机器学习综述
机器学习中的特征选择方法研究综述
机器学习中的特征选择方法研究综述简介：在机器学习领域，特征选择是一项重要的任务，旨在从原始数据中选择出对于解决问题最具有代表性和预测能力的特征子集。
特征选择方法能够改善模型性能、减少计算复杂性并提高模型解释性。
本文将综述机器学习中常用的特征选择方法，并对其优点、缺点和应用范围进行评估和讨论。
特征选择方法的分类：特征选择方法可以分为三大类：过滤式、包裹式和嵌入式方法。
1. 过滤式方法：过滤式方法独立于任何学习算法，通过对特征进行评估和排序，然后根据排名选择最佳特征子集。
常用的过滤式方法包括相关系数、互信息、卡方检验等。
(1) 相关系数：相关系数是评估特征与目标变量之间线性关系强弱的一种方法。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
优点是简单且易于计算，但仅能检测线性关系，对于非线性关系效果较差。
(2) 互信息：互信息是评估特征与目标变量之间信息量共享程度的一种方法。
互信息能够发现非线性关系，但对于高维数据计算复杂度较高。
(3) 卡方检验：卡方检验适用于特征与目标变量均为分类变量的情况。
它衡量了特征与目标变量之间的依赖性。
然而，在特征之间存在相关性时，卡方检验容易选择冗余特征。
过滤式方法适用于数据集维度较高的情况，计算速度快，但无法考虑特征间的相互影响。
2. 包裹式方法：包裹式方法直接使用学习算法对特征子集进行评估，通常使用启发式搜索算法（如遗传算法、蚁群算法等）来找到最佳特征子集。
包裹式方法的优点是考虑了特征间的相互作用，但计算复杂度高，易受算法选择和数据噪声的影响。
(1) 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。
在特征选择中，遗传算法通过使用编码表示特征子集，通过选择、交叉和变异等操作来搜索最佳特征子集。
遗传算法能够有效避免包裹式方法中特征间的相互影响，但计算复杂度高。
(2) 蚁群算法：蚁群算法是一种基于模拟蚁群觅食行为的优化算法。
在特征选择中，蚁群算法通过模拟蚂蚁在搜索空间中的移动来寻找最佳特征子集。
机器学习中的核方法综述
机器学习中的核方法综述机器学习常用的方法有很多，其中核方法是一类比较重要的方法之一。
核方法主要是针对非线性问题，能够将非线性问题转化成线性问题，从而更方便地解决问题。
在本文中，我们将会对核方法进行一个综述。
一、核方法简介核方法是一种基于核函数的机器学习方法，它主要应用于模式识别、分类、回归和聚类等问题。
其基本思想是将低维度数据映射到高维度空间，从而更好地描述数据的特征。
在高维度空间中，数据可能会更加容易分类或回归。
但是由于高维度空间中数据的计算量会变得非常大，核方法就出现了，它可以在低维度空间中计算高维度空间中的内积，从而避免高维度空间中数据的计算量。
核方法的核心是核函数。
核函数用于将低维度空间中的数据映射到高维度空间中，并在高维度空间中计算内积。
它的优点是可以将一个非线性问题转化成一个线性问题。
核函数有很多种，如线性核函数、多项式核函数、径向基核函数等。
二、线性核方法线性核方法是最简单的核方法之一，它的核函数是一个线性函数。
它的优点是易于计算和调整。
但是它的缺点是不能很好地处理非线性问题。
三、多项式核方法多项式核方法的核函数是一个多项式函数。
它的优点是可以很好地处理一些非线性问题。
但是它的缺点是容易过拟合，需要对参数进行优化。
四、径向基核方法径向基核方法是一种常用的核方法，它的核函数是一个径向基函数。
它的优点是可以很好地处理非线性问题，并且可以使用不同的径向基函数。
但是它的缺点是需要设置好核函数的参数，且计算量较大。
五、核方法的应用核方法在机器学习中有广泛的应用，如支持向量机、核主成分分析、核聚类等。
其中支持向量机是最常见的应用之一。
支持向量机是一种二元分类模型，它可以将一个非线性问题转化成一个线性问题，从而更容易分类。
六、总结核方法是一种非常重要的机器学习方法，它可以将一个非线性问题转化成一个线性问题，从而更容易处理。
核函数是核方法的核心，不同的核函数可以在不同的场景下应用。
在实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的核函数和参数。
机器学习模型解释与可解释性研究进展综述
机器学习模型解释与可解释性研究进展综述引言：随着机器学习在各个领域的广泛应用，对于模型解释性的需求也越来越迫切。
传统的机器学习模型，如决策树和线性回归等，相对比较容易被理解和解释。
但是，随着深度学习等复杂模型的兴起，其黑盒特性给模型解释性带来了挑战。
针对这一问题，研究者们开始着手研究机器学习模型的解释性，旨在提高模型的可理解性，使其更易于被人们理解和信任。
本文将综述机器学习模型解释与可解释性的研究进展，包括可解释性的定义、方法和应用。
一、可解释性的定义可解释性是指对于机器学习模型的输出结果，能够清晰地解释其形成的原因和依据。
这包括了对输入特征的影响、模型内部的决策过程以及与输出结果相关的因果关系。
可解释性的定义因任务而异，在不同领域的应用中有不同的需求。
二、可解释性的方法为了实现机器学习模型的可解释性，研究者们提出了多种方法。
以下是几种常见的方法：1. 特征重要性分析：通过对模型中各个特征的重要性进行分析，来解释模型对输出结果的影响。
常用的方法包括特征选择、特征排列和特征权重等。
2. 决策规则提取：通过从模型中提取决策规则，来解释模型的决策过程。
这种方法常用于决策树等规则型模型。
3. 局部模型解释：通过对模型在某个具体样本上的行为进行解释，来揭示模型的内部机理。
局部模型解释方法包括对抗样本和局部特征影响等。
4. 逻辑推理和可视化：通过逻辑推理和可视化的手段，将模型的复杂决策过程可视化展示，使其更易于理解。
5. 模型压缩和简化：通过对模型进行压缩和简化，降低模型的复杂度，提高模型的可解释性。
三、可解释性的应用可解释性在各个领域中都有广泛的应用。
以下是几个典型的领域：1. 医疗健康：在医疗领域中，可解释性模型可以帮助医生理解和解释模型对患者诊断和治疗决策的依据，提高医疗决策的可信度和可靠性。
2. 金融风控：在金融领域中，可解释性模型可以帮助金融机构理解和解释模型对借贷申请、投资决策等的判断依据，提高风险控制和评估的准确性。
机器学习综述
人工智能机器学习综述摘要：机器学习（Machine Learning）是人工智能领域的一个核心研究方向。
它是一个多学科交叉的产物，它吸取了概率统计、神经生物学、信息论、控制论、计算复杂性理论、哲学等学科的成果。
在很多应用领域发挥了重要的实用价值，特别是在数据挖掘、语音识别、图像识别、机器人、生物信息学、信息安全、遥感信息处理等领域取得了瞩目的成果。
关键词：人工智能；机器学习；数据挖掘；强化学习引言根据反馈的不同，机器学习可以分为监督学习或称为有导师学习（supervised learning, SL）、无监督学习或称为无导师学习（unsupervised learning, UL）和强化学习(reinforcement learning，RL)三大类[2]。
其中监督学习方法是目前研究得较为广泛的一种，该方法要求给出学习系统在各种环境输入信号下的期望输出，在这种方法中，学习系统完成的是与环境没有交互的记忆和知识重组的功能。
典型的监督学习方法包括决策树学习ID-5算法、BP算法、贝叶斯分类算法、SVM算法等。
无监督学习方法主要包括各种自组织学习方法，如聚类学习、自组织神经网络学习等。
强化学习是指从环境状态到行为映射的学习，以使系统行为从环境中获得累计奖励值最大，包括蒙特卡洛法、时序差分法、Q学习法等。
从本质上讲，机器学习就是要使计算机能模拟人的学习行为，自动地通过学习获取知识和技能，不断改善性能，实现人工智能。
随着计算机网络技术的发展，各行各业积累的数字化数据越来越多，如微博的数字化、聊天记录的数字化、视频探头信息的数字化，大数据（Big Data）成为当今流行的研究主题，在这种潮流下，如何对这些数据进行分析，从中发现蕴涵的规律及有价值的信息，机器学习我想将有一席用武之地。
研究现状及发展趋势一般来说，机器学习的研究起点最早可追溯到19世纪末的神经科学，特别是James发现了神经元是相互连接的现象。
随后，在20世纪30年代，McCulloch和Pitts发现了神经元的“兴奋”和“抑制”机制，20世纪中叶，Hebb发现了“学习律”，等等。
机器学习中的集成模型综述研究
机器学习中的集成模型综述研究随着人工智能的不断发展，机器学习已经成为了一个热门的研究领域。
而在机器学习中，集成模型的应用日益广泛，其在解决复杂问题方面的表现也越来越受到研究者的关注。
本文将对机器学习中的集成模型进行综述研究，探讨其基本原理、常见形式和优化方法等方面的内容。
一、集成模型的基本原理集成模型是一种通过将多个模型的预测结果进行组合来提高模型性能的方法。
它的基本原理是：将多个弱学习器（weak learner）进行结合，得到一个强学习器（strong learner），从而提高模型的准确性和泛化性能。
在集成模型中，每个弱学习器都只能解决部分问题或具有一定的缺陷，但是将多个弱学习器结合在一起却可以得到较好的效果。
二、集成模型的常见形式在机器学习中，集成模型主要有三种形式：基于Bagging的集成、基于Boosting的集成和基于Stacking的集成。
1.基于Bagging的集成：Bagging是一种基于样本的集成学习方法。
在Bagging中，通过有放回的重复抽样，构建多个训练数据集，每个训练数据集都是从原始数据集中随机采样得到的。
这些训练数据集使用相同的学习算法，训练出多个弱学习器，最后将它们结合起来，得到一个强学习器。
Bagging的优点是可以通过并行计算来加快计算速度，同时还能减少过拟合的情况。
2.基于Boosting的集成：Boosting是一种基于模型的集成学习方法。
在Boosting中，每个样本都有一个权重，初始时，这些样本的权重均等。
然后将这些样本输入到一个基本分类器中，得到第一个弱学习器。
根据第一个弱学习器的结果，更新每个样本的权值，使下一个弱学习器更加关注分类错误的样本。
以此类推，不断迭代，直至得到一个强学习器。
Boosting的优点是可以取得很高的准确性，但缺点是容易过拟合。
3.基于Stacking的集成：Stacking是一种基于模型的集成学习方法。
在Stacking中，除了训练多个基本分类器以外，还需训练一个次级学习器（meta-learner），其作用是对基本分类器的结果进行组合。
机器学习和sdn的综述
从流量分类、路由优化、服务质量（Q os）/体验质量（Q o E ）预测、资源管理和安全性的角度，回顾了机器学习算法如何应用于SDN 领域。
介绍篇：异构网络增加了网络的复杂性，在有效组织，管理和优化网络资源方面带来了许多挑战。
（什么是异构网络）在网络中运用智能化方法是解决这些问题的方法之一。
如知识平面方法（KP ）：ML +认知技术将automation,recommendation and intelligence带入互联网。
由于传统网络固有的分布特征，每个节点（路由或交换机）只能查看系统的一小部分并对其进行操作。
SDN 可以对其进行帮助。
在SDN 中应用机器学习是合适的原因：1. 图形处理单元GPU 和张量处理单元TPU 等技术为机器学习提供了很好的机会；2.集中式SDN 控制器具有全局网络视图，能够收集各种网络数据，便于机器学习算法的应用。
3.基于实时和历史网络数据，机器学习技术可以通过执行数据分析，网络优化和网络服务的自动提供来为SDN 控制器提供智能化。
4.SDN 可编程性使机器学习算法生成的最优网络解决方案（如配置或资源分配）能够在网络上执行。
（图1综述总体路线图）第一二节：相关工作。
第三节：SDN 背景知识。
第四节：介绍常用的ML 算法第五节：从流量分类、路由优化、服务质量（Q o S ）/体验质量(QoS)预测、资源管理和安全等方面对ML算法在SDN领域的应用进行了综述，并详细说明了机器学习在每一类中的应用。
第六节：讨论未来的研究方向：高质量的训练数据集、分布式多控制器平台、提高网络安全性、跨层网络优化和增量部署SDN。
第七节：软件定义其它。
SDN 网络架构（图2）机器学习和sdn 的综述2018年11月29日20:01SDN网络架构（图2）机器学习概述：机器学习通常包括两个阶段：训练阶段和决策阶段。
在训练阶段，采用机器学习地方法，利用训练数据集学习系统模型；在决策阶段，系统可以通过训练模型得到每一个新输入的估计输出。
李群机器学习研究综述
Ｌ ＭＬ 作 为 机 器 学 习 领 域 的一 种 新 的 学 习 方 法 ， ） 一
方 面 继 承 流 形 学 习 的 优 点 ， 一 方 面 借 用 李 群 的 思 另
想 ， 成 了具 有 创 新 特色 的学 习范 式．自 ２ ０ 形 ０ ４年 提 出至今 ｌ ， 】 已引 起 加 拿 大 、 尔 兰 、 兰 、 大利 、 爱 芬 意
摘
要
文 中简 述 了 李 群 机 器 学 习 的 相 关 研 究 内 容 ， 括 李 群 机 器 学 习 的 概 念 、 理 假 设 、 数 学 习模 型 、 何 学 包 公 代 几
习 模 型 、 ｙ ｋｎ图 的几 何 学 习 算 法 、 子 群 、 群 分 类 器 的设 计 、 道 生 成 学 习算 法 等 ． Ｄｎｉ 量 辛 轨
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ
Ｔｈｉ ａ ｒｓ ｓ ｐ ｐｅ ｕｍｍ ａ ｉｅ ｈｅｒ ｌ ｖ ｎｔｒ ｓ ａ ｃ ｆＬｉ ｒ ｕ ｃ ｉ ｅ ｒ ｎ ｒｚ ｓｔ ｅｅ ａ ｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｅ ｇ ｏ ｐ ｍａ ｈ ｎｅ ｌａ ｎｉ ｇ，ｉ ｌ ｉ ｎｃｕｄ ｎｇ：
关 键 词 李 群 机 器 学 习 ； 理 假 设 ； 群 ； 类 器 公 李 分
中 图法 分 类 号 ＴＰ１ ８ ＤＯＩ号 ：１ ． ７ ４ Ｓ ． ． ０ ６ ２ １ ． ｌ １ ０３２／ ＰＪ１１．００Ｏ１５
Ｓｕ ｖ ｙ ｏ ｅ Ｇ ｒ ｕ ａ ｈｉ ｅ Ｌｅ ｒ ｎｇ ｒ ｅ ｎ Ｌｉ ｏ ｐ Ｍ ｃ ｎ ａ ｎｉ
方法 相 比有 明显 优势 ， 李群 的概 念 可 以看 出 ， 包 从 它 含 了微 分流形 和 群 的 内容 ； 分 流 形 包 含 了 拓 扑 流 微 形 和微 分结 构． 这套 理论 系统 ， 给 我们提 供 了描 述 既
机器学习在金融资产定价中的应用研究综述
机器学习在金融资产定价中的应用研究综述机器学习在金融资产定价中的应用研究综述引言金融市场是一个高度复杂且动态的系统，资产定价一直是金融学研究的重要领域之一。
随着机器学习的快速发展，它在金融资产定价中的应用也越来越受到关注。
本文旨在综述机器学习在金融资产定价中的应用研究现状，并对未来的发展方向进行展望。
一、机器学习在金融资产定价中的基本概念机器学习是一种通过模型和算法自动发现数据中的模式和规律的方法。
它可以大幅提高金融资产定价的准确性和效率。
金融资产定价是通过建立数学模型来预测资产的未来价格或回报。
传统的定价模型如CAPM、Black-Scholes模型等在某些情况下可能表现出局限性，而机器学习可以通过非线性建模、数据驱动等方式更好地应对这些问题。
二、机器学习在金融资产定价中的方法与模型1. 监督学习模型监督学习是机器学习的一种重要方法。
它的核心思想是通过以往的历史数据来预测未来的资产价格。
常见的监督学习模型包括线性回归、支持向量回归、决策树等。
这些模型可以根据历史数据中的特征和标签进行训练，并用于预测资产的未来价格。
2. 非监督学习模型非监督学习是通过挖掘数据中的隐藏模式和结构来进行资产定价。
常见的非监督学习模型有聚类、关联规则等。
例如，通过对市场数据进行聚类分析，可以发现不同资产类别之间的相似性和差异性，从而为资产定价提供指导。
3. 强化学习模型强化学习是机器学习的一种特殊方法，它通过代理与环境交互来学习如何做出最优的决策。
在金融资产定价中，可以将市场视为一个环境，将投资者视为代理。
强化学习可以用于优化资产配置、制定交易策略等。
三、机器学习在金融资产定价中的应用1. 股票市场在股票市场中，机器学习可以用于预测股票的价格走势、量化交易策略、寻找价值投资机会等。
例如，通过对历史股票价格、财务指标等数据进行监督学习，可以建立股票价格预测模型，从而提供投资决策的参考。
2. 期权市场机器学习在期权定价模型中也有广泛应用。
机器学习-联邦学习学习笔记综述
联邦学习学习笔记综述摘要随着大数据的进一步发展，重视数据隐私和安全已经成为了世界性的趋势，同时，大多数行业数据呈现数据孤岛现象，如何在满足用户隐私保护、数据安全和政府法规的前提下，进行跨组织的数据合作是困扰人工智能从业者的一大难题。
而“联邦学习”将成为解决这一行业性难题的关键技术。
联邦学习旨在建立一个基于分布数据集的联邦学习模型。
两个过程：模型训练和模型推理。
在模型训练中模型相关的信息可以在各方交换（或者以加密形式交换）联邦学习是具有以下特征的用来建立机器学习模型的算法框架有两个或以上的联邦学习参与方协作构建一个共享的机器学习模型。
每一个参与方都拥有若干能够用来训练模型的训练数据在联邦学习模型的训练过程中，每一个参与方拥有的数据都不会离开参与方，即数据不离开数据拥有者联邦学习模型相关的信息能够以加密方式在各方之间进行传输和交换，并且需要保证任何一个参与方都不能推测出其他方的原始数据联邦学习模型的性能要能够充分逼近理想模型（指通过所有训练数据集中在一起并训练获得的机器学习模型）的性能。
一．联邦学习总览1.联邦学习背景介绍当今，在几乎每种工业领域正在展现它的强大之处。
然而，回顾AI的发展，不可避免地是它经历了几次高潮与低谷。
AI将会有下一次衰落吗？什么时候出现？什么原因？当前大数据的可得性是驱动AI上的public interest的部分原因：2016年AlphaGo使用20万个游戏作为训练数据取得了极好的结果。
然而，真实世界的情况有时是令人失望的：除了一部分工业外，大多领域只有有限的数据或者低质量数据，这使得AI技术的应用困难性超出我们的想象。
有可能通过组织者间转移数据把数据融合在一个公共的地方吗？事实上，非常困难，如果可能的话，很多情况下要打破数据源之间的屏障。
由于工业竞争、隐私安全和复杂的行政程序，即使在同一公司的不同部分间的数据整合都面临着严重的限制。
几乎不可能整合遍布全国和机构的数据，否则成本很高。
基于机器学习的时序数据预测方法研究综述
基于机器学习的时序数据预测方法研究综述基于机器学习的时序数据预测方法研究综述一、引言时序数据是在时间序列上进行测定和记录的数据，其具有时间维度的特性。
时序数据的预测在许多领域中都具有重要意义，如金融市场分析、天气预报、交通流量预测等等。
机器学习作为一种数据驱动的方法，近年来在时序数据预测中得到了广泛应用。
本文对基于机器学习的时序数据预测方法进行综述，包括传统的机器学习方法和深度学习方法。
二、传统的机器学习方法1. 自回归移动平均模型（ARIMA）ARIMA模型是一种经典的线性模型，被广泛应用于时序数据预测。
它假设数据的未来值只与过去的观测值相关，通过拟合当前的自回归和移动平均分量来进行预测。
ARIMA模型具有良好的建模能力和较高的准确度，但对于非线性和非平稳的时序数据效果较差。
2. 支持向量回归（SVR）SVR是一种监督学习算法，通过将高维特征映射到高维空间中实现非线性回归。
SVR模型通过寻找一个最优化超平面，将输入样本与目标输出拟合得最好。
SVR具有较好的稳定性和泛化能力，但在大规模时序数据的处理上存在较大计算复杂度。
3. 随机森林（RF）随机森林是一种集成学习方法，通过建立多个决策树进行预测，并通过集成模型的方法得到最终的预测结果。
随机森林模型具有较高的准确度，对于处理高维、非线性的时序数据具有较好的性能。
然而，随机森林模型的计算复杂度较高，在大规模时序数据预测中消耗较多的时间和资源。
三、深度学习方法1. 循环神经网络（RNN）RNN是一种特殊的神经网络结构，对于时序数据的建模具有独特的优势。
它通过引入记忆单元的结构，能够在处理时序数据时考虑到之前的状态。
RNN模型在时序数据预测中具有较强的表达能力，能够捕捉到时序数据的时序关系，从而实现较好的预测效果。
但RNN模型容易出现梯度消失和梯度爆炸等问题，限制了其在长时序数据预测中的应用。
2. 长短期记忆网络（LSTM）LSTM是一种RNN的变种，通过引入门控机制解决了RNN模型中的梯度问题。
机器人学习方法综述
1069北京大学学报(自然科学版) 第59卷 第6期 2023年11月Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 59, No. 6 (Nov. 2023) doi: 10.13209/j.0479-8023.2023.086机器人学习方法综述曲威名1,* 刘天林1,* 林惟凯1 罗定生1,2,†1. 北京大学智能学院, 北京 100871;2. 北京大学武汉人工智能研究院, 武汉 430073;* 同等贡献作者; † 通信作者摘要 介绍与机器人学习有关的基本概念与核心问题, 梳理机器人学习的相关方法和最新进展。
依据数据类型, 将机器人学习的方法分为基于强化学习的方法、基于模仿学习的方法、基于迁移学习的方法和基于发展学习的方法, 并对相关研究进行总结和分析, 探讨机器人学习领域目前存在的挑战和未来发展趋势。
关键词 机器人学习; 强化学习; 模仿学习; 迁移学习; 发展学习A Review of Robot LearningQU Weiming 1,*, LIU Tianlin 1,*, LIN Weikai 1, LUO Dingsheng 1,2,†1. School of Intelligence Science and Technology, Peking University, Beijing 100871;2. PKU-Wuhan Institute for Artificial Intelligence,Abstract The basic concepts and core issues related to robot learning are introduced and discussed, and the relevant researches are summarized and analyzed. Through comparing the relevant methods and recent progress, the authors classify the methods of robot learning into four categories based on data types and learning methods, namely reinforcement learning approach, imitation learning approach, transfer learning approach and developmental learning approach. Finally, current challenges and future trends in robot learning are listed.Key words robot learning; reinforcement learning; imitation learning; transfer learning; developmental learning机器人学是一门综合计算机科学、运动学和动力学、传感技术、控制技术以及认知发展理论等众多科学理论的交叉学科。
机器学习中的特征降维方法综述
机器学习中的特征降维方法综述特征降维是机器学习领域中一项重要的技术，它可以有效地减少数据集的维度，去除冗余信息，提高模型训练的效率和准确度。
在机器学习的应用中，数据常常包含大量的特征，其中许多特征可能是冗余的或者无关的，这些特征会导致模型复杂度的增加，而降维则能够帮助我们去除这些不必要的特征，提高模型的性能。
本文将对机器学习中常用的特征降维方法进行综述，介绍它们的原理、优缺点以及适用场景。
1. 主成分分析(PCA)主成分分析是一种无监督的降维方法，它通过线性变换将高维的数据映射到低维空间中。
主成分分析的目标是寻找一组新的变量，它们能够最大化数据的方差，并且彼此之间互不相关。
通过降维，数据的主要信息可以更好地被保留下来。
主成分分析的优点是简单易用，计算效率高，但是它假设样本数据符合高斯分布，并且只适用于线性关系的数据。
2. 线性判别分析(LDA)线性判别分析是一种有监督的降维方法，它将样本映射到低维空间中，同时最大化类别之间的差异性和最小化类别内部的差异性。
与主成分分析不同，线性判别分析考虑了样本的类别信息，因此在分类任务中更为有效。
线性判别分析适用于二分类或多分类问题，它可以将样本映射到一个维度更低的空间中，并且保留了类别之间的信息。
3. 特征选择(Feature Selection)特征选择是一种通过选择子集的方式来降低特征维度的方法，它通过评估特征与目标变量之间的相关性来选择最具有代表性的特征子集。
特征选择的优点是可以保留原始特征的解释性，减少特征维度的同时并不丢失重要的信息。
常见的特征选择方法包括过滤式方法、包裹式方法和嵌入式方法。
过滤式方法主要根据特征的统计指标进行选择，如相关系数、卡方检验等；包裹式方法通过训练一个评估器来选择最佳的特征子集；嵌入式方法将特征选择作为模型训练的一部分，例如L1正则化的逻辑回归。
4. 非负矩阵分解(NMF)非负矩阵分解是一种用于处理非负数据的降维方法，它可以将原始的矩阵分解为两个非负矩阵的乘积。
量子机器学习算法综述
量子比特（qubit）可以是状态的线性组合，即叠加态。它可以落在 之外。即：
其中α和β是复数，满足
的约束条件。
在经典比特中，可以通过检查位来确定它处于0或1状态。但在量子
比特中，不可能通过检查来检查其量子态。量子力学表明只能获得有关
量子态的有限信息。也就是说，通过测量量子位，获得0的概率是α2，并 且获得1的概率是β2。
图1 量子比特的Bloch球表示
量子比特包含无限的信息，就像Bloch球（如图1）所代表的量子比
特一样。然而，量子位的测量行为改变了量子位的状态，即从
的
叠加状态坍缩到与测量结果相容的状态。也就是说，量子比特意味着大
ELECTRONICS WORLD・探索与观察
量的信息，并且随着量子比特数的增加，隐藏信息将呈指数 增长；当进行测量后，会表现为特定状态（朱轩溢，多量子 位量子小波变换算法及其仿真实现，江南大学硕士学位论 文，2008年）。 2.1.2 量子门
• 24 •
本文遵循量子机器学习的最新发展：以哈佛大学物理系学者等人于2018 年10月在arxiv数据库挂出的量子卷积神经网络为例，探究新兴交叉研究领域 量子机器学习，紧跟前沿领域，并初步探寻交叉学科量子计算
机器学习中的数据采样方法综述
机器学习中的数据采样方法综述数据采样是机器学习中常用的一种技术，用于从大规模数据集中选择一部分样本进行训练和模型构建。
在机器学习中，数据的采样被认为是一个重要的步骤，它可以影响模型的性能和准确度。
本文将综述机器学习中的数据采样方法，包括随机采样、均匀采样、过采样和欠采样等。
随机采样是最常见的一种数据采样方法，它从原始数据集中随机选择一部分样本。
随机采样的优点是简单易行，不需要额外的计算步骤，能够在较短的时间内得到采样结果。
然而，随机采样的缺点是可能会选择到重复或不够具有代表性的样本，导致模型的偏差或过拟合。
均匀采样是一种根据数据分布实现的采样方法，它通过考虑数据的分布情况，在采样过程中更加注重样本的平衡性和多样性。
均匀采样方法通常采用启发式算法，根据数据分布的频率或概率选择采样样本。
相比随机采样，均匀采样能够得到更具代表性的样本集，提高了模型的泛化能力。
过采样和欠采样是两种常用的解决数据不平衡问题的方法。
在机器学习任务中，数据不平衡指的是某个类别的样本数量远远少于其他类别的样本数量。
过采样方法通过增加少数类别的样本数量来平衡数据集，常用的过采样方法包括SMOTE和ADASYN等。
欠采样方法则是减少多数类别的样本数量，使得不同类别的样本数量相对均衡，常用的欠采样方法包括随机欠采样和基于聚类的欠采样等。
近年来，深度学习模型在机器学习任务中取得了很大的成功，然而，深度学习模型对数据的规模和质量要求较高。
在大规模数据集上训练深度学习模型需要消耗大量的时间和计算资源，而且对于噪声和异常样本较为敏感。
因此，在深度学习中数据采样也是非常重要的。
由于深度学习模型通常拥有较大的容量和较高的表达能力，针对小样本数据集的数据增强方法如旋转、平移和缩放等变换也常被使用。
除了传统的数据采样方法之外，近年来还涌现出一些创新的数据采样方法，例如主动学习、增量学习和元学习等。
主动学习通过主动地选择最具信息量的样本来进行训练，以提高模型的准确度和泛化性能。
机器学习技术研究进展综述(收藏版)
机器学习技术研究进展综述度量学习度量是计量的准则。
脱离度量，收集的数据、分析的结果也就丧失了物理意义和现实指征。
而距离的度量对众多机器学习方法的性能都起到了决定性作用：例如在分类方法中，K近邻分类器、使用了高斯核的核方法；在聚类方法中，K均值聚类、谱聚类方法都与距离度量密切相关。
一般来说，对于任意样本x, y, z而言，距离度量函数需要满足自反（任意样本到自身的距离为0）、对称（x到y的距离等于y到x的距离）、非负（任意样本对之间的距离大于等于0）以及直递（三个样本之间的距离满足三角不等式）等性质。
为了适应不同的具体应用场景，人们提出了诸如闵可夫斯基距离（欧几里得距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离均为其特例）、马氏距离、海明距离等距离度量函数，并针对某些特定问题，提出了一些衍生距离度量，例如，动态时间规整距离DTW错误!未找到引用源。
, 推土机距离EMD错误!未找到引用源。
等。
随着机器学习应用面的日益拓展，通过人工设计或定义特定的衍生距离度量函数未必吻合面对的问题，因此，通过学习获得问题相关的度量成为研究主题，卡内基梅隆大学机器学习系的邢波教授于2003年提出了距离度量学习错误!未找到引用源。
在随后的10余年里，各类距离度量学习方法不断被提出，并在诸如社交网络连接预测、强化学习的状态连接学习、信息检索与推荐、身份验证、甚至医疗效果评估等方面都获得了广泛应用。
对距离度量学习的研究首先始于对马氏距离的深入探讨。
对于任意两个d维样本，其马氏距离的平方定义为.其中M是度量矩阵，并且为了保持距离的非负对称性，M应当为对称半正定矩阵。
一般的距离度量学习针对度量矩阵M展开。
例如：E. Xing等人提出的距离度量学习方法在已知某些样本在语义层面相似、某些样本相异的语境下，通过引入必连（must-link）和勿连（cannot link）约束集概念（分别记为和，即相似样本组成的样本对属于必连约束集、相异样本对属于勿连约束集），学习出一个满足给定约束的度量矩阵，为此设法学到一个M，使相似样本间距离尽量小、同时相异样本间距离尽量大，即优化如下式所列的约束优化问题错误!未找到引用源。
机器学习综述
机器学习综述
机器学习是一门涉及计算机思想和自动化机器能够自动“学习”和“改进”的学科。
它将人工智能与数据分析和算法结合起来，使计算机能够学习从数据中获得的知识。
它可以用来解决各种各样的问题，包括预测、分类、聚类、推理、优化和模式识别等。
机器学习由三个主要部分组成：表征学习、统计学习和计算学习。
它们共同构成机器学习框架，可以帮助计算机解决问题。
机器学习领域的研究正在越来越加强，并且为新兴领域如深度学习、大数据分析、自然语言处理和计算机视觉提供了重要的基础。
机器学习论文
现代机器学习理论论文题目：综述机器学习与支持向量机学院：电子工程学院专业：学号：学生姓名：综述机器学习与支持向量机摘要机器学习是研究计算机怎样模拟或实现人类的学习行为，以获取新的知识或技能，重新组织已有的知识结构使之不断改善自身的性能，它是人工智能的核心，是使计算机具有智能的根本途径。
基于数据的机器学习是现代智能技术中的重要方面，研究从观测数据出发寻找规律，利用这些规律对未来数据或无法观测的数据进行预测，包括模式识别、神经网络等在内，现有机器学习方法共同的重要理论基础之一是统计学。
支持向量机是从统计学发展而来的一种新型的机器学习方法，在解决小样本、非线性和高维的机器学习问题中表现出了许多特有的优势，但是，支持向量机方法中也存在着一些亟待解决的问题，主要包括：如何用支持向量机更有效的解决多类分类问题，如何解决支持向量机二次规划过程中存在的瓶颈问题、如何确定核函数以及最优的核参数以保证算法的有效性等。
本文详细介绍机器学习的基本结构、发展过程及各种分类，系统的阐述了统计学习理论、支持向量机理论以及支持向量机的主要研究热点，包括求解支持向量机问题、多类分类问题、参数优化问题、核函数的选择问题等，并在此基础上介绍支持向量机在人脸识别中的应用，并通过仿真实验证明了算法的有效性。
关键词：机器学习；统计学习理论；SVM；VC维；人脸识别The Summarization of Machine Learning and Support Vector MachineABSTRACTMachine learning is to study how a computer simulates or realizes human behaviors to acquire new information and skills, then rebuilds its knowledge structure to improve itself capability constantly. It is the core of Artificial Intelligence，and is the underlying way in which a computer develops intelligence.Machine learning based on data is one of the most important aspects of modern intelligence technology. It is to investigate how to find a rule starting from data observation, and use the rule to predict future data and unavailable data. Statistics is one of the most common important theory elements of the existing methods of machine learning, including Pattern Recognition and Neural Networks.SVM(Support Vector Machine) is a novel method of machine learning evoling from Statistics. SVM presents many own advantages in solving machine learning problems such as small samples, nonlinearity and high dimension. However, SVM methods exist some problems need to be resolved, mainly including how to deal with multi-classification effectively, how to solve the bottle-neck problem appearing in quadratic programming process, and how to decide kernel function and optimistical kernel parameters to guarantee effectivity of the algorithm.This paper has introduced in detail the structure, evolvement history, and kinds of classification of machine learning, and demonstrated systemly SLT(Statistical Learning Theory), SVM and research hotspots of SVM, including seeking SVM problems, multi-classification, parameters optimization, kernel function selection and so on. The application on human face recognition has been introduced based on above theory, and the simulation experiment has validated the algorithm.Keywords: Machine learning, SLT, SVM, VC dimension, Human face recognition目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1.绪论 (1)1.1研究背景及意义 (1)1.1.1 机器学习概念的出现 (1)1.1.2支持向量机的研究背景 (1)1.2本文主要内容 (3)2.机器学习的结构及分类 (4)2.1机器学习定义及发展 (4)2.2机器学习系统的基本结构 (5)2.3机器学习的分类 (6)2.4目前研究领域 (9)3.支持向量机的原理 (10)3.1统计学习理论 (10)3.1.1机器学习问题 (10)3.1.2统计学理论的发展与支持向量机 (11)3.1.3VC维理论 (12)3.1.4推广性的界 (12)3.1.5结构风险最小化原则 (13)3.2支持向量机理论 (14)3.2.1最优分类面 (16)3.2.2标准支持向量机 (18)4.支持向量机的主要研究热点 (20)4.1支持向量机多类分类方法 (20)4.2求解支持向量机的二次规划问题 (23)4.3核函数选择及其参数优化 (25)5.支持向量机的算法仿真 (27)5.1人脸识别的理论基础 (27)5.2基于PCA方法和SVM原理的人脸识别仿真 (28)6.参考文献 (33)1.绪论1.1研究背景及意义1.1.1 机器学习概念的出现学习是人类具有的一种重要智能行为，但究竟什么是学习，长期以来却众说纷纭。
基于机器学习的基数估计技术综述
基于机器学习的基数估计技术综述1. 引言基数估计是数据挖掘和统计学中的一个重要问题，它关注的是在一个大规模的数据集中估计唯一元素的数量。
基数估计技术在很多实际应用中发挥着重要的作用，比如网页索引建立、重复数据删除、社交网络分析等。
随着大规模数据的迅速增长，如何高效准确地估计基数成为了一个具有挑战性的问题。
机器学习作为一门重要的人工智能技术，为基数估计提供了新的解决思路。
本文将综述基于机器学习的基数估计技术，并对其进行评估和比较。
2. 基数估计方法的分类基数估计方法可以分为两大类：传统方法和基于机器学习的方法。
传统方法主要包括HyperLogLog、LogLog、Count-Min Sketch等。
这些方法通过压缩数据，利用哈希函数实现基数估计。
而基于机器学习的方法则试图通过机器学习算法训练一个基数估计模型，利用数据集的特征进行基数估计。
3. 基于机器学习的基数估计技术3.1 基于分类算法的基数估计技术基于分类算法的基数估计技术通过将基数估计问题转化为分类问题来解决。
常用的分类算法包括决策树、支持向量机、神经网络等。
这些算法可以通过训练样本中元素的特征来学习一个分类模型，然后利用该模型对新的元素进行分类从而实现基数估计。
3.2 基于聚类算法的基数估计技术基于聚类算法的基数估计技术将基数估计问题转化为聚类问题来解决。
聚类算法可以将相似的元素聚成一类，通过计算聚类的数量来进行基数估计。
常用的聚类算法包括K均值算法、DBSCAN算法等。
4. 基数估计技术的评估和比较为了评估和比较基于机器学习的基数估计技术，研究者通常采用模拟数据集进行实验。
评估指标包括估计误差、准确性和效率等。
通过实验结果的比较和分析，可以得出不同基数估计技术的优劣势，并为实际应用提供参考。
5. 研究挑战和未来发展方向在基于机器学习的基数估计技术的研究过程中，仍然存在一些挑战和问题。
首先，如何利用更丰富的特征信息来提高基数估计的准确性和效率。
基于机器学习的情感分析技术综述
基于机器学习的情感分析技术综述随着社交网络和互联网的发展，人们在网络上产生大量的数据。
这些数据包含着人们的情感与态度，如何从这些数据中获取有价值的信息，成为了信息科学领域中面临的一个重要问题。
在这种背景下，基于机器学习的情感分析技术应运而生。
一、情感分析技术概述情感分析，也称为情感态度识别，是指通过自然语言处理技术，对文本、语音等信息进行分析和处理，从中揭示出信息的情感倾向和情感倾向程度的一种技术。
这个技术被广泛应用在社交网络、论坛、微博、评论等地方，可以帮助企业了解消费者的态度，政府了解民意，推荐系统为用户推荐更符合其兴趣与喜好的产品。
机器学习是一种用于帮助计算机从数据中获取知识的方法。
情感分析技术基于机器学习，可以使计算机自动学习情感词汇和模式，来识别文本信息中的情感倾向。
因此，情感分析技术在大数据背景下发挥了重要的作用。
在情感分析技术中，需要对文本进行预处理，例如去除干扰的符号和停用词，分词等等。
在此基础上，将文本表示成数值型特征向量，以便于机器学习算法对文本进行分类。
在情感分析技术中，最常见的分类有两类：正向与负向。
通常用1表示正向情感，用0表示负向情感。
同时，负向情感的绝对值越大，表明对该信息的负面评价越强。
二、情感分析技术方法2.1 基于规则的情感分析方法基于规则的情感分析方法是指通过语言学规则与人工知识，来识别文本中的情感倾向。
这种方法可以避免数据量小和不均匀所带来的问题，但是它有很多的局限性，无法适应复杂和变化的情景，同时需要大量的人工成本。
2.2 基于情感词典的情感分析方法与基于规则的情感分析方法相比，基于情感词典的情感分析方法在计算效率和实现的难度上更具优势。
这种方法是指将人工标注的情感词典与文本中的词语进行匹配，从而得到文本信息的情感倾向。
情感词典是一种有情感情绪的词语列表，基本上包括积极词和消极词。
情感词典广泛应用于情感分析技术中，其中知名的词典有Liu和Huifeng等人发布的SentiWordNet、Bing Liu发布的Opinion Lexicon以及哈工大发布的情感词典。
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两类最重要的符号机器学习算法包括：覆盖算法与分治算法。覆盖算法有上世纪70年代末Michalski提出的AQ11算法；分治算法以Quinlan提出的决策树算法ID3，及其后继C4.5算法为代表，后者在前者的基础上嵌入了统计方法以增强其泛化能力，大多数已开发的决策树学习算法都是这两种核心算法的变体。
2
机器学习的经典定义是1997年Tom M. Mitchell在“MachineLearning”一书中提出的“计算机利用经验改善系统自身性能的行为。”这是一个相当宽泛的说明，将“机器”限定在“计算机”，而对学习的定义则过于宽泛以致不便理解。人们通常所说的“学习做出比较符合实际的判断、指导和预测。其中有四个关键要素：已知事实、学习方法、新的知识、预判未来。其关系如图1所示。
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放弃：问题过于复杂
其中，符号机器学习方法最初由于其建立的模型是确定的，不具备泛化能力而被认为不具备竞争能力，然而随着海量信息的出现以及对简洁阅读的要求，符号机器学习重新获得生命力。随着统计机器学习理论和技术的完善，连接机器学习渐渐演变为统计机器学习和集成机器学习。遗传机器学习则因为理论和技术上进展缓慢而让位给增强机器学习。分析机器学习则由于至今未能找到理论基础，以及一些当前在理论与技术上暂时无法克服的困难，已基本处于停滞状态。
2.2
集成机器学习的依据是Hebb提出的神经集合体假设，即集成多个分类器，使不同模型补充一个模型的不足。也就是设计一组分类器，其中每个分类器的设计更为简单，而其组合可以获得与单个分类器相同或者更好的泛化能力；另外，对于大多数情况，样本集合很难满足同分布的一致性条件，可以考虑设计多个分类器作为单个分类器的补充，增加其泛化能力。
2.3
增强机器学习(reinforcement learning)的本质是对变化的环境相适应。最早的思想体现在1948年Wiener著作的“控制论”中，逐渐发展成一类重要的研究课题——自适应控制。
将自适应控制的原理应用于机器学习领域就是：设计一组规则，使用这组规则求解问题，如果能够解决当前环境所提出的问题，支持获得这个解答的所有规则就被增强，否则被减弱。这个过程在分类器系统中称为桶队算法。如果所有规则均不能解决环境所提出的问题，就使用遗传算法进行学习，产生新的规则，直到可以适应环境。也就是说，其规则集是动态变化的，使用遗传算法求解问题的同时改变规则集。
模式识别方法中VC维的直观定义是：对一个指示函数集，如果存在h个样本能够被函数集中的函数按所有可能的2h种形式分开,则称函数集能够把h个样本打散；函数集的VC维就是它能打散的最大样本数目h。若对任意数目的样本都有函数能将它们打散，则函数集的VC维是无穷大。有界实函数的VC维可以通过用一定的阈值将它转化成指示函数来定义。
3
获得一组问题空间的观测数据之后，如果不能或者没必要对其建立严格的物理模型，从这组数据推算问题空间的数学模型，在输入输出之间的关系上反映问题空间的实际，而不需要对问题世界做物理解释，这是“黑箱”原理。统计学习理论本质上是“黑箱”原理的延续，其中数学方法是研究的焦点。
传统的统计学要求样本数据数目趋于无穷大，这实际上是一种不可达到的假设，现实世界中，可以获取的样本数目总是有限的。统计学系理论就是一种专门研究小样本情况下机器学习规律的理论。回顾2.2小节所描述的机器学习过程，其描述隐含了三个方面的内容：
1、一致。问题空间W必须和样本空间Q性质相同，才可以根据Q对W进行推测和预判，体现在统计学意义上就是W中的元素满足同分布的一致性条件。
2、划分。正确预判的前提是正确地划分，将Q放到n维空间，要寻找一个定义在这个空间上的决策分界面（等价关系），使得问题决定的不同对象分在不相交的区域。
3、泛化。判断模型M的好坏不仅仅在于对样本空间Q有好的判断效果，更重要的是要对问题空间W有尽量准确的预测效果，即好的推广能力。
M对W的预测正确率，称为M对W的泛化能力或推广能力。机器学习的本质和目的就是要使得M尽可能接近真实，也就是其泛化（推广）能力尽可能强。
然而，机器学习面临的第一个问题就是其问题空间如何表示？即数据描述问题。对于计算机而言，最本质的特征是量化表示以及对数值的处理；对于人类而言，其思考、表达的过程往往借助于语言或图像，而不是数值。由此，诞生了两类不同方向的机器学习领域：基于符号的机器学习，基于数值的机器学习。
（3）
这就是学习理论中的第三个里程碑，从理论上证明了对任意分布ERM原则满足一致性且能保证快速收敛的充分必要条件。
值得一提的是在1968年，Vapnik和Chervonenkis发现了VC维的概念与生长函数之间的重要联系：任意生长函数要么是线性的，此时指示函数集的VC维无穷大；要么就是以一个参数为h的对数函数为上界，此时指示函数集的VC维是有限的且等于h。
图1学习过程
对应于图1，在机器学习领域，已知事实对应于“样本空间”，需要预判的新的事实对应于“问题空间”，所得到的知识对应于“构建的模型”。由此，机器学习可以描述为[3]：
令W是问题空间，(x，y)∈W称为样本，其中，x是一个n维矢量，y是类别域中的一个值。由于观察能力的限制，我们只能获得W的一个真子集，记为Q W，称为样本集合。根据Q建立模型M，并期望M对W中的所有样本预测的正确率大于一个给定的常数θ。
1989年，Carbonell指出机器学习有4个研究方向：符号机器学习、连接机器学习、遗传机器学习与分析机器学习。十年过去后，1999年，Dietterich提出了另外4个新的研究方向：符号机器学习、统计机器学习、集成机器学习、增强机器学习。其关系如表1所示[4]。
表1机器学习研究方向变迁
Carbonell，1989
Rough set理论和统计学习理论可以在不增加计算复杂性的条件下，分别描述符号机器学习和统计机器学习（集成机器学习可以理解为统计机器学习在技术上的变种）。这两个理论有坚实的数学基础，因此大大减少了算法设计的随意性，并且使比较已有的各种机器学习算法有了理论基础。增强机器学习理论研究还存在很大困难。
本文重点关注以统计学习理论为基础的统计机器学习。
目前，这个研究路线进展缓慢，主要是改进桶队算法中利益均分的策略。如果将这种利益变换为对状态的评价，这个问题则变换为一个Markov过程。20世纪90年代初，Sutton将这类机器学习建立在Markov过程上，称为增强机器学习方法。
2.4
历史上，机器学习基本是在经验范畴内进行研究的，随意性非常大。Internet的普及带来海量数据现象，如何从大量数据中提取有用的信息和知识面临巨大的需求空间，有力地推动了机器学习研究。20世纪80年代奠定了统计学习理论、Rough set理论、适应性理论等理论基础，在机器学习的研究和应用中起着重要的指导作用。
本文在简略介绍符号机器学习、集成机器学习、增强机器学习的基础上，重点介绍统计机器学习。
2.1
最早的符号机器学习源于1959年Solomonoff关于文法归纳的研究，给定一组语句实例，求出有关文法。传统意义下，这类机器学习也以泛化能力作为主要指标。然而事实上，这类建模方法不建立在统计基础上，不具备泛化能力。1967年，Gold证明了这类学习在理论上存在不可逾越的障碍。
一般地说，机器学习的统计基础是经验风险最小化原则（Empirical Risk Minimization，ERM）。
令期望风险为：
经验风险为：
其中，xi独立同分布于概率密度函数P(x,y)。
根据统计学中的大数定律，样本个数 趋于无穷大时，经验风险 依概率收敛于期望风险 ，所以传统的机器学习算法一般以经验风险 最小作为目标函数。1971年，Vapnik指出经验风险 的下界未必依概率收敛于期望风险 的下界，也就是说将 作为目标函数是不合理的。Vapnik进一步证明了经验风险 的下界依概率收敛于期望风险 的下界当且仅当经验风险 依概率一致收敛于期望风险 （即泛函空间的大数定律）。这就是有限样本的统计理论。这个统计理论可以用函数集的VC维来描述，这样，机器学习的目标函数就建立在函数集的结构之上，而不是均方差之类的最小经验风险之上。这是统计机器学习理论的精髓。
1960年Widrow提出Madline可以视为集成机器学习的最早雏形，1984年Valiant提出PAC模型（Probably approximately correct model），1990年Schapire提出了弱学习定理，1995年Freund和Schapire提出了AdaBoost算法，在上述研究成果的基础上，逐渐形成了泛化理论。
机器学习
曹晓敏
摘要：机器学习是计算机领域最活跃，最有潜力的方向之一。本文概述了机器学习当前研究的几个方向：符号机器学习、集成机器学习、增强机器学习、统计机器学习，梳理了各自的理论基础。在此基础上，以统计机器学习为重点，就其一致性、收敛性、推广性以及构造算法的原则四个核心方面进行了综述，最后提出几点思考和建议。
3.2
在学习过程的一致性、收敛性研究中，还涉及到三个重要概念：VC熵，退火的VC熵，生长函数。这里均以模式识别问题的指示函数为例进行说明，实函数集的情况是指示函数集情况的推广。
设Q(z,α)，α 是一个指示函数集，考虑样本 ，定义一个量 ，代表用指示函数集中的函数能够把给定的样本分成多少种不同的分类，即表征函数集在给定数据集上的多样性。则
然而，这个条件并没有对收敛速度给出证明。接下来，Vapnik和Chervonenkis找到了收敛速度快的充分条件，如下式（2）。
（2）
这一等式是学习理论的第二个里程碑：保证了收敛有快的渐近速度。
至此，式1和式2对一致性以及收敛速度有了理论保证，然而这些都是和给定分布相关的。如何保证对于任意的分布，ERM原则是一致的，且同时有快的收敛速度？下式（3）给出了任意分布下一致且快速收敛的充分必要条件：