7第5章哈密顿原理

第5章哈密顿原理

如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。

将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。

5.1 哈密顿正则方程

哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。

5.1.1 正则方程的建立

对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为

),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (5-1)

引入广义动量

),,2,1(k j q

L p j j =∂∂=

(5-2)

代入式(5-1)，有

),,2,1(k j q L

p

j

j =∂∂=

(5-3)

设拉格朗日函数L 满足条件

0det 2≠⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛∂∂∂k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出

),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j ==

(5-4)

式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程

组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数

)

,,(1),,(t p q f q j j k j j j j j j j L q p t p q H ==⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡-=∑

(5-5)

按照Legendre 变换规则，将j q

变换成),,2,1(k j p j =，而q i 和t 仍然保持不变，则有 j

j p H

q

∂∂= (5-6) ),,2,1(k j q H

q L j

j =∂∂-=∂∂

(5-7)

t

H

t L ∂∂-

=∂∂ (5-8)

将式(5-7)代入式(5-3)，并与式(5-6)联立，得

),,2,1(,k j q H p

p H q j

j j j =∂∂-=∂∂= (5-9)

这就是哈密顿正则方程，是以广义坐标和广义动量为独立变量的2k 个一阶常微分方程。哈

密顿正则方程是关于两类变量q j 和p j 的对偶方程，给出了一种对称的数学结构体系，不但可推广应用到力学的各个领域，还可拓展到物理学的其他领域。 5.1.2 正则方程的积分

正则方程也有循环积分和能量积分。

由式(5-5)可见，如果),,(t p

q L j j 中不显含某广义坐标q α，则),,(t p q H j j 中也不显含该广义坐标q α。因此，循环坐标可定义为不显含于函数H 或L 之中的广义坐标。 若q α为循环坐标，则有0=∂∂α

q H

，由式(5-9)知，0=αp

，从而有循环积分 ααC p =（常量）

(5-10) 同样，当H 中不显含时间变量t 时，有0=∂∂t H

，于是

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∑

=j j j j k j p p H q q H t H 1d d 将式(5-9)代入上式，得0d d =t

H

，因此，有能量积分，H ＝C （常量）

。注意到定常系统中动能T 为广义速度j q

的二次齐次函数，有 C V T V T T L q

q T

H j j

k

j =+=--=-∂∂=

∑=)(21

（常量） (5-11)

对于定常系统，这意味着机械能守恒；对于非定常系统，则意味着广义能量守恒。 例5-1 试写出图5-1中球面摆的正则方程及其首次积分。已知球面摆摆长为l ，摆锤质

量为m 。

解：取图5-1所示的角θ、ϕ为广义坐标，A 为重力势能的零位置，则系统的拉格朗日函数为

θθϕθcos )sin (2

12222mgl ml V T L ++=-= 广义动量分别为

θϕ

ϕ

θθϕθ222sin

ml L

p ml L

p =∂∂==∂∂=

解得

θ

ϕ

θϕ

θ

222sin ,

ml p ml p ==

按定义式(5-5)，系统的哈密顿函数为

θ

θ

θθθ

ϕ

θϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθcos sin 22cos sin 21sin 2

2

22

2

24

22422

222222

mgl ml p ml p mgl l m p l m p ml ml p ml p L p p H -+=-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+=-+= 正则方程(5-9)成为

θ

ϕθθϕθθ2

22

sin ml p p H

ml

p p H

=∂∂==∂∂=

sin sin cos 322=∂∂-=-=∂∂-=ϕ

θ

θθθϕϕθH p mgl ml p H

p 故循环积分为

ϕϕC p =（常量）

能量积分为 H ＝C （常量）

即

C mgl ml p ml p =-+θθ

ϕθ

cos sin 222

2

22

2

注意：由于系统是定常的，上式也可直接由式(5-11)写出。

5.2 哈密顿原理

由动力学普遍方程积分，导出一个哈密顿原理，因此哈密顿原理是在任一有限的时间间隔中区分真实运动与可能运动的准则，是积分原理。高斯原理又称最小拘束原理，是在任一瞬时通过真实运动与可能运动的加速度不同进行比较而得到的判别准则，是微分原理。

为了方便，将真实运动在位形空间中的轨线称为正路，对约束允许的可能发生的运动在位形空间的轨线称为旁路。作以下规定：在瞬时t 0，正路与旁路都通过A 点，在瞬时t 1又都通过B 点。现在由动力学普遍方程推导哈密顿原理。

图5-1