2014年福建安溪一中、养正中学等高二下期末联考数学(理)试卷及答案

2014年福建安溪一中、养正中学等高二下期末联考数
学（理）试卷及答案
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．复数
131i
i
-++= ( ) A. 2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i
2．抛物线2y x =在点)4
1
,21(M 处的切线的倾斜角是( )
A. 30
B.45
C. 60
D. 90
3.某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：
现已求得上表数据的回归方程y bx a =+中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( )
A ．84分钟
B ．94分钟
C ．102分钟
D ．112分钟 4．已知随机变量ζ服从正态分布2(3)N σ，，且(2)0.3P ζ<=，则
(24)P ζ<<的值等于（ ）
A ．0.5
B ．0.2
C ．0.3
D ．0.4
5.已知在R 上可导的函数()f x 的图象如图所示，则不等式
()()0f x f x ⋅'<的解集为( )
A.(2,0)-
B.(,2)(1,0)-∞-⋃-
C.(,2)(0,)-∞-⋃+∞
D.(2,1)(0,)--⋃+∞
6．如图，EFGH 是以O 为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形HOE （阴影部分）内”，则P （B|A ）=（ ）
A ．
41 B ．31 C ．8π D ．4
π 7．若对于任意的实数x ，都有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-， 则2a 的值是（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
8. 在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有( )
A ．512
B ．192
C ．240
D ．108
9．定义在(0,)2
π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立，则（ ） A
ππ()()4
3> B ．(1)2()sin16
πf f < C
ππ()()6
4
f >
D
ππ()()6
3
f <
10．已知函数),2()(*012211N n n a x a x a x a x x f n n n n n ∈>+++++=---- ，设0x 是函数)(x f 的零点的最大值，则下列论断一定错误的是（ ）
A ．0)(0'≠x f
B ．0)(0'=x f
C ．0)(0'>x f
D ．0)(0'<x f
第II 卷 （ 非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 11～12题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题4分，请考生任选2题作答，满分8分．如果多做，则按所做的
前两题记分．
（1）矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=2563N 的特征值为______________．
（2）设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝t ，
y ＝t
2
(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为_______________．
（3）函数()f x =2|2| 5.x x --+的最小值为________________．
13
．6
2x ⎫+⎪⎭展开式中的常数项是_________________.
14．将三个分别标有A ，B ，C 的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则1号盒子中有球的不
同放法种数为______________．
15．已知点),(),,(2121x x a x B a x A 是函数(1)x y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段
AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论12
12
22
x x x x a a a ++>成立．运用类比思
想方法可知，若点)sin ,(),sin ,(2211x x B x x A 是函数)),0((sin π∈=x x y 的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．
三、解答题:本大题有6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P -ABC D 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，且AB =A D=PD=1，CD =2，E 为PC 的中点．
(Ⅰ) 求证：BE ∥平面P AD ；
(Ⅱ) 求二面角E -BD -C 的余弦值．
17．(本小题满分13分)
小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售.已知每卖出一个现烤面包可获利10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元.经统计，得到在某月（30
（Ⅰ）计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；
（Ⅱ）若在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，则小王决定增加
订购量. 试求小王增加订购量的概率.
（Ⅲ）若小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学
期望.
18.（本小题满分13分）
如右图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上.已知工业用地每单位面积价值为3a 元(0)a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元.
（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；
（Ⅱ）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大.
19．(本题满分13分)
已知曲线C 上任意一点P 到两定点F 1(-1,0)与F 2(1,0)的距离之和为4． (Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)设曲线C 与x 轴负半轴交点为A ，过点M (-4,0)作斜率为k 的直线l 交曲线C 于B 、C 两点（B 在M 、C 之间），N 为BC 中点． (ⅰ)证明： k ·k ON 为定值； (ⅱ)是否存在实数k ，使得F 1N ⊥AC ？如果存在，求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由．
20．(本题满分14分)
已知函数f (x )=ln(x +1)+ax 2-x ，a ∈R ．
(Ⅰ)当14
a =时，求函数y =f (x )的极值；
(Ⅱ)是否存在实数b ∈(0,1)，使得当x ∈(-1,b ]时，函数f (x )的最大值为f (b )？若存在，求实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由．
21.本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，
则按所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 如图，向量OA OB 和被矩阵M 对应的变换ϕ作用后分别变成//OA OB 和，
（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求y sin()3
x π
=+在ϕ作用后的函数解析式.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
曲线C 的极坐标方程为1
cos()32
πρθ-=，以极点O 为原点，极轴Ox 为x 的非负半轴，保持单位
长度不变建立直角坐标系xoy.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程为0
2cos 60(sin 60x t t y t ⎧=-+⎨=⎩为参数） ．.若C 与的交点为P ，求点P 与点A （-2,0）的距离|PA|.
（3）已知不等式x x <--142.
(I)求该不等式的解集M ； (II)若M a ∈，求证:11--<-+a a a a
养正中学、安溪一中2013—2014学年度高二（下）期末联考
数学试卷(理）参考答案
一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
二、填空题：本大题共5
小题，每小题4分，共20分
11～12（1） －3，8 （2）ρcos 2θ－sin θ＝0 （3） 3
13．60 14．37 15．2
sin 2sin sin 2121x
x x x +<+
三、解答题:本大题有6题，共80分。

16.（本小题满分13分）
(Ⅰ) 证明：令PD 中点为F ，连接EF ， (1)
分
点,E F 分别是PCD ∆的中点，
∴EF //
1
2
CD ,EF ∴//AB . ∴四边形FABE 为平行四边形.………2分
//BE AF ∴,AF ⊂平面PAD ,
EF ⊄平面PAD ……………4分 (三个条件少写一个不得该步骤分)
PAD BE 面//∴ ……………5分
(Ⅱ)以D 为原点，,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 则()()()()0,0,10,2,01,0,01,1,0P C A B ，，，.
因为
E 是PC 的中点，所以E 的坐标为
()800.1950.11100.11250.21400.5123.5
E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则,021
0,00⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z y y x 令,1=x 则2,1=-=z y 所以)2,1,1(-= ………9分 而平面DBC 的一个法向量可为()0,0,1m = 故 (
)
cos n m ， ……………12分 所以二面角E -BD -C
……………13分
（Ⅲ）若小王
每天订购14个现烤面包，设其一天的利润为η元，
则η的所有可能取值为80，95，110，125，140. ……..9分
则
所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为123.5
元.
……..13分
18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由1231114
(1)()13
3x dx x x --=-=-⎰，
故等待开垦土地的面积为
4
3
………3分 （Ⅱ）设点C 的坐标为(,0)x ，则点B 2(,1)x x -其中01x <<，
∴22(1)ABCD S x x =- ………………………………………………5分
∴土地总价值224
32(1)[2(1)]3
y a x x a x x =-+--
＝24
4(1)3
a x x a -+ ………………………………………………7分
由2'4(13y a x =-)=0
得x x =
=舍去）
……………………9分
并且当0x <<
时，'0,1'0y x y ><<<时，
故当x =
时，y 取得最大值. ……………………………………12分 答：当点C 的坐标为)0,3
3
(时，整个地块的总价值最大. ……………13分
19．(本题满分13分)
解：(Ⅰ) 22
143
x y +=． ……………4分 (Ⅱ)设过点M 的直线l 的方程为y =k (x +4)，设B (x 1, y 1)，C (x 2, y 2) (x 2>y 2)．
(ⅰ)联立方程组22(4)
143y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得2222(43)3264120k x k x k +++-=，
则2
1222
1223243641243k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， ……………5分 故212216243N x x k x k +-==+，212(4)43
N N k
y k x k =+=+， ……………7分 所以34ON k k =-，所以k •k ON =3
4
-为定值. ……………8分
(ⅱ)若F 1N ⊥AC ，则k AC •k FN = -1，
因为F 1 (-1,0)，1
22221244316141
43
F N
k
k k k k k k +=
=--++故222y x ⋅+2
4114k k =--， ……10分 代入y 2=k (x 2+4)得x 2=-2-8k 2，y 2=2k -8k 3，而x 2≥-2，故只能k =0，显然不成立，所以这样的直线不存在．…………………………………… 13分
(Ⅱ)
由题意
(2(12))
()1
x ax a f x x --'=
+
(1)当a ≤0时，函数f (x )在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减, 此时，不存在实数b ∈(0,1)，使得当x ∈(-1,b ]时，函数f (x )的最大值为f (b )； ……………7分
(2)当a >0时，令()0f x '=有x =0或1
12x a
=
-， (ⅰ)当1102a -<即12a >时，函数f (x )在11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和(0,+∞)上单调递增，在11,02a ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递减，要存在实数b ∈(0,1)，使得当x ∈(-1,b ]时，函数f (x )的最大值为f (b )，则11(1)2f <f a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，代入化
简得1
ln 2ln 2104a a
++-> (1)
令11g()ln 2ln 2142a a a a ⎛⎫=++-> ⎪⎝
⎭，因11g ()104a a a ⎛⎫
'=-> ⎪⎝⎭恒成立， 故恒有11()g ln 2022g a ⎛⎫>=-> ⎪
⎝⎭
，∴1
2a >时，（1）式恒成立； ………10分 （ⅱ）当
1102->a 即120<a <时，函数f (x )在(1,0)-和1(1,)2-+∞a 上单调递增， 在1
(0,1)2-a
上单调递减，
此时由题，只需(1)0f >，解得1ln 2a >-，又1
1ln 22
<-，
∴此时实数a 的取值范围是1
1ln 22
<a <-； ……………12分
（ⅲ）当1
2
=a 时，函数f (x )在(1,)-+∞上单调递增，
显然符合题意； ……………13分
综上，实数a 的取值范围是(1ln 2,)-+∞．………………………… 14分
21.本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，
则按所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
（Ⅰ）待定系数设M=a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭求得2002M ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， ……………3分 （Ⅱ）在y sin()3
x π=+的图象上任取一点(,)P x y ，被M 作用的点为//(,)Q x y //
////1202202122x x x x x x y y y y y y ⎧=⎪⎛⎫⎧=⎛⎫⎛⎫⎪=⇒⇒ ⎪⎨⎨
⎪⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎩⎝⎭⎪=⎪⎩，代入y sin()3x π=+后得：//2sin()23x y π=+ ………7分
(3)解:(I)x x <--142 142+<-∴x x --1421+<-<--∴x x x ------------------3分 解得:51<<x ，所以该不等式的解集{}51|<<=x x M ------------4分
(II)法一:1111)1()1(---++=
----+a a a a a a a a 0)1)(1(11<-++++--=a a a a a a ，11--<-+∴a a a a ,即原不等式成立…………7分
法二:51<<∴∈a M a 01;01>-->-+∴a a a a
11111<++-+=---+∴
a a a a a a a a 11--<-+∴a a a a ,即原不等式成立. …………7分。