高等数学电子教案1-1

则称函 f(x)在 数区 I上 间是单调 ; 增加的
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o
x
I
设 函 数 f( x ) 的 定 义 域 为 D ,区 间 I D ,
如果 I上 对任 于 x 1 及 x 2 意 ,区 当 x 1 两 x 2 间 时 , 点 恒 ( 2 )f有 (x 1 ) f(x 2 ), 则称函 f(x)在 数区 I上 间是单调 ; 减少的
-x f(x)
y
o 奇函数
yf(x)
f (x)
xx
4．函数的周期性:
设函f数 (x)的定义D 域, 如为果存在一个不为零的
数 l,使得对 x于 D ,(x 任 l)D 一 .则称 f(x)为周
期函 ,l称 数 f为 (x)的周 .且 期 f(xl)f(x)恒成 .
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
y
y
f (x)
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例,如 f(x) 2 xx 2 1 1,,
x0 x0
yx2 1
y2x1
例1 一列火车运行时每小时的费用由两部分组成，
一部分是固定费用a，另一部分与火车的平均速度x 的立方成正比（比例系数k），用y表示一列火车连 续运行路程s所需的总费用，试将y表示成x的函数。
5.绝对值: a aa
a0 a0
运算性质:
abab;
(a 0)
a
a ;
bb
a b a b a b .
绝对值不等式:
xa(a0)
axa ;
xa(a0)
xa或 x a;
二、函数概念
例 圆内接正多边形的周长
S3
S4
Sn
2nrsin n
n 3 ,4 ,5 ,
S5
S6
圆内接正n 边形
O
r
n
定 义 设 x 和 y 是 两 个 变 量 , D 是 一 个 给 定 的 数 集 ， 如 果 对 于 每 个 数 xD, 变 量 y按 照 一 定 法 则 总 有
数 {xx 集 a } 称a 的 为 邻 ,点 域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
U ( a ) { x a x a } .
a
a
a x
点a的去心 邻的 域 , 记作 U0(a).
U ( a ) { x 0 x a } .
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
1．函数的有界性:
若 X D , M 0 , x X ,有 f ( x ) M 成 ,
则称f(函 x)在 X 数 上有 .否界 则称 . 无界
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
2．函数的单调性:
设 函 数 f( x ) 的 定 义 域 为 D ,区 间 I D ,
如果 I上 对任 于 x 1 及 x 2 意 ,区 当 x 1 两 x 2 间 时 , 点 恒 ( 1 )f有 (x 1 ) f(x 2 ),
3l 2
l 2
l 2
3l 2
四、反函数
y
函y数 f(x)
y
反函 x数 (y)
y0
W
y0
W
o
x0
xo
x0
x
D
D
y 反函 y 数 (x)
Q(b,a)
直接函 yf数 (x)
o
P(a,b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 yx对称.
谢谢您 聆听
Thank you
确 定 的 数 值 和 它 对 应 ， 则 称 y是 x的 函 数 ， 记 作
yf(x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
函数值全体组成的数集 W{yyf(x),xD}称为函数的 . 值域
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0)
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如 y， 1x2 例如y， 1
1x2
D:[1,1] D:(1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
(x, y)
y
[x]表示不超过 x的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
yD(x)10
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数
y mf( a x )g x ,(x ){}y mf(ix )n g ,(x ) {}
y
y f (x)
f ( x1)
f (x2 )
o
x
I

3．函数的奇偶性:
设 D 关于原 , 对 点 x 于 对 D , 有 称 f( x ) f(x ) 称f(x)为偶函 ; 数
y yf(x)
f(x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
设 D 关于原 , 对 点 于 x对 D , 有 称 f( x ) f(x ) 称f(x)为奇函 ; 数
解 :火 车 连 续 运 行 路 程 s所 需 的 时 间 为 s x
所 需 的 总 费 用 为 :
y s (a kx3) x
asksx2,(0x) x
例2
设 f(x) x2x 2x
x0,求f(x). x0
(x)2 x0
解
f(x) (x)2(x) x0
x2 x 0
x
2
x
x0
三、函数的特性
则叫与多值函数．
o
x
x
例 如 ， x 2 y 2 a 2 是 多 值 函 数 . D
定义: 点C 集 {x (,y)yf(x)x ,D }称为
函y数 f(x)的图 . 形
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
y
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
1
o
x
-1
xsgxn x
(2) 取整函数 y=[x]
高等数学电子教案1-1
{xaxb} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{xaxb} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {xax} (,b ){xxb }
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设 a与 是两个 , 且 实 0.数