自动控制原理 吴怀宇 课后习题 第四章

第四章

4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为()(1)(2)

K

G s s s s =++ 试绘制该系统在正、负反馈

情况下的根轨迹图。

解：（1）负反馈情况

令(1)(2)=0s s s ++，解得 3个开环极点1230,1,2p p p ==-=-

根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(2,0)j j j -- 终点均为无穷远处。 在实轴上的根轨迹为(][],2,1,0-∞--两段。

由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标1

1

1n m

i j

i j a p z

n m

σ==-==--∑∑

渐近线与实轴正方向的夹角为2121=3

a k k n m ππ

ϕ++=

-（）（），（k=0,1,2）

当k=0,1,2时，计算得a ϕ分别为60°，180°，-60° 确定分离点，由

111

++=012

d d d ++解得120.42, 1.58d d =-=-由于2d 不是根轨迹上的点，故不是分离点，分离点坐标为1d

确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程32

32=0s s s K +++令=s j ω 代入上式得3

2

32=0j j K ωωω--++ 写出实部和虚部方程

2

3

3=020

K ωωω⎧-⎪⎨-=⎪⎩

可求得=0

06K K ωω⎧⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩

因此，根轨迹在ω=6K =；另外实轴上的根轨迹分支在0ω=处与虚轴相交。负反馈系统根轨迹如下图所示

（2）正反馈情况

令(1)(2)=0s s s ++，解得 3个开环极点1230,1,2p p p ==-=-

根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(2,0)j j j -- 终点均为无穷远处。 在实轴上的根轨迹为[](]2,1,0,--+∞两段。

由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标1

1

1n m

i j

i j a p z

n m

σ==-==--∑∑

渐近线与实轴正方向的夹角为2=

3

a k π

ϕ，（k=0,1,2）

当k=0,1,2时，计算得a ϕ分别为0°，120°，-120° 确定分离点，由

111

++=012

d d d ++解得120.42, 1.58d d =-=-由于1d 不是根轨迹上的点，故不是分离点，分离点坐标为2d

确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程32

32-=0s s s K ++将=s j ω 代入上式得3

2

32-=0j j K ωωω--+ 写出实部和虚部方程

2

3

-3=020

K ωωω⎧-⎪⎨-=⎪⎩

可求得=0

0-6K K ωω⎧⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩ 因此，根轨迹在0ω=处与虚轴相交。正反馈系统根轨迹如下图所示 4-2设系统的开环传递函数为(+)

()(s)()()

K s z G s H z p s s p =>+绘制根轨迹图，证明根轨迹

的复数部分是圆，并求出圆的圆心和半径。

解：系统实轴上的根轨迹为[](],,,0z p -∞- 根轨迹分离点坐标满足

111+=d d p d z

++

解得12d z d z =-=- 系统闭环特征方程2

()+=0s p K s Kz ++

解得1,2=-2p K

s +±

令=-,2p K

x y +=

22

22

22

2()()=(z-)()24

4()()44

p K p K x z z z p K Kz p K p K y Kz +++=-++-++==-

两式相加得222

()=x z y z zp ++- 又分离点d

到开环零点距离r=d z -=

即2222

()r =()x z y d z ++=-

故根轨迹的复数部分是圆，圆心为零点，半径为零点到分离点之间的距离。根轨迹图如下：

4-3已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹图。 （1）(2)()(1)(3)K s G s s s s +=

++ （2）2(1)

()(0.11)

K s G s s s +=+

（3）(5)()(1)(3)K s G s s s +=

++ （4）2

(1)

()K s G s s += （5）2(4)()(1)K s G s s +=

+ （6）2(0.2)

()( 3.6)

K s G s s s +=+

解：（1）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点12z =- 3个开环极点1230,1,3p p p ==-=-

根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(3,0)j j j -- 一个终点为(2,0)j - 另两个终点为无穷远处。

在实轴上的根轨迹为(][]3,2,1,0---两段。

由n=3,m=1得轨迹有2条渐近线，它们在实轴上的交点坐标1

1

1n m

i j

i j a p z

n m

σ==-==--∑∑

渐近线与实轴正方向的夹角为2121=2

a k k n m ππ

ϕ++=

-（）（），（k=0,1）

当k=0,1时，计算得a ϕ分别为-90°，90° 则系统根轨迹如下图所示

（2）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点11z =- 3个开环极点1230,0,10p p p ===-

根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(0,0),(10,0)j j j - 一个终点为(1,0)j - 另两个终点为无穷远处。

在实轴上的根轨迹为[]10,1--段。

由n=3,m=1得轨迹有2条渐近线，它们在实轴上的交点坐标1

1

4.5n m

i j

i j a p z

n m

σ==-=

=--∑∑