线性代数练习题2
线性代数第二章矩阵练习题（有答案）
第二章一、选择题 1、计算13230102-⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值为（C ） A.-5 B.6 C.3003⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2902-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ） A. 11AB B A --= B. 11A B BA --= C. 1111A B B A ----= D.11B A A B --=3、初等矩阵（A ）A. 都是可逆阵B.所对应的行列式值等于1C. 相乘仍是初等阵D.相加仍是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ） A. ()2r B = B.()2r B < C. ()2r B ≤ D.()1r B ≥二、判断题1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×）2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√）3、矩阵324113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵2213B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×)三、填空题1、已知[]456A =，123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求AB 得_________。
(32)2、已知12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,ia i n ≠= ），则1A -=3、设A 为n 阶方阵，2A =，求TA A的值为_________。
4、设A 为33⨯矩阵，3A =-，把A 按列分块为()123A A A A =,求出132,4,A A A 的值为__________。
四、计算题1、计算()101112300121024--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.解 原式()1292(38)4-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2、求矩阵100120135A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 解求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311113A --==--， 2100035A =-=,2210515A -==--,2310313A -==-,12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212n +3100020A ==,3210010A -=-=-,3310212A -==--故*11001102213110105A A A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.五、证明题设n 阶方阵A 满足3()0A I +=，求证A 可逆，且求1A -.证 由3()0A I +=得32330A A A I +++=,于是2(33)A A A I I ⎡⎤-++=⎣⎦. 令233B A A I =---,则AB =I ,故A 可逆，且1233A A A I -=---.。
线性代数练习02
一、选择 1、设行列式1311111223212122,a a a a m n a a a a ==，则111213212223a a a a a a +=+（ ）A m n +;B ()m n -+;C n m -;D m n - 2、设 123A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=（ ） A 13121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B 11213⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，C 13112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, D 12131⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3 设312101214A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求12A =( ) A 6-; B 6; C 2; D 2-4、设A 是方阵，且A B A C =，则有（ ）A 0A =；B 0BC A ≠⇒=， C 0A B C ≠⇒=，D 0A B C ≠⇒= 5、已知矩阵34A ⨯列向量组线性无关，则()T r A =（ ）A 1B 2C 3D 46、设A 为m n ⨯矩阵且秩A r m n =<<，则下列说法错误的是（ ） A A 中每一个阶数大于r 的子式皆为零； B A 经过初等变换可化为r I O OO ⎛⎫⎪⎝⎭C A 中所有r 阶子式皆为零D A 不是满秩矩阵7、设A x b =为非齐次方程组，12,ηη是其两个解，则下列说法错误的是（ ） A 12ηη+是A x b =的解； B121122ηη+是A x b =的解；C 12ηη-是0A x =的解；D 122ηη-是A x b =的解 8、设n 阶方阵A 不可逆，则（ ）A ()r A n <,B ()1r A n =-C 0A =D 0A x =只有零解9、设A 为(3)n n ≥阶方阵，则有（ ）A 若存在λ和α使A x αλ=，则α是属于λ的特征向量B 若存在λ和非零α使()0E A λα-=，则α是属于λ的特征向量C A 的两个不同特征值可以有共同的特征向量D 12λλ≠，12,αα为其对应的特征向量，则12,αα可能线性相关。
线性代数2章精选练习题
2、单项选择题 第一章行列式1.下列排列是5阶偶排列的是（）. (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512•如果n 阶排列j 1j 2 j n 的逆序数是k,则排列j n j 2j 1的逆序数是（）.3. 4. 5.(A) k (B) n!k (C) I(D)n(n 1) k 2n 阶行列式的展开式中含 a^a 22的项共有（(A) 0(B) (C)(n 2)!(D)(n 1)!0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0).(A) 0(B) (C) (D) 20 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 01 0).(A) 0 (B)(C)(D) 26.在函数 f(x)2x1 3 01 2 3 1中x 3项的系数是（).(A) 0(B)1(C)1(D) 2a 11 a 12a 132，则2a na 13a 112a i27.若Da 21 a 22 a 23D 12a 21 a 23 a 21 2a 22a 31a 32a 332a 31a 33a 312a 32(A) 4(B)4(C) 2(D)8.若a 11 a i2则厲2ka 22( ).a ,a 21 a 22*1ka 21( 0).).2,5,1, X ,二、填空题 1. 2n 阶排列24(2n)13(2n 1)的逆序数是 _________2. 在六阶行列式中项a 32a 54a 41a 65a 13a 26所带的符号是3. 四阶行列式中包含a 22a 43且带正号的项是4.若一个n 阶行列式中至少有n 2 n 1个元素等于0,则这个行列式的值等于9. (A) ka (B)ka (C) 已知4阶行列式中第1行元依次是k 2a(D)k 2a4,0,1,3,第3行元的余子式依次为(A) 0 (B) (C) (D) 210.若 D 则D 中第一行元的代数余子式的和为().(A) 1 (B)(C)(D)11.若 D,则D 中第四行元的余子式的和为).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)kx 3X 1 X 212k :于下列选项中哪个值时， 齐次线性方程组X 1kx 2 X 30有非零解kx 1 X 2X 3()(A)1(B)2(C)3(D)32 251 1 11,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1 ,有元素，则所得的新行列式的值为11 11 1x 1x 11 10.行列式1 x 1 11x 111 1111 11. n 阶行列式1 1111112.已知三阶行列式中第二列元素依次为则该行列式的值为则 4阳 3A 42 2A 43 A 44 ______5.行列式 6 •行列式 1) a r11 耳1a 11 a 13 3a 〔2 3912a 12913 8.如果Da 21a 22a 23M ，则D 1a 21 a 233a ?23922931 932 933931 933 3932 3932a 211)7.行列式 5阶行列式的值为5,将其第一行与第9.已知某31(na 2(na 1n 0 5行交换并转置，再用2乘所1 2 3 45 6 7 8 ，A 4j (j4 3 2 18 7 6 513.设行列式D1, 2, 3, 4)为D 中第四行元的代数余子式,1.7A 44A 41 A 42kx-2x 2 X 3 017. 齐次线性方程组2x 1kx 20仅 有零解的充要条件是X 1X 2X 3 02x 2X 3 018. 若齐次线性方程组2x 2 5X 3 0有非零解，则k=.3为 2x 2 kx 3 0、计算题abcd2,22,2X y x y a b c d ； 2.3 ,3 3 ,3 yx yxabcd14.已知D 中第四列元的代数余子式的和为15.设行列式D1 3 1 123 5 1 34 6 26，A 4j 为a 4j (j 1,2,3, 4)的代数余子式，则16.已知行列式D2n 1 0 0,D 中第一行元的代数余子式的和为x y X ybed a c d a b d a b c1.7xa i1x1711.a ia 2a n 2 3 •解方程a 2 a n 2a 2 a 3 a 2a 3a n 15. 1 1 a 1 1 1 a 2(a j1,j0,1,,n)；a n6. (n 1) b11 1 1x a 1 a 2 a na a 1 a 1a 1 x a 2a n 7.b b 2 a 2 a 2 ； 8.a 1 a 2 x a nb b 2 b 3a na 1a 2 a 3x210 10 0X 1 %x 2x 2x 1 x f X 2X nJX n X 1x n X 21 X ：1 aa 0 0 01 1 a a 0 0 D0 1 1 aa 0 0 0 1 1 a a11 a29. 10.四、证明题设 abed 1,证明:ai Dxa 1xa 2b 2x a 2xa 3b 3x a 3X 1 1 1 abe2.22a b e 4.4 4ab e2. 13. b ib 2 b 3 d d 2 d 41 1 a 1a 24. 2a 12a 2n 2a 1n 2a 2na 1 na 2(b a n2a nb 21 a 1 b2 丄e1a1 b 10.a 1b 1 Ci (1 x 2) a 2b 2 C 2a 3b 3 e 3C1C 2C 3 a)(c a)(d a)(e b)(d b)(d e)(ana i(a j aj .i 11 i j nn 2a n a n1 1 5.设a,b,e 两两不等，证明a b3,3a b1 e 3e0的充要条件是a b参考答案.单项选择题A D A C C D ABCD B B3.2,0,1;4.(x aQn n 1 \5.(a k1)(1 —);6k 0k 0 a k 17. n(1)n(b k a k );8.k 1(2 b)(1 b) ((n 2) b);nn(xaQ(x a k );k 1k 110.•填空题 1. n ；2. ;3. a 【14a22a31 印3 ;4. 0 ;5.0 ;6. ( 1)n 1n!n(n 1)7.(1)a 1n a 2( n 1)a n1;8.3M ; 9. 160; 10. 4x ; 11.( n) n 112..2 ; 13. 0 ;14. 0 ;15. 12, 9 ;16. n!(1"-k);17. k 2,3k1k18..k 7三 -•计算题1 • (a b c d)(ba)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)；2. 2(x 3 y 3)；n 111. (1 a)(1 a 2 a 4). 四.证明题(略)第二章 矩阵、 1. A 、 单项选择题B 为n 阶方阵， 则下列各式中成立的是（）。
线性代数习题2
第2章 线性方程组 练习题1、已知1 = ( 1 , 1 , 0 , 1 )T，2 = ( 2 , 1 , 3 , 1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 0 , 0 )T ，4 = ( 0 , 1 , 1 ,1 )T ， = ( 0 , 0 , 0 , 1 )T ，（1）求向量组 1，2 ，3，4 的秩，（2）判定 是否可以表为1，2 ，3 ，4 的线性组合，说明理由。
（ 4，可以 ）2、设向量组1 = ( 1 , 1 , 1 )T，2 = ( 1 , 2 , 3 )T ，3 = ( 1 , 3 , t )T ，求（1）当 t 为何值时，1 ，2 ，3 线性无关（2）当 t 为何值时，1，2，3 线性相关此时将 3表为 1 与2的线性组合。
（ t5 时，1，2 ，3 线性无关；t = 5时，1 ，2 ，3 线性相关，且 3 = 1+ 22 ）3、确定 为何值时，向量 = ( 0 , 1 , )T 可以表为向量组1 = (1 ,2 ,3 )T ，2 = ( 2 , 1 ,1 )T ，3 = ( 1 ,1 ,2 )T ，4 = ( 2 , 1 , 1 )T 的线性组合，并求出一个具体表达式。
（ =1； =1 +2 +3 +4）{4、设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 113α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=223k β，讨论 k 为何值时，（1） 不能由1 ，2 ，3 线性表出；（2） 能由 1 ，2 ，3 线性表出，且表示法唯一；（3） 能由 1 ，2，3线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。
（ （1） 2；（2）k1且 k2 ；（3）1 ，=21）5、已知向量组 1 = ( 1 , 0 , 2 , 3 )T ，2 = ( 1 , 1 , 3 , 5 )T，3 = ( 1 , 1 , a+2 , 1 )T ，4 = ( 1 ,2 , 4 , a+8 )T 及= ( 1 , 1 , b+3 , 5 )T ，求（1）a 、b 为何值时， 不能表示成1，2 ，3 ，4的线性组合；（2）a 、b 为何值时， 有 1，2 ，3 ，4 的唯一线性表示式，写出该表示式。
线性代数试题二
第一部分 选择题 （共20分）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．对任意n 阶方阵A 、B 总有（ ） A.AB =BA B.|AB |=|BA | C.(AB )T =A T B TD.(AB )2=A 2B 22．在下列矩阵中，可逆的是（ ）A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100022011C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121110011D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101111001 3．设A 是3阶方阵，且|A |=-2，则|A -1|等于（ ） A.-2 B.21-C.21D.24．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充分必要条件是（ ）A.A 的行向量组线性无关B.A 的行向量组线性相关C.A 的列向量组线性无关D.A 的列向量组线性无关 5．设有m 维向量组(I)：n 21,,,ααα⋅⋅⋅，则（ ） A.当m <n 时，(I)一定线性相关 B.当m>n 时，(I)一定线性相关 C.当m <n 时，(I)一定线性无关D.当m >n 时，(I)一定线性相关6．已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，1α、2α是其导出组Ax =0的一个基础解系，k 1、k 2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解可表成（ ） A.2)(2121211ββββα-+++k k B.2)(2121211ββββα++++k kC.2212211ββαα-++k k D.2212211ββαα+++k k7．设n 阶可逆矩阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x ，则下列等式中不正确．．．的是（ ） A.Ax =2xB.A -1x =21xC.A -1x =2xD. A 2x =4x8．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=（ ） A.2 B.1 C.0D.-19．二次型322123222132110643),,(x x x x x x x x x x f ++-+=的矩阵是（ ）A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-405033531B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4001030061C.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-450533031D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-41001036061 10．二次型2323223213212)()(),,(x x x x x x x x x f +++--=是（ ）A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的第二部分 非选择题 （共80分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
大连东软线性代数题库(2章)练习题附答案
一、单项选择题1．设A ，B 是两个n 阶方阵，若AB=O 则必有（ D ） A ．A=O 且B=O B ．A=O 或B=O C ．|A |=0且|B |=0D ．|A |=0或|B |=02．设A ，B 都是n 阶方阵，且|A|＝－2，|B|＝1，则|A T B -1|＝（ A ）A ．－2B ．－21C ．21 D ．23．设A 为2阶可逆矩阵，且已知（2A ）-1=⎪⎭⎫⎝⎛4321，则A =（ D ）A ．2⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 C ．214321-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D ．1432121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 4.设A 为m×n 矩阵，B 为n×m 矩阵，m ≠n, 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是（ A ） A.B T A T B.A T B T C.ABAD.BAB5．已知A 2+A +E =0，则矩阵A -1=( ) A ．A +E B ．A -E C ．-A -ED ．-A +E 6 .设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ B ）A. –6B. 6C. 2D. –27．设A 为三阶矩阵，|A|=a ≠0，则其伴随矩阵A *的行列式|A *|=（ B ） A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 48.下列等式中，正确的是（ D ） A.2001002001021⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 1233693456456⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.1051002⎛⎫= ⎪⎝⎭D.120120035035--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭9．设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有（ D ） A ．ACB=E B ．CBA=E C ．BAC=ED ．BCA=E10.设矩阵,333222111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c b a c b a c b a A ,333111222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a c b a c b a B ,100001010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 则必有（ A ）A.PA=BB.P 2A=BC.AP=BD.AP 2=B二、填空题1．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式|A TA |=_____4_______. 2．设A =（1，3，-1），B =（2，1），则A T B =___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123612_______. 3. 已知矩阵方程XA=B ，其中A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111，则X =_____⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0113______. 4．设A ，B 为3阶方阵，且|A |=9，|B |=3，则|-2AB -1|=______-24_______. 5．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k=⎪⎪⎭⎫⎝⎛101k ． 三、计算题 1.设A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡714131，B 为3阶矩阵，且它们满足A -1B =6E +B ，求B . 答案:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100020003B2.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求（1）AB T；（2）|4A |. 答案;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=103101868TAB , 1284-=A3．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-321011330且AB=A+2B ，求B 。
线性代数考试练习题带答案(2)
线性代数试题集与答案解析二、判断题(判断正误，共5道小题)9.设A ,B 是同阶方阵，则AB=BA 。
正确答案：说法错误解答参考：10. n维向量组{ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } 线性相关，则{ α 2 , α 3 , α 4 } 线性无关。
正确答案：说法错误解答参考：11.若方程组Ax=0 有非零解，则方程组Ax=b 一定有无穷多解。
正确答案：说法错误解答参考：12.若A ,B 均为n阶方阵，则当| A |>| B | 时，A ,B 一定不相似。
正确答案：说法正确解答参考：相似矩阵行列式值相同13.设A是m×n 阶矩阵且线性方程组Ax=b 有惟一解，则m≥n 。
正确答案：说法正确解答参考：（注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。
在线只需提交客观题答案。
)三、主观题(共12道小题)14.设A是m×n 矩阵, B是p×m 矩阵，则A T B T 是×阶矩阵。
参考答案：A T B T是n×p 阶矩阵。
15.由m个n维向量组成的向量组，当m n时，向量组一定线性相关。
参考答案：m>n时向量组一定线性相关16.参考答案：a=6(R( A )=2⇒| A |=0)17._________________。
参考答案：( 1 2 3 4 ) T+k ( 2 0 −2 −4 ) T。
因为R ( A )=3 ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为η2+ η3−2 η1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
18.时方程组有唯一解。
参考答案：当a=−2 时方程组无解，当a=1 时方程组有无穷多个解，当a≠1,−2 时方程组有唯一解。
19.参考答案：2420.参考答案：t=6 21.参考答案：22.参考答案：23.参考答案：24.已知方阵(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得参考答案：25.参考答案：本次作业是本门课程本学期的第1次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中，不是初等矩阵。
线性代数第二章矩阵(答案)
线性代数第二章矩阵(答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第一节 矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵23⨯A ，32⨯B ，33⨯C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC2．设)21,0,0,21(=C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ]（A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）03．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题：1．⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12125614321028244612．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=432112122121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101012121234B ，则=+B A 32⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--561252527813143．=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛496354．=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6520876三、计算题：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，4⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求A AB 23-及B A T;2294201722213222222222209265085031111111112150421321111111111323⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-A AB .092650850150421321111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--===AB B A A A A TT ，则对称，由线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第二节 逆 矩 阵一．选择题1．设*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1-*=A A A （B ）1-*=n AA （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=**A2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B |3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ）A A λλ= （B ）A A λλ= （C ）A A n λλ= （D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2 二、填空题：1．已知A B AB =-，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1221B ，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121211A 2．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ，则X = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-40132 3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则6421nBA -=-*4．设矩阵A 满足042=-+E A A ，则)2(21)(1E A E A +=--三、计算与证明题： 1．设方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 和12-+)(E A;2)2(2)(0212E A A A E E A A E E A A E A A -=⇒=-⇒=-⇒=---可逆，且 .43)2(2)2)(43(4)2)(3(04)2(3)2(023)2(0212EA E A E A EE A E A EE A E A E E A E A A E A E A A E A A --=++⇒=+--⇒-=+-⇒=++-+⇒=--+⇒=---可逆，且2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求A 的逆矩阵1-A解：设3)(ij a A ，则,24321)1(,12311)1(,02412)1(,144521)1(,61511)1(,21412)1(,324543)1(,131523)1(,414243333233231313223222221213113211211-=-=-=---==---==--==--==---=-=--=-=--=-=--=++++++++A A A A A A A A A从而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=214321613024*A .又由261412614512300121452431211312=--=--+----=c c c c A则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-1716213213012*1A A A3．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A 且满足B A AB 2+=，求 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⇒=-⇒+=321011330121011332)2(2B AB E A BA AB⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0111003210103300010111003210100110113011100352310011011)21(02220035231001101133011035231001101123211213303320110113211210110113303322132323131221r r r r r r r r r r r r r则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-011321330)2(1A E A B线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第三节（一） 矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------÷-÷-÷⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------22100221002210034311534101050066300884003431132312433023221453334311432141312r r r r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0000000000221003201130********02210034311212423r r r r r r二、把下列矩阵化为标准形：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------76750129880111104202132347310382373132420213473103823420217313214131221r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----410002120011110420212120041000111104202158432423r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--410002020020010400212141000202003011040021232414243r r r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+010*******000100000142410001010020010000012141000202002001000001243253221c c c c r r r r 三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1210232112201023A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100012100001102300101220010023211000121001002321001012200001102331r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----00101220030159401001210010023211000121003015940001012200100232134213r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612100043011100100012100100232122010120043011100100012100100232124342423r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------+1061210006311010010********11021231061210006311010011612021020112432123231434241r r r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+10612100063110100101000104211001221r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=∴-106126311101042111A 四、已知111101022110110014X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求X3132233131111011111011111010221100221100221101100140211130030232110123111101211022110020123322001010010133r r r r r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎛⎫ ⎪-- ⎪⨯-- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭21221511012100332611111010101012262622001010010133r r r ⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故15326111262013X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号 第三节（二） 矩 阵 的 秩一．选择题1．设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB = 0，则A 和B 的秩 [ D ] （A ）必有一个等于零 （B ）都等于n （C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都不等于n2．设n m ⨯矩阵A 的秩为s ，则 [ C ]（A ）A 的所有s －1阶子式不为零 （B ）A 的所有s 阶子式不为零（C ）A 的所有s +1阶子式为零 （D ）对A 施行初等行变换变成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000sE3．欲使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12554621231211t s 的秩为2，则s ，t 满足 [ C ]（A ）s = 3或t = 4 （B ）s = 2或t = 4 （C ）s = 3且t = 4 （D ）s = 2且t = 4 4．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则 [ B ]（A ）当n m >时，必有行列式0≠||AB （B ）当n m >时，必有行列式0=||AB （C ）当m n >时，必有行列式0≠||AB （D ）当m n >时，必有行列式0=||AB5．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有=B [ C ]（A ）21P AP （B ）12P AP （C ）A P P 21 （D ）A P P 12 二．填空题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A ，则=)(A R 22．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=12221232121a a a A 的秩为2，则a 应满足 a =-1或3三、计算题：1．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=02301085235703273812A ，求)(A R 。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数练习题二
1
，
4.
三、 计算题 I
1200 1 2 00
3 1 2 0 0 −5 2 0
1. 解：
=
0312 0 3 12
0031 0 0 31
−5 2 0 −5 2 0 = 1× 3 1=2 3 −5 0
0 31 0 0 1
−5 2 = = 19 .
3 −5
2. 解：（1）由 A2 +2A − 3E=O 得， A( A+2E ) =3E ，故 A−1 = 1 ( A+2E ) ， ( A+2E )−1 = 1 A ；
=0 ，取自由未知量
= 0
x3 =c1
，
x4 =c2
，
x1 3c1 − 4c2
故方程组的通解为：
x=
x2 x3
=
−2c1 + c1
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
（ c1，c2
∈
R）
x4 c2
1 −1 2 1 −1 2 1 −1 2
2. 解：（1）令 (a1,= a2 , a3 )
1 −1
（2）由于 1 =1>0 ，
=2>0 ， −1 3 2 = 0 2 2 =14 > 0 ，
−1 3
0 29029
故二次型为正定二次型. 四、 计算题 II
1 −1 −5 7
1. 解：(1)方程组的系数= 矩阵 A 为 A
2
3
0 −1 ；
1 2 1 −2
(2) A 化为行最简形矩阵：
1 −1 −5 7 1 −1 −5 7
−1
当 λ1 =
−1时，解方程
(
A+E
)
线性代数第二章练习题
第二章 矩 阵一、选择题 1．设矩阵4203a b a b d c +-æöæö=ç÷ç÷èøèø，则（ C ）（A）3,1,1,3a b c d ==-== （B）1,3,1,3a b c d =-=== （C）3,1,0,3a b c d ==-== （D）1,3,0,3a b c d =-=== 2．设矩阵()1,2A =，1234B æö=ç÷èø，123456C æö=ç÷èø，则下列矩阵运算中有意义的是（B）（A）ACB （B）ABC （C）BAC （D）CBA 3．设A 、B 均为n 阶矩阵，下列命题正确的是 C （A）0B 0A 0AB ==Þ=或 （B）0B 0A 0AB ¹¹Û¹且 （C）00==Þ=B A 0AB 或 （D）00¹¹Û¹B A 0AB 且 4．设A 、B 均为n 阶矩阵，满足22A B =，则必有（ D ） （A）A B = （B）A B =- （C）A B = （D）22A B=5．设A 为n 阶矩阵,且有A A 2=,则结论正确的是________D________ (A) 0A = （B）E A =(C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2= 6．设B A ,都是n 阶对称矩阵，下列结论不正确的结论是（ A ） （A）AB 为对称矩阵 （B）设B A ,可逆，则11--+B A 为对称矩阵（C）B A +为对称矩阵 （D）kA 为对称矩阵7．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） （A）T A A + （B）T A A - （C）T AA（D）T A A8．设A 为3阶方阵，且2A =，则12A -=（ D ） （A）-4 （B）-1 （C）1 （D）49．设A 为n 阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，则=*A k C （A） A n k （B） nk A（C）1-n nkA（D）nn kA1-10．设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则÷÷øöççèæ--1002B A T等于（ A ） （A）12)2(--B A n（B）1)2(--B A n （C）B A T2- （D）12--B A11．设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =，其中E 为n 阶单位阵，则必有（ D ）。
线性代数第二章矩阵(答案).docx
线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC2．设C (1, 0 ,0 ,1)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）03．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A二、填空题：1642011651．282342112412124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 4317353．1232657014913121400126784．13413120561402三、计算题：111设 A111，4111123B124，求 3AB2A 及 A T B0511111231113AB 2 A 3 111124 2 1111110511110582223 0562222902222132221720 ;4292111123058由 A对称，A T A，则 A TB AB11112405 6 .111051290线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（ A）AA A 1（ B）An 1（ C）( A)n A（ D）( A )0 A2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2E（C ） BA 2CE （ D ） CA 2 B E二、填空题：1121A ，其中 B21．已知 ABB，则 A2 11122．设2 54 6，则 X =2 13 1 X21 0433．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A2 ， B3 ，则 2 A B14n64．设矩阵 A 满足 A 2A4E0 ，则 ( A E) 11 ( A 2E)2三、计算与证明题：1． 设方阵 A 满足 A 2A 2E 0 ，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1A 2A 2 E 0A( A E ) 2 E A(A2 E ) EA 可逆，且 A 1AE ;2A 2 A 2E 0A( A 2E) 3A 2E 0A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0( A 3E )( A 2E) 4E ( A3E)( A 2E)E4A可逆，且 (A 2E)1A 3E41 2 12． 设 A3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1541解：设 A(a ij )3 ，则A 114 2 4,A 12( 1)1232 13, A 13( 1)133432,4 15154A21( 1)1221 2, A 22 ( 1)2211 6, A 23 ( 1)2312 14,41 5154A 31( 1) 13210, A 32 ( 1) 3211 1, A 33( 1) 3312 2,4232344 2 0 从而 A *1361 .32 142又由1 212c 11 00 2 1A3 4c 23 212254 1 c 3c1514 614 6A * 21 0则 A 113 31A27216 10 3 33． 设 A1 1 0 且满足 ABA2B ，求 B12 3AB A2B( A 2E) B A2 3 3 0 3 3 11 0 B 1 1 012 11 232 3 3 0 3 311 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1r 22 3 3 03 3 12 11 2 31 2 1 1 2 31 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 r 22r 10 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 13 25 3 r 3 r 11 13 32 2 211 0 11 0110 1 10 r 3 ( 1) 0 1 3 2 5 3 r 23r 3 0 1 01 2 32 0 0 1 1 1 00 011 11 0 0 0 3 3 r 1 r2 0 1 01 2 30 0 111 00 3 3 则 B ( A 2E) 1 A1 2 31 1线性代数练习题第二章矩 阵系专业 班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：1 1 3 4 3 r2 3r 1 1 134 3r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 222 3 2 0 r 3 2r 1 00 366 r 33 0 0 1 2 233 4 2 1r43r 1 0 0 5 10 10r45 012 211 34 3 11 023 r 3 r 2 0 0 1 2 2 00 1 2 2 r 4r 2 00 0 0 0 r 1 3r20 0 0 0二、把下列矩阵化为标准形：2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 23 1 3 7 0 1 1 1 132 83 0 r 1 r232 83 0 r 33r18 8 9 12 13 74 313 74 3 r 4 r 1 05 767122 4 122 4 r3 8r 2 0 1 1 1 1 01 1 1 1 r 45r 2 00 0 1 4 r 3 r40 2 1 20 212 00 0 14r 3 r 4 1 20 0 4120 040 1 1 0 31r 3 01 0 0 2r 2 r 4 r 20 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 420 00 140 141 0 0 0 0 r 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 20 1 0 0 2 0 1 0 0 0r 12r20 2 0 2 1r 3 0 0 1 0 1c52c 2c34c40 1 0 00 00 14 20 0 0 140 0 0 1 0三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵3 2 0 1 0 2 2 1A2 3 211 213 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 r 1 r 32 0 1 1 0 0 0 03 012 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 11 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 02 2 1 0 1 0 0 01 2 1 0 0 0 1 r 33r14 95 1 0 3 0 r 2 r44 95 1 0 3 0 01210 00 12210 10 01 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 12 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 1 r 42r 2 0 01 1 1 0 3 4 r 42r30 01 1 1 0 3 40 0210 10 2 0 00 12 1 6 10123 0 42 11 20120 0 1 1 2 2 r 12r4012 0 2 16 11 r 1 3r 3 0 1 00 01 0 1 r2 r 4 0 0 1 0 1 1 36 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 36 r 3 r 40 00 1 2 1 6100 12 16101 0 0 0 1 1 24 r 1 2r 2 0 10 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 360 00 12 1 6101 12 4 A10 1 0 1 1 1 3 62 1 6 101 1 1 1 0 1 四、已知0 2 2 X 1 1 0 ，求 X110 1 41 1 1 1 0 11 1 1 10 11 1 1 1 0 1 0 22 1 1 0 r3 r 1 0 2 2 11 0 r 3r 2 0 2 2 1 1 0uuuuuruuuuur11 01 40 2 1 1 1 30 03 0 231 1 0 12 21 111 0 13r 22r3 0 20 1r 310 2 2 1 1 0 123r r30 012 1 uuuuuuur20 1 0 1331 1 01221 01 5 33 26r 210 1 0111 r 1 r2 0 1 0 111226uuuuur26uuuuur220 0 1 010 0 1 013 31 5 32 6故 X1 1 12 62 13线性代数练习题第二章矩 阵系专业班姓名学号第三节（二）矩 阵 的 秩一．选择题1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩[ D]（ A ）必有一个等于零 （ B ）都等于 n（C ）一个小于 n ，一个等于 n（ D ）都不等于 n2．设 mn 矩阵 A 的秩为 s ，则[ C]（ A ） A 的所有 s（ B ）A 的所有 s阶子式不为零－ 1 阶子式不为零（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零（D ）对 A 施行初等行变换变成E s0 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 44．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0n m 时，必有行列式| AB |0a11a12a13a21a22a230105．设Aa21a22a23， Ba11a12a13， P1100，a31a32a33a31a11a32a12a33a13001100P2010，则必有 B[ C ] 101（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A二．填空题：31021．设A1 1 2 1 ，则 R( A)213441212．已知A 23a2应满足a=-1 或 3 1a的秩为 2，则 a22a21三、计算题：218371．设A230753258，求 R( A) 。
线性代数第二章习题及解答
··· ··· .. . ···
∗ ∗ . . .
2 a2 n1 + · · · + ann
(1)
(2)
2 2 由 A2 = 0 得到 a2 0 i1 + ai2 + · · · + ain = 0, i = 1, 2, . . . , n 于是 aij = ( ) 1 2 2 cos θ sin θ 8. 设 A = ,B = , C = 2 1 −2 − sin θ cos θ 2 −2 1
证明：|A−1 | =
|A| = ±1
1 |A|
注意到 A−1 的元素为正数所以其行列式必为整数， 即
1 |A|
为正数， 于是只有
若 |A| = ±1, 由于 A−1 = 整数.
A∗ |A|
注意到 Aij 为整数，于是 A∗ 的元素必为整数，则 A−1 的元素为
1 3 0 0 0
0 2
20 −1 −1 0 , P AP = 0 1 0 求 A 0 0 2 1 2 520 0 0 解：P AP −1 P AP −1 · · · P AP −1 = P A20 P −1 = 0 1 0 20 0 0 220 520 0 0 2 · 520 − 1 1 − 220 2 · 520 − 221 20 20 那么 A20 = P −1 2 · 520 − 221 0 1 0 P = 2 · 5 − 2 2 − 2 0 0 20 −520 + 1 −1 + 220 −520 + 221 19. 设 A, B, A + B 可逆， 证明 (A−1 + B −1 )−1 = A(A + B )−1 B
线性代数练习册CH2
《线性代数》练习册第二章 矩 阵§2.1矩阵的概念、§2.2 矩阵的运算1.设矩阵231231A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭, 123210B --⎛⎫= ⎪-⎝⎭．计算矩阵,AB BA , 并比较二者是否相等.2.举例说明下列命题不正确： （１）AB AC =，则B C =；（２）2A E =， 则A E =或A E =-.3. 设矩阵110011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 计算nA , 其中n 为正整数．4.设A 为n 阶矩阵，n 为奇数，且满足TAA E =，1A =．求A E -．5.设()1,2,3α=，()1,1/2,1/3β=,TA αβ=,求nA .6.设n 维行向量()11,0,,0,22α= ，矩阵,2αααα=-=+T T A E C E ，其中E 是n 阶单位阵，求AC ．7.设A 是n 阶实矩阵．证明: 如果TAA O =，则A O =．8.对于任意的n 阶矩阵A ，称其主对角线上n 个元素之和为A 的迹，用()tr A 表示，即1()nii i tr A a ==∑. 证明：对n 阶矩阵,A B ，有()()tr AB tr BA =.§2.3 几种特殊结构的矩阵1.设矩阵12n a a A a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中12,,,na a a 两两不同．证明：与A 可交换的矩阵必是对角阵．2. 设矩阵A 与任意n 阶方阵可交换，求A ．3.设A ,B 是n 阶反对称矩阵, 证明：(1)2A 是对称矩阵；(2) AB BA -是反对称矩阵．4.设A 是n 阶对称矩阵， B 是n 阶反对称矩阵．证明：AB 是反对称矩阵的充分必要条件是AB BA =．§2.4 方阵的逆矩阵1.设A 为n 阶矩阵，且232A A E O --=，其中E 为n 阶单位矩阵．证明：A 可逆，并求1A -．2.设A 为n 阶非零实矩阵，*T A A =．证明：A 是可逆矩阵．3.设A 是n 阶矩阵，证明：1*n A A-=．4.判断下列矩阵是否可逆, 如果可逆, 求其逆矩阵．（1）100120123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）143120223⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭5.设矩阵100130225012A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，试求()1*T A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．§2.5 分块矩阵1. 设矩阵3411431100200022A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵求8A ．2.已知1110012100113000004000002A ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，求1.A -3. 设四阶矩阵A =()234,,,αγγγ，()234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式4, 1.A B ==求A B +．4. 设000000100010a a A b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭, 100010000000cc Bd d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 用矩阵的分块乘法求AB .5.设A ,B 是n 阶矩阵．证明：+A BA B A B B A=-．6.设A ,B 分别是m 阶，n 阶可逆矩阵，C 为n m ⨯矩阵．证明：分块矩阵O A C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭可逆，并求1O A C B -⎛⎫⎪⎝⎭．§2.6 矩阵的初等变换与初等矩阵1. 设A 为n 阶可逆矩阵，B 是A 交换第i 行和第j 行所得的矩阵． （1）证明：B 是可逆矩阵．（2）求1AB -．2. 设A ，B 为三阶矩阵，将A 的第1行的（-2）倍加到第3行得到1A ，将B 的第1列乘以 (-2) 得到1B ，已知11031257486A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求AB ． 3. 设矩阵122221425A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，101021000B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，问是否存在可逆阵P ，使得PA B = ？若存在，试求P ．4. 用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵．（1）A =111011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）A =111210110-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭5. 已知三阶矩阵A 的逆矩阵1111121113A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试求其伴随矩阵*A 的逆矩阵．6. 解下列矩阵方程：35412(1)12301X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．211113(1)210432111X -⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭7. 设1111111111111111A --⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭. (1) 求2A ．(2) 证明2A E +可逆，并求1(2)A E -+.8. 设矩阵A =111111111-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭，已知*12A X A X -=+，试求矩阵X ．9. 已知n 阶矩阵A =100110111⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，求A 中所有元素代数余子式的和.§2.7 矩阵的秩1．已知矩阵33021430.1562A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）计算A 的所有三阶子式；（2）利用（1）的结果求矩阵A 的秩.2．把矩阵11210224203061103001-⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎪⎝⎭化为阶梯形, 并求其秩.3．讨论参数λ的取值，确定下列矩阵A 的秩:（1）11121123224A λ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.（2）31144101171732243A λ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭．4.设B 是一个r r ⨯矩阵，C 是一个r n ⨯矩阵，且()r C r =．证明： （1）如果BC O =，那么B O =； （2）如果BC C =，那么B E =．第二章综合练习题A一、填空题1． 设A 为n 阶方阵，B 满足关系式1()2A B E =+，且2A A =，则2B =________. 2． 设A 为n 阶方阵，且mA E =，其中m 为正整数．若将A 的2n n 2个元素用其代数余子式ij A 代替，得到的矩阵记为B ，则mB =_________.3． 设A ，B 均为n 阶矩阵，=2=3A B -，,则*12A B -=____________.4． 设矩阵A ，B 满足*28A BA BA E =-，其中A =100020001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则B =_________.5． 已知A =111102110210⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，B 为4阶方阵, 且0B ≠，则()r AB =________. 二、选择题1． 设三阶矩阵()23,2,3TA αγγ=，()23,,2TB βγγ=，其中23,,,αβγγ均为三维行向量，已知18A =，2B =，则A B -=（ ）（A ）1 . (B) 2. (C) 3. (D) 4.2． 若a b b A b a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ）．（A ）20a b a b =+=或 （B ）20a b a b =+≠或 （C ）20a b a b ≠+=且. （D ）20a b a b ≠+≠且3． 若A 为n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）．（A ）11()=()kk A A -- （B ）()=()T kk TA A （C ）**()=()k kA A （D ）**()=kA kA . 4． 设A ，B 为n 阶矩阵，*A ，*B 是其伴随矩阵，A O C O B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则*C （ ）． （A ）**O OA AB B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（B ）**O O B B A A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（C ）**O O B A A B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（D ） **O O A B B A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭三、计算题1． 设n 阶方阵A =01000020*******n n ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭（1） 求1A -.（2） 求A 的第i 行的代数余子式之和12i i in A A A +++ .2． 设A ，B 为三阶矩阵，将A 第1行的（-3）倍加到第3行得到1A ，将B 的第1列乘以（-3）得到1B ，再将1B 的第2列加到第1列得到2B ，已知12012101243A B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求AB ．四、证明题1． 设,A B 均为n 阶方阵，且0B ≠，1()=()TA EB E ---，证 明 ：0A ≠.2. 设,A B 及11A B --+均为n 阶可逆矩阵，证明A B +可逆，且111111()()A B A A A B A ------+=-+.第二章综合练习题B一、填空题1． 已知当A=1212⎛⎪⎪⎪⎭时，6A E =，则11A =__________. 2． 设,,A B C 均为n 阶方阵，且AB BC CA E ===，则222A B C ++=_______.3． 设1A -存在，且2A A E =，则1*()A -=____________. 4． 设,A B 均为n 阶方阵，且2,3A B ==-，则*1A B -=____________.二、判断说明题1． 设n （n >2）阶实矩阵()ij n n A a O ⨯=≠, 且ij ij a A =(,1,2,,)i j n = ,其中ij A 是元素ija的代数余子式．则有TAA E =．2． 设A 为n （n >1）阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵．则()*n-2*=A AA .3． 设A 为n （n >1）阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵．则*0A =的充分必要条件是0A =4． 设A 为n （n >1）阶方阵，则()1r A =的充分必要条件是T A αβ=，其中12(,,,) T n a a a α=，12(,,,) T n b b b β=，这里i j a b 不全为零(,1,2,,) i j n =．三、计算题1． 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求伴随矩阵*A 的逆矩阵.2． 设矩阵A 的伴随矩阵*100001001010038A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪-⎝⎭，且113ABA BA E --=+．求矩阵B ．四、证明题1． 设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数．记分块矩阵*T E O P AA α⎛⎫= ⎪-⎝⎭，T A Q b αα⎛⎫= ⎪⎝⎭（1） 计算并化简PQ ；（2） 证明：Q 可逆的充分必要条件是1T A b αα-≠．2． 设n 阶矩阵TA E ξξ=-，其中ξ是n 维非零列向量．证明：（1） 2A A =的充要条件是Tξξ=1.（2） 当Tξξ=1时，A 是不可逆矩阵.。
线性代数与解析几何练习题(2007级秋)(2)
（2） 若AB = 0, 则B = 0
4、 设 n 阶方阵 A 不是单位方阵，且 A 2 = A ，试证明 (1) A 是不可逆矩阵，并求逆矩阵。
(2) A + I与A − 2 I 均为可逆矩阵，
6、 设同阶方阵 A, B ，其中 B 可逆，且满足 A 2 + AB + B 2 = 0 ，证明 A和A + B 可逆。
⎡1 0 1 ⎤ ⎥ ⎢ 1、设 A = 0 2 0 ，而 n ≥ 2 为正整数，求 An − 2 An −1 。 ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣1 0 1 ⎥
⎛ 0 − 2 0⎞ ⎜ ⎟ 2、假设矩阵 A, B 满足 A − B = AB ，其中 A = ⎜ 1 − 2 0 ⎟ .求。 ⎜ − 1 2 0⎟ ⎝ ⎠
7、画出由半锥面 z = x 2 + y 2 与曲面 x 2 + y 2 = 2 − z 所围成空间图形的草图。
8、由与平面 z = −1 及点 M (0, 0,1) 等距离运动的动点 P ( x, y , z ) 所生成的曲面记为 π 1 ，将
yOz 平面上曲线 ⎨
⎩
1. π 1 的方程是：
⎧
y2 + z = 5 以 z 轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为 π 2 。则： x=0
2002
⎛ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
5、设方阵 A 满足 A2 + A − 4 I = 0, 其中I 为单位矩阵, ， 则(A − I )−1 = _____________ 。
(二)选择题
1、设 n 阶矩阵 A, B, C 满足ABC = I , I 为单位矩阵 ，则必有 （A） ACB = I （B） BCA = I （C） CBA = I （D） BAC = I （ ）
线性代数第二章习题及解答
解：令 X
−1
比较矩阵等式得
4
AX21 = E, AX22 = 0, BX12 + CX22 = E, BX11 + CX21 = 0, 于是 X21 = A−1 , X22 = 0 X12 = B −1 , X11 = −B −1 CA−1 15.A 的元素均为整数， 求证 A−1 的元素均为整数的充要条件是 |A| = ±1
那么 1 1 0 1 0 0 0 0
A=0 0 0 1 0 , 分别求 A−1 , B −1 1 1 0 1
和 C −1
(
解:A−1 = sin θ cos θ 1 2 2 B −1 = 1 1 −2 9 2 2 −2 1
cos θ
− sin θ
)
2
C
−1
0 = 0 0
1
−1 0 0
1 −1 1 0 2
1 −1
1 −1 1 −1
2 1
1 1 1
1 = 1
9.解矩阵方程
3
1 2 −1 2
0 X = −1 0 ; 10.解矩阵方程A 0 1 −2 3 1 0 0
aa7a是实对称矩阵且注意到ax我们仅对矩阵ab进行行初等变换将10如法炮制恕不赘述其结果为11
第二章练习题解答
( 1. 设 A = , 计算： 2A, 3B, A + B, 2A − 3B 1 1 1 3 1 1 2. 设 A = 2 1 2 , B = 2 −1 0 , 求 AB − BA. 1 0 2 1 2 3 1 a11 a12 · · · a1n 2 a21 a22 · · · a2n 0 3. 计算 . . . . . . . . . .. . an1 an2 · · · ann 0 ( ) ( ) ( 2 3 1 0 2 4. 已知 A = P ΛQ, 其中 P = ,Λ = ,Q = 1 2 0 −1 −1 2 −1 ,B = 1 2 A8 , A9 , A2n , A2n+1 , (n 为正整数) 解:An = P ΛQP ΛQ · · · P ΛQ
线性代数习题
第三章练习题（二）一、填空题1. 设A 是5阶矩阵，如果齐次线性方程组0=Ax 的基础解系有2个解，则=*)(A R 。
2. 若B A,都是n 阶非零方阵，且O AB =，则)(A R n 。
3. 设),,2,1(0,0n i b a i i =≠≠，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111A ，则矩阵A 的秩=)(A R 。
4. 若齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,0321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足的条件是 。
5. 如果非齐次线性方程组b Ax =有解，则它有惟一解的充要条件是其对应的齐次方程组0=Ax 。
6. 如果n 元线性方程组b Ax =有解，r R =)(A ，则当 时，有惟一解；当 时，有无穷多解。
7. 已知线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+03121232121321x x x a a无解，则=a 。
二、选择题1. 设A 是n 阶方阵，且A A =2，则必有（ ）。
（A ）A 的秩为n （B ）A 的秩为零（C ）A 的秩与A E -的秩之和为n （D ）A 的秩与A E -的秩相同2. 若n 阶矩阵A 的伴随矩阵O A ≠*，又O AA =*，则)(A R 必等于（ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）1-n （D ）n3. 设A 是n m ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩为1r ，则（ ）。
（A ）1r r > （B ）1r r < （C ）1r r = （D ）r 与1r 的关系依C 而定4. 如果矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++--=117404632321111032211a a a a A ，则A 的秩)(A R （ ）。
（A ）必为 （B ）必为3 （C ）可能为2，也可能为3 （D ）可能为3，也可能为45. 设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ）。
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线性代数基础训练习题二
一．选择题:
1. 设为矩阵，B为矩阵，且,则矩阵为（ ）
（A）矩阵；（B）矩阵；（C）矩阵；（D）矩阵
2.设为阶方阵，且,则必有（ ）
（A）；（B）；（C）；（D）
3. 设为阶方阵，则必有（ ）
（A）；（B）；
（C） ； （D）
4.设为n阶矩阵的伴随矩阵，则下列结论不正确的是（ ）
（A）若可逆，则也可逆；（B）若是零矩阵，则也是零矩阵；
（C）若可逆，则也可逆；（D）若是零矩阵，则也是零矩阵；
5.矩阵都是可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）
（A）是可逆矩阵；（B）的转置矩阵是可逆矩阵；
（C）是可逆矩阵；（D）是可逆矩阵。
6.设为阶方阵，且，则必有（ ）
（A）；（B）；（C）；（D）A不是可逆矩阵
7.将矩阵的第一行与第三行元素互换位置，再把第一行每个元素的-3倍，加到第二行对应的元素上，得到矩阵B，则矩阵B是（ ）
（A）；（B）；
（C）（D）；
8．对于方阵A进行一系列初等变换，下列选项中可能变化的是（ ）（A）A的秩；（B）A的行列式；（A）A的行数；（D） A的列数
9.设5阶矩阵A的秩是3，则有A的伴随矩阵的秩（ ）
（A）；（B）；；（D）
二．填空题:
1. 已知3阶矩阵的行列式，则有。
2. = 。
3设3阶矩阵A的伴随矩阵为，，则 .
4设，则 .
5设，则 .
6.将3阶矩阵A的第一行元素都乘以2加到第三行对应元素上去得到矩阵B，相当于在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵P就会得到矩阵B，这个初等矩阵P =。
7将3阶矩阵A的第一列元素加到第三列对应元素上去得到矩
阵B，相当于在A的右边乘以初等矩阵P= 得到B.
8.矩阵的秩 .
9已知的秩为2，则。
10.设，则
三．计算题:
1.设矩阵和，求。
2. 设矩阵，求。
3.设矩阵，求此矩阵的逆矩阵。
4.已知及使,求.
5.已知且,求.
6.设三阶矩阵满足：，且，求.
7.用初等变换法求的逆矩阵
8.将矩阵化为行阶梯矩阵，并求其一个最高阶的非零子式。
9.求矩阵的秩：（1）；（2）
10.设为3阶矩阵，是的伴随矩阵，，求
四．证明题：
1.设为阶矩阵，是的伴随矩阵，证明：的充分必要条件是。
2. 设方阵，和都可逆，证明：可逆，并求其逆矩阵。
3. 设方阵满足为，证明：及可逆，并求它们的逆矩阵。
4. 设为阶矩阵，且，证明：。