min31122c aGH OH OG λ-==-=-=， 故答案为：12点评：本题主要考查了向量模的几何意义，运用坐标法可以使向量问题更简单，属于难题.17．若a ，b 为实数，且13a ≤≤，24b ≤≤，则324a bab +的取值范围是___________.答案：335[,]412构造函数224()a f b b ab=+，根据其在24b ≤≤单调性，得到两边含有a 的不等式组，结合a 的范围、基本不等式，应用导数研究22()4a g a a=+的最值，即可求324a bab +的范围. 解：设2222344124()()a f b a b ab b a a =+=+-，故24b ≤≤上()f b 单调减，∴2212()164a a f b a a +≤≤+，而2211131616224a a a a a +=++≥=, 当且仅当2a =时等号成立；令22()4a g a a =+，则324()2a g a a -'=，即()g a 在上单调减，在上单调增， 而9(1)4g =，35(3)12g =， 所以max 35()(3)12g a g ==， 综上，有324335[,]412a b ab +∈ 故答案为：335[,]412.点评：本题考查了构造函数法求代数式的范围，利用基本不等式、导数研究函数最值，结合已知条件求目标式的范围. 四、解答题18．已知()sin (sin )f x x x x =，ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c .（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若()32f A =，2a =，求ABC 周长的取值范围.答案：（1）2[,]63k k ππππ++，k Z ∈；（2）(4,23+ （1）利用正余弦的倍角公式化简函数式得()1sin(2)26f x x π=-+，结合正弦型函数的单调性求()f x 的单调递增区间即可；（2）由已知条件求A ，由余弦定理、基本不等式、三角形三边关系有23b c <+≤，进而可求ABC 周长的范围. 解：（1）()2111sin cos (cos22)sin(2)2226f x x x x x x x π==-=-+， ∴()f x 在3222262k x k πππππ+≤+≤+上单调递增， ∴2[,]63x k k ππππ∈++，k Z ∈ （2）()13sin(2)262f A A π=-+=，得32262A k k Z πππ+=+∈，，即23A k ππ=+，0A π<<，则23A π=， 而2a =，由余弦定理知：2222cos 4a b c bc A =+-=，有22()()444b c b c bc ++=+≤+，所以03b c <+≤b c =时等号成立，而在ABC 中2b c +>， ∵周长2l a b c b c =++=++，∴423l <≤+ 点评：本题考查了应用三角恒等变换化简三角函数求其单调区间，利用余弦定理、基本不等式以及三角形三边关系求周长范围.19．已知四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥面ABCD ，2PA AD ==，AB =（1）作AM PB ⊥于M ，AN PC ⊥于N ，求证：PC ⊥平面AMN ； （2）求二面角D PC A --的正切值. 答案：（1）证明见解析；（2）2；（1）由线线垂直证明线面垂直即可；（2）构建空间直角坐标系，利用空间向量求二面角正余弦值，进而求得其正切值. 解：（1）四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥面ABCD 有：PA DA ⊥，AB DA ⊥， 由AB PA A ⋂=，即DA ⊥面PAB ，又//DA CB∴CB ⊥面PAB ，又AM ⊂面PAB ，则CB AM ⊥，又AM PB ⊥且CB PB B =，∴AM ⊥面PBC ，而PC ⊂面PBC ，有AM PC ⊥，又AN PC ⊥且AM AN A =，∴PC ⊥面AMN .（2）由题意，构建以A 为原点，以,,AD AB AP 为,,x y z 轴正方向的空间直角坐标系，则有(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(2,22,0)C ，∴(2,0,2)PD =-，(2,2,2)PC =-，(0,0,2)AP =，(2,2,0)AC =， 令(,,)m x y z =是面PDC 的一个法向量，则：220220x z x z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，若1z =，有(1,0,1)m =， 令(,,)n x y z =是面PAC 的一个法向量，则：2020z x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，若1y =，有(2,1,0)n =-， 3cos ,||||||m n m n mn ⋅<>==，由图二面角D PC A--∴二面角D PC A --. 点评：本题考查了线面垂直的判定证垂直，通过空间向量求二面角的三角函数值，属于中档题. 20．已知数列{}n a 与{}n b 满足()1131nn n n n b a b a +++=-+，2,211,2n n k b n k ∈+⎧=⎨∈⎩且k ∈N ，*n N ∈，且12a =.（1）设2+121n n n c a a -=-，*n N ∈，求1c ，并证明：数列{}n c 是等比数列； （2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求2n S . 答案：（1）112c =，证明见解析；（2）221243332nn S n +-+=； （1）根据已知条件即递推关系可求1c ，且2143n n c -=⋅即可证{}n c 是等比数列；（2）结合（1）奇数项之差为等比数列，同理可得偶数项之差也为等比数列，进而可得2121312n n a --+=、22134nn a -=，可知数列212{}n n a a -+前n 项和即为2n S ； 解：（1）由题意知：()()()()()112223334212122221231,231,231,...,231,23 1.n n n n n n a a a a a a a a a a --++=-++=-++=-++=-++=-+∵12a =，有22a =-，314a =， ∴13112c a a =-=，由221212+121(3)(3)43n n n n n n c a a ---=-=---=⋅，*n N ∈， ∴数列{}n c 是首项为12，公比为9的等比数列. （2）由（1）知：2122222()(3)(3)n n n n a a ++-=---，∴令22222(3)nn n n d a a +=-=-⋅-，即{}n d 是首项为18-，公比为9的等比数列，∴11212113...(91)2n n n c c c a a ---+++=-=-，即2121312n n a --+=，1121229...(19)4n n n d d d a a --+++=-=-，即22134n n a -=，∴21212334n n n a a ---+=，即数列212{}n n a a -+前n 项和即为2n S ，∴122312433(981...9)41232n n nn n S +-+=-+++=. 点评：本题考查了数列的递推关系，根据递推关系求新数列的首项，且证明其为等比数列，由递推式将奇偶项分离，分别到它们的通项，将相邻的奇数项与偶数项的和作为新数列的项求原数列的前n 项和.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，M 为AB 中点，()1,0N -，当△AOB （点O 为坐标原点）的面积S 最大时，求MN 的取值范围.答案：（1）22142x y +=；（2）1). （1）由已知条件求出a 、b 的值，代入椭圆方程即可.（2）()11,A x y ()22,B x y 将直线与椭圆方程联立，写出判别式>0∆，以及122412km x x k -+=+，21222412m x x k-=+，再利用点到直线的距离求三角形的高，利用弦长公式求AB ，再利用面积公式求AOBS，利用基本不等式即可求得取得最值的条件是2221m k =+，再根据中点坐标公式求出21,k M m m -⎛⎫⎪⎝⎭，由两点间距离公式即可将MN 表示出来，从而求得取值范围.解：由题意知：2c e a ==，2b =222a b c =+，解得：b =2a =，c =所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）设()11,A x y ()22,B x y ，将:l y kx m =+代入椭圆的方程得：()2224x kx m ++=，即()222124240kxmkx m +++-=，()()222216412240k m k m ∆=-+->，即22420k m -+>， 122412km x x k -+=+，21222412m x x k -=+，12AB x =-==221212k k==++， 坐标原点O 到直线:l y kxm =+的距离为：d =1122AOBSd AB =⨯⨯===2222224242122122k m m k k k -+++≤⨯=⨯=++ 当且仅当22242k m m -+=，即2221m k =+时等号成立，此时122244412km km kx x k m m---+===+，()2212124222k m y y k x x m m m-++=++==，因为M 为AB 中点，所以21,k M m m -⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()222222222211m k m k k MN m m m -+--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222422(1)k k km m m =-+=-，1MN ∴=-，由2221m k =+，得22212()12()k k m m m +=>，即22k m -<<，11122k m --<-<-，得11122k m -<-<+，11MN <<，即11)MN ∈.点评：本题主要考查了求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交所得原点三角形面积取得最大值的条件，涉及弦长公式，两点间距离公式，基本不等式求最值，属于难题. 22．已知函数()sin sin 2f x a x x =+，a R ∈.（1）若2a =，求函数()f x 在()0,π上的单调区间； （2）若1a =，不等式()cos f x bx x ≥对任意20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求满足条件的最大整数b .答案：（1）()f x 在(0,)3π上单调递增，在()3ππ,上单调递减；（2）3；（1）利用导数研究函数的单调区间即可； （2）根据分析()sin sin 2f x x x =+知在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x >恒成立，分类讨论参数 b ，当0b =时不等式恒成立，0b <时，22()0()33h f >=ππ不能恒成立，0b >时，2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0()f x h x >>恒成立，在(0,)2x π∈也要恒成立则必须要()tan 2sin ,(0,)2g x x x bx x π=+-∈，有()(0)0g x g ≥=，结合基本不等式即可求b 的范围，进而得到最大整数值.解：（1）当2a =时，()2sin sin 2f x x x =+， 2()2cos 2cos22(2cos cos 1)f x x x x x '=+=+-2(2cos 1)(cos 1)x x =-+，而()0,x π∈时，1cos 1x -<<， ∴1cos 12x <<时，()0,()f x f x '>在(0,)3π上单调递增， 11cos 2x -<<时，()0,()f x f x '<在()3ππ,上单调递减； 综上，()f x 在(0,)3π上单调递增，在()3ππ,上单调递减； （2）1a =，()sin sin 2f x x x =+，令()cos h x bx x =由2()cos 2cos24cos cos 2f x x x x x '=+=+-知： 20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0cos x =时0()0f x '=，而12<<04(,)3x ππ∈， ∴0(,)43x ∃∈ππ，使()f x 在0(0,)x 上单调增， 在02(,)3x π上单调减；而2(0)()03f f π==， ∴()f x 在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x >恒成立. ∴当0b =时，20,3x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭有()0()f x h x >=恒成立.当0b ≠时，有恒有(0)()02h h ==π， 令()cos t x x x =即()cos sin t x x x x '=-， ∴2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0t x '<， 而在(0,)2x π∈上，令()()μx t x ='，()2sin cos 0x x x x '=--<μ，即()t x '单调减，又1()(1)0,()(1042432t t πππ''=->=<， 所以0(,)43x ππ'∃∈使0()0t x ''=，即0(0,)x '上()0t x '>，()t x 单调增， 0(,)2x π'上()0t x '<，()t x 单调减， ∴综上，0(,)43x ππ'∃∈，使()t x 在0(0,)x '上单调增，02(,)3x π'上单调减； 又()()h x b t x =⋅，1、0b <时，()h x 在0(0,)x '上单调减，02(,)3x π'上单调增， 且22()0()33h f >=ππ，故此时不能保证()()f x h x ≥恒成立； 2、0b >时，2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0()f x h x >>恒成立； 在(0,)2x π∈上要使()()f x h x ≥恒成立， 令()tan 2sin ,(0,)2g x x x bx x π=+-∈，有()(0)0g x g ≥=恒成立，所以只要()g x 单调递增即可，有21()2cos 0cos g x x b x '=+-≥成立，即22112cos cos cos 3cos cos x x x b x x +=++>=≥综上，知：03b ≤≤时不等式()cos f x bx x ≥对任意20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 故max 3b =.点评： 本题考查了利用导数研究函数的性质，由导数确定函数的单调区间，根据函数不等式恒成立求参数最值.。
浙江省2021届高三数学第一次联考试题(含解析)
浙江省2021届高三数学第一次联考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（ ） A. [1,0)(2,3]-B. (2,3]C. (,0)(2,)-∞+∞D. (1,0)(2,3)-【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖， 所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <， 所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（ ）A.2C.3D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据222c a b =+，可得,a c 的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,a c ==3c e a ==，故选C.【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y满足312(1)xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y=+的最大值为（）A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】B【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2z x y=+的几何意义，当直线2y x z=-+在y 轴上的截距达到最大时，z取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条件312(1)xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2z x y=+的几何意义，当直线2y x z=-+在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，当直线过点(3,4)A时，其截距最大，所以max23410z=⨯+=，故选B.【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2y x z=-+在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C的方程为22(3)1x y-+=，若y轴上存在一点A，使得以A为圆心、半径为3的圆与圆C有公共点，则A的纵坐标可以是（）A. 1B. –3C. 5D. -7【答案】A 【解析】 【分析】设0(0,)A y ，以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到0y <<【详解】设0(0,)A y，两圆的圆心距d =因为以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，所以313124d -<<+⇒<<，解得0y <<B 、C 、D 不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A. (4][2,)-∞-+∞ B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]-【答案】D 【解析】 【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a 的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由2x π=时的函数值，排除C,D ；由2x π=的函数值和322x ππ<<函数值的正负可排除A. 【详解】当2x π=时，(2)ln 20f ππ=>排除C,D ， 当2x π=时，()02f π=，当322x ππ<<时，ln 0,cos 0x x ><， 所以()0f x <排除A, 故选B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（ ）A. βαθ<<B. βθα<<C. αθβ<<D. αβθ<<【答案】D 【解析】 【分析】由折叠前后图象的对比得点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan ,tan ,tan αβθ的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=，显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大， 当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=， 因为h OB <hOC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<， 所以αβθ<<，故选D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的一个（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，再从函数在[0]2，上的零点个数得出相应条件，从而解出+a b 的范围.【详解】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，分为两种情况： （1）函数()f x 在区间[0]2，上只有一个零点0,(0)(2)0,f f ∆>⎧⇔⎨⋅≤⎩2222(0)(2)(42)2424f f b a b b ab b b ab a b a ⋅=++=++=+++- 22()40a b b a =++-≤，即22()4a b a b +≤-又因为240a b ->，所以，a b ≤+≤（2）函数()f x 在[0]2，上有2个零点0,(0)0,(2)420,02,2f b f a b a ∆>⎧⎪=≥⎪⎪⇔⎨=++≥⎪⎪<-<⎪⎩解得：20a b -≤+≤； 综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”⇔20a b -≤+≤或a b ≤+≤所以20a b -≤+≤⇒20a b -≤+≤或a b ≤+≤ 而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是（ ） A. 2019102a << B. 2019112a <<C. 2019312a <<D. 2019322a <<【答案】B 【解析】 【分析】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，则'11()1022xf x x x-=-=>--先根据单调性可得1n a <，再利用单调性可得1231012n a a a a <<<<<<<<.【详解】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，由'11()1022xf x x x-=-=>--可得()f x ()0,1单调递增，由'()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列， 如图所示：且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=，211()(0)2a f a f =>>，图象可得1231012n a a a a <<<<<<<<，所以2019112a <<，故选B. 【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1i z i-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____，||z =__________.【答案】 (1). -1 (2). 2 【解析】 【分析】复数z 进行四则运算化简得1i z =--，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1-，模为2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以z 的虚部为1-，22||(1)12z =-+=，故填：1-;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），则该几何体的体积为_____3cm ，表面积为____2cm .【答案】 (1). 233(2). 23 【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积. 【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2， 所以多面体的体积为：1123222112323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3cm ， 表面积为：2212116222(5)()11212232222⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯=2cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则0a =______，2a =_____.【答案】 (1). –2 (2). –154 【解析】 【分析】令0x =得：02a =-，求出两种情况下得到2x 项的系数，再相加得到答案. 【详解】令0x =得：02a =-，展开式中含2x 项为：（1）当(2)x +出x ，7(21)x -出含x 项，即1617(2)(1)T x C x =⋅⋅⋅-； （2）当(2)x +出2，7(21)x -出含2x 项，即225272(2)(1)T C x =⋅⋅⋅-； 所以2a =1277224(1)154C C ⋅+⋅⋅⋅-=-，故填：2-；154-.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________.【答案】 (1). 326+ (2). 2 【解析】 【分析】在BDE ∆中利用正弦定理直接求出BE ，然后在CEB ∆中用余弦定理求出CE ，再用余弦定理求出cos CEB ∠，进一步得到cos CED ∠的值.【详解】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒， 所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =，解得：33326sin152321BE ===+⋅-⋅在CEB ∆中，由余弦定理，可得：2222cos CE BE CB BE CB B =+-⋅2242(422)=-=-，所以422CE =-2221cos 22CE BE CB CEB CE BE +-∠==⋅，CEB 60,︒∠=CED CEB BED 45∠=∠-∠=，所以2cos 2CED ∠=326；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A ⋅=种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A ⋅⋅=种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____. 【答案】1 【解析】 分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k 的关系，从而求得222111k k -的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得：2222111(24)0k x k x k -++=，所以2112211224,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，因为2221122221121121212y y k k k x x k x x x x x x -==⇒==-++++，所以212222211111111k k k k k +-=-=，故填：1. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b ，进而通过运算求得||a b -的值.【详解】由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0A B b b >，则(2,0),(2,)a b b ==，由3144c a b =+，则(2,)4b C ， 则直线,OB OC 的斜率分别为,28b b， 由两直线的夹角公式可得：3328tan BOC 841282b b b b b b -∠==≤=+⨯+，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-， 所以||4a b -=，故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos cos f x x x x =+． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值. 【答案】(1)1；(2) 4cos 10α= 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把3x π=代入求值； （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用角的配凑法得：66ππαα=+-，再利用两角差的余弦公式得cos α=. 【详解】解:（1）因为21cos21()cos cos sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，所以121511sin sin 132362622f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 334cos cos cos cos sin sin 66666610ππππππαααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【答案】(1) 证明见解析；10【解析】 【分析】（1）证明直线1BB 垂直CM 所在的平面BCM ，从而证明1BB CM ⊥；（2）以A 为原点，BC 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB =，线面角为θ，可得面1B MC 的一个法向量(23,3,5)n =-，330,,22BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入公式sin |cos ,|n BM θ=<>进行求值. 【详解】（1）证明：在Rt ABC ∆中，B 是直角，即BC AB ⊥，平面ABC ⊥平面11AA B B ， 平面ABC平面11AA B B AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面11AA B B AB =，1BC B B ∴⊥.在菱形11AA B B 中，160A AB ︒∠=，连接BM ，1A B 则1A AB ∆是正三角形，∵点M 是1AA 中点，1AA BM ∴⊥. 又11//AA B B ，1BB BM ∴⊥.又BMBC B =，1BB ∴⊥平面BMC1BB MC ∴⊥.（2）作1BG MB ⊥于G ，连结CG ．由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，得到1BC MB ⊥， 又1BG MB ⊥，且BCBG B =，所以1MB ⊥平面BCG .又因为1MB ⊂平面1CMB ，所以1CMB ⊥BCG ， 又平面1CMB 平面BCG CG =,作BH CG ⊥于点H ，则BH ⊥平面1CMB ，则BMH ∠即为所求线面角． 设 2AB BC ==， 由已知得1221302,3,BB BM BG BH ====sinBHBMHBM∠===，则BM与平面1CB M所成角的正弦值为5．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已知数列{}n a为等差数列，n S是数列{}n a的前n项和，且55a=，36S a=，数列{}n b满足1122(22)2n n na b a b a b n b+++=-+．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令*,nnnac n Nb=∈，证明：122nc c c++<．【答案】(1) n a n=.2nnb=. (2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用55a=，36S a=得到关于1,a d的方程，得到na n=；利用临差法得到12nnbb-=，得到{}n b是等比数列，从而有2nnb=；（2）利用借位相减法得到12111121222222n n nn n-+++++-=-，易证得不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，11145335a da d a d+=⎧∴⎨+=+⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，∴数列{}n a的通项公式为n a n=.122(22)2n nb b nb n b∴++=-+，当2n≥时，12112(1)(24)2n nb b n b n b--++-=-+11(24)(2)2nn n n b n b n b b --⇒-=-⇒=， 即{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，2n n b ∴=. （2）2n n n n a nc b ==，记121212222n nn S c c c =++=++⋯+， 则1212321222n nS -=++++， 1211112212222222n n n n n S S S -+∴=-=++++-=-<．【点睛】本题考查数列通项公式、前n 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||3PQ =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．【答案】(1)22143x y+=. (2) ()2,1【解析】【分析】（1）由题设可知26,13P⎛⎫⎪⎝⎭，又12e=，把,a b均用c表示，并把点26,13P⎛⎫⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c=；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标. 【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知26,1P⎛⎫⎪⎝⎭，228113a b∴+=，又12e=，22811123c c∴+=，可得1c=，椭圆的方程为22143x y+=.（2）设2,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭则切线l的方程为20024x xy x=-代入椭圆方程得：()422300031204xx x x x+-+-=，设()()()112233,,,,,B x yC x y E x y，则()31232223xx xxx+==+，()2200033232443x x xy xx=-=-+，KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++， 令0y =得()32083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =， 222004124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，002,2FD BC x k k x =-=， 1FD BC k k ∴⋅=-，FD BC ⊥，DEK FOD ∴∆∆∽，()()22200122220941849163x x S DK S FD x +∴===+. 化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a 为实常数，函数2(),(),xf x axg x e x R ==∈．（1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设m N *∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，当(]01a ∈，时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立．若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．(2)存在，1m =【解析】【分析】（1）当12a e =时得21()2x h x x e e=+，求导后发现()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，利用导数和零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，再对m 分1m =和1m 两种情况进行讨论.【详解】解:（1）21()2x h x x e e =+，1()x h x x e e'=+， ∵()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，∴()h x '在(),1-∞-上负,在()1,-+∞上正， 故()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．（2）设2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)xG x f x g x ax e =+=+ ()8x F x ax e '=+，()80x F x a e ''=+>，()F x '∴单调递增．又(0)0F '>，0F '⎛ < ⎪ ⎪⎝⎭（也可依据lim ()0x F x '→-∞<）， ∴存在00 x <使得()00F x '=，故()F x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．又∵对于任意*m N ∈存在ln x m >使得()F x m >，又lim ()x F x →-∞→+∞，且有()0(0)1F x F m <=≤，由零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，故[]34,B x x =.()()222()()4x x F x G x ax e ax e -=---，令2()xH x ax e =-，由0a >知()H x 在(,0)-∞上单调递减，∴当0x <时，()()(2 )()0F x G x H x H x -=->又∵m 1≥，3x 和1x 均在各自极值点左侧,结合()F x 单调性可知()()()133F x m G x F x ==<，310x x ∴<<当1m =时，240x x ==， A B ∴⊆成立，故1m =符合题意．当0x >时，2222()()33x x x x F x G x ax e e x e e -=+-≤+-， 令1()2ln P t t t t =--，则22(1)()0t P t t '-=>， ∴当1t >时，()(1)0P t P >=． 在上式中令2x t e =，可得当0x >时，有22x xe e x -->成立， 322x x x e e xe ∴-> 令()2t Q t e t =-，则()2tQ t e '=-， ()(ln2)22ln20Q t Q ∴≥=->，2x e ∴>恒成立. 故有32223x x x e e xe x ->>成立，知当0x >时，()()0F x G x -<又∵()F x ，()G x 在[)0,+∞上单调递增，∴当1m 时，()()()244F x m G x F x ==>，240x x ∴>>，而31 0x x <<，∴此时A B ⊆和B A ⊆均不成立.综上可得存在1m =符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.。
2021浙江省杭州市二中等五校届高三上学期五校联考数学试卷及答案
2021浙江省杭州市二中等五校届高三上学期五校联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)参考公式柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高； 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高；台体的体积公式：121()3V h S S =，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高；球的表面积公式：S ＝4πR 2，球的体积公式：34π3V R =，其中R 表示球的半径；第Ⅰ卷（选择题部分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|A x y ==，B ＝{x |0＜x ＜2}，则()A B =R （ ）A ．(1，2)B ．(0，1)C ．(0，+∞)D ．(-∞，2)2．“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要也不充分条件3．若x ，y 满足约束条件22111,x y x y y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤≤⎩则z ＝2x -y 的最大值为 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．64．已知(1,2)a =，(1,7)b =-，2c a b =+，则c 在a 方向上的投影为 （ ）A．．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin C ＝tan A (1-2cos C )，c ＝2b ，则cos B 的值为 （ ）A ．23BC ．34D ．786．函数2()x x e e f x x --=的图象是下列图中的 （ ）A ．B ．C ．D ．7．已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且S n ＝2a n -3n (n ∈N *)，则 （ ）A ．{a n }为等比数列B ．{a n }为摆动数列C ．a n ＝3×2n +1-9D ．S n ＝6×2n -3n -68．已知2+5cos 2α＝cos α，4cos(2)5αβ+=，π(0,)2α∈，3π(,2π)2β∈，则cos β的值为 （ ） A ．45- B ．44125 C ．44125- D ．459．已知抛物线C ：x 2＝3y ，过点3(,)()4P m m -∈R 作抛物线的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，则A 、B 两点到x 轴距离之和的最小值为 （ ）A ．3B ．32C 33D 33 10．已知函数11()||||()f x x a x a x a x =++-+∈-R ，g (x )＝p [f (x )]2-q (pq ＞0)，给出下列四个命题： ①函数f (x )图象关于点(0，0)对称；②对于任意a ∈R ，存在实数m ，使得函数f (x +m )为偶函数； ③对于任意a ∈R ，函数f (x )存在最小值；④当a ＝1时，关于x 的方程g (x )＝0的解集可能为{-3，-1，1，2}， 其中正确命题为 （ ）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题部分）二、填空题11．不等式23113()3x x x -+>的解集是_________；不等式log 2(2-x )＜log 4x 的解集是_________．。
《精编》浙江省五校联盟高三数学下学期第一次联考理试题新人教A版.doc
浙江省五校联盟2021届高三下学期第一次联考数学理试题本试卷分第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
总分值150分。
考试时间120分钟。
本卷须知：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) V =Sh 如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高P (A ·B )=P (A )·P (B ) 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么nV =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高P n (k )=C 错误！不能通过编辑域代码创立对象。
p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的外表积公式 棱台的体积公式 S = 4πR 2)2211(31S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上.下底面积, h 表示棱台 V =错误！不能通过编辑域代码创立对象。
πR 3的高 其中R 表示球的半径第I 卷(选择题 共50分)一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1、假设集合{}}{R x x y y N R t x x M t ∈==∈==-,sin ,,2，那么M N ⋂=〔 ▲ 〕A ．(]0,1B ．[)1,0-C ．[]1,1-D ．∅ 2、复数123,1z i z i =+=-，那么复数12z z 在复平面内对应的点位于 〔 ▲ 〕 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、假设某程序框图如以下列图，那么输出的p 的值是 〔 ▲ 〕A ．22B ． 27C ． 31D ． 564、a ∈R ，那么“2a <〞是“|2|||x x a -+>恒成立〞的 〔 ▲ 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、两个不重合的平面,αβ，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②,l m 是α内的两条直线，且//,//l m ββ； ③,l m 是两条异面直线，且//,//,//,//l l m m αβαβ；其中可以判定//αβ的是〔 ▲ 〕A ．①B ．②C ．①③D ．③ 6、假设函数)0(cos sin )(≠+=ωωωx x x f 对任意实数x 都有)6()6(x f x f -=+ππ，那么)3(ωππ-f 的值等于〔 ▲ 〕A ．1-B ．1C ．2 D ．2-7、对函数112)(2---=x x f x 的零点个数判断正确的选项是〔 ▲ 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个8、在平面直角坐标系中，不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+a x y x y x 00a (为常数)表示的平面区域的面积为8，那么32+++x y x 的最小值为〔 ▲ 〕 A ．1028- B ．246- C ．245-D ．329、P 为抛物线x y 42=上一个动点，Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点，那么点P 到点Q的距离与点P 到y 轴距离之和最小值是 〔 ▲ 〕 A ．171+B ．172-C ．25+D ．171-10、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数和原数相加，假设和中没有一个数字是偶数，那么称这个数是奇和数。
浙江省温州市瑞安市五校联考2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
双减背景下学业评价调研九年级数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题有4个选择项，只有一个选择项是符合题目要求的）1.平面内有两点P ，O ，⊙O 的半径为5，若PO ＝4，则点P 与⊙O 的位置关系是（）A .圆内B .圆上C .圆外D .圆上或圆外2.已知23a b =，则a b b+的值为（）A .13B .35C .23D .533.把抛物线()2312y x =+-先向右平移1个单位，再向上平移n 个单位后，得到抛物线23y x =，则n 的值是（）A .1B .2C .3D .44.一个不透明的布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中1个黑球、2个白球、3个红球，从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为（）A .16B .13C .12D .235.如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若90ABC AOC ∠+∠= ，则∠AOC 的大小是（）A .30B .45C .60D .706.如图，在△ABC 中，AD AEAC AB=，则下列等式不成立的是（）A .ADE ACB ∠=∠B .AED ABC ∠=∠C .ADE ADACB AC=的周长的周长D .AE DEAC BC=7.如图，在△ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，将△ADC 绕点A 逆时针旋转90 得△AEF ，点D ，C 分别对应点E ，F ，连结CF ，若62BAC ∠= ，则∠CFE 等于（）A .14B .15C .16D .17°8.二次函数224y x x =-++，当12x -≤≤时，则y 的取值范围为（）A .14y ≤≤B .5y ≤C .45y ≤≤D .15y ≤≤9.如图，⊙O 是正△ABC 的外接圆，△DOE 是顶角为120 的等腰三角形，点O 与圆心重合，点D ，E 分别在圆弧上，若⊙O 的半径是6，则图中阴影部分的面积是（）A .4πB.12π-C.12πD.24π-10.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示，过点G 作GD 的垂线交AB 于点I ，若43GI GD =，则EFGH ABCD S S 正方形正方形的值为（）A .15B .27C.5D .712第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填写在答题卡的横线上）11.抛物线21y x =+与y 轴的交点坐标是___．12.一名职业篮球球员某次投篮训练结果记录如图所示，由此可估计这名球员投篮800次，投中的次数约为___次．13.已知扇形的圆心角为60 ，半径为2，则该扇形的弧长为___．14.如图，AD 是⊙O 的直径，AD BC ⊥于E ，若DE ＝3，BC ＝8，则⊙O 的半径为___．15.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是A （2，2），B （5，5），若二次函数2y ax bx c =++的图象经过A ，B 两点，且该函数图象的顶点为不与A ，B 重合的点M （x ，y ），其中x ，y 是整数，且1＜x ＜7，1＜y ＜7，则a 的值为___．16.如图是一款上铺的收纳挂篮（如图1），其侧截面可看作直角梯形，现有一长方体形状的物体放置在该挂篮中，当物体如图2放置时，AB PQ ∥，正方形DMEC 为露出挂篮部分，此时2400cm DMEC S =正方形，当物体如图3放置时，B '与Q 重合，四边形为D FNC ''露出挂篮部分，此时2200cm D C NF S ''=四边形，且3322D F C N MF ='='，则D '到PQ 的距离为___．（图1）（图2）（图3）三、解答题（本题共8小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题7分）如图，△ABC 交⊙O 于点A ，B ，D ，E 且CA CB =，求证：AD BE =．18.（本题8分）一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球，小球上分别标有数字－1，0，1，小丽先从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x ，不放回，再从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y ，设点M 的坐标为（x ，y ）．（1）请用树状图法或列表法表示出点M 坐标的所有情况；（2）求点M （x ，y ）的横坐标与纵坐标之和结果不小于0的概率．19.（本题10分）如图，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，点D 是AB 的中点，,DE BC BE AB ⊥∥．（1）求证：DEB BAC ∆~∆；（2）若6,2AB AC ==，求DEB BACS S ∆∆的值．20.（本题9分）如图是86⨯的正方形网格，已知△ABC ，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）（1）将△ABC 绕C 点按顺时针方向旋转90 ，得到11A B C ∆，请在图1中作出11A B C ∆；（2）在图2中，在AC 所在直线的左侧画∠AEC ，使得AEC B ∠=∠；（3）在图3中，仅用无刻度直尺在线段AC 上找一点M ，使得23AM MC =．图1图2图321.（本题10分）如图，224y ax ax a =-+-与x 轴负半轴交于A ，交y 轴于B ，过抛物线顶点C 作CD y⊥轴，垂足为D ，四边形AOCD 是平行四边形．（1）求抛物线的对称轴以及二次函数的解析式；（2）作BE x ∥轴交抛物线于另一点E ，交OC 于F ，求EF 的长；（3）该二次函数图象上有一点G （m ，n ）若点G 到y 轴的距离小于2，则n 的取值范围为___．22.（本题10分）如图，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，D 是BC 上一点，连接AD ，△ACD 的外接圆⊙O 交AB 于点E ，点F 是 AE 上一点，且ADF ABC ∆~∆，连接AF ，OF ．（1）求证： EFCD =．（2）当E 为AB 中点时，5,22AE AC ==，求BC 的长度．23.（本题12分）冬至吃汤圆是我国南方的一项传统民俗，既代表着团圆，又寓意着添岁．为了迎接冬至的来临，瑞安市某商家向广大市民出售肉馅汤圆，已知该汤圆的成本价为20元/盒，经调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y （盒）与售价x （元/盒）成一次函数关系．其对应关系如下表：售价（元/盒）253035日销售量（盒）110a90（1）根据以上信息，填空：表中a 的值是___，y 关于x 的函数关系式是___；（2）若根据市场的定价规则，该汤圆的售价不得高于40元/盒，求售价为多少时，日销售利润w 最大，最大利润是多少？（3）在（1）的条件下，为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动．顾客每购买一盒肉馅汤圆可以获得m 元的现金奖励0m >，商家想在日销售量不少于60盒的基础上，日销售最大利润为1650元，求出此时m 的值．24.（本题14分）如图1，在菱形ABCD 中，∠B 为锐角，点P ，H 分别在边AD ，CB 上，且DP BH =，在AB 边上取点M ，N （点N 在BM 之间）使AM ＝5BN ，点P 从点D 匀速运动到点A 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N ，连结PQ ，PH 分别交对角线AC 于E ，F ，记QN ＝x ，QP ＝y ，已知212y x =-+．（1）①请判断PF 与FH 的大小关系，并说明理由；②求AD ，BN 的长；（2）如图2，连结QF ，当四边形FQBH 中有两边平行时，求AE ∶EC 的值；（3）若60B ∠= ，连结QH ，求△FQH 面积的最小值．2021学年第一学期九年级期末试卷（数学）答案及评分标准一、选择题：题号12345678910答案ADBBCDADBA填空题：11.（0，1）12.60013.23π14.25615.－116.13＋40三、解答题：17.证明：∵CA ＝CB∴∠A＝∠B ∴ BD AE =∴ BD DE AE DE-=-∴ BE AD=∴BE ＝AD （7分）（其它方法正确同样得分）18.解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，则点M 所有可能的坐标为（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，1），（1，﹣1），（1，0）（4分）（2）解：点M （x ，y ）的横坐标与纵坐标之和有－1，0，－1，1，0，1共6种情况，其中坐标之和不小于0的有4种，所以概率为23（8分）19解：（1）证明：∵∠C ＝90°，BE⊥AB ∴∠EBD ＝∠C＝90°（2分）∵DE //BC∴∠EDB ＝∠ABC（4分）∴△DEB ∽△BAC （5分）由勾股定理得BC=（7分）∵D 是AB 的中点，AB ＝6∴DB ＝3（8分）∵△DEB ∽△BAC∴2932DEB BAC S S == （10分）20.解：（每个3分，共9分）21.解：（1）抛物线的对称轴x ＝－2ba＝1（2分）∵ADCO 是平行四边形∴AO ＝CD ＝1∴A （－1，0）代入得：a ＋2a ＋a －4＝0得a ＝1∴y ＝x 2－2x －3（4分）y ＝x 2－2x －3＝（x －1）2－4∴C （1，－4）∴CD ＝1，OD ＝4（6分）当x ＝0代入y ＝－3∴OB ＝3（7分）∵BE //DC //x 轴∴△OBF ∽△OCD∴1BF ＝34∴BF ＝34由对称性得BE ＝2CD ＝2∴EF ＝2－34＝54（8分）（3）－4≤n ＜5（10分）（写成－4＜n ＜5扣1分）（1）（本题10分）（1）∵∠C ＝90°∴AD 是直径∴∠F ＝90°∴∠ADF ＋∠DAF ＝90°……………1分∵∠ADF ＝∠B ∴∠BAC ＝∠DAF∴∠CAD ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠EAF ……………1分∴∠CAD ＝∠EAF ……………1分∴ EFCD ……………1分连接DE∵ DF＝ CE ∴DF ＝CE ……………1分∵E 为AB 中点∴CE ＝AE ＝BE ＝12AB ……………1分∴DF ＝12AB ∵△ADF ∽△ABC ∴DF BC ＝AFAC……………1分∵AF ＝2，AC ＝2∴DF BC ＝4……………1分设DF ，BC ＝4x∴AB ＝在Rt △ABC 中：AC ²＋BC ²＝AB ²∴4＋16x ²＝20x ²解得x ＝1……………1分∴BC ＝4……………1分23.（本题12分）（1）100……………1分y＝－2x＋160（20＜x＜80）……………（范围不写不扣分）2分（2）w＝（x－20）y＝（x－20）（－2x＋160）＝－2x²＋200x－3200＝－2（x－50）²＋1800……………5分∵售价不高于40元∴20＜x≤40x＝50不在取值范围内二次函数开口向下，在20＜x≤40时，w随着x的增大而增大．∴x取40时有最大利润，w max＝（40－20）（－2×40＋160）＝1600元．……………7分（3）由题意得：W＝（x－20－m）（160－2x）＝－2x²＋（2m＋200）x－3200－160m……………9分∵日销售量不少于60盒∴－2x＋160≥60∴x≤50（10分）∴20＜x≤50∵对称轴为直线x＝22004m＝12m＋50＞50∴抛物线开口向下，w随着x的增大而增大．∴当x＝50时，wmax＝（－2×50＋160）（50－20－m），60（30－m）＝1650∴m＝2.5……………12分24.解：（1）①PF＝PH（1分）理由如下：∵ABCD是菱形∴AD//BC，AD＝BC∵PD＝BH∴∠PAF＝∠FCH，AP＝CH，又∵∠AFP＝∠HFC∴△AFP≌△HFC∴PF＝FH（3分）②当x＝0代入y＝12即AD＝12（4分）当y＝0代入x＝6即MN＝6∵AM ＝5BN ，AB ＝AD ＝12∴5BN ＋BN ＋6＝12∴BN ＝1（6分）①当FQ //BH 时，如图1，∵PF ＝PH，PF //CH //AD ∴AQ ＝QB ∴QF 是△ABC 的中位线，∴x ＋1＝11－x∴x ＝5，∴y ＝2∴AP ＝10，QF ＝6∵AP //QF ∴△AEP ∽△QEF ∴AE ∶EF ＝10∶6＝5∶3则AE ∶EC ＝5∶11（9分）②当FH //BQ 时，如图2，∵AP //BC∴ABHP 是平行四边形∴12－y ＝y ，y ＝6代入得x ＝3∴AQ ＝8，∵PF ＝6△AQE ∽△PFE ∴AE ∶EF ＝4∶3∴AE ∶EC ＝4∶10＝2∶5（12分）RS（3）172（14分）解：12PQH BQH APQ ABC BQH APQ S S S S S S S =--=--△△△△△△菱形11(212)(1)2(1)]2222x x x x =--+⋅+-⋅⋅-+224)x =-+=-+∵当4x =时，PQH S △最小=∴FQH S △最小=。
浙江省宁波城区五校联考2021学年九年级数学第一学期月考试题(1)
(第6题图) (第5题图)(第8题图)(第9题图)浙江省宁波城区五校联考2021学年第一学期九年级数学月考试题 浙教版温馨提示：本卷共26题，总分值150分，考试时刻120分钟，不能利用计算器.一．选择题(每题4分，共48分) 1．点P （1，3）在反比例函数ky x=（0k ≠）的图象上，那么k 的值是（ ） A ．13B ．13- C ．3D ．3-2．如图，△ABC 的极点都是正方形网格中的格点，那么cos ∠ABC 等于（ ） A.55B.552 C.5 D.32 3． 抛物线y=3(x －2)2+1图象上平移2个单位，再向左平移2个单位所得的解析式为 （ ） A ．y=3x 2+3B ．y=3x 2－1C ．y=3(x －4)2+3D ． y=3(x －4)2－14. 某市气象局预报称：明天本市的降水概率为80%，这句话指的是（ ） A.明天本市80%的时刻下雨，20%的时刻不下雨 B.明天本市必然下雨C.明天本市80%的地域下雨，20%的地域不下雨D.明天本市不下雨的可能性只有20%5．如下图，给出以下条件：①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠； ③AC ABCD BC=； ④2AC AD AB =•．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．①②6．如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，以下关系式中不正确．．．的是（ ） A ．m h =B ．h n >C ．n k >D ．0,0>>k h7.从长度别离为3、6、7、9的4条线段中任取3条作三角形的边，能组成三角形的概率为（ ）A ．34B ．12C ．13D ．148．图中给出的直线b x k y +=1和反比例函数xk y 2=的图像，判定以下结论正确．．的有（ ） ①2k ＞b ＞1k ＞0； ②直线 b x k y +=1与坐标轴围成的△ABO 的面积是4； ③方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xk y b x k y 21的解为⎩⎨⎧-=-=1611y x ，⎩⎨⎧==3222y x ； ④当－6＜x ＜2时，有b x k +1＞x k 2 . (第2题图)(第10题图)(第11题图)(第12题图)(第15题图) (第17题图) (第16题图) x yEDBO ACA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，假设周围下垂的最大长度相等，那么桌布下垂的最大长度x 为（ ）A ．212a - B ．224a - C ．()21a - D ．()22a -10. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，AE EF FC ==，那么S △BMN ：S 菱形ABCD 的值是（ ）A.34 B.37 C.38 D.31011.如图，水平地面上有一面积为302cm 的灰色扇形OAB ，其中OA 的长度 为6cm ，且OA 与地面垂直.假设在没有滑动的情形下，将图(甲)的扇形向右转动至点A 再一次接触地面，如图(乙)所示，那么O 点移动了（ ）cmA. 11B. 12C. 10 + 23D. 11312. 如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，假设AD ＝6， DB ＝7，那么BC 的长是（ ） A.91 B. 3 C. 134 D. 130二．填空题(每题4分，共24分)13.在围棋盒中有6颗黑色棋子和a 颗白色棋子，随机地掏出一颗棋子，若是它是白色棋子的概率是35，那么a= ▲ .14．把底面直径为6㎝，高为4㎝的空心无盖圆锥纸筒剪开摊平在桌面上，摊平后它能遮住的桌面面积是 ▲ ㎝215.如图，在以AB 为直径的⊙O 中，点C 是⊙O 上一点，弦AC 长6 cm ，BC 长8 cm ，∠ACB 的平分线交AB 于E ，交⊙O 于D ．则弦AD 的长是 ▲ cm.16.如图，坡面CD 的坡比为1:3BC 上有一棵小树AB ，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC 是3米，斜坡上的树影CD 3米，那么小树AB 的高是___▲ _米.17. 如图，在面积为24的菱形ABCD 中，E 、F 别离是边AD 、BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且GH =21DC ．那么图中阴影部份面积为 ▲ ．18．如图， Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴上，斜边AC 上的中线BD 交y 轴于点E,双曲线ky x=(k>0)的图象通过点A.假设△BEC 的面积为6，那么k 的值为 ▲(第18题图)三．解答题（共8道大题，19—21题，每题8分，22—23题，每题9分，24题10分，25题12分，26题14分，共78分）19. （此题8分）（1）已知3a =5b =7c ，求cb c b a +-+2的值. （2）已知A B C ∠∠∠，，是锐角ABC ∆的三个内角，且知足23tan 10B +-=（2sinA-），求C ∠的度数. 20. （此题8分）已知图中的曲线是函数5m y x-=(m 为常数)图象的一支. （1）求常数m 的取值范围；（2）假设该函数的图象与正比例函数2y x =图象在第一象限的交点 为A （2，n ），求点A 的坐标及反比例函数的解析式.21. （此题8分）如下图的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应取得一个数（指针指向两个扇形的交线时，视为无效，从头转动一次转盘），此进程称为一次操作．(1)求事件“一次操作，取得的数恰好是0”发生的概率； (2)用树状图或列表法，求事件“两次操作，第一次操作取得的数 与第二次操作取得的数绝对值相等”发生的概率．22.（此题9分）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上. (1)求证：△ABF ∽△DFE(2)假设△BEF 也与△ABF 相似，请求出CDBC的值 . 23. （此题9分）如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即BAC ∠）为30°，BC ⊥AC ，现打算在斜坡中点D 处挖去部份坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ． （1）假设修建的斜坡BE 的坡角（即BEF ∠）不大于45°，那么平台DE 的长最多为多少米？（2）一座建筑物GH 距离坡角A 点27米远（即AG =27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角（即DHM ∠）为30°，点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且 HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？24. （此题10分）如图，BC 是⊙O 的弦，OD ⊥BC 于E ，交BC ⌒ 于D ，点A 是优弧BmC 上的动点(不与B 、C 重合)， BC =34，ED=2． (1)求⊙O 的半径；O Ayx(第20题图) (第22题图)(第23题图)m E CBAO(第21题图)0 1-1(2)求cos ∠A 的值及图中阴影部份面积的最大值.25. （此题12分）如图，在边长为24cm 的正方形纸片ABCD 上，剪去图中阴影部份的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A 、B 、C 、D 四个极点正好重合于上底面上一点）。
2021-2022学年浙江省学军中学、杭州二中等五校高三(上)第一次联考数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年浙江省学军中学、杭州二中等五校高三（上）第一次联考数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|0<x<2}，B={x|x2+4x−5>0}，则A∩(∁R B)等于()A. {x|0<x≤1}B. {x|1≤x<2}C. {x|0<x<2}D. {x|−1≤x<2}2.已知点(1,1)在直线x+2y+b=0的下方，则实数b的取值范围为()A. b>−3B. b<−3C. −3<b<0D. b>0或b<−33.若a>b>0，m<0，则下列不等式成立的是()A. am2<bm2B. mb−a>1C. a−mb−m <abD. a−ma2>b−mb24.已知sin(π4+α)=13，则cos(π2−2α)=()A. −79B. 79C. −4√29D. 4√295.函数f(x)=(1−21+e x)cosx的图象大致形状是()A. B.C. D.6.有10台不同的电视机，其中甲型3台，乙型3台，丙型4台．现从中任意取出3台，若其中至少含有两种不同的型号，则不同的取法共有()A. 96种B. 108种C. 114种D. 118种7.设无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，若−a1<a2<a1，则()A. {S n}为递减数列B. {S n}为递增数列C. 数列{S n}有最大项D. 数列{S n}有最小项8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AA1，A1D1的中点，点P为底面ABCD内(包括边界)的一动点，若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为()A. √2+1B. √5C. √2+√32D. √69.已知a∈R，函数f(x)=ln2x+(2a2+x)lnx+a4的最小值为g(a)，则g(a)的最小值为()A. −2e B. −1eC. −eD. −e210.已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=a(a>2)，e−a n+1+a n+1=−1a n+ka n(n∈N∗)，给出下列三个结论：(1)若k=1，则数列{a n}仅有有限项；(2)若k=2，则数列{a n}单调递增；(3)若k=2，则对任意的M>0，都存在n0∈N∗，使得n02a n0>M成立．则上述结论中正确的为()A. (1)(2)B. (2)(3)C. (1)(3)D. (1)(2)(3)二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知复数z=i(2i−1)(i是虚数单位)，则z的虚部为______，|z|=______．12.等差数列{a n}满足a1=6a4，a1+a5=2a2+10，则公差d=______，其前n项和的取小值为______．13.已知函数f(x)={−x 2+2x+3,x≤26+log a x,x>2(a>0且a≠1)．(1)若a=2，则f(f(1))=______；(2)若函数f(x)的值域是(−∞,4]，则实数a的取值范围是______．14.已知(2x−1)4=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+a3(x−1)3+a4(x−1)4，则a0+a2+a4的值为______．15.已知x>0，y>0，2x+y=2，则√xy(x+1)(y+2)的最大值为______．16.已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =1，c⃗2−(a⃗−b⃗ )⋅c⃗+12=0，则|a⃗−b⃗ |=______，|a⃗−c⃗|的取值范围是______．17.如图，已知三个两两互相垂直的半平面α，β，γ交于点O，矩形ABCD的边BC在半平面γ内，顶点A，D分别在半平面α，β内，AD=2，AB=3，AD与平面α所成角为π4，二面角A−BC−O的余弦值为13，则同时与半平面α，β，γ和平面ABCD都相切的球的半径为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=2sinxcosx−cos(2x+π6)．(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调递增区间：(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c−√3a，求f(B)的取值范围．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1和四棱锥D−BB1C1C构成的几何体中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=1，AC=√2，BB1=2，DC1=DC=√5，平面CC1D⊥平面ACC1A1．(Ⅰ)若点M为棱CC1的中点，求证：DM//平面AA1B1B；(Ⅱ)已知点P是线段BC上靠近C的三等分点，求直线DP与平面BB1D所成角的正弦值．(n∈N∗)．20.已知数列{a n}满足a1=0，且a n+1=12−a n}是等差数列：(Ⅰ)求证：数列{1a n−1(Ⅱ)记b n=(−1)n+1(2−a n−a n+1)，数列{b n}的前n项和为T n，若存在n∈N∗，使得λ>T n成立，求实数λ的取值范围．21.已知函数f(x)=1+a√x−√1+ax(a≠0)．(Ⅰ)若f(x)的图象在x=1处的切线l的斜率为a，求直线l的方程；4(Ⅱ)若对于任意的x∈[0,2]，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．+x(a∈R)．22.已知函数f(x)=4aa2e x+1(Ⅰ)若a=1，求证：当x>0时，x(f(x)−x)<4；e(Ⅱ)讨论方程f(x)=2的根的个数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|0<x <2}，B ={x|x 2+4x −5>0}={x|x <−5或x >1}， ∴∁R B ={x|−5≤x ≤1}，A ∩(∁R B)={x|0<x ≤1}． 故选：A ．求出集合B ，然后求解B 的补集，然后进行交集、补集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，点(1,1)在直线x +2y +b =0的下方，则有3+b <0， 解可得b <−3； 故选：B ．根据题意，由一元二次不等式的几何意义可得3+b <0，解可得答案． 本题考查二元一次方程的几何意义，涉及不等式的解法，属于基础题．3.【答案】C【解析】对于选项A ，m <0，m 2>0，am 2>bm 2，故A 错．对于选项B ，若a =3，b =2，m =−12，则mb−a =12<1，故B 错．对于选项C ，a−mb−m −ab =m(a−b)b(b−m)<0，故C 正确．对于选项D ，a−m a 2−b−m b 2=(b−a)(ab−m(a+b))a 2b 2<0，故D 错．故选：C ．利用不等式性质和做差法比较大小即可．本题考查了不等式的性质及做差法比较大小，还考查了利用特殊值解决不等式性质问题．属于基础题．4.【答案】A【解析】解：cos(π2−2α)=sin2α，cos(2(π4+α))=1−2sin2(π4+α)=79，即cos(π2+2α)=79⇒−sin2α=79，sin2α=−79，故选项A正确．故选：A．利用诱导公式计算出所求问题即求sin2α，再利用二倍角公式转化已知条件即可．本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：f(x)= e x−1e x+1⋅cosx，则f(−x)=e−x−1e−x+1⋅cos(−x)=1−e x1+e x⋅cosx=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当0<x<π2时，f(x)>0，排除C，故选：D．判断函数的奇偶性和对称性，利用当0<x<π2时，f(x)<0，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及排除法是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，从10台不同的电视机中任意取出3台，有C103=120种取法，其中只有甲型的取法有C33=1种，只有乙型的取法有C33=1种，只有丙型的取法有C43= 4种，则其中至少含有两种不同的型号的取法有120−1−1−4=114种，故选：C．根据题意，用间接法分析：先计算“从10台不同的电视机中任意取出3台”的取法，排除其中只有1种型号的取法，即可得答案．本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由−a1<a2<a1可得a1>0，<1，所以q=a2a1>−1，因为−a1<a2得q=a2a1所以−1<q<1，，因为S n=a1(1−q n)1−q当0<q<1时，{S n}递增，当−1<q<0时，{S n}递减，A，B错误；当0<q<1时，S n最小项S1，没有最大项，当−1<q<0时，a1>0，a2<0，a3>0，a4<0且a3+a4>0，S n最小项S2，没有最大项，C错误，D正确．故选：D．由已知分析等比数列的公比范围，然后结合求和公式分析{S n}的单调性，结合选项可求．本题主要考查了等比数列的单调性的判断，通项公式及求和公式，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：取BC的中点G，连接AG、AD1、D1G，如图所示；由EF//AD1得出AD1//平面BEF，又D1P//平面BEFC1，且AD1∩D1P=D1，可得平面BEF//平面AGD1，所以AG是点P在底面ABCD内的轨迹；计算AG=√AB2+BG2=√22+12=√5，即点P的轨迹长度为√5．故选：B．取BC的中点G，连接AG、AD1、D1G，根据题意判断平面BEF//平面AGD1，得出AG是点P在底面ABCD内的轨迹，计算AG的值即可．本题考查了正方体的结构特征应用问题，也考查了作图与运算能力，是中档题．9.【答案】B【解析】解：函数f(x)=ln2x+(2a2+x)lnx+a4=(lnx+a2)2+xlnx，令ℎ(x)=xlnx，则ℎ′(x)=lnx+1，令ℎ′(x)=0，则x=1e，当x∈(0,1e)，ℎ′(x)<0，函数单调递减，当x∈(1e,+∞)，ℎ′(x)>0，函数单调递增，所以ℎ(x)min=1e ln1e=−1e，此时a2=1，(lnx+a2)min2=0，所以函数f(x)取得最小值−1e．故选：B．把函数f(x)=ln2x+(2a2+x)lnx+a4变形为f(x)=(lnx+a2)2+xlnx，所以当g(x)=xlnx取得最小值时(lnx+a2)2能取到最小值0时可求得最小值．本题考查了利用导数研究函数的最小值的求法，属中档题10.【答案】A【解析】解：对于①，因为e−a n+1+a n+1=−1an+ka n(n∈N∗)，所以a n+1−a n=−1an−e−a n+1，又数列{a n}各项都为正数，所以a n+1−a n<0，所以数列{a n}单调递减，所以0<a n+1<a n≤a1，所以−1an ≤−1a1．因为a n+1=a n−1an −e−a n+1<a n−1a n，即a n+1<a n−1an，所以a n+1−a n<−1an，所以a n−a1=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)<−1a n−1−1a n−2−⋯−1a1<−1a1−1a1−⋯−1a1=−n−1a1，所以a n −a 1<−n−1a 1，即0<a n <a 1−n−1a 1，所以0<a 1−n−1a 1，即n <a 12+1=a 2+1，而a 2+1为定值，所以数列{a n }仅有有限项，命题正确； 对于②，先用数学归纳法证明a n >2． (1)当n =1时，a 1=a >2，显然成立；(2)假设当n =k 时，a k >2，则e −a k+1+a k+1=−1a k+2a k >72．记f(x)=e −x +x ，x >0，则f′(x)=1−e −x >0，所以f(x)=e −x +x 在(0,+∞)上单调递增， f(2)=e −2+2<72<f(a k+1)，所以a k+1>2，所以∀n ∈N ∗，都有a n >2． 因为a n+1>0，所以e −a n+1∈(0,1)，所以a n+1−a n =a n −1a n−e −a n+1>a n −1a n−1，又因为y =2x −1x −1在(2,+∞)上单调递增，且a n >2， 所以a n+1−a n >2−12−1=12>0， 所以数列{a n }单调递增，命题正确；对于③，因为e −a n+1+a n+1=−1a n+2a n (n ∈N ∗)，所以a n+1=−1a n+2a n −e −a n+1>2a n −1a n−1，即a n+1>2a n −1a n−1，又因为a n >2，所以a n+1>2a n −12−1=2a n −32， 所以a n+1−32>2(a n −32)， 所以a n >(a 1−32)⋅2n−1+1， 所以n 2a n <n 2(a 1−32)⋅2n−1+1<n 2(a 1−32)⋅2n−1，显然n 2(a1−32)⋅2n−1存在上界，即n 2a n存在上界，所以命题错误．故选：A ．对于①，利用数列的单调性，通过累加法即可作出判断；对于②，先证明a n >2，再借助作差法即可得到结果；对于③，判断数列{n 2a n}是有界的还是发散的即可．本题考查数列的综合应用、命题真假判断，考查学生的逻辑思维能力和计算能力，属难题．11.【答案】−1√5【解析】z=i(2i−1)=2i2−i=−2−i，所以实部为−2，虚部为：−1．所以∣z∣=√(−2)2+12=√5．故答案为：−1，和√5．利用复数的定义，z=a+bi，实部为a，虚部为b，模长为√a2+b2，计算即可．本题考查了复数的定义，属于基础题．12.【答案】5−42【解析】解：a1=6(a1+3d)，a1+a1+4d=2(a1+d)+10⇒d=5，可以求得a1=−18，由等差数列的前n项和公式S n=−18n+n(n−1)2×5=52n2−412n，所以当n=4110时，该二次函数有最小值．而n是正整数，所以当n=4的时候，前n项和最小，最小值为−42．故答案为5，−42．利用等差数列的基本量求解，将已知条件转化为基本量a1和d，即可解出公差d，进而求出前n项和的最小值．本题考查了数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．13.【答案】8[√22,1)【解析】解：(1)f(1)=4，则f(f(1))=f(4)=6+log a4=6+log24=8；(2)当x≤2时，−x2+2x+3=−(x−1)2+4的值域为(−∞,4]，若该分段函数的值域是(−∞,4]，则需要当x>2时，6+log a x≤4且0<a<1，解得log a x≤−2⇒x≥1a2，a2≥1x，有a2≥12，所以√22≤a<1，即a∈[√22,1)．故答案为：8，[√22,1)．利用分段函数的定义，根据自变量不同的取值范围去求解对应的函数值即可解决． 本题考查了分段函数求值和分段函数的求值域问题，属于基础题．14.【答案】41【解析】解：根据(2x −1)4=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+a 3(x −1)3+a 4(x −1)4， 令x =1时，解得a 0=1；令x =0时，整理得：1=a 0−a 1+a 2−a 3+a 4，① 令x =2时，整理得：34=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4，② ①+②得：82=2a 0+2a 2+2a 4， 所以a 0+a 2+a 4=41． 故答案为：41．直接利用赋值法和二项式定理展开式的应用求出结果．本题考查的知识要点：赋值法和二项式定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15.【答案】√29【解析】解：因为x >0，y >0，2=2x +y ≥2√2xy ，当且仅当2x =y ，即x =12，y =1时取等号， 解得√xy ≤√22，则√xy(x+1)(y+2)=√xyxy+2x+y+2=√xyxy+4=令t =√xy ，f(t)=t +4t ，t ∈(0,√22]，由对勾函数的性质可得f(t)在(0,√22]上单调递减，所以f(t)≥f(√22)=√22√22=9√22，即√xy √xy ≥9√22，所以1√xy+4√xy≤√29，即√xy (x+1)(y+2)的最大值√29．故答案为：√29．由已知结合基本不等式先求出√xy的范围，化简√xy(x+1)(y+2)=1√xy+4√xy，利用换元法结合对勾函数的单调性即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，考查对勾函数的应用，属于中档题．16.【答案】√3[√7−12,√7+12]【解析】解：因为|a⃗|=2，|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =1，所以2×1×cos<a⃗,b⃗ >=1，即cos<a⃗,b⃗ >=12，所以<a⃗,b⃗ >=π3，所以|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√4−2×2×1×12+1=√3．建立如图所示的直角坐标系，则O(0,0)，A(1,√3)，B(1,0)，设C(x,y)，则a⃗=(1,√3)，b⃗ =(1,0)，c⃗=(x,y)，由c⃗2−(a⃗−b⃗ )⋅c⃗+12=0，可得：x2+y2−√3y+12=0.记作圆M，且M(0,√32)，半径为12．于是，|a⃗−c⃗|=|(1−x,√3−y)|=√(1−x)2+(√3−y)2，上式可看作是圆M上的点与点P(1,√3)之间的距离，由点P(1,√3)与圆M的位置关系可知：圆M上的点与点P(1,√3)之间的距离的最大值为：|MP|+12=√7+12；圆M上的点与点P(1,√3)之间的距离的最小值为：|MP|−12=√7−12．故|a⃗−c⃗|的取值范围是[√7−12,√7+12].故答案为：√3；[√7−12,√7+12].根据数量积的定义可求出向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角，进而得出|a ⃗ −b ⃗ |；然后根据已知条件建立如图所示的直角坐标系，并令a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(1,0)，c⃗ =(x,y)， 由c ⃗ 2−(a ⃗ −b ⃗ )⋅c ⃗ +12=0，可得：x 2+y 2−√3y +12=0，进而|a ⃗ −c ⃗ |转化为圆M 上的点与点P(1,√3)之间的距离问题，由直线与圆的位置关系即可得出所求的答案． 本题考查平面向量的数量积的性质及其应用，考查数形结合的思想，属中档题．17.【答案】√22或2√2【解析】解：如图所示，考查矩形ABCD 所在的平面，将其补形为一个长方体，然后以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，由AD =2，直线AD 与平面α所成角为π4可得A 1A =A 1D =√2，作AP ⊥底面于点P ，很明显AD ⊥平面APB ，从而BC ⊥BP ，∠PBA 即为二面角A −BC −O 的平面角，其余弦值为13，则PB =13AB =1， 故B 2P =B 2B =√22，AP =√BA 2−BP 2=2√2，从而：A(√2,0,2√2),B(32√2,√22,0),D(0,√2,2√2)，设平面ABCD 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则：{AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m⃗⃗⃗ =(√22,√22,−2√2)⋅(x,y,z)=√22x+√22y−2√2z=0 AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m⃗⃗⃗ =(−√2,√2,0)⋅(x,y,z)=−√2x+√2y=0，令x=2可得y=2，z=1，从而m⃗⃗⃗ =(2,2,1)，设平面ABCD与x，y，z轴的交点分别为：P1(x,0,0)，P2(0,y,0)，P3(0,0,z)，则：P1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m⃗⃗⃗ =(√2−x,0,2√2)⋅(2,2,1)=0，∴x=2√2，P2A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m⃗⃗⃗ =(√2,−y,2√2)⋅(2,2,1)=0，∴y=2√2，P3A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m⃗⃗⃗ =(√2,0,2√2−z)⋅(2,2,1)=0，∴z=4√2，原问题进一步等价于求三棱锥O−P1P2P3的内切球半径，由于P1P2=√(2√2)2+(2√2)2=4,P1P3=P2P3=√(2√2)2+(4√2)2=2√10，故△P1P2P3是等腰三角形，其面积为：12×4(√(2√10)2−22]=12,三棱锥的表面积为：S=12(2√2×2√2+2√2×4√2+2√2×4√2)+12=32，其体积为：V=16×OP1×OP2×OP3=16√23，设外接球半径为R，利用等体积法有：V=13SR，即13×32×R=16√23，∴R=√22．同理，当球在三棱锥外面与四个面都相切时可得球的半径为2√2．故答案为：√22或2√2．首先将几何体补形为一个长方体，然后利用垂直关系将原问题转化为求解三棱锥内切球的半径的问题，最后利用等体积法求解其半径即可．本题主要考查空间向量的应用，球与空间几何体的内切关系等知识，属于中等题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2sinxcosx−cos(2x+π6)=sin2x−cos(2x+π6)=sin2x−cos2xcosπ6+sin2xsinπ6=sin2x√32cos2x+12sin2x=32sin2x−√32cos2x=√3(√32sin2x−12cos2x)=√3sin(2x−π6).(Ⅱ)因为2bcosA≤2c−√3a，由正弦定理可得，2sinBcosA≤2sinC−√3sinA，所以2sinBcosA≤2sinAcosB+2sinBcosA−√3sinA，即cosB≥√32，又因为0<B<π，所以0<B≤π6，−π6<2B−π6≤π6，所以−12<sin(B−π6)≤12，所以f(B)∈(−12,1 2 ].【解析】(Ⅰ)先利用二倍角公式，辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合两角和的余弦公式展开即可求解．(Ⅱ)由已知结合正弦定理进行化简可求cosB的范围，进而可求得B的范围，代入f(B)后结合正弦函数的性质即可求解．本题考查三角函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．19.【答案】证明：(Ⅰ)∵AA1⊥平面ABC，AB⊆平面ABC，∴AA1⊥AB，又∵AB⊥AC，AA1∩AC=A，∴AB⊥平面ACC1A1，∵DC1=DC，点M为棱CC1的中点，∴DM⊥CC1，又∵平面CC1D⊥平面ACC1A1，平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，∴DM⊥平面ACC1A1，∴DM//AB，又∴AB⊆平面AA1B1B，DM⊊平面AA1B1B，∴DM//平面AA1B1B.解：(Ⅱ)由题意可知三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，且底面△ABC为直角三角形，以点A1为原点，分别以A1A，A1C1，A1B1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标，如图所示，则B(2,0,1)，B1(0,0,1)，∵DC=DC1=√5，CC1=2，∴DM=√DC2−CM2=√DC2−(12CC1)2=2，∴D(1,√2,2)，∵点P是线段BC上靠近C的三等分点，∴P(2,2√23,13)∴DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√23,−53) ∵DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√2,−1)，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√2,−1)，设平面BB 1D 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)， 则{x −√2y −z =0−x −√2y −z =0，化简得：{x =0√2y +z =0，令z =√2得：n ⃗ =(0,−1,√2)，∴cos <DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=−2√69∴直线DP 与平面BB 1D 所成角的正弦值为2√69．【解析】(Ⅰ)由线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面ACC 1A 1，由面面垂直的性质定理可得DM ⊥平面ACC 1A 1，从而证得DM//AB ，再利用线面平行的判定定理即可证出 DM//平面AA 1B 1B .(Ⅱ)由题意可知三棱柱ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，且底面△ABC 为直角三角形，以点A 1为原点，分别以A 1A ，A 1C 1，A 1B 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标，先求出求出DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再求出平面BB 1D 的法向量n ⃗ ，利用空间向量的夹角公式求出DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角的余弦值，从而得到直线DP 与平面BB 1D 所成角的正弦值．本题主要考查了线面平行的判定，考查了线面所成角的求法，是中档题．20.【答案】证明：(Ⅰ)数列{a n }满足a 1=0，且a n+1=12−a n (n ∈N ∗)．整理得：1a n+1−1−1a n −1=112−a n−1−1a n −1=−1(常数)，所以数列{1an −1}是以−1为首项，−1为公差的等差数列；解：(Ⅱ)由(Ⅰ)得：1a n −1=−1−(n −1)=−n ，故a n =1−1n ，故b n =(−1)n+1(2−a n −a n+1)=(−1)n+1(1n +1n+1)， 所以T n =1+12−12−13+13+14+...+(−1)n+1(1n +1n+1)； 当n 为奇数时，T n =1+1n+1>1； 当n 为偶数时，T n =1−1n+1<1； 若存在n ∈N ∗，使待λ>T n 成立， 即λ>(T n )min =T 2=23，故实数λ的取值范围为(23,+∞)．【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式的变换求出数列为等差数列；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论和裂项相消法，进一步利用存在性问题的应用求出参数的取值范围． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵f′(x)=a 2(√x √1+ax )，∴f′(1)=a2(1−√1+a)=a4，∵a ≠0，∴1√1+a=12，解得a =3， ∴f(1)=2，切点为(1,2)，斜率为34， ∴切线l 的方程为y =34x +54；(Ⅱ)法1°：∵对于任意的x ∈[0,2]，f(x)≤0恒成立， ∴{f(0)≤0f(2)≤0，解得1−√2≤a <0． 又当1−√2≤a <0时，1+ax >0，∴对于任意的x ∈[0,2]，f(x)≤0恒成立，等价于√x √1+ax≤1在x ∈[0,2]上恒成立，令g(x)=√x √1+ax，x ∈[0,2]，则只需g(x)max ≤1即可． ∵g′(x)=a2(√x(1+ax)√x⋅√1+ax)，且a<0，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增， ∴g(x)max =max{g(0),g(2)}，由g(0)≤1，g(2)≤1，解得a ∈[1−√2,0)． 法2°：∵对于任意的x ∈[0,2]，f(x)≤0恒成立， ∴{f(0)≤0f(2)≤0，解得1−√2≤a <0． 由f′(x)=a2(√x −√1+ax )≥0⇒√1+ax ≤√x ⇒(1−a)x ≥1⇒x ≥11−a ， ∵1−√2≤a <0， ∴11−a ∈[√22,1)，∴f(x)在(0,11−a )上单调递减，在(11−a ,2)上单调递增， ∴f(x)max =max{f(0),f(2)}，要使f(x)≤0恒成立，只需f(x)max ≤0即可，即{f(0)≤0f(2)≤0，∴1−√2≤a <0，即a ∈[1−√2,0)．法3°：∵x ∈[0,2]，f(x)≤0恒成立，∴f(0)≤0且f(2)≤0，解得1−√2≤a <0． ∵f(x)≤0⇔1+a √x ≤√1+ax 恒成立， 由x ∈[0,2]知，1+a √x >0，所以两边平方得：(a 2−a)x +2a √x ≤0， 即(a −1)√x +2≥0对任意的x ∈[0,2]恒成立， ∵a −1<0，∴当x =2时，[(a −1)√x +2]min =√2a +2−√2，则√2a +2−√2≥0⇒1−√2≤a <0，即a ∈[1−√2,0)．【解析】(Ⅰ)求导得f′(x)=a2(√x √1+ax )，由f′(1)=a4，a ≠0，可求得a 的值，于是可得f(1)及直线l 斜率，从而可得直线l 的方程；(Ⅱ)法1°，依题意，{f(0)≤0f(2)≤0，解得1−√2≤a <0⇒1+ax >0，对于任意的x ∈[0,2]，f(x)≤0恒成立⇔√x √1+ax≤1在x ∈[0,2]上恒成立，令g(x)=√x √1+ax，x ∈[0,2]，求导，分析可得g(x)max =max{g(0),g(2)}，由g(0)≤1，g(2)≤1，可求得实数a 的取值范围；法2°，对于任意的x ∈[0,2]，f(x)≤0恒成立，必须满足{f(0)≤0f(2)≤0，解得1−√2≤a <0；由f′(x)≥0⇒x ≥11−a ，由1−√2≤a <0，知11−a∈[√22,1)⇒f(x)在(0,11−a )上单调递减，在(11−a ,2)上单调递增，f(x)max =max{f(0),f(2)}，依题意知{f(0)≤0f(2)≤0，解之可得实数a 的取值范围；法3°，依题意得f(0)≤0且f(2)≤0，解得1−√2≤a <0，而f(x)≤0⇔1+a √x ≤√1+ax 恒成立，易知两端均非负，两边平方，化为(a −1)√x +2≥0对任意的x ∈[0,2]恒成立，当x =2时，(a −1)√x +2取得最小值√2a +2−√2，令√2a +2−√2≥0，解之可得实数a 的取值范围．本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线，利用导数研究函数的最值，考查构造法与函数恒成立问题的求解，突出考查转化与化归思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)证明：根据题意，令g(x)=x(f(x)−x)=4xe x+1(x>0)，则有g′(x)=4(e x+1)−4x(e x+1)(e x+1)2=4(1−x)e x+1，∴g′(x)>0⇒0<x<1；g′(x)<0⇒x>1，∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，即得函数g(x)在x=1处取得最大值为g(x)max=g(1)=4e+1<4e．从而得证；(2)解：根据题意，f(x)=4aa2e x+1+x，定义域为R，且有当x→−∞时，f(x)→−∞；当x→+∞时，f(x)→+∞；所以当a=0时，f(x)=x+1，定义域为R，函数单调递增，令f(x)=2，可得x=1，即此时方程f(x)=2只有一个根；当a≠0时，求导可得f′(x)=−4a3e x(a2e x+1)2+1=−4aa2e x+1a2e x+2+1，∵a2e x>0，∴a2e x+1a2e x≥2，由上可得：当a<0时，f′(x)<0，函数在R上单调递减，此时方程f(x)=2只有一个根；当a>0时，f′(x)≥1−a，此时①若1−a≥0，即0<a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在R上单调递增，方程f(x)=2有唯一解；②若1−a<0，即a>1时，y=a2e x+1a2e x+2在(−∞,−2lna)上单调递减，在(−2lna,+∞)上单调递增，所以f′(x)在(−∞,−2lna)上单调递减，在(−2lna,+∞)上单调递增，又因为当x→−∞时，f′(x)→1；当x→+∞时，f′(x)→1，所以存在x1，x2∈R使得f′(x1)=0，f′(x2)=0，且x1<−2lna<x2，则有f(x)在(−∞,x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增，由此可得f(x)极大=f(x1)，f(x)极小=f(x2)，且f(x1)<f(−2lna)<f(x2)，因为f(−2lna)=2a−2lna，令g(a)=2a−2lna，则有g′(a)=2(1−1a)，因为a>1，所以g′(a)>0，即g(a)在(1,+∞)上单调递增，所以f(−2lna)=g(a)>g(1)=2，所以f(x1)>2，又因为f(x)=4aa2+1=4a+1a<2，且x1<−2lna<0，所以f(x2)<2，所以当a>1时，方程f(x)=2有三个根．又由(1)可知，当a=1时，函数f(x)在R上单调递增，此时方程f(x)=2只有一个根．综上可得，当a≤1时，方程f(x)=2只有一个实根；当a>1时方程f(x)=2有三个实根．【解析】(1)根据题意，构造函数g(x)=x(f(x)−x)=4xe x+1(x>0)，然后通过判断函数g(x)的单调性即可得出结论；(2)分类讨论当a=0，或a≠0时两种情况进行讨论，可得当a=0时，函数f(x)=x+1，此时方程f(x)=2只有一个根，当a≠0时具体求解过程看详解．本题主要考查函数单调性与函数导数的关系，以及函数与方程的关系，属于难题．第21页，共21页。
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2021届浙江五校第一次联考一、选择题：每小题4分，共40分1.已知集合{A x y ==，{}02B x x =<<，则()A B =R ð（）A ．()1,2B ．()0,1C ．()0,+∞D ．(),2-∞2.“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要也不充分条件3.若x ，y 满足约束条件22111x y x y y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．9B ．8C ．7D ．64.已知()1,2=a ，()1,7=-b ，2=+c a b ，则c 在a 方向上的投影为（）A．5-B．10-C．10D．55.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin tan 12cos C A C =-，2c b =，则cos B的值为（）A ．23B ．23C ．34D ．786.函数()2e e x xf x x --=的图象是下列图中的（）7.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈Ν，则（）A ．{}n a 为等比数列B ．{}n a 为摆动数列C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--8.已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（）A ．45-B ．44125C ．44125-D ．459.已知抛物线2:3C x y =，过点()3,4P m m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭R 作抛物线的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，则A 、B 两点到x 轴距离之和的最小值为（）A ．3B ．32C．2D．410.已知函数()()11f x x a x a x a x=++-+∈-R ，()()()20g x p f x q pq =->⎡⎤⎣⎦，给出下列四个命题：①函数()f x 图象关于点()0,0对称；②对于任意a ∈R ，存在实数m ，使得函数()f x m +为偶函数；③对于任意a ∈R ，函数()f x 存在最小值；④当1a =时，关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}3,1,1,2--，其中正确命题为（）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①③④二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.不等式231133xx x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集是；不等式()24log 2log x x -<的解集是．12.函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[],ππ-的图象如下图，则()f x 的最小正周期为；()f π=．13.已知双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F P 为双曲线上一点，12120F PF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为；若双曲线C 的实轴长为4，则12F PF △的面积为．14.已知函数()132e 4,13,1x x f x x x x -⎧-<=⎨-≥⎩（其中e 是自然对数的底数），则()()2f f =；若()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是．15.某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．16.已知a ，b ，c 是非零向量，-=a b ，()()2-⋅-=-c a c b ，λ为任意实数，当-a b 与a 的夹角为3π时，λ-c a 的最小值是．17.若a ，b 为实数，且13a ≤≤，24b ≤≤，则324a bab +的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18.（本题满分14分）已知()sin (sin )f x x x x =，ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()32f A =，2a =，求ABC △周长的取值范围．19.（本题满分15分）已知四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥面ABCD ，2PA AD ==，AB =．（1）作AM PB ⊥于M ，AN PC ⊥于N ，求证：PC ⊥平面AMN ；（2）求二面角D PC A --的正切值．20.（本题满分15分）已知数列{}n a 与{}n b 满足()1131nn n n n b a b a +++=-+，2,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，*n ∈N ，且12a =．（1）设2+121n n n c a a -=-，*n ∈N ，求1c ，并证明：数列{}n c 是等比数列；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求2n S ．21.（本题满分15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，M 为AB 中点，()1,0N -，当△AOB （点O 为坐标原点）的面积S 最大时，求MN 的取值范围．22.（本题满分15分）已知函数()sin sin 2f x a x x =+，a ∈R ．（1）若2a =，求函数()f x 在()0,π上的单调区间；（2）若1a =，不等式()cos f x bx x ≥对任意20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求满足条件的最大整数b ．2020学年第一学期浙江省高三“五校联考”考试参考答案1-10.CBCADCDBBA11.{|1}x x ≠，{|12}x x <<12.43π，1213.y =，83314.54e -，(27,12](11,)---+∞ 15.4316.1217.335[,]41218.解：1cos 2()sin (sin cos )sin 2222-=+=+x f x x x x x 1sin(2)62π=-+x ……3分由3222262πππππ+≤-≤+k x k ，∈k Z 得536ππππ+≤≤+k x k ，∈k Z ∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k k Z ππππ++∈……………6分（2）∵13()sin(2)622π=-+=f A A ，则sin(2)16π-=A ，∵0π<<A ，∴112666πππ-<-<A ，262ππ-=A ，解得3π=A .……………8分法一：∵2=a ，3π=A ，由余弦定理得，2222cos3a b c bc π=+-，即224b c bc +-=……10分∴2()43b c bc +-=，则22()43()2b c b c ++-≤…………12分又∵2b c +>，∴24b c <+≤…………13分∴△ABC 周长的范围是(6,8]…………14分法二：由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C====∴sin )b c B C +=+…………10分∵23sin sin sin sin()sin cos )3226B C B B B B B ππ+=+-=+=+………12分又∵2(0,3B π∈，∴1sin((,1]62B π+∈，∴(4,6]b c +∈…………13分∴△ABC 周长的范围是(6,8]…………14分19．（1）BC ABAM PB PA ABCD BC PABC PAB AM BC AM PBC BC ABCD AB PA A PB BC B AM PAB PC PBC ⊥⊥⎫⎫⎫⎫⊥⎫⎪⎪⎪⎪⇒⊥⇒⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎬⎬⎬⊂⎭⎪⎪⎪⎪==⊂⊂⎭⎭⎭⎭面面面面面面 =PC AM PC AN PC AMN AM AN A ⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⎭面………7分（2）方法一：作DE AC E ⊥于，EF PC F ⊥于，连DF ，PA ABCD ⊥ 面，PAC ABCD∴⊥面面DE PAC ∴⊥面，DE PC ∴⊥，EF PC ⊥ ，EF DE E = ，PC DEF ∴⊥面，DF PC ∴⊥，DFE ∴∠是二面角D PC A --的平面角， (11)分2PA AD ==，AB =，AC ∴=，30PCA ∴∠=︒3DE ∴=，3CE =，233EF =，tan DE DFE EF ∴∠==DFE ∴∠是二面角D PC A --.………15分方法二：建立坐标系（以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴）.(0,0,0),(0,(2,(2,0,0),(0,0,2)A B C DP (0,(2,2),(0,0,2)DC PC AP ==-=平面DPC 的法向量1(1,0,1)n = ，平面APC的法向量21,0)n =-设二面角D PC A --的平面角为α，12cos |cos ,|3n n α=<>=，tan α=20.（1）证明：1222a a +-＝，23210a a +＝，两式作差得112c =…………3分对任意*n N ∈，21212231n n n a a ---++＝①，2221231n n n a a ++＝＋②…………2分②－①，得21212134n n n a a -+-⨯-=，即2134n n c -⨯=，于是14n nc c +=.所以{}n c 是等比数列．…………7分（2）证明当*n N ∈且2n ≥时，2113153752123()()()()n n n a a a a a a a a a a =+-+-+-+⋅⋅⋅-+－－－22131(19)92922129n n --=+++++⋅⋅⋅=⋅+…………10分由(1)得112339321922n n n a --⋅++=-⋅+，所以2194n n a -=…………12分12123(19)4n n n a a --+=-，得2391()48n n S n -=-…………15分21.解：（1）由已知22c e a ==，2b =，222a b c =+得2b a ==，故椭圆C 的22142x y +=；……………………5分（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得()222214240k x mkx m +++-=2121222424,2121mk m x x x x k k -⇒+=-=++，点O 到直线l的距离d =，1122S d AB =⋅⋅=()222242221m k m k ++-=≤=+S ，当且仅当22242m k m =+-即2221m k =+，①……………10分此时21200022221,221x x mk k k x y kx m m k m m m+==-=-=+=-+=+，法一：即00001,22x m m k x y y ==-=-代入①式整理得()22000102x y y +=≠，即点M 的轨迹为椭圆()221:102x C y y +=≠………13分且点N 恰为椭圆1C 的左焦点，则MN 的范围为)1-+……………15分法二：MN =由①得kMN m===-………13分设kt m=代入2221m k =+得22221m m t =+，即22(12)1t m -=，221012m t =>-∴2222t -<<，即2222k m -<<∴)1MN ∈……………15分22、解答：（Ⅰ）当2a =时，()2sin sin 2f x x x =+，于是()2cos 2cos 22(1cos )(2cos 1)f x x x x x '=+=+-…………3分于是()0f x '>，解得(0,3x π∈；()0f x '<，解得(,)3x ππ∈即(0,)3x π∈函数()f x 单调递增，(,)3x ππ∈函数()f x 单调递减…………6分（Ⅱ）当1a =时，()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意2(0,3x π∈恒成立首先考察(0,2x π∈时，易得0b >∵()sin sin 2sin (12cos )cos f x x x x x bx x=+=+≥∴2(,)23x ππ∈时，()0cos f x bx x ≥≥，显然成立…………9分于是只考察()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意(0,)2x π∈恒成立由(14242f b ππ=+≥⋅，于是2128b +≤21238+>，所以3b ≤…11分下证：()sin sin 23cos f x x x x x =+≥对任意(0,2x π∈恒成立考察函数()tan 2sin 3g x x x x =+-，(0,2x π∈32222212cos 3cos 1(cos 1)(2cos 1)()2cos 30cos cos cos x x x x g x x x x x-+-+'=+-==>于是()g x 在(0,)2x π∈上单调递增，则()(0)0g x g >=即tan 2sin 30x x x +->，则sin sin 23cos x x x x +≥综上可知，max 3b =………15分。