9 图 习题答案

练习9.1

1.（l）证明：n个顶点的简单图中不会有多于

2)1

(-

n

n

条边。

（2）n个顶点的有向完全图中恰有2n条边。

证:

（l）由于简单图是没有重边和环的无向图，所以任意两个顶点之间最多有1条边，n个顶点最多有C(n,2)=n(n-1)/2条边。

（2）由于有向完全图是任何两个顶点都有有向边的图，所以n个顶点的边数总和为

2

n

n

n

n

n

n

n=

⨯

=

+

+

+

+Λ

2. 分别画出下面两个图的补图及它的一个生成子图。

（1）

（2）

解:

（1）补图生成子图(不唯一)

（2）补图生成子图(不唯一)

3. 一个简单图，如果同构于它的补，则该图称为自补图。

（1）给出一个4个顶点的自补图。 （2）给出一个5个顶点的自补图。

（3）是否有3个顶点或6个顶点的自补图？

（4）证明一个自补图一定有4k 或4k ＋1个顶点（k 为正整数）。 解 （1）4个顶点的自补图： （2）5个顶点的自补图：

（3）没有。

（4）证 设G 为自补图，有n 个顶点。我们已知n 个顶点的完全图有 2

)

1(-n n 条边，因此G 应恰有

4

)

1(-n n 条边。故或者n 是4的整数倍，或者n –1是4的整数倍，即图G 一定有4k 或4k ＋1个顶点（k 为正整数）。

4. （l ）证明图中（a ）与（b ）同构。 (a) (b)

（2）给出所有不同构的4个结点的简单图的图示。

证（l ）在图（a ）图（b ）间建立双射h

可逐一验证 (不赘)

α β

γ

(u,v)∈E(a)当且仅当(h(u),h(v))∈E(b)

（2）所有不同构的4个结点的简单图的图示有如下11个：

练习9.2

1.证明：在简单无向图G中，从结点u到结点

v,

如果既有奇数长度的通路又有偶数长

度的通路，那么

G中必有一奇数长度的回路。

证设

G中，从结点u到结点v的奇数长度的通路为O ，偶数长度的通路为E。对O 和

E的除结点u和v的相交结点的数目归纳k。

k=0,那么O和E恰好构成G的奇数长度的回路。

设奇数长度的通路与偶数长度的通路的相交结点的数目少于k时，命题成立。

设图G中，从结点

u到结点v的奇数长度的通路与偶数长度的通路有k个相交结点，如图所示：

考虑结点u到结点k,如果从结点u到结点k,既有奇数长度的通路又有偶数长度的通路，那么据归纳假设，其中有一奇数长度的回路，因而G中必有一奇数长度的回路。如果从结点u到结点k的两条通路均为偶数长度，或均为奇数长度，那么结点k到结点v必然既有奇数长度的通路又有偶数长度的通路，因而构成一奇数长度的回路。

2.证明：若简单无向图G是不连通的，那么G¯必定是连通的。

证设简单无向图G是不连通的，那么G由两个不相关的子图（没有任何边关联分别在两个子图中的顶点）G1，G2组成，分别有顶点，u1,u2,…,u k和v1,v2,

…,v l。由于边

（u i ,v j）均不在G中（

i=1,2,…,k, j=1,2,…,l）

因此（u i ,v j）全部在G¯中，从而G¯是连通的。

3.给出下图中有向图的强分图，单向分图和弱分图。

4.

u 1 2 …k v

10

v

解图中有向图的强分图有：

<{v1,v2},{,}> ,

<{v3,v4,v5},{,,,}>,

<{v6},{}> ,

<{v7,v8,v9},{,,}>,

<{v10},{}>

图中有向图的单向分图有：

<{v1,v2,v3,v4,v5,v6},{,,,,,,, ,}> ,

<{v7,v8,v9,v10},{,,,}>

图中有向图的弱分图有：

<{v1,v2,v3,v4,v5,v6},{,,,,,,, ,}> ,

<{v7,v8,v9,v10},{,,,}>

4. 有7个人a，b，c，d，e，f，g分别精通下列语言，问他们7人是否可以自由交谈（必要时借助他人作翻译）。

a 精通英语。

b 精通汉语和英语。

c 精通英语、俄语和意大利语。

d 精通日语和英语。

e 精通德语和意大利语。

f 精通法语、日语和俄语。

g 精通法语和德语。

解下图中7个顶点表示7个人，关联两个顶点的边表示两个人同时精通某一种语言：

a

b d

c

e g

f

由于该图是连通的，因此他们7人是可以自由交谈（必要时借助他人作翻译）。

5. v是简单连通图G的割点，当且仅当G中存在两个顶点v1，v2，使v1到v2的通路都经过顶点v 。试证明之。