高中数学专题复习数学归纳法的解题应用知识点例题精讲

数学归纳法的解题运用

【高考能力要求】

数学归纳法是证明与自然数有关的问题，在近年的高考题中，一般不作单独的考题，而是以应用为主，且常与数列、函数、不等式、导数等结合起来进行考查，主要考查归纳、猜想、证明的数学思想方法，若出现在押轴题中则往往难度较大，分值为7分左右。涉及的主要解题方法是先求出它的前几项,找出其规律、归纳出其共有形式(如问题的一般规律、结构特征等)，才能作出正确的猜想,然后用数学归纳法加以证明.其解题模式是:归纳⇒猜想⇒证明。在用数学归纳法证明时，要注意正确掌握数学归纳法原理和证明步骤，特别在证明不等式时要注意结合不等式证明的放缩法、分析法等方法。 【例题精讲】

【例1】已知函数)(x f 满足1)1(),0,,()()(=≠∈+=f b R b a b x af x xf ，且使

x x f =)(成立的实数x 是唯一的。

（1） 求函数)(x f 的解析式、定义域、值域； （2） 如果数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12)

(++=

n a f n

S n n ，试求此数列的通项公式。

分析：（1）由1)1(=f 及x x f =)(有唯一解建立关于b a ,的方程组，解出b a ,即可；（2）利用n n n S S a -=++11将已知条件转化为1+n a 与n a 的递推关系式，从而猜想出

n a 的表达式并用数学归纳法加以证明。

解：（1）a

x b

x f -=

)(，∵ b a f =-⇒=11)1( ① 由x x f =)(得 02=--b ax x 有唯一解，∴ 042=+=∆b b ② 由①②得 1,2-==b a ，∴x

x f -=

21

)(，其定义域为{}2|≠x x ，值域为{}0|≠y y

（2）∵ 12)(++=

n a f n S n n ，x

x f -=21

)(，∴n n n na n n a n S -+=++-=)14(12)2(，

当1=n 时，2

5

5111=

⇒-=a a S 。 ∵n n na n S -+=)14(，∴11)1()54(+++-+=n n a n n S ， 两式相减，得 2

4

24)1(111++

+=⇒+++-=-+++n a n n a na a n S S n n n n n n ， ∴ 12

25

,61332=

=

a a ，猜想：)1(12++=n n a n ，下面用数学归纳法证明。 ① 当1=n 时，猜想成立；

② 假设当k n =时猜想成立，即)

1(1

2++

=k k a k ，

由当1+=k n 时，+++=+++++=+++=

+2

4224])1(12[22421k k k k k k k k a k k a k k ]

1)1)[(1(1

2)2)(1(1++++=++k k k k ，即1+=k n 时猜想成立。

由①②知)

1(1

2++

=n n a n 对*∈N n 成立。

说明：观察、归纳、猜想、证明是解决数列综合题的重要方法，也是考查数学能力的途径之一，本题体现了通过特殊情况的分析、归纳猜想出一般结论，再用数学归纳法证明的数学思维方法。

【例2】在x 轴上有点列{}*∈N n a A n n |)0,(，其中{}n a a ,00=为递增数列，以1+n n A A 为一边的正三角形的另一顶点n B 在曲线x y =上，求：（１）321,,a a a ；（２）归纳出n a 的通项公式并加以证明；

分析：由1+∆n n n A B A 为正三角形的几何性质可建立1+n a 与n a 的递推关系式，从而求得321,,a a a ，然后猜想n a 的表达式并用数学归纳法加以证明。 解：设),(n n n y x B ，则由已知)(2

3

),(2111++-=+=

n n n n n n a a y a a x ，

∴

3

11213)(21

)(23111+++=⇒+=-+++n n

n n n n n a a a a a a a ， （1） 由00=a 得 3

12

,36,32321===a a a ； （2） 猜想3

)

1(+=

n n a n ，下面用数学归纳法证明： ①当1=n 时命题成立；

②假设当k n =时命题成立，即3

)

1(+=

k k a k ，则当1+=k n 时， 3

)

2)(1()23(31)1441(31]13)1(1213)1(3[3131

12132221++=

++=+++

++=++⋅+++⋅=+++=

+k k k k k k k k k k k k a a a k k k ， 即当1+=k n 时，命题也成立。 ∴ 对*∈N n 都有 3

)

1(+=

n n a n 成立。 说明：本题结合几何条件建立递推关系，通过归纳、猜想、证明的解题方法加以解决，这是用数学归纳法解决以几何为背景的数列问题的常用策略。 【例3】（04辽宁）已知函数223)(x ax x f -

=的最大值不大于6

1

，又当 .81

)(,]21,41[≥∈x f x 时

（1）求a 的值； （2）设.1

1

.),(,21011+<∈=<

<++n a N n a f a a n n n 证明 分析：（1）由二次函数的性质可求出函数的最大值，再根据条件建立a 满足的条件组，从而可求出a 的值；（2）由函数)(x f 的解析式可得出数列{}n a 的递推关系式，然后用数学归纳法去证明所证不等式。

（1） 解：由于6)3(2323)(222a a x x ax x f +--=-=的最大值不大于,6

1

所以 .1,6

1

6)3(22≤≤=

a a a f 即 ①