湍流大涡数值模拟

二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
常用的亚格子模型
亚格子应力模型——尺度相似模式和混合模式（1980）
假定：从大尺度脉动到小尺度脉动的动量输运主要由可解 尺度脉动中的最小尺度脉动来产生，且过滤后可解尺度脉动的 最小尺度脉动速度和过滤掉的小尺度脉动速度相似。
尺度相似模式
CS
为模式常数
直接数值模拟数据进行过滤检验，可以证实式该模式结果的统计相关性 很好。但是，实际算例发现该模式的湍动能耗散太小，往往导致计算发散。 于是在实用上常采用一种混合模式，即将尺度相似模式和Smagorinsky模式叠 加：
亚格子模型
标准Smagorinsky模型为基准的动力模式。
四、复杂流动的大涡数值模拟算例
算例1 平面扩压器
计算结果
四、复杂流动的大涡数值模拟算例
算例1 平面扩压器
计算结果
四、复杂流动的大涡数值模拟算例
算例1 平面扩压器
计算结果 平均速度分布和实验结果符合良好。数值计算的分离点 在 x / 13 ，实验结果是 x / 12 ，两者略有差别。计算的分离 泡长度等于52δ ，实验结果是47δ 。 LES计算的峰值大于实验结果l0％～20％。雷诺应力分市的 总体情况符合良好，误差在10％～20％。所有统计量在扩压器出 口有较大误差。 结果还表明，LES能够捕捉流动特征，但是在计算的准确度 上还有待改善。特别是扩压器二次流的影响。展向的周期性条件 是否能准确计算实际扩压器的二次流值得研究。
湍流大涡数值模拟
内容： 一、脉动的过滤
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
三、亚格子模型的检验 四、复杂流动的大涡数值模拟算例 五、关于大涡模拟的几个问题
一、脉动的过滤
一、脉动的过滤
湍流速度场
一、脉动的过滤
常用的均匀过滤器
谱空间低通滤波 物理空间的盒式滤波器 高斯过滤器
谱空间的过滤就是令高波数的脉动等于零，相当于对 脉动信号做低通滤波。
三、亚格子模型的检验
后验比较结果——槽道湍流
理性亚格子涡扩散模式的算例结果
平均涡量分布（Re=700）
标量脉动强度分布
平均标量流向通量分布（Re=7000）
理性亚格子模式的预测结果都优干Smargorinsky模式和动力 模式的结果。
四、复杂流动的大涡数值 模拟算例
四、复杂流动的大涡数值模拟算例
湍流复杂程度
一般认为有代表性的湍流流动： 简单湍流: 准平行的平衡剪切流动
无分离的二维湍流边界层、直槽和圆管湍流、远场平 面射流和尾流等。
复杂湍流: 简单湍流场中附加剪切或旋转
三维湍流边界层、大曲率的湍流边界层和射流、旋转 系统的剪切湍流以及钝体分离湍流等。
横向喷流湍流， Kleisery，2006
先验法(Piomelli等，1988)
将直接数值模拟的结果进行过滤来计算亚格子应力，将其与 亚格子模型公式进行对比验证。
后验法
将LES算例的结果和相同参数的DNS或实验结果直接进行比较 来考察亚格子模型的正确性。 比较时通过流场的相关系数来判断正确程度。
三、亚格子模型的检验
先验法比较结果——直槽湍流

是过滤的空间体积。
盒式过滤器
一、脉动的过滤
常用的均匀过滤器
谱空间低通滤波 物理空间的盒式滤波器 高斯过滤器
将过滤函数取作高斯函数。
高斯过滤器
应当注意：
只有高斯滤波器在Fourier积分变换时保持高斯函数形式。 物理空间的盒式过滤，在 (Gibbs效应)。
c
k /l
的高波数区有微小的泄漏
若 k 为湍流脉动波数，物理 空间的湍流脉动在谱空间的投影 为 fˆ k ，则谱空间过滤后的脉动 可表示为：
ˆ k G k f ˆ k f l
Gl k
为各向同性低通滤波
Gl k kc k

一维低通滤波器
其中 是截断函数， kc 是截断波数。
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
常用的亚格子模型
标量湍流输运的亚格子模型
过滤后的标量输运的大涡数值模拟方程
亚格子标量输运
亚格子标量输运，是大涡数值模拟需要封闭的量。
亚格子标量运模划也可以分成三类：涡扩散型、尺度 相似型 和 理性模型。
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
常用的亚格子模型
标量湍流输运的亚格子模型——涡扩散型
《湍流》8
湍流大涡数值模拟
Large Eddy Simulation
李 桦
国防科技大学
2018/7/21
大涡模拟的基本思想
大涡数值模拟的基本思 想是直接计算大尺度脉动， 而只对小尺度脉动做模式。 所以，实现大涡数值模拟的 第一步是把小尺度脉动过滤 掉。本节首先介绍过滤方法， 然后再导出大尺度运动的控 制方程，并介绍小尺度脉动 项的封闭模型。
谱空间的盒式过滤器变换到物理空间时并不是盒式过滤器， 而在 l / k 的盒子以外，过滤函数仍有微小的震荡。
一、脉动的过滤
脉动速度的分解
经过过滤后，湍流速度可 以分解为低通脉动 ui ，和剩 余脉动 ui 之和。
低通脉动将由大涡数值模拟 方法解出，因此称为可解尺度脉 动；剩余脉动称为不可解尺度脉 动或亚格子尺度脉动。
假定：各向同性滤波器过滤掉的小尺度脉动局部平衡 该模式相当于混合长度形式的涡粘模式。
式中Δ是过滤尺度， t CS Sij Sij
2
1/ 2
为亚格子涡粘系数
CS
为Smagorinsky常数
涡粘型亚格子模式是耗散型的，在各向同性滤波的情况下，它满足 模式方程的约束条件。Smagorinsky模式和粘性流体运动的计算程序有很 好的适应性，它是最早应用于大气和工程中大涡数值模拟的亚格子应力 模式。 该模式的主要缺点是耗散过大，尤其在近壁区和层流到湍流的过渡 阶段，需要进行修正。
尺度相似模型的亚格子湍动能耗散率则远小于实际的亚格子
耗散。
混合模型既有良好的亚格子动量输运(来自尺度相似模型部
分)，又有足够的湍动能耗散(来白Smagorinsky模型)。因此往往 能够获得较好的结果。
新的理性亚格子模式具有正确的湍动能输运性质，因此其先
验结果很好。
三、亚格子模型的检验
四、复杂流动的大涡数值模拟算例
算例1 平面扩压器
条件 雷诺数
Reb U b / v 9000
入口截面的平均速度 U b ，入口半高 h / 2 平面扩压器的几何外型和网格
网格（352×64×128）,展向采用均匀网格；流向采用局部加密网格 展向采用傅里叶展开，流向和垂向平面上应用有限体积法离散。
四、复杂流动的大涡数值模拟算例
算例2 绕圆柱流动
条件 流动雷诺数
Reb 3900
几何外型和网格
O型网格,圆柱体径向的计算域长度 等于60倍的圆柱直径，(Kravchenko 和Moin，2000) 方法 一般有限体积法，对流项常用迎风 格式，2阶守恒划中心差分格式或 H—Spline迦辽金方法
均匀各项同性湍流场中亚格子应力分布（某时刻）
(a) 直接数值模拟的过滤结果
(b)Smagorinsky模式
三、亚格子模型的检验
先验法比较结果——直槽湍流 先验法
Smagorinsky模式先验检验结果的相关系数很低，这表明
Smagorinsky模型的动量输运(是张量)和真实情况相差很大，但 是其耗散和实际相差不大。
可以用尺度相似的思想，建立亚格子标量输运封闭式
式中CL＝1，或用动力模型方法确定。
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
常用的亚格子模型
标量湍流输运的亚格子模型——理性亚格子涡扩散模式
利用标量结构函数方程，可以导出理性亚格子涡扩散模式 标量湍流的亚格子通量
三、亚格子模型的检验
三、亚格子模型的检验
亚格子模型的检验 两种检验方法
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
常用的亚格子模型
亚格子应力模型


Smargorinsky涡粘模式
尺度相似模式和混合模式 动力模式 谱空间涡粘模式 结构函数模式 理性亚格子模式(CZZS模式）
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
常用的亚格子模型
亚格子应力模型——Smargorinsky涡粘模式(1963)
在可解尺度湍流是局部各向同性和局部均匀的条件下，可 以导出可解尺度湍流的Kohnogorov方程，进而导出亚格子涡粘 的公式，称它为理性亚格子模型。
理性亚格子模式
理性亚格子模式的显著特点是没有模式常数。其计算量和一般涡粘模 式相当，比动力模式少得多。有人证明，理性亚格子模式可以推广到剪切 湍流，数值实验结果证明，在槽道湍流中理性亚格子模型的预测结果优于 Smagorinsky模式和动力模式。
需要注意一般情况下，—般情况下，物理空间的过滤运算不存 在平均和求导的可交换性。
二、大涡模拟的控制方程 和亚格子应力
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
大涡模拟的控制方程
将N-S方程作过滤，得到如下的方程：
令 则N-S方程化为
，称
为亚格子应力
右端亚格子应力项不封闭，要实现大涡数值模拟，必须构造亚格子应力 的封闭模式。
常用的亚格子模型
亚格子应力模型——结构函数模式
在局部各向同性湍流中，结构函数和湍流脉动的能谱间有 确定的关系，以此为桥梁，将谱空间涡粘模式变换到物理空间， 从而构成结构函数表示的亚格子模型。
2阶结构函数
对应结构函数涡粘系数
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
常用的亚格子模型
亚格子应力模型——理性亚格子模式(CZZS模式，2004)
后验比较结果——湍流混合层
后验法是检验亚格子模型适用性的最有说服力的依据
考察变量 总动能 Smagorinsky 尺度相似 基于Smagorinsky模 模型 模型 型的动力模式 差 好 一般 基于混合模型 的动力模式 很好
总亚格子耗散
差
好
很
好
好
逆传
差
一般
差
一般
应力分量
差
好
差
好
一维能谱
差
差
好
很好
展向涡量
差
差
好
很好
最大涡量
差
差
好
好
动量厚度
差
好
差
好
Vreman等(1997)一个比较完整的亚格子模型的考核结果， 考核的标准是同一算例的DNS结果
三、亚格子模型的检验
后验比较结果——槽道湍流
理性亚格子涡粘模式的算例结果(Cui等，2004)
平均速度分布
雷诺应力分布
湍流强度分布
三、亚格子模型的检验
后验比较结果——槽道湍流
动力模式需要进行统计平均。理论上，应当进行系综平均；但是非常花 费计算时间，很不现实。对于一般复杂湍流，没有统计均匀的方向，难以采 用动力模式。Meneveau等(1996，2000)提出沿质点轨迹平均的动态确定模式 系数的方法，增加计算量不多，是一种较好方法。
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
常用的亚格子模型
和亚格子动量输运的涡粘模型相对应，认为标量亚格子输 运和亚格子动量输运的机制相同。
式中 i 称为湍涡扩散系数。 当亚格子动量输运采用涡粘模式，如Smagorinsky模式、谱 涡粘模式或结构函数涡粘模式时，亚格子标量输运可采用湍涡 扩散模式。
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
常用的亚格子模型
标量湍流输运的亚格子模型——尺度相似型模式
混合模式
这种模式既有和实际亚格子应力的良好相关性，又有足够的湍动能 耗散。
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力
常用的亚格子模型
亚格子应力模型——动力模式
动力模式其本身并不提出新的模式，它需要有一个基准模 式，然后用动态的方法确定基准模式中的系数。
动力模式方法需要对湍流场进行多次过滤 采用Germano(1991)假定： 该式的物理意义是二次过滤后的亚格子应力 格上的亚格子应力差。 等于粗、细网
一、脉动的过滤
常用的均匀过滤器
谱空间低通滤波 物理空间的盒式滤波器 高斯过滤器
对于复杂流动不可能采用谱空间低通滤波，物理空间 的低通过滤可以用积分方法实现。
在尺度 l 上进行的滤波函数记 作 Gl x ，则任意湍流脉动 f x 的过滤为
物理空间的滤波器必须满足正 则条件
理性亚格子涡粘模式的算例结果(Cui等，2004)
从平均速度分布，可看出理性亚格子模型的预测结果优于 Smargorinsky模型和动力模型。 对于雷诺应力分布，Smargorinsky模型的预测偏离DNS结 果很多；理性模型在近壁区优于动力模式，而中心区动力模式 较理性模型更接近DNS结果。在近壁区新模型的亚格子雷诺应 力分布符合湍流的近壁渐近特性。
亚格子应力模型——谱空间涡粘模式百度文库
其基础是均匀湍流场中的脉动动量输运公式。
将以上公式在谱空间作过滤，可以获得谱空间的大涡模拟方程。
谱涡粘模式有较好的理论基础，但谱涡粘模型只能用于均匀湍流。如 果可以将涡粘模式的构造方法推广到物理空间，那么模型将有较好的物理 基础和应用性。
二、大涡模拟的控制方程和亚格子应力