云南大学数学分析(3)试卷

上学期数学与统计学院数学类

一、判断题（15分，每小题3分）判断下列各题，请在正确的题后括号内打“√”，错误的题后括号内打“Х”。

（1）实数域上致密性定理与柯西收敛原理等价。（ ） （2）若()f x 在[],a b 连续，则()f x 在[],a b 一致连续。（ ）

（3）若级数1

n n u ∞

=∑收敛，则41

n n u ∞

=∑也收敛。（ ）

（4）若(),f x y 在a x b ≤≤；d y c ≤≤上连续，则(),b

a

f x y dx ⎰在[c, d ]一致连续。（ ）

（5）若函数序列(){}n S x 在区间(),a b 内闭一致收敛，则(){}n S x 在(),a b 一致收敛。（ ） 二、填空题（15分，每小题3分）。

（1）()1lim 131n n n n →∞⎡⎤

⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

＝ 。

（2）已知级数()1

ln n

n x ∞

=∑收敛，则x 的取值范围为 。

（3）5

2

1cos lim 1sin y e y y y dx x y xy

→+++⎰

= 。 （4）30

1

..2

PV

dx x -⎰= 。 （5）将()2

x x

e e

f x -+=展开为x 的幂级数，则()f x = 。

三、计算题（共42分，每小题7分）。 (1)

242

x x

e

dx +∞-+⎰

（2）求积分()1

1sin ln 0ln b a

x x

dx

b a x x

-⎛⎫>> ⎪⎝⎭⎰。

（3）设()22

1sin 1()1

y y y x F y dx x ++⎡⎤⎣⎦

=+⎰

，求微分dF 。

（4）判断正项级数()

21

1

1

212n n n ∞

-=-∑

的敛散性。

（5）判别广义积分0

1

x

dx x e

+∞⎰

的敛散性。 （6）判别含参变量广义积分()10

ln xy dx ⎰在1

,

33

⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

的一致收敛性。 四、综合应用题（7分） 将()21f x x =-在[]0,π上展开成余弦级数，给出展开的富里埃级数在[]0,π的收敛函数，并由此求级数()

1

2

11n n n -∞

=-∑

的和。

五、证明题（21分，每小题7分）

（1）设()f x 在[],a b 上连续，又有{}[],n x a b ⊂，使()lim n n f x A →∞

=。证明：存在[]0,x a b ∈，

使得()0f x A =。 （2）证明函数()()

1ln 1n

n n x f x n x

∞

=+=∑

在[)2,+∞上连续。 （3）设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数，1

1()(),1,2,n

n k k f x f x n n n ==

+=∑，证明：函数

列{()}n f x 在任意有限闭区间上一致收敛。