2015-2016年四川省广安市邻水中学高一上学期数学期中试卷和解析

2015-2016学年四川省广安市邻水中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（5×12=60分）1．（5.00分）已知集合A={1，a，5}，B={3，b，8}，若A∩B={1，3}，则a+b 的值为（）A．4 B．6 C．7 D．82．（5.00分）集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且B⊆A，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或03．（5.00分）下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A．y=x0与y=1 B．y=x与y=C．y=x与y=D．y=|x|与y=4．（5.00分）已知函数y=，其定义域为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]D．[1，2）∪（2，+∞）5．（5.00分）下列函数中，在R上是偶函数，且在（0，+∞）上为单调递增函数的是（）A．y=x3 B．y=2|x|C．y=﹣x2+1 D．y=6．（5.00分）函数y=a x﹣1+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（）A．（1，1） B．（1，3） C．（2，0） D．（4，0）7．（5.00分）已知a=log3650.99、b=1.01365、c=0.99365，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a8．（5.00分）函数f（x）=log2x+x﹣2的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）9．（5.00分）函数y=2|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5.00分）已知函数f（x）=g（x+1）﹣2x为定义在R上的奇函数，则g（0）+g（1）+g（2）=（）A．1 B．C．D．311．（5.00分）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3时，f（x）=2x﹣3．若函数f（x）在区间（k﹣1，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为（）A．2或﹣7 B．2或﹣8 C．1或﹣7 D．1或﹣812．（5.00分）已知函数，其中m为函数的最小值，n为函数的最大值，且对任意x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是（）A． B．（1，2]C． D．二、填空题（4×4=16）13．（4.00分）如果f（x）=那么f（f（1））=．14．（4.00分）函数y=log2（x2﹣1）的单调增区间是．15．（4.00分）已知函数f（x）=x5﹣m是定义在[﹣3﹣m，7﹣m]上的奇函数，则f（m）=．16．（4.00分）给出以下结论：①函数在其定义域内是减函数②函数y=x2﹣2x的零点只有两个③若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则函数f（2x）的定义域为[1，2]④若函数f（x）=lg（x2+mx+1）（m∈R）的值域为R，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），其中说法正确的序号是．（请把正确的序号全部写上）三、解答题（74分）17．（12.00分）①计算：；②已知，求的值．18．（12.00分）已知全集为实数集R，集合A={x|y=+}，B={x|log2x＞1}．（Ⅰ）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（Ⅱ）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．19．（12.00分）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．20．（12.00分）已知二次函数f（x）的最小值为1，f（0）=f（2）=3，g（x）=f （x）+ax（a∈R）．①求f（x）的解析式；②若函数g（x）在[﹣1，1]上不是单调函数，求实数a的取值范围．21．（12.00分）已知函数f（x）=﹣x2+mx+1，（x∈R）①求f（x）在[﹣1，1]上的最小值．②对于函数y=g（x）在定义域内给定区间[a，b]，如果存在x0（a＜x0＜b）满足，则称函数g（x）是区间[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个“均值点”．如函数y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）是区间[﹣1，1]上的平均值函数，求实数m的取值范围．22．（14.00分）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且x＜0时，f（x）＜0，f（﹣1）=﹣2（1）求证：f（x）为奇函数；（2）试问f（x）在x∈[﹣4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年四川省广安市邻水中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分）1．（5.00分）已知集合A={1，a，5}，B={3，b，8}，若A∩B={1，3}，则a+b 的值为（）A．4 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵A={1，a，5}，B={3，b，8}，且A∩B={1，3}，∴a=3，b=1，则a+b=3+1=4，故选：A．2．（5.00分）集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且B⊆A，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0【解答】解：∵B⊆A，∴①若B=∅，m=0；②若B={﹣1}，m=﹣1；③若B={1}，m=1；故实数m的值为：1或﹣1或0；故选：D．3．（5.00分）下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A．y=x0与y=1 B．y=x与y=C．y=x与y=D．y=|x|与y=【解答】解：对于A，函数y=x0=1（x≠0），与y=1（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，函数y=x（x∈R），与y==|x|（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数；对于C，函数y=x（x∈R），与y=（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于D，函数y=|x|（x∈R），与y==x（x≠0）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数．故选：C．4．（5.00分）已知函数y=，其定义域为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]D．[1，2）∪（2，+∞）【解答】解：由题意得：，解得：x≤1且x≠﹣2，故选：C．5．（5.00分）下列函数中，在R上是偶函数，且在（0，+∞）上为单调递增函数的是（）A．y=x3 B．y=2|x|C．y=﹣x2+1 D．y=【解答】解：A．y=x3为奇函数；B．y=2|x|为偶函数，x＞0时，y=2x单调递增，即该选项正确；C．y=﹣x2+1在（0，+∞）上单调递减；D．y=，x＞0时，x增大，x2增大，∴减小，∴该函数在（0，+∞）上单调递减．故选：B．6．（5.00分）函数y=a x﹣1+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（）A．（1，1） B．（1，3） C．（2，0） D．（4，0）【解答】解：由x﹣1=0，解得x=1，此时y=1+2=3，即函数的图象过定点（1，3），故选：B．7．（5.00分）已知a=log3650.99、b=1.01365、c=0.99365，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：根据对数函数y=log365x单调递增，指数函数y=1.01x单调递增，y=0.99x 单调递减得，a=log3650.99＜log3651=0，即a＜0；b=1.01365＞1.010=1，即b＞1；c=0.99365＜0.990=1，即c＜1且c＞0，所以c∈（0，1）．综合以上分析得，a＜0＜c＜1＜b，故选：A．8．（5.00分）函数f（x）=log2x+x﹣2的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：函数f（x）=log2x+x﹣2在（0，+∞）上连续，f（1）=0+1﹣2＜0；f（2）=1+2﹣2＞0；故函数f（x）=log2x+x﹣2的零点所在的区间是（1，2）；故选：B．9．（5.00分）函数y=2|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x=1时，|x﹣1|取最小值0，此时函数y=2|x﹣1|取最小值1，故A，C，D均不满足故选：B．10．（5.00分）已知函数f（x）=g（x+1）﹣2x为定义在R上的奇函数，则g（0）+g（1）+g（2）=（）A．1 B．C．D．3【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x），特别地，当x=0时，得到f（0）=0．由f（x）=g（x+1）﹣2x取x=0，所以f（0）=g（1）﹣1，所以g（0）=1．再分别令x=﹣1和x=1，得：f（﹣1）=g（0）﹣2﹣1，f（1）=g（2）﹣2，两式相加得f（﹣1）+f（1）=g（0）﹣2﹣1+g（2）﹣2，且f（﹣1）+f（1）=0，∴f（0）+g（2）=，所以g（0）+g（1）+g（2）=1+=．故选：C．11．（5.00分）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3时，f（x）=2x﹣3．若函数f（x）在区间（k﹣1，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为（）A．2或﹣7 B．2或﹣8 C．1或﹣7 D．1或﹣8【解答】解：作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间在（1，2）．∵f（1）=21﹣3=﹣1＜0，f（2）=22﹣3=1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，∴有零点的区间是（1，2），因定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，故另一个零点的区间是（﹣8，﹣7），则k的值为2或﹣7．故选：A．12．（5.00分）已知函数，其中m为函数的最小值，n为函数的最大值，且对任意x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是（）A． B．（1，2]C． D．【解答】解：，x≥1，设=t，t≥0，则g（t）=2t2+t+2∴g（t）[0，+∞）为增函数，∴g（t）min=g（0）=2，∴m=2，∵y=1﹣x2在（﹣∞，0）为增函数，在（0，+∞）为减函数，y=3x在R上为增函数∴函数在（﹣∞，0）为增函数，在（0，+∞）为减函数，∴h（x）max=h（0）=3，∴n=3，∵对任意x1≠x2，都有成立，∴f（x）在R上为减函数，∴当x≥1时，f（x）=log a x为减函数，∴0＜a＜1，∵当x＜1时，f（x）=2x2﹣8ax+3也为减函数，∴≥1，∴a≥，综上所述a的取值范围为（0，]，故选：A．二、填空题（4×4=16）13．（4.00分）如果f（x）=那么f（f（1））=5．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=﹣2×1=﹣2，∴f（f（1））=f（﹣2）=（﹣2）2+1=5，故答案为5．14．（4.00分）函数y=log2（x2﹣1）的单调增区间是（1，+∞）．【解答】解：∵函数y=log2（x2﹣1）有意义∴x2﹣1＞0⇒（x+1）（x﹣1）＞0⇒x ＜﹣1或x＞1．∵2＞1∴函数y=log2（x2﹣1）的单调递增区间就是g（x）=x2﹣1的单调递增区间．对于y=g（x）=x2﹣1，开口向上，对称轴为x=0，∴g（x）=x2﹣1的单调递增区间是（0，+∞）．∵x＜﹣1或x＞1，∴函数y=log2（x2﹣1）的单调递增区间是（1，+∞）故答案为（1，+∞）．15．（4.00分）已知函数f（x）=x5﹣m是定义在[﹣3﹣m，7﹣m]上的奇函数，则f（m）=8．【解答】解：∵函数f（x）=x5﹣m是定义在[﹣3﹣m，7﹣m]上的奇函数，∴（﹣3﹣m）+（7﹣m）=0，解得：m=2，故f（x）=x3，故f（m）=f（2）=8，故答案为：8．16．（4.00分）给出以下结论：①函数在其定义域内是减函数②函数y=x2﹣2x的零点只有两个③若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则函数f（2x）的定义域为[1，2]④若函数f（x）=lg（x2+mx+1）（m∈R）的值域为R，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），其中说法正确的序号是③④．（请把正确的序号全部写上）【解答】解：①函数在其定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）内不具有单调性，因此不正确；②函数y=x2﹣2x的图象如图所示，零点有三个，因此不正确．③若函数f（2x）的定义域为[1，2]，∴1≤x≤2，∴2≤2x≤4，由2≤2x≤4，解得1≤x≤2，因此则函数f（2x）的定义域为[1，2]，正确；④若函数f（x）=lg（x2+mx+1）（m∈R）的值域为R，△=m2﹣4≥0，解得m≤﹣2，或m≥2，因此则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），正确．其中说法正确的序号是③④．故答案为：③④．三、解答题（74分）17．（12.00分）①计算：；②已知，求的值．【解答】解：①=﹣﹣2+1=﹣3；②已知，可得x+x﹣1=9﹣2=7．x2+x﹣2=49﹣2=47．==．18．（12.00分）已知全集为实数集R，集合A={x|y=+}，B={x|log2x＞1}．（Ⅰ）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（Ⅱ）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．【解答】解：（Ⅰ）∵A={x|y=+}={x|1≤x≤3}，B={x|log2x＞1}={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x≤3}，∵C R B={x|x≤2}，∴（C R B）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}．…（6分）（Ⅱ）①当a≤1时，C≠∅，此时C⊆A；…（9分）②当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3．…（11分）综合①②，可得a的取值范围是（﹣∞，3]．…（12分）19．（12.00分）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2=1，解得m=0或m=2当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去∴m=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，∴A=[1，4]，B=[2﹣k，4﹣k]，∵A∪B⊆A，∴解得，0≤k≤1故实数K的取值范围为[0，1]20．（12.00分）已知二次函数f（x）的最小值为1，f（0）=f（2）=3，g（x）=f （x）+ax（a∈R）．①求f（x）的解析式；②若函数g（x）在[﹣1，1]上不是单调函数，求实数a的取值范围．【解答】解：①f（0）=f（2）=3；∴f（x）的对称轴为x=1；∴设f（x）=m（x﹣1）2+1；∴f（0）=m+1=3；∴m=2；∴f（x）=2（x﹣1）2+1；②g（x）=2x2﹣（4﹣a）x+3；∴g（x）的对称轴为x=；∵g（x）在[﹣1，1]上不是单调函数；∴；解得0＜a＜8；∴实数a的取值范围为（0，8）．21．（12.00分）已知函数f（x）=﹣x2+mx+1，（x∈R）①求f（x）在[﹣1，1]上的最小值．②对于函数y=g（x）在定义域内给定区间[a，b]，如果存在x0（a＜x0＜b）满足，则称函数g（x）是区间[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个“均值点”．如函数y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）是区间[﹣1，1]上的平均值函数，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+mx+1=﹣（x﹣）2++1，f（x）的图象开口向下，对称轴是x=，若≤﹣1，即m≤﹣2时，f（x）在[﹣1，1]上是减函数，∴f min（x）=f（1）=m；若≥1，即m≥2时，f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f min（x）=f（﹣1）=﹣m；若﹣1＜≤0，即﹣2＜m≤0时，∴f min（x）=f（1）=m；若0＜＜1，即0＜m＜2时，∴f min（x）=f（﹣1）=﹣m；综上，当m≤0时，f min（x）=m；当m＞0时，f min（x）=﹣m．（2）∵函数f（x）是区间[﹣1，1]上的平均值函数，∴存在x0∈（﹣1，1）使得f（x0）==m；由（1）可知当m≤﹣2时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，f max（x）=f（﹣1）=﹣m，f min（x）=f（1）=m，∴不存在x0∈（﹣1，1）使得f（x0）=m；当m≥2时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，f max（x）=f（1）=m，f min（x）=f（﹣1）=﹣m，∴不存在x0∈（﹣1，1）使得f（x0）=m；当﹣2＜m≤0时，f max（x）=f（）=，f min（x）=f（1）=m，∴不存在x0∈（﹣1，1）使得f（x0）=m；当0＜m＜2时，f min（x）=f（﹣1）=﹣m，f max（x）=f（）=，令﹣m＜m≤解得0＜m＜2．综上，实数m的取值范围是（0，2）．22．（14.00分）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且x＜0时，f（x）＜0，f（﹣1）=﹣2（1）求证：f（x）为奇函数；（2）试问f（x）在x∈[﹣4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）．即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，则f（x）是奇函数．（2）解：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，从而f（x1﹣x2）＜0，又f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f[x1+（﹣x2）]=f（x1﹣x2）．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）为R上的增函数，∴当x∈[﹣4，4]时，f（x）必为增函数．又由f（﹣1）=﹣2，得﹣f（1）=﹣2，∴f（1）=2∴当x=﹣4时，f（x）min=f（﹣4）=﹣f（4）=﹣4f（1）=﹣8；当x=4时，f（x）max=f（4）=4f（1）=8．（3）（法一）解：由（2）f（x）在R上是增函数，又由（1）f（x）是奇函数．f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），即：k•3x＜﹣3x+9x+2，即：32x﹣（1+k）•3x+2＞0对任意x∈R成立．令t=3x＞0，问题等价于t2﹣（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．令g（t）=t2﹣（1+k）t+2，当，即k≤﹣1时，g（t）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=2＞0，符合题意；当＞0，即k＞﹣1时，，∴﹣1，综上所述，当k＜﹣1+2时，f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立．（法二）（分离系数）由k•3x＜﹣3x+9x+2得，k＜3x+﹣1，则u=3x+﹣1≥2﹣1，（当且仅当3x=，即3x=时，等号成立）故k＜2﹣1．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。