工程力学第二章
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工程力学第2章静力学
力使物体运动状态发生变化的效应称为力的外效应或运动效应(移动和转动)。
力使物体形状发生改变的效应称为力的内效应或变形效应；
力的单位，在采用国际单位为：
牛顿（N）、或千牛顿 （KN）
2.力的三要素
力对物体的作用效果取决于力的 大小、方向 与作用点
力的大小反映了物体间相互作用的强弱程度。
力的方向指的是静止质点在该力作用下开始运 动的方向。 力的作用点是物体相互作用位置的抽象化。
该定律是受力分析必须遵循的原则。
作用力与反作用力
2.4 力对点之矩
力对物体除了移动效应以外，还有对物体的转动效应。 观察扳手拧紧螺母的过程，说明拧紧程度与什么有关？
拧紧螺母时，其拧紧程度不仅与力 F 的大小有关，而 且与转动中心（O点）到力的作用线的垂直距离d有关 。
2.4.1 力对点之矩 —— 力矩
E
B
C
B
C
FNB
FNC
练习3
球W1、W2置于墙和板AB间，BC为绳索。 画受力图。
(b)
FNK
W2 FNK W2 FNH FNE
AF
Ay
FT FND W 1
AF
C
W2 FAx
B (d)
FT FD
D
FND W1
B
FNH
W1
A
K
W2
E FAx H (a)
FNE
FND W1
(c)
Ay
FNE
FNH
FT
2.2.1 公理1 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合 力。合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由以这 两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图。
力使物体形状发生改变的效应称为力的内效应或变形效应；
力的单位，在采用国际单位为：
牛顿（N）、或千牛顿 （KN）
2.力的三要素
力对物体的作用效果取决于力的 大小、方向 与作用点
力的大小反映了物体间相互作用的强弱程度。
力的方向指的是静止质点在该力作用下开始运 动的方向。 力的作用点是物体相互作用位置的抽象化。
该定律是受力分析必须遵循的原则。
作用力与反作用力
2.4 力对点之矩
力对物体除了移动效应以外，还有对物体的转动效应。 观察扳手拧紧螺母的过程，说明拧紧程度与什么有关？
拧紧螺母时，其拧紧程度不仅与力 F 的大小有关，而 且与转动中心（O点）到力的作用线的垂直距离d有关 。
2.4.1 力对点之矩 —— 力矩
E
B
C
B
C
FNB
FNC
练习3
球W1、W2置于墙和板AB间，BC为绳索。 画受力图。
(b)
FNK
W2 FNK W2 FNH FNE
AF
Ay
FT FND W 1
AF
C
W2 FAx
B (d)
FT FD
D
FND W1
B
FNH
W1
A
K
W2
E FAx H (a)
FNE
FND W1
(c)
Ay
FNE
FNH
FT
2.2.1 公理1 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合 力。合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由以这 两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图。
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
《工程力学》课件第2章
图 2.3
1.
平移力 F1 , F2 …, Fn 组成的平面汇交力系的合 力 FR , 称为原平面任意力系的主矢。FR 的作用点在简化中
心O点， 大小等于各分力的矢量和，即
（2.2）
在平面直角坐标系中，则有
（2.3） （2.4）
式中，
分别为主矢 和各力在x、 y轴上的投影；
为主矢的大小； α为 与x轴所夹的锐角，的指向由∑Fx和
主矢的大小为
主矢的方向为
由于∑Ｆx和∑Fy都为正，因此主矢 指向第一象限
。
主矩的大小为
主矩的转向为逆时针方向。 力系向O点简化的结果如图2.4(b)所示。
(2) 由于 FR ０ ，MO≠0，根据力的平移定理的逆过程，可
将主矢 F与R主矩MO简化为一个合力FR。合力FR的大小、方向 与主矢 F相R 同，FR的作用线与主矢的作用线平行， 但相距
又如， 图2.1(b)所示的曲柄连杆机构受到转矩M、阻力F 以及约束反力FAx、FAy、FN的作用，显然这些力也构成了平面 力系。平面力系根据其中各力的作用线分布不同又可分为平 面汇交力系(各力的作用线汇交于一点)、平面力偶系(全部由 力偶组成)、平面平行力系(各力的作用线互相平行)和平面任 意力系(各力的作用线在平面内任意分布)。
由例2.2的讨论可知， 平面任意力系的平衡方程除了式 （2.6）所示的基本形式以外， 还有二力矩形式和三力矩形式， 其形式如下：
(2.7)
其中，A、B两点的连线不能与x轴(或y轴)垂直。
(2.8)
其中， A、 B、 C三点不能共线。 在应用二力矩形式或三力矩形式时， 必须满足其限制条
件，否则所列三个平衡方程将不都是独立的。
图 2.6
解 (1)选圆球为研究对象， 主动力：重力G 约束反力：绳子AB的拉力FT、斜面对球的约束力FN。受 力图如图2.6(b)所示。 (2) 建立直角坐标系Oxy， 列平衡方程并求解。
工程力学第2章PPT课件
解 （1）取球O为研究对象，画分离体受力图，如图2-9b。 这是一平面汇交力系。
（2）建立坐标系Oxy轴如图2-9b。 （3）列平衡方程，并求解：
-
29
第2章 平面汇交力系
F ix 0 F T G c6 o 0 s 0
FT 0.5kN
F iy 0 F N G si6n 0 0
FN0.86k6N
由F iy0,得
F BC F T1co 3 s0 F T2 co 6s 0 0
3 1 31 F B C F T 12 F T 2 2 G 2 G 2 2.3 7 k 2N
-
35
第2章 平面汇交力系
例2-6 在图2-11a所示的机构中，杆AB和BC长度相等，A、 B、C处均为铰链连接。在B铰链处作用一竖直力FP=1kN，向 下推动B点而使压块C向右压紧工件，已知压紧工件时，，不 计零件自重及各处摩擦，求工件所受压紧力。
解 （1）由于滑轮B上作用着已知力和未知力，故取滑轮B 为研究对象，画其受力图。滑轮受钢丝绳拉力FT1与FT2作用， 且FT1=FT2=G。滑轮同时还受到二力杆AB与BC的约束反力FBA 和FBC作用，滑轮在四个力作用下处于平衡，由于滑轮尺寸不计， 这些力可看作平衡的平面汇交力系，滑轮B的受力图如图2-10d 所示。
-
19
第2章 平面汇交力系
图2-6
-
20
第2章 平面汇交力系
2.2 平面汇交力系的平衡
2.2.1平面汇交力系平衡的几何条件
设物体在A点受到五个力F1、F2、F3、F4、F5组成的平面汇 交力系作用而处于平衡状态，如图2-7（a）所示。我们可以用
力多边形法则求得其中任意四个力（如F1、F2、F3、F4）的合 力FR1，则原力系（F1、F2、F3、F4、F5）与力系（FR1，F5） 等效，如图2-7（b）所示。由于原力系是平衡力系，故力系
（2）建立坐标系Oxy轴如图2-9b。 （3）列平衡方程，并求解：
-
29
第2章 平面汇交力系
F ix 0 F T G c6 o 0 s 0
FT 0.5kN
F iy 0 F N G si6n 0 0
FN0.86k6N
由F iy0,得
F BC F T1co 3 s0 F T2 co 6s 0 0
3 1 31 F B C F T 12 F T 2 2 G 2 G 2 2.3 7 k 2N
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第2章 平面汇交力系
例2-6 在图2-11a所示的机构中，杆AB和BC长度相等，A、 B、C处均为铰链连接。在B铰链处作用一竖直力FP=1kN，向 下推动B点而使压块C向右压紧工件，已知压紧工件时，，不 计零件自重及各处摩擦，求工件所受压紧力。
解 （1）由于滑轮B上作用着已知力和未知力，故取滑轮B 为研究对象，画其受力图。滑轮受钢丝绳拉力FT1与FT2作用， 且FT1=FT2=G。滑轮同时还受到二力杆AB与BC的约束反力FBA 和FBC作用，滑轮在四个力作用下处于平衡，由于滑轮尺寸不计， 这些力可看作平衡的平面汇交力系，滑轮B的受力图如图2-10d 所示。
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第2章 平面汇交力系
图2-6
-
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第2章 平面汇交力系
2.2 平面汇交力系的平衡
2.2.1平面汇交力系平衡的几何条件
设物体在A点受到五个力F1、F2、F3、F4、F5组成的平面汇 交力系作用而处于平衡状态，如图2-7（a）所示。我们可以用
力多边形法则求得其中任意四个力（如F1、F2、F3、F4）的合 力FR1，则原力系（F1、F2、F3、F4、F5）与力系（FR1，F5） 等效，如图2-7（b）所示。由于原力系是平衡力系，故力系
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
工程力学第二章基本理论
力在任一轴上的投影可求，力
沿一轴上的分量不可定。
8
合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分 力在该轴上之投影的代数和。
由合力投影定理有：
ac-bc=ab FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx
FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy
正交坐标系有: FRx = FRx ; FRy = FRy
FR
非自由体： 运动受到限制的物体。
吊重、火车、传动轴等
FT
。
W
约束：
限制物体运动的周围物体。如绳索、铁轨、轴承。
约束力： 约束作用于被约束物体的力。
是被动力，大小取决于作用于物体的主动力。
作用位置在约束与被约束物体的接触面上。
作用方向与约束所能限制的物体运动方向相反。
20
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约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
1
一般问题
(复杂问题)
抽象与简化 分析求解
验证
基本问题：
(1)受力分析—分析作用在物体上的各种力 弄清被研究对象的受力情况。
(2)平衡条件—建立物体处于平衡状态时， 作用在其上各力组成的力系 所应满足的条件。
(3)应用平衡条件解决工程中的各种问题。
2
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第二章 刚体静力学基本概念与理论
2.1 力 2.2 力偶 2.3 约束与约束反力 2.4 受力图 2.5 平面力系的平衡条件
G
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3)可确定作用点的约束
固定铰链： 约束反力FRA，过铰链中心。
大小和方向待定，用FAx、FAy表示
y
FAy
FA FAy
A
FAx
工程力学第二章(力系的平衡)
{
平衡方程其他形式： 平衡方程其他形式：
Σ Fx = 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MC（F）= 0
A
B
x
A、B 连线不垂直于x 轴 连线不垂直于x
（两矩式） 两矩式）
{
C B A C
（三矩式） 三矩式）
A、B、C三点不 在同一条直线上
l FC C B F
∑F x
y
∑M ( F) = 0,
A
F cos 45 ⋅l − F ⋅ 2l = 0 C
y FAy AF
Ax
l C FC
l x
45
B F
3、解平衡方程，可得 解平衡方程，
FC = 2 F cos 45 = 28.28 kN
FAx = − FC ⋅ cos 45 = −2 F = −20 kN
平面任意力系平衡方程讨论： 平面任意系平衡方程讨论：
{
x
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO= 0
请思考：x , y 的选择是否有一定任意性？ 请思考： 的选择是否有一定任意性？
x y y x
y
例4 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连 支架的横梁AB与斜杆 彼此以铰链 与斜杆DC彼此以铰链C
FBC cos 60 − G − Fcos 30 = 0
FBC = 74.5 kN
联立求解得 FAB = −5.45 kN
约束力F 为负值， 约束力FAB为负值，说明该力实际指向与 图上假定指向相反，即杆AB实际上受 实际上受拉 图上假定指向相反，即杆AB实际上受拉力。
解析法的符号法则： 解析法的符号法则：
平面任意力系平衡的充分必要条件： 平面任意力系平衡的充分必要条件：
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
工程力学第2章轴向拉伸压缩与剪切
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
F
N （＋） N
F
F
N （－） N
F
轴力一般按正方向假设。
3、轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
N
4、轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 (四个阶段)
⑴、弹性阶段:OA
OA’为直线段； E
AA’为微弯曲线段。
p —比例极限； e —弹性极限。
一般这两个极限相差不大， 在工程上难以区分，统称为弹 性极限
低碳钢拉伸时的四个阶段
⑴、弹性阶段:OA, ⑵、屈服阶段:B’C。
s —屈服极限
屈服段内最低的应力值。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N1
A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力N1：设截面如图
X 0 FD FC FB FA N1 0
N4= F
FD
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
轴力图如下图示
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N 2F
5F
F
N （＋） N
F
F
N （－） N
F
轴力一般按正方向假设。
3、轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
N
4、轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 (四个阶段)
⑴、弹性阶段:OA
OA’为直线段； E
AA’为微弯曲线段。
p —比例极限； e —弹性极限。
一般这两个极限相差不大， 在工程上难以区分，统称为弹 性极限
低碳钢拉伸时的四个阶段
⑴、弹性阶段:OA, ⑵、屈服阶段:B’C。
s —屈服极限
屈服段内最低的应力值。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N1
A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力N1：设截面如图
X 0 FD FC FB FA N1 0
N4= F
FD
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
轴力图如下图示
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N 2F
5F
工程力学(静力学部分第二章)
M Fd
1
1
M Fd
2
2
M F d
n
n
=
=
F F F F
R
1
2
n
F F F F
R
1
2
n
=
=
=
M Fd R
F1d F2d Fnd
n
M
Mi
M i
i1
M M M
1
2
n
平面力偶系平衡的充要条件 M=0
即 Mi 0
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
n
r FR r F1 r F2 r Fn
即
M
O
F R
M
O
F i
平面汇交力系
M
0
F R
M
0
F i
三、力矩与合力矩的解析表达式
M F M F M F x F sin y F cos x F y F
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
=
=
=
=
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
三.平面力偶系的合成和平衡条件
已知： M1 , M 2 ,M n ;
任选一段距离d
M 1 d
F1
M 2
F
d
2
M
n F
d
n
工程力学第二章
S 3 π r 2 9.079 cm 2
4R 4r b 1.273 cm y1 4.244 cm y 2 3π 3π
y3 0
3）根据组合图形重心坐标公式求重心坐标
yc
S y
i 1 3 i
3
i
S
i 1
157.1 4.244 14.14 1.273 9.079 0 157.1 14.14 9.079
F 2 (b c) F 2 a 0
bac
上式即为长方体边长ɑ、b、c应满足的条件。
判断题
1、某平面力系向一点简化的结果与简化中心无关，则该力系一定平衡
2、若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个力偶 3、当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关 4、平面力系若不平衡，则一定可以合成为一个力 5、某平面力系向A，B两个点简化的主矩都为零，此力系简化的 最终结果可能是一个力么？可能是一个力偶么？可能平衡吗？
回顾 大小相等，方向相反，作用线平行的两个力称为力偶。 力偶：
基本的物理量，仅与力的转动效应有关
§2.1 汇交力系的简化
2.1.1 几何法
汇交力系： 力的作用线均汇交于同一点的力系 。
几何法： 通过力多边形求合力的方法称为几何法，又称为力多边形法则。
r r r r FR = F1 + F2 + L + Fn =
2.4.3 物体的重心
Pi xi xc Pi Pi yi （物体的重心坐标） yc Pi z Pi zi c Pi
2.4.4 确定物体重心的方法
1）计算方法
（1）对称法： （2）积分法： （3）查表法： 具有对称面、对称轴和对称中心的形状规则的均质物体， 其重心一定在对称面、对称轴和对称中心上。 均质简单几何形状物体的重心一般可通过积分求得。 工程上常见形状的重心位置均可通过工程手册查出。
工程力学
力系简化的基础是力向一点平移定理。
工程力学
第2章 力系的简化
§2–2 力向一点平移定理
力向一点平移定理 作用于刚体上的力可从原来的作用点 平行移动任一点而不改变对刚体的作用效应，但须附加一 个力偶，附加力偶的矩等于原力对新作用点的矩。
F B h
F
F = B h
F
F
A
A
=
M=Fh B A
第2章 力系的简化
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， y F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129 .3 N
FR=FR，但其作用线不过简化中心O。
FR
MO O
FR
= O
d
FR
FR
A
= O
d
FR
A
M 0 m0 ( FR ) d FR ' FR '
把各力矢首尾相接，连接第一个力的始端与最后一个力的终 端的矢量就是合力FR，力系中各力称为合力FR的分力。 F2 F1 F3 F2 F3 F
O
4
F1
FR
F4 • 得到的多边形，称为力多边形，合力就是力多边形的封闭边。
• 用力多边形求解合力的方法称为力的多边形法则。
工程力学 c F3 d F4 c F1 a
加减平衡力系原理
力偶
[证明]
力F
M o M o ( F ) Fh
力系F，F'，F''
工程力学第2章
பைடு நூலகம்
合力R为零等价于
∑ X i = 0 i =1 n ∑ Yi = 0 i =1
n
平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为： 平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。 平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可用于求解两个未知量。 平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可用于求解两个未知量。
∑Y = 0 :
− N A − N B sin α = 0
其中 sin α =
1 代入方程， ，代入方程，解得 5
Rx = F1 cos 30° − F2 cos 60° + F3 cos 45° = −9.87N Ry = F1 sin 30° − F2 sin 60° + F3 sin 45° = 87.64N
合力的大小和方向： 合力的大小和方向：
2 R = Rx2 + Ry = 88.02N
Rx cos α = = −0.112 R
Y = 0 : − F − SCB sin 60o = 0 ∑
解得
将
SCB = S BC = − 3P 代入
F = 1.5P
工程力学（ 工程力学（二） 第2章 平面汇交力系
以上分析和求解的过程中， 以上分析和求解的过程中，着重强调的 是两个问题： 是两个问题： 一是要在了解研究对象的受力情况的基础 恰当地选取分离体， 上，恰当地选取分离体，以最简捷的思路给出 求解未知量的过程。 求解未知量的过程。 二是要恰当地选取坐标轴和平衡方程， 二是要恰当地选取坐标轴和平衡方程，提 高计算工作的效率。 高计算工作的效率。 求解较复杂的平面问题时首先构思解题方 形成解题思路，这不但是正确、 案，形成解题思路，这不但是正确、顺利地解 题的指导和保证，更是培养分析、 题的指导和保证，更是培养分析、解决问题能 力的必不可缺的训练。 力的必不可缺的训练。
合力R为零等价于
∑ X i = 0 i =1 n ∑ Yi = 0 i =1
n
平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为： 平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。 平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可用于求解两个未知量。 平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可用于求解两个未知量。
∑Y = 0 :
− N A − N B sin α = 0
其中 sin α =
1 代入方程， ，代入方程，解得 5
Rx = F1 cos 30° − F2 cos 60° + F3 cos 45° = −9.87N Ry = F1 sin 30° − F2 sin 60° + F3 sin 45° = 87.64N
合力的大小和方向： 合力的大小和方向：
2 R = Rx2 + Ry = 88.02N
Rx cos α = = −0.112 R
Y = 0 : − F − SCB sin 60o = 0 ∑
解得
将
SCB = S BC = − 3P 代入
F = 1.5P
工程力学（ 工程力学（二） 第2章 平面汇交力系
以上分析和求解的过程中， 以上分析和求解的过程中，着重强调的 是两个问题： 是两个问题： 一是要在了解研究对象的受力情况的基础 恰当地选取分离体， 上，恰当地选取分离体，以最简捷的思路给出 求解未知量的过程。 求解未知量的过程。 二是要恰当地选取坐标轴和平衡方程， 二是要恰当地选取坐标轴和平衡方程，提 高计算工作的效率。 高计算工作的效率。 求解较复杂的平面问题时首先构思解题方 形成解题思路，这不但是正确、 案，形成解题思路，这不但是正确、顺利地解 题的指导和保证，更是培养分析、 题的指导和保证，更是培养分析、解决问题能 力的必不可缺的训练。 力的必不可缺的训练。
工程力学 第二章
i 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
用力多边形的封闭边来表示汇交力系的合 力
力的多边形法则
平面汇交力系平衡的几何条件
平衡
FR 0
FR Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分的
几何条件是：该力系的力多边形自行封 闭.
平衡条件
FR 0
FR Fx 2Fy 2
Fx 0
平衡方程
Fy 0
平面汇交力系平衡的解析条件为:力系中各分力在 两个轴上的投影的代数和分别为零.
例2
已知：碾子P=20kN，R=0.6m,
h=0.08m 求：
R
F
BP
h
A
1.水平拉力F=5kN时，地面对碾子的压力？
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡
平面汇交力系是指力系中各力的作用线或者作用 线的延长线位于一个平面内，并且相交于一点.
合成就是指要用一个合力去等效替换这个复杂
的力系.
F
AP
B
FA
FB
一.多个汇交力的合成的几何法
公理 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合
解得 F=11.55kN
例3 已知重物P=20kN,
A
不计杆重以及滑轮尺寸,
C
求杆AB和BC的受力. θ 30
解: 取B点分析 (假设均受拉)
B
θ θ
P D
Fy 0
FBC sin 30 FBD cos 30 P 0 FAB
工程力学 第二章 平面汇交力系
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
《工程力学》第二章 基本力系
• 以上三个决定力使物体绕某点转动效应的 因素，在数学上可用一特殊矢量来表示。 这个矢量的模等于力的大小F和力臂h的 乘积；该矢量的方位(即转动轴线在空间 的方位)，其指向由右手螺旋法则确定(图 2-19)。这个矢量称为力对点的矩矢，用 符号mO(F)表示。由图可知，它是一个通 过矩心O的定位矢量，是力对物体产生转 动效应的度量。
偶对力偶作用面上任一点O的矩，应为Байду номын сангаас行力F， F′对点O的矩的代数和，即
• 由此可知，两个力矩相加的结果与两力矩的矩 心位置无关，即力偶中两力对力偶作用面上任 一点之矩的代数和为一常量，它等于力偶中任 一力F的大小F和力偶臂d的乘积。此乘积称为 力偶矩，记作m(F，F′)，简记为m。于是
• 式中正负号反映力偶的转向，逆时针转向 取正，顺时针转向取负。力偶矩的量纲与 力矩相同，其单位也相同。
力R，则合力对物体作用时产生的效应与 各分力对物体同时作用时所发生的效应完 全相同。于是，合力R对点的矩矢可写为
•即
• 这就是合力矩定理，其物理意义是合力对 任一点之矩矢，等于各分力对同一点之矩 矢的矢量和。
• 若力系为平面力系，各力对平面上任一点 的矩为代数量，故合力矩定理在平面问题 中表述为
• 它表明：平面力系的合力对平面上任一点 的矩，等于各分力对同一点的矩的代数和。
• 二、汇交力系的合成
• 作用于物体上诸空间力作用线汇交于一点的力系称为空间汇交力 系。若诸空间力的作用线仅分布于同一平面且作用线汇交于一点， 这类力系称为平面汇交力系。研究汇交力系合成的方法有几何法 和解析法。
• 1.几何法
• 设作用于刚体上的空间汇交力系为F1、F2、…、Fn，且各力作 用线均汇交于一点O(图2-7(a))。O点为汇交点。按力的可传性 原理，施加于刚体上的汇交力系中各力作用点均可沿各自作用线 移至汇交点O。凡力系中诸力具有共同作用点的力系称为共点力 系(图2-7(b))。
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总结
4.力在坐标轴上的投影 5.合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在
同一个轴上投影的代数和。
6.平面汇交力系的平衡方程（投影方程）：
Fx = 0 Fy = 0
重点难点
1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
合成：汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 平衡：力多边形自行封闭。
（2）已知 A 轮重GA，平衡时，欲使α=00 的 B 轮的重量。
B
A
300
600
解：先取A轮为研究对象，受力分析：
y
B A
GA
300
A
FAB
300
300
600
FNA
x
Fx = 0 GAcos600 - FAB cos (α+300 ) = 0 (1)
y
取 B 轮为研究对象，受力分析：
GA
B A
600
B
C D
150
300
E A
B FTBC150150300
FTBD
FTBD=G
FAB E
G
解：1.取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解：
Fx = 0 - FTBC cos300 - FTBD cos450 + FAB cos600= 0 Fy = 0 - FTBC cos600 - FTBD cos450 + FAB cos300-G= 0
y
B
A
30
W C
FB
A
x
300
W
Fc
y
FB
A
x
300
W
Fc
列平衡方程：
Fy = 0， - W -FC cos300 = 0
FC = -W/cos300 = … = -23.1 KN（压力）
Fx = 0， - FB - Fc sin300 = 0
FB = - Fc sin300 = … = 11.6 KN（拉力）
a abcde---力多边形 = F1 + F2+ F3+ F4
ae ---力多边形的封闭边
n 个力的合力:
F3
F1
F2
Fn Fi
FR
o
结论：
汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。
即：合力矢等于各分力矢的矢量和。
关于力多边形法则，注意以下几点:
轴垂直。
4、建立静力平衡方程求解。
例2-2: 如图所示的平面刚架 ABCD , 自重不计. 在 B 点作用一水平力
P , 设 P = 20 kN . 求支座 A 和 D 的约束力 。
B P
A
C
2m
D
4m
解 : 取平面刚架 ABCD 为研究对象画受力图。
B P
FA
A
C
D
FD
平面刚架 ABCD 三点受力，C 为 汇交点. tan = 0.5
300
600
GB
600
300
B
FNA
y
FNB
300
A
FAB
300
x
FBA
x
y
取 B 轮为研究对象，受力分析：
GA
B A
300
A
FAB
300
FNA
300
600
Fy = 0
GB
600
300
-GBcos300 + FBA sin (α+300 ) = 0
B
(2)
FBA
x
y
FNB
x
GAcos600 - FAB cos (α+300 ) = 0 (1) - GBcos300 + FBA sin (α+300 ) = 0 (2)
y
Fy
F
Fx
x
y
Fy F
Fx x
投影是代数量，只有大小，没有方向； 而分力是矢量，既有大小，又有方向； 但力在平面上的投影是矢量。
平面汇交力系的合成与平衡的解析法
二、合力投影定理
z
F1
F2
FR
Fn
O
y
Fi
x
合力 FR 在坐标轴 x，y，z 上的投影分别为
FRx，FRy，FRz
z
F2
FR
F1
Fn
O
FRx = Fx
FRy = Fy
FRz = Fz
合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力 在同一个轴上投影的代数和。
三、合成 由合力的投影，可求出合力的大小和方向：
平面汇交力系，在 xoy 坐标系，则：
FRx = Fx
FRy= Fy
FR=
FR2x
+
2
FRy
表示合力与x轴所夹的锐角 tan = FRy / FRx
10KN
1cm
FR
F3
F1
F2
y
F3
60 F2
o
30
FR
x
F1
测量合力 FR 的大小和方向.
FR=4.4 10=44KN
=22
求汇交力系平衡的步骤
1、选研究对象
（ 1 ）在所选的物体上应作用有已知力和待定未知力 。 （ 2）先选受力情况相对简单的物体，再选受力情况相对
较为复杂的物体。
2、取分离体，画受力图。 3、选择合适的投影轴，应使尽可能多的未知力与投影
F4
X
2、力在直角坐标轴上的分力：
力在平面直角坐标轴上的分力：
y Fy F
力 F 的解析式
Fy j Oi
Fx Fx x
若已知投影Fx 、 Fy ，则力 F 的大小和方向为：
3、投影与分力的比较： 1）联系： 在直角坐标轴上，二者大小相等， 且投影的正负号与分力的指向对应 一致； 但在斜坐标系中，二者大小不等。 2）区别：
若 a到b的指向与n轴正向一致，取正号； 若 a到b的指向与n轴正向相反，取负号。
力在轴上的投影：FB AFra bibliotekA F B
n
n
a
b
b
a
力在轴上的投影是代数量。
平面汇交力系的合成与平衡的解析法
例：F1=F2=F3=F4=100N。求各力在x轴上的投影。
300 F1
F3
F2
450
F1X = 100sin30 F2X = -100cos45 F3X = 0 F4X = -100
FAB = 45 kN FTBC = 9.65 kN y
600
B
C
150
300
D
E A
B
300
FTBC150150300 FTBD
FAB E G
x FTBD=G
解二：
Fy = 0 - FTBD sin150+ FAB sin300-Gsin600= 0
Fx = 0
FAB = 45 kN - FTBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0
汇交力系平衡的必要和充分条件: 汇交力系的合力等于零.
2、平衡的几何条件：力多边形自行封闭。
F1
F4
F2 F3
平衡
F2
F3
F1 F4
封闭力多边形
平面汇交力系的合成与平衡的解析法
一、1、力在坐标轴上的投影 F
x
a Fx b
( Fx 为代数量 )
力在轴上的投影：
B F A
n
a
b
F
A
B
n
b
a
正负号的规定：
y
FB
FB
A
x
300
W
Fc
Fc W
（几何法）做封闭力多边形如图。
FC = W / cos300 = 23.1 KN (压力） FB = W tan300 =11.6 KN (拉力）
例题2-4：井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过 滑轮B的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端 用钢索BC支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大 小和重量及钢索的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB 和钢索BC所受的力。
y
Fi
x
FR = FRx i + FRy j + FRz k
Fi = Fxi i + Fyi j + Fzi k
FR= Fi
FRx i + FRy j+ FRz k = ( Fxi i + Fyi j + Fzi k )
= ( Fxi ) i +( Fyi ) j +( Fzi ) k
FRx i + FRy j+ FRz k = ( Fxi i + Fyi j + Fzi k ) = ( Fxi ) i +( Fyi ) j +( Fzi ) k
B P
FA
A
列平衡方程:
C
D
FD
Fx = 0 P + FA cos = 0 Fy = 0 FA sin + FD = 0
FA = - 22.36 kN FD =10 kN
例2-3 : 挂物架, W =20 KN。 求 AB 、AC 杆的受力。
B
A
30
W C
解：（解析法）
研究对象：销钉 A 。
（对）
于一点的力系称为平面汇交力系。