高考数学《向量》专题复习 专题训练

注 意 ： ① 设 P1(x1, y1) 、 P2 (x2, y2 ) ， P(x, y) 分 有 向 线 段 P1P2 所 成 的 比 为 ， 则
x
y
x1 x2 1 y1 y2
，
1
在使用定比分点的坐标公式时，应明确 (x, y) ，(x1, y1) 、(x2, y2 ) 的意义，即分别为 分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，
≤ ，则当 取最小值时，向量 与 的夹角为_________________（用反三角
表示） 18.正十二边形 A1A2…A12 内接于半径为 1 的圆，从 、 、 、…、
这 12 个 向 量 中 任 取 两 个 ， 记 它 们 的 数 量 积 为 S ， 则 S 的 最 大 值 等 于 _________________
4.在平面四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，且 AB=1，
，
CD= ．若
，则 的值为_____________
5.向量 的夹角为 120°，| |=| |=2，| |=4，则| + - |的最大值为__________
6.已知 O 是面 α 上一定点，A，B，C 是平面 α 上 ABC的三个顶点，∠B、∠C
分别是边 AC、AB 的对角。以下命题正确的是________________（填序号）
①动点 P 满足 = + + ，则 ABC的外心一定在满足条件的 P 点集合中；
②动点 P 满足 = +λ（ + ）（λ＞0），则 ABC的内心一定在满足条件的
P 点集合中；
③动点 P 满足 = +λ（
+
）（λ＞0），则 ABC的重心一定在满足
于这一平面内的任意向量
a
，有且只有一对实数
1
、
2
，使
a
1
e1
2
e2
成立，
我们把不共线的向量 e1 、 e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底。
（2）O 为平面任意一点，A、B、C 为平面另外三点，则 A、B、C 三点共线
OA
λ1OB
λ2OC
且λ 1
λ2
1.
5.空间向量
空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它
（
1
）
两
个
向
量
的
夹
角
：
对
于
非
零
向
量
a
、
b
，
作
OA
a
，
OB
b
，
AOB
0
称为向量
a
、
b
的夹角。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量
a
、
b
，它们的夹角为
，我们把
数量
a
b cos
叫做
a
与
b
的 数 量 积 （ 或 内 积 或 点 积 ）， 记 作 ：
a b
，即
a b a b cos .
零向量与任一向量的数量积是 0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个
是
，最大值是
16.如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 B3C3 上有 10 个不同的点 P1，P2，…P10，记 mi = AB2 APi (i 1,2,3,,10) ，则 m1+m2+…+m10 的值 为_____________
17.已知向量 、 满足| |=1，| |=2，若对任意单位向量 ，均有| ? |+| ? |
19.已知正方体 ABCD-EFGH 的棱长为 1，若 P 点在正方体的内部且满足 ，则 P 点到直线 AB 的距离为_________
20.已知 OA =（1，2，3）， OB =（2，1，2）， OP =（1，1，2），点 Q 在直线 OP 上运动，则当 QAQB 取得最小值时，点 Q 的坐标为____________
（4）设 a
( x1 ,
y1 )
，
b
(x2 ,
y2 ) ，向量平行
a// b
x1 y2
x2 y1 ；
（5）设两个非零向量
a
( x1 ,
y1 )
，
b
(x2
,
y2
)
，则
a
b
x1 x2
y1
y2
，
所以 a b a b 0 x1x2 y1 y2 0；
（6）若 a
(x, y) ，则
a
x2 y2 ；
（7）定比分点：设点 P 是直线 p1, p2 上异于 p1, p2 的任意一点，若存在一个实数 ， 使
P1P PP2 ，则 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比，P 点叫做有向线段 P1P2 的以 定比为 的定比分点；当 P 分有向线段 P1P2 所成的比为 ，则点 P 分有向线段 P1P2 所成的比为 1 .
高考《向量》专题复习
1.向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。
（2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 . （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化：与 AB 共线的单位向量是 AB . AB
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
是_____________
2.在△ABC 中，|AB|=5，|AC|=6，若 B=2C，则向量 在 上的投影是_________
3.如图，在 ABC中，已知∠BAC= ，| |=2，| |=3，点 D 为边 BC 上一点，满
足 +2 =3 ，点 E 是 AD 上一点，满足 =2 ，则| |=______________
别为边 AB、BC 的中点．当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时， 的取值范围为 _________ 12.如图，矩形 ORTM 内放置 5 个边长均为 的小正方形，其中 A，B，C，D 在
矩形的边上，且 E 为 AD 的中点，则（ - ）? = ______
13（. 2017 浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，
的坐标表示有 x，y，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习
空间向量时，可进行类比学习。
如，若M→P、M→A、→MB三个向量共面，则
MP
x
MA
y
MB
.同时，对于空间任意一点
O，存在
OP OM x MA y MB m OM n OA OB ， 其 中
mn
＝
_____________
向量。
（3）
b
在
a
上的投影为
b
cos，投影是一个实数，不 Nhomakorabea定大于0.
（4）
a
b
的几何意义：数量积
a b
等于
a
与
b
在
a
上的投影的乘积。
（5）向量数量积的应用：设两个非零向量
a
、b
，其夹角为
，则 cos
a b
，
ab
当
a
b
a
b
0
时，
为直角；
当
a b
0
时，
为锐角或
a,
b
同向；注意：
a b
0
是
为锐角的_____________
（5）平行向量又叫共线向量，记作： a ∥ b .
①向量
a(a
0)
与
b
共线，则有且仅有唯一一个实数
，使
b
a
；
②规定：零向量和任何向量平行；
③两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
④平行向量无传递性！（因为有 0 )； ⑤相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；
AB、AC 上的点，且
，且 λ，μ∈（0，1），且 λ+4μ=1，若线
段 EF、BC 的中点分别为 M、N，则 的最小值为_____________
例 4.已知平面向量 ， ， 满足| |= ，| |=1， ? =-1，且 - 与 - 的夹角为 ，则| |
的最大值为______________ 变式训练： 1.已知向量 =（-1，-2）， =（1，λ），若 ， 的夹角为钝角，则 λ 的取值范围
AC 与 BD 交于点 O，记 I1= OA OB ，I2= OB OC ，I3= OC OD ，则（ ）
A.I1＜I2＜I3
B.I1＜I3＜I2
C.I3＜I1＜I2
D.I2＜I1＜I3
14.在坐标系 xoy 中，O 点坐标为（0，0），点 A（3，4），点 B（-4，3），点 P 在
∠AOB 的角平分线上，且 OP 长度为 5 2 ，则点 P 坐标为_____________ 15.（2017 浙江）已知向量 a ， b 满足 a 1 ， b 2 ，则 a b a b 的最小值
例 1.下列命题：
①若 与 共线，则存在唯一的实数 λ，使 =λ ；
②若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；
③向量 、 、 共面，则它们所在直线也共面；
④若 A、B、C 三点不共线，O 是平面 ABC 外一点，若
，则
点 M 一定在平面 ABC 上，且在 ABC内部；
⑤若 ，且 ，则 ；
的取值范围为____________
10.如图，在直角坐标系中，△ABC 是以（2，1）为圆心，1 为半径的圆的内接
正三角形，