7第5章哈密顿原理

第5章哈密顿原理如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。

哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。

将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。

5.1 哈密顿正则方程哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。

我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。

哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。

若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。

哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。

5.1.1 正则方程的建立对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (5-1)引入广义动量),,2,1(k j qL p j j =∂∂=(5-2)代入式(5-1)，有),,2,1(k j q Lpjj =∂∂=(5-3)设拉格朗日函数L 满足条件0det 2≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j ==(5-4)式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程组(5-4)并非正则形式。

引入哈密顿函数),,(1),,(t p q f q j j k j j j j j j j L q p t p q H ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑(5-5)按照Legendre 变换规则，将j q变换成),,2,1(k j p j =，而q i 和t 仍然保持不变，则有 jj p Hq∂∂= (5-6) ),,2,1(k j q Hq L jj =∂∂-=∂∂(5-7)tHt L ∂∂-=∂∂ (5-8)将式(5-7)代入式(5-3)，并与式(5-6)联立，得),,2,1(,k j q H pp H q jj j j =∂∂-=∂∂= (5-9)这就是哈密顿正则方程，是以广义坐标和广义动量为独立变量的2k 个一阶常微分方程。

哈密顿正则方程是关于两类变量q j 和p j 的对偶方程，给出了一种对称的数学结构体系，不但可推广应用到力学的各个领域，还可拓展到物理学的其他领域。

5.1.2 正则方程的积分正则方程也有循环积分和能量积分。

由式(5-5)可见，如果),,(t pq L j j 中不显含某广义坐标q α，则),,(t p q H j j 中也不显含该广义坐标q α。

因此，循环坐标可定义为不显含于函数H 或L 之中的广义坐标。

若q α为循环坐标，则有0=∂∂αq H，由式(5-9)知，0=αp，从而有循环积分 ααC p =（常量）(5-10) 同样，当H 中不显含时间变量t 时，有0=∂∂t H，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∑=j j j j k j p p H q q H t H 1d d 将式(5-9)代入上式，得0d d =tH，因此，有能量积分，H ＝C （常量）。

注意到定常系统中动能T 为广义速度j q的二次齐次函数，有 C V T V T T L qq TH j jkj =+=--=-∂∂=∑=)(21（常量） (5-11)对于定常系统，这意味着机械能守恒；对于非定常系统，则意味着广义能量守恒。

例5-1 试写出图5-1中球面摆的正则方程及其首次积分。

已知球面摆摆长为l ，摆锤质量为m 。

解：取图5-1所示的角θ、ϕ为广义坐标，A 为重力势能的零位置，则系统的拉格朗日函数为θθϕθcos )sin (212222mgl ml V T L ++=-= 广义动量分别为θϕϕθθϕθ222sinml Lp ml Lp =∂∂==∂∂=解得θϕθϕθ222sin ,ml p ml p ==按定义式(5-5)，系统的哈密顿函数为θθθθθϕθϕθϕθϕθϕθcos sin 22cos sin 21sin 222222422422222222mgl ml p ml p mgl l m p l m p ml ml p ml p L p p H -+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-+= 正则方程(5-9)成为θϕθθϕθθ222sin ml p p Hmlp p H=∂∂==∂∂=sin sin cos 322=∂∂-=-=∂∂-=ϕθθθθϕϕθH p mgl ml p Hp 故循环积分为ϕϕC p =（常量）能量积分为 H ＝C （常量）即C mgl ml p ml p =-+θθϕθcos sin 2222222注意：由于系统是定常的，上式也可直接由式(5-11)写出。

5.2 哈密顿原理由动力学普遍方程积分，导出一个哈密顿原理，因此哈密顿原理是在任一有限的时间间隔中区分真实运动与可能运动的准则，是积分原理。

高斯原理又称最小拘束原理，是在任一瞬时通过真实运动与可能运动的加速度不同进行比较而得到的判别准则，是微分原理。

为了方便，将真实运动在位形空间中的轨线称为正路，对约束允许的可能发生的运动在位形空间的轨线称为旁路。

作以下规定：在瞬时t 0，正路与旁路都通过A 点，在瞬时t 1又都通过B 点。

现在由动力学普遍方程推导哈密顿原理。

图5-1对于质点系（n 个质点）的真实运动，满足动力学普遍方程0)(1=-∑=i i i ini m r a Fδ将上式沿着位形空间中的正路自t 0至t 1对时间t 积分：0d δ)(110=⋅-∑⎰=t m i i i iN i t t r r F(5-12)对于完整系统，当δt = 0，有微分—变分对易法则，则 i i i i i i tr rr r r r δ)δ(d dδ⋅-⋅=⋅ 代入式（5-12）中，有0d δ)δ(d d δ110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-⋅∑⎰=t m t m i i i i i i i i Ni t t r r r r r F 注意到在上式中 T r m r m m i i N i i i Ni i i i Ni δ21δ21δδ21211==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅∑∑∑=== r r 又，0|δ|δ10==t i t i r r于是 0d δδ110=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅+∑⎰=t T i i Ni t t r F(5-13)上式是在任意作用力下的哈密顿原理。

若主动力有势，势能函数为V ，则0d δd )(δ1010==-⎰⎰t L t V T t t t t式中L 为拉格朗日函数，上式可写成0d δ10=⎰t L t t(5-14)这是在保守力作用下的哈密顿原理。

我们称t L S t t d 1⎰=为哈密顿作用量。

它是依赖于可能运动)(t q q j j =的泛函，即t t q q qq q q L S n n t t d ),,,,;,,,(21211⎰=(5-15)于是式（5-14）可以表达为δS = 0 (5-16)这就是势力场完整系统的哈密顿原理：对于完整系统，若主动力有势，在相同的时间、相同的起迄位置的条件下，在所有为约束允许的可能运动中，真实运动使哈密顿作用量具有极值，或者说，正路与旁路相比，沿正路的哈密顿作用量的变分为零。

5.3 哈密顿原理的应用哈密顿原理可以表述为：沿着正路的哈密顿作用量与沿着旁路的哈密顿作用量相比较，前者具有极值，如式（5-14）所表达。

应该注意的是式（5-14）只是在完整系统且主动力有势的条件下成立。

对于在任意力作用下的完整系统，哈密顿原理有式（5-13）的形式，但不具有极值条件。

哈密顿原理只涉及到系统的两个动力学函数，即动能和势能。

对于这两个表达系统状态的整体性函数，没有规定必须用多少坐标（有限个参数或无限个参数）来表达。

因此，哈密顿原理不但适用于有限多自由度系统，也适用于连续系统。

哈密顿原理比拉格朗日方程更有普遍意义的原因就在于此。

将哈密顿原理应用到连续体时，只要写出连续体的动能和势能就可以求解。

更广泛地说，哈密顿原理提供了动力学问题的直接解法，可以回避运动微分方程的建立而直接求得系统动力学问题的数值解，就是说，将变分学中的里兹直接法应用于动力学中。

具体的方法如下：对于0d δ10=⎰t L t t ，边界条件（端点条件）为n j t q t q j j ,,2,1),(),(10 = (5-17)首先构造函数n j t aq jkjk mk j,,2,1),(1* ==∑=φ (5-18)式中a jk 是待定常数，φjk 是选择的适当的函数，函数j q应满足式（5-17）的边界条件。

给常数a jk 不同值得到不同的可能运动。

将式（5-18）表达的*j q 代入哈密顿作用量S 中，则S 是a jk 的函数，然后选择a jk 使S 达到极值，也就是由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∂∂m k n j a S jk ,,2,1,,2,10 来确定a jk ,，这是线性代数方程组，可以应用各种方法求解。

最后，将求得的a jk 代入式（5-18）中就得到系统的近似解。

应用哈密顿原理可以建立动力系统的运动微分方程；也可直接求解动力学问题。

例5-2 试用哈密顿原理推导拉格朗日方程。

解：考虑一个所受主动力均有势的完整系统，设其有k 个自由度，广义坐标为q 1，…，q k ，拉格朗日函数为),,(t qq L L j j =，由哈密顿原理0d 10==⎰t L S t t δδ得d d d d d d d d d d 1111101111=∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∑∑⎰∑⎰∑⎰⎰====t t j jkj j j jkj t t j j j j j jkj t t j j j kj t t t t q q L t q q Lt q L t q q L t q q Lt q q L tq q L q q L t L S δδδδδδδδδδ 又因0||10==t i t i q q δδ（始末位置相同），故上式中011=∂∂∑=t t jjkj q q Lδ，于是，有0d d d 110=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∑⎰=t q q L t q L j j j kj t t δ 由于完整系统各),,2,1(k j q j =δ的独立性和任意性，故),,2,1(0d d k j q L qLt j j ==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂这就是势力场中第二类拉格朗日方程。