2021届浙江五校第一次联考数学试题附参考答案

2021届浙江五校第一次联考

一、选择题：每小题4分，共40分1.

已知集合{A x y ==，{}02B x x =<<，则()A B =R ð（

）

A ．()1,2

B ．()0,1

C ．()

0,+∞D ．(),2-∞2.

“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不必要也不充分条件3.

若x ，y 满足约束条件22111x y x y y -≤⎧⎪

-≥-⎨⎪-≤≤⎩

，则2z x y =-的最大值为（

）

A ．9

B ．8

C ．7

D ．64.

已知()1,2=a ，()1,7=-b ，2=+c a b ，则c 在a 方向上的投影为（）

A

．5-

B

．10-C

．10D

．

5

5.

在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin tan 12cos C A C =-，2c b =，则cos B

的值为（

）

A ．

23B ．

23

C ．34

D ．

78

6.

函数()2

e e x x

f x x --=的图象是下列图中的（

）

7.

已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()

23n n S a n n *=-∈Ν，则（）

A ．{}n a 为等比数列

B ．{}n a 为摆动数列

C ．1329n n a +=⨯-

D ．6236

n n S n =⨯--8.

已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,22πβπ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，则cos β的值为（）

A ．45-

B ．44125

C ．44125-

D ．

45

9.

已知抛物线2:3C x y =，过点()3,4P m m ⎛

⎫-∈ ⎪⎝

⎭R 作抛物线的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，则A 、

B 两点到x 轴距离之和的最小值为（

）A ．3B ．

32

C

．2D

．4

10.已知函数()()11

f x x a x a x a x

=+

+-+∈-R ，()()()20g x p f x q pq =->⎡⎤⎣⎦，给出下列四个命题：①函数()f x 图象关于点()0,0对称；

②对于任意a ∈R ，存在实数m ，使得函数()f x m +为偶函数；③对于任意a ∈R ，函数()f x 存在最小值；

④当1a =时，关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}3,1,1,2--，其中正确命题为（）A ．②③

B ．②④

C ．②③④

D ．①③④

二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分

11.不等式231

133x

x x -+⎛⎫

> ⎪⎝⎭

的解集是；不等式()24log 2log x x -<的解集是．

12.函数()()cos 06f x x πωω⎛

⎫=+> ⎪⎝

⎭在区间[],ππ-的图象如下图，则()f x 的最小正周期为

；

()f π=．

13.已知双曲线:C ()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F P 为双曲线上

一点，12120F PF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为

；若双曲线C 的实轴长为4，则12F PF △的面积为．

14.已知函数()13

2

e 4,1

3,1

x x f x x x x -⎧-<=⎨-≥⎩（其中e 是自然对数的底数），则()()2f f =；若()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是．

15.某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

．

16.已知a ，b ，c 是非零向量，-=a b ，()()2-⋅-=-c a c b ，λ为任意实数，当-a b 与a 的夹角

为

3

π

时，λ-c a 的最小值是．

17.若a ，b 为实数，且13a ≤≤，24b ≤≤，则32

4a b

ab +的取值范围是

．

三、解答题：5小题，共74分

18.（本题满分14分）已知()sin (sin )f x x x x =，ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ．

（1）求()f x 的单调递增区间；

（2）若()3

2

f A =，2a =，求ABC △周长的取值范围．

19.（本题满分15分）已知四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥面ABCD ，2PA AD ==，AB =．

（1）作AM PB ⊥于M ，AN PC ⊥于N ，求证：PC ⊥平面AMN ；（2）求二面角D PC A --的正切值．

20.（本题满分15分）已知数列{}n a 与{}n b 满足()1131n

n n n n b a b a +++=-+，2,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数

，*n ∈N ，且

12a =．

（1）设2+121n n n c a a -=-，*n ∈N ，求1c ，并证明：数列{}n c 是等比数列；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求2n S ．

21.（本题满分15分）已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的离心率为2

2，短轴长为