云南大学数学分析(3)试卷
数学分析(3)试卷及答案
数学分析(3)期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项：1.考试时间：120分钟。
2.试卷含三大题，共100分。
3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4.遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分)1、 设z x u ytan =，则全微分=u d __________________________。
2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F xx⎰=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。
5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=Ls x yd _____________。
6、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。
7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。
二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2xy y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。
3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
《数学分析Ⅲ》期末考试卷03.doc
数学分析下册期末考试3（模拟试题）一、填空题（第1题每空2分，第2, 3, 4, 5题每题5分，共26分）du = ____________________ o2、设厶：x 2 + y 2 = a 2,则 j xdy - ydx =L4、 改变累次积分 pyj7（x, y ）么的次序为 ________________________ o5、 设 £＞：x+yW], 贝＞J jj （A /5 + V ）dxdy = _______________________ 二、断题（正确的打“O” ；错谋的打“X”；每题3分, 共15分） 判1若函数.f （x, y ）在点/Xx 0, y°）连续，则函数.f （x, y ）/?（x 0, y°）必存在一点阶偏导数。
（） 2、 若函数/（x, y ）在点〃（x （）, y 0）可微，则函数/（x, y ）在点/7（x （）, y （））连续。
（）3、 若函数/（x, y ）在点p （x°, y°）存在二阶偏导数人（％,儿）和几（心儿），则 必有 几（勺，儿）二几（％‘儿）。
（）4、 J f （x,y ）dx= J /（x, y ）dx o（ ）L （A 9B ） UB ,A ）5、已知u = In Jx? +于,则冀 OXdu 3、 设厶: x 二3cost,则曲线积分J （x 2+y 2）ds = L若函数/（x, y）在有界闭区域D上连续，则函数/（x, y）在D上可积。
（）1、用格林公式计算曲线积分I = j (e K sin y - 3y)dx + (e x cos y - 3)dy ,AO其中AO 为由A(a,0)到0(0,0)经过圆x 2 + y 2 =处上半部分的路线。
2、计算三重积分 + >,2 )dxdydz ,V其中是由抛物ilHz = x 24-/与平HHz 二4围成的立体。
每小题9分，共45分)三、计算题I = JJdS ,s4、计算第二型曲面积分其中S是球面宀于+二疋上被平面"d(OvdV/?)所截下的顶部(注0)。
数学分析3考试题及答案
数学分析3考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞3. 以下哪个级数是收敛的：A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...4. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞,+∞)上：A. 有唯一极值点B. 有两个极值点C. 有三个极值点D. 没有极值点5. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 26. 函数f(x)=|x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导7. 函数f(x)=x^2+2x+1的不定积分是：A. (x^3+x^2)/3 + CB. (x^3+x^2+2x)/3 + CC. (x^3+x^2+2x+1)/3 + CD. (x^3+x^2+x)/3 + C8. 以下哪个函数是周期函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=sin(x)C. f(x)=e^xD. f(x)=ln(x)9. 函数f(x)=x^3在x=1处的泰勒展开式是：A. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + (x-1)^3B. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2C. 1 + 3(x-1) + (x-1)^3D. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + 6(x-1)^310. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3在x=1处的导数值为______。
2. 函数f(x)=sin(x)在x=π/2处的二阶导数值为______。
数学分析三试卷及答案
《数学分析》（三）――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
1.求函数11(,)f x y y x =在点（0,0）处的二次极限与二重极限。
解:11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为0。
……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在. ……（9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx.解： 对两方程分别关于x 求偏导：， ……（4分）. 解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。
……(9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂. 设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续）。
解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====. ……（4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。
整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……(9分）4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ，则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表，()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。
……(3分） 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
数学分析3期末试题
For personal use only in study and research; not for commercial use2012 –2013学年第一学期期末考试题11数学教育《数学分析》（三）一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分）1. 下列数项级数中收敛的是 （ ）A. 211n n∞=∑； B.201n nn∞=+∑； C. 11n n∞=∑； D. 0123n n n ∞=++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ）A. 1(1)n n n ∞=-∑B. 1n n ∞=1n n ∞=1sin n n n ∞=∑3.函数项级数1nn x n∞=∑的收敛域是 （ ）A. (1,1)-B. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,1]- 4.幂级数021nn n x n ∞=+∑的收敛半径是 （ ）5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ）6.点集11{,|}E n N n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的聚点是 （ ）A. (){0,0}B.()0,0C. 0,0D.{}{}0,07.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( )A.偏导数连续B.连续C. 偏导数存在D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则zx∂∂等于 （ ） A.()()u x v y x y ∂∂∂∂ B. ()()du x v y dx y ∂∂ C. ()()du x v y dx D. ()()u x v y x y∂∂+∂∂ 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( )A. 偏导数连续;B. 偏导数存在;C.存在切平面;D. 存在方向导数.二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分）11. 若数项级数11np n n ∞=-∑（）绝对收敛，则p 的取值范围是 ；12. 幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数是 ；13．幂级数201(1)n n x n∞=-∑的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________17．函数y z x =，则zy∂=∂ ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ=的方向导数是 ___________；19．设cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩，则 x x r y y r ϕϕ∂∂∂∂=∂∂∂∂ ；20．若arctany x =，则dydx=______________________。
数学系第三学期数学分析期末考试题
第三学期《数学分析》期末考试题一、 叙述题（每小题10分，共20分） 1． 叙述第一类曲面积分的概念。
2． 叙述Stokes 公式的内容。
二、 讨论题（每小题15分，共30分） 1． 讨论函数在任意有界闭区域D 上的可积性。
2． 试确定函数 的连续范围。
三、 计算题（每小题10分，共30分）1．设四边形各边长为定值（分别为d c b a ,,,），求其最大面积，并且指出此时四边形的几何特性。
2．求球面2222R z y x =++在圆柱Rx y x ±=+22外那部分曲面S 的面积。
3、求曲面积分)0,(,:,22>=+=++=⎰⎰R h R y z h z S xydzdx zxdydz yzdxdy I S由及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧. 四、证明题（每小题10分，共20分） 1． 若1） 积分⎰+∞adx x f )(收敛，2） 函数),(y x ϕ有界，并且关于x 是单调的， 则积分⎰+∞adx y x x f ),()(ϕ一致收敛。
2． 设有半径为R 的球面，其球冠的高为h ，证明球冠的面积Rh S π2=球冠.数学分析试题答案一 叙述题（每小题10分，共30分）1．设曲面Ω为有界光滑（或分片光滑）曲面，函数),,(z y x f z =在Ω上有界。
将曲面Ω用一个光滑曲线网分成n 片小曲面n ∆Ω∆Ω∆Ω,...,,21，并记i σ∆为i ∆Ω的面积。
在每片i ∆Ω上任取一点),,(i i i ζηξ，作和式i ni iiif σζηξ∆∑=1),,(。
如果当所有的小曲面i ∆Ω的最大直径为λ趋于零时，这个和式的极限存在，且与小曲面的分法和点),,(i i i ζηξ的取法无关，则称此极限值为),,(z y x f z =在曲面Ω上的第一类曲面积分，记为 i ni iiif dS z y x f I σζηξλ∆==∑⎰⎰=Ω→1),,(lim ),,(。
2．设∑是光滑曲面，其边界∑∂为分段光滑闭曲线。
2024 考研数学(三)真题试卷及参考答案
试卷及解2024考研数学（三）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设函数21()lim1nn xf x nx →∞+=+，则()f x A．在1x =，1x =-处都连续．B．在1x =处连续，在1x =-处不连续．C．在1x =，1x =-处都不连续．D．在1x =处不连续，在1x =-处连续．1．【答案】D【解析】当21 1lim11nn xx x nx →∞+<=++时,，当211lim01nn xx nx →∞+>=+时,，当21,lim01n x n →∞==+时，当01lim01n x n→∞=-=+时,，故()1,11,0,x x f x +-<<⎧=⎨⎩其他.故在1x =-时，连续；1x =时不连续．选D.2.设sin d a k aI x x π+=⎰，k 为整数，则I 的值A．只与a 有关B．只与k 有关C．与,a k 均有关D．与,a k 均无关2．【答案】B 【解析】π|sin |d a k a I x x+=⎰ππ0|sin |d sin d 2.k x x k x x k ===⎰⎰选B.3.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .yy f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰3．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A.4.幂级数nnn a x∞=∑的和函数为ln(2)x +，则20nn na∞==∑A.16-B.13-C.16D.134．【答案】A【解析】()112ln 2ln 1ln 2ln 2(1)2nn n x x x n ∞-=⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+=++=+- ⎪⎝⎭∑23462222ln 222346x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-+-+ ⎪⎝⎭224680246357320234111 2322242111 2221114182 .138361624nn naa a a a ∞==+++++⎛⎫=-+⋅--+ ⎪⋅⋅⎝⎭⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-=-=-⨯=-⎢⎢⎥-⎣⋅⎦∑ 5.设二次型()T123,,f x x x =x Ax 在正交变换下可化成22212323y y y -+，则二次型f 的矩阵A 的行列式与迹分别为.6,2A --.6,2B -.6,2C -.6,2D 5．【答案】C【解析】()T123,,f x x x =x Ax 正交变换下化为22212323y y y -+⇒A 的特征值为1,2,3-()()()1236,tr 1232⇒=⋅-⋅=-=+-+=A A .6.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=AA.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P 故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131(1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设矩阵131,2112ij a b b aM +⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 表示A 的行j 列元素的余子式,若1||2=-A .且2122230M M M -+-=.则3.02A a a ==-或3.02B a a ==或1.12C b b ==-或1.12D b b =-=或7.【答案】B【解析】120101322211111222112121bba bbbba a a-+===A 1211(1)122a b +⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭111(21)22b a ⎛⎫=-⋅--=-⎪⎝⎭11(21)22b a ⎛⎫⇒--=⎪⎝⎭12122b ab a ⇒--+=又2122232122230M M M A A A =-+-=++13131111111101111201a b a b a b a b +++====+-=，1b a ⇒=+代入(1)中,得11(1)2022a a a a ++--+=0a ⇒=或312ab =⇒=或52.8.设随机变量X 的概率密度为()()61,01,0,x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他，则X 的三阶中心矩()3E X EX -=A.132-B.0C.116D.128．【答案】B 【解析】1211116(1)d 6634122EX x x x ⎛⎫=-=⋅-=⨯= ⎪⎝⎭⎰3311321021211116(1)d 6d 022 22 x t E X x x x xt t t t --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰令.9.随机变量,X Y 相互独立，且~(0,2),~(1,1)X N Y N -，设{}{}122,21p P X Y p P X Y =>=->，则121A.2p p >>211B.2p p >>121C.2p p <<211D.2p p <<9．【答案】B【解析】(2)2011E X Y EX EY -=-=+=，(2)44219D X Y DX DY -=+=⨯+=，所以2~(1,9)X Y N -；(2)2022E X Y EX EY -=-=+=，(2)4246D X Y DX DY -=+=+=，所以2~(2,6)X Y N -；121011113333X Y p P ΦΦ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫=>=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭21p P ΦΦ⎛⎛=>=--= ⎝⎝，所以2112p p >>，故选B.10.设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-,则下列随机变量中与Z 同分布的是A.X Y + B.2X Y+C.2X D.X10．【答案】D【解析】X 与Y 的联合概率密度为2()e ,0,0(,)()()0,x y Y X x y f x y f x f y λλ-+⎧>>=⋅=⎨⎩其他设Z 的分布函数为()Z F z ，则{}{}()Z F z P Z z P X Y z=≤=-≤1当0z <时，()0Z F z =；2当0z ≥时，{}{}()20Z F z P z X Y z P X Y z =-≤-≤=≤-≤02e d e d y z y x yy x λλλλ+∞+--=⎰⎰.()()02202e e e d 2e d 2e e d 1e .y y y z y z y z y y yλλλλλλλλλλ+∞---++∞+∞----=-=-=-⎰⎰⎰所以()1Z E ，从而Z 与X 服从相同的分布，选D.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.当0x →时，()2221sin d 1cos xt tt t++⎰与k x 是同阶无穷小，则k =.11．【答案】3【解析】当0x →时，()22221sin ~1cos 2x xx x++，则()223201sin d ~1cos xt tt Ax t++⎰.从而3k =.12.4225d 34x x x +∞=+-⎰.12．【答案】1πln 328-【解析】()()42222255d d 3414x x x x x x +∞+∞=+--+⎰⎰222211d d 14x x x x +∞+∞=--+⎰⎰222111d d 114x x x x x +∞+∞⎛⎫=-- ⎪-++⎝⎭⎰⎰222111ln arctan 2122x x x +∞+∞⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭111ππ1π0ln ln 32322428⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13.函数()324,2961224f x y x x y x y =--++的极值点是.13．【答案】()1,1【解析】23618120,24240,x y f x x f y ⎧'=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得(1,1) ，(2,1).1218xx A f x ''==-,0xy B f ''==,272yy C f y ''==-，代入(1,1)得24320,6AC B A -=>=-,故(1,1)是极大值点，(1,1)23f =.代入(2,1)得24320AC B -=-<,不是极值.14．某产品的价格函数是250.25,20,350.75,20Q Q p Q Q -≤⎧=⎨->⎩(p 为单价，单位：万元；Q 为产量，单位：件)，总成本函数为215050.25C Q Q =++（万元），则经营该产品可获得的最大利润为（万元）.14．【答案】50【解析】()()()22(250.25)15050.25,20,350.7515050.25,20.Q Q Q Q Q L PQ C Q Q Q Q Q ⎧--++≤⎪=-=⎨--++>⎪⎩整理得：220.5(20)50,20,(15)75,20.Q Q L Q Q ⎧--+≤=⎨--+>⎩所以20Q =时，50L =为最大利润.15.设A 为3阶矩阵，*A 为的A 伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵，若(2)1,()2r r -==E A E +A ，则*A =.15．【答案】16【解析】() 132r <-=E A ，() 23r =<E +A ⇒A 有特征值2,1-.又()3222r λ-=-⇒=E A 有 2个线性无关的特征向量2λ⇒=至少有两重根.()311r λ-=⇒=-E +A 有1个线性无关特征向量1λ⇒=-至少有一重根.又A 为3阶⇒A 的特征值为22,1-，，故()*122214,||16n -=⋅⋅-=-===A A A A .16.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =.16．【答案】23p =【解析】A ：全成功，B ：至少成功一次.()33()()4()()1(1)13P AB P A p P A B P B P B p ====--,331344(1)p p =--整理得(32)(3602)3p p p p -+=⇒=.三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12x xuv J y y v uv∂∂∂∂==∂∂∂∂故3113331d 1d 2u v v⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式38ln 3=.18．设函数(,)z z x y =由方程2e ln(1)0xz y z +-+=确定，求22(0,0)22z z x y ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭.18．【解】将0y =代入得e xz =-，则22e xz x ∂=-∂，代()220,001z x x∂=⇒=-∂.将0x =代入得()21ln 1z y z+=+，得()222ln 11z yz zz y z y∂∂=++⋅∂+∂.代0,0,1x y z ===-得()0,0ln2zy ∂=∂.又22222122 211z z z y z z z z z y y z y z y y ⎡⎤⎛⎫∂∂⋅⎢⎥ ⎪+∂∂∂∂⎝⎭⎢=⋅+⋅+⋅⎢⎥∂+∂+∂∂⎢⎥⎣⎦，代0,0,1,ln2zx y z y∂===-=∂得()220,02ln2z y ∂=-∂.故原式为12ln2--.19.设0t >，平面有界区域D 由曲线-2e xy x =与直线x t =，2x t =及x 轴围成，D 的面积为()S t ，求()S t 的最大值.19．【解】()22ed txt S t x x -=⎰，()()42424e e e 4e t t t t S t t t t ---=-=-'则，42 4e e 0ln2.t t t ---=⇒=令()() 0ln20;ln20.t S t t S t <<'>><'当时,当时,故ln2t =时，()S t 取最大值，有()ln 4ln 4222ln 2ln 21113 ln2e d e ln2.221664x x x S x x x ---⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭⎰20.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰20.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x x x ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 21.设矩阵11011103,2126--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A 1012111,2322a a ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B 向量023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，α10.1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭β（1）证明：方程组=Ax α的解均为方程组=Bx β的解；（2）若方程组=Ax α与方程组=Bx β不同解，求a 的值.21.证明：（1）(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x x A A αα(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x Bx βB β又11010110101103202042212630328310121011311110000232210121a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=→⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭A αB β1101011010010210102100220001100011000000000000000022000000a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()3r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A αB βA ,α.即(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0x A α的解是(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0B βx 的解.即=Ax α的解是=Bx β的解(2)=Ax α与方程组=Bx β不同解,即=Ax α与=Bx β不等价又=Ax α的解是=Bx β的解，故=Bx β的解不是=Ax α的解.即(,)3r r ⎛⎫≠=⎪⎝⎭A αB βB β，故1012110121,1110011312322103063a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→---- ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭B β101211012101021010210113100110a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故10a -=即1a =.22.X 服从[]0,θ上的均匀分布，()0θ∈+∞，为未知参数，12,,,n X X X 为总体X 的简单随机样本，记为(){}()12max ,,,,.n c n n X X X X T cX == （1）求c 使得();c E T θ=（2）记()()2,c h c E T θ=-求c 使得()f c 最小.22．【解】（1）{}()()12max ,n n n E cX cEX cE X X X θ⎡⎤===⎣⎦ 10()0X x f x θθ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他00(),01,X x x F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ {}()120,0max ~(),01,,n n n n X x xX X X F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ ()10()0. X n n n n xx f x θθ-⎧⋅<<⎪=⎨⎪⎩其他{}1110,1max ,d 1n n n n nnx n E X X x x n θθθθθθ-+==⋅+⎰1nn θ=+，所以1n c n+=.（2）()2222()22c c c ch c E T T ET E ET θθθθ=+-=++()()()()222n n E cX E cX θθ=+-()()2222n n c EX c EX θθ=+-因为()221201d 2n n n n n nx n EX x x x n θθθθ-+=⋅=+⎰22nn θ=⋅+()11001d 11n n n n n nxn nEX x x x n n θθθθθ-+=⋅⋅=⋅=++⎰所以22222 ()21221=21n n nc n h c c c c n n n n θθθθθ⎛⎫=+-⋅+-⋅ ⎪++++⎝⎭令2()1221n n f x x x n n =+-++，22()021n n f x x n n '=-=++解得21n x n +=+，即21n c n +=+时，()h c 取最小值.。
云南大学2003--2019年数学分析、高等代数考研真题
学 七、（20
分）设
u
=
x
3f
(xy,
y x
),
其中
f
具有连续的二阶偏导数，求
∂u ∂x
,
∂u ∂y
,
∂2u ∂y 2
,
∂2u ∂x∂y
八、（15 分）设 x i > 0(i = 1,2,Λ , n), 且 x1 + x 2 + Λ + x n = a, 求函数 u = n x1x 2 Λ x n
的最大值，并证明不等式 n
复数域上把它化为规范型，并写出相应的可逆线性变换.
七、（10 分）设 A 为半正定矩阵，证明：对任意正实数 ,E A 为正定矩阵.
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2004 年云南大学硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：《数学分析》
其中 s 是上半球面 z R 2 x 2 y2 的下侧。
六、（20
分）设
A
-
5 4
56
（1）求 A 的特征值，特征向量。
（2）试求使 C1AC为对角矩阵的C，求A 2（n n为正整数）。
七、（20 分）设 A，B，C，D Pnn，若A：X AXB CX XD，X Pnn ,
证明：（1）A为Pnn的线性变换,。（2）当C D 0时，A，B可逆 A可逆 。
x tan x
2
x = 3t 2 + 2t + 3
四、（15
分）设
y=y(x)是由方程组
云南大学数学分析(3)试卷
上学期数学与统计学院数学类一、判断题（15分，每小题3分）判断下列各题，请在正确的题后括号内打“√”，错误的题后括号内打“Х”。
（1）实数域上致密性定理与柯西收敛原理等价。
（ ） （2）若()f x 在[],a b 连续，则()f x 在[],a b 一致连续。
（ ）（3）若级数1n n u ∞=∑收敛，则41n n u ∞=∑也收敛。
（ ）（4）若(),f x y 在a x b ≤≤；d y c ≤≤上连续，则(),baf x y dx ⎰在[c, d ]一致连续。
（ ）（5）若函数序列(){}n S x 在区间(),a b 内闭一致收敛，则(){}n S x 在(),a b 一致收敛。
（ ） 二、填空题（15分，每小题3分）。
（1）()1lim 131n n n n →∞⎡⎤⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝ 。
（2）已知级数()1ln nn x ∞=∑收敛，则x 的取值范围为 。
（3）521cos lim 1sin y e y y y dx x y xy→+++⎰= 。
（4）301..2PVdx x -⎰= 。
（5）将()2x xe ef x -+=展开为x 的幂级数，则()f x = 。
三、计算题（共42分，每小题7分）。
(1)242x xedx +∞-+⎰（2）求积分()11sin ln 0ln b ax xdxb a x x-⎛⎫>> ⎪⎝⎭⎰。
（3）设()221sin 1()1y y y x F y dx x ++⎡⎤⎣⎦=+⎰，求微分dF 。
（4）判断正项级数()2111212n n n ∞-=-∑的敛散性。
（5）判别广义积分01xdx x e+∞⎰的敛散性。
（6）判别含参变量广义积分()10ln xy dx ⎰在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦的一致收敛性。
四、综合应用题（7分） 将()21f x x =-在[]0,π上展开成余弦级数，给出展开的富里埃级数在[]0,π的收敛函数，并由此求级数()1211n n n -∞=-∑的和。
《数学分析III》期末试卷+参考答案
《数学分析（III ）》试题2005.1一．在球面上找点，满足，，，使得该球面在点处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。
1222=++z y x ),,(0000z y x P 00>x 00>y 00>z 0P二．求球面（）被平面2222a z y x =++0>a 4a z =与2az =所夹部分的面积。
三．计算二重积分()∫∫+Ddxdy x y x 24，其中是由D x 轴，直线x y =以及曲线1=+y x ，2=+y x 所围成的平面闭区域。
四．计算三重积分∫∫∫，其中。
Ωdxdydz e z ||}1|),,({222≤++=Ωz y x z y x五． 计算曲线积分∫+Lds z y 222，其中L 是球面（）与平面2222a z y x =++0>a y x =相交而成的圆周。
六．计算曲面积分，其中∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222Σ为锥面在平面与（）之间的部分，定向为下侧。
222z y x =+0=z h z =0>h七．设是右半平面j i λλ)()(2),(24224y x x y x xy y x A +−+=}0|),({>=x y x D 上的向量场，试确定常数λ，使得为上函数的梯度场，并求出。
),(y x A D ),(y x u ),(y x u八．将|（sin |)(x x f =ππ≤≤−x ）展开为Fourier 级数，并分别求级数∑∞=−12141n n ，()∑∞=−122141n n的和。
九．设∫∞++=12)1(cos )(dt t t xtx f ，),(∞+−∞∈x 。
（1）证明积分∫∞++12)1(cos dt t t xt关于x 在),(∞+−∞上一致收敛； （2）证明；0)(lim =+∞→x f x （3）证明在上一致连续。
)(x f ),(∞+−∞《数学分析（III ）》试题答案2005.1一．（本题满分10分）33000===z y x 。
数学分析三考试题
数学分析三考试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个函数在区间（0，1）上是单调递增的？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = \ln(x) \)C. \( f(x) = e^{-x} \)D. \( f(x) = \frac{1}{x} \)2. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. 不存在3. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的导数是？A. \( f'(x) = 3x^2 - 6x \)B. \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)C. \( f'(x) = x^2 - 6x + 2 \)D. \( f'(x) = x^3 - 3x^2 \)4. 以下哪个级数是收敛的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\)二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\)，则 \(f(2)\) 的值是 _______。
2. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是 _______。
3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间 \([0, \pi]\) 上的定积分是_______。
4. 若 \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = 3\) 且 \( f(x) \) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \( f(a) \) 和 \( f(b) \) 至少有一个大于等于_______。
云南大学《高等代数》《数学分析》考研真题汇编(2009-2017年汇总)
ห้องสมุดไป่ตู้28
3
1. 2009年 HŒÆ《高等代数》ïÄ)\Æ•ÁÁK
˜! W˜K( 6 K, zK 5 ©, 30 ©)
1. A ´ s • , |A| = m, B • t • , |B| = n, C = 0 A , K |C| =
.
B0
2. g. f (x1, x2, x3) = x21 + 2x22 + 3x23 − 4x1x2 − 4x2x3 IO/´
22
13 HŒÆ 2012 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
23
14 HŒÆ 2013 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
24
15 HŒÆ 2014 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
25
16 HŒÆ 2015 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
26
17 HŒÆ 2016 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
27
18 HŒÆ 2017 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
考试复习重点资料（最新版）
资料见第三页
封
面
第1页
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提示：本套资料经过精心编排，前 2 页是封面和提示部分，后面是资 料试题部分。资料涵盖了考试的重点知识和题型，可以很好的帮助你 复习备考。资料不在多而在精，一套系统的涵盖考试重点的资料，能 够帮助你很好的提高成绩，减轻学习负担，再加上自己勤奋练习，肯 定能取得理想的成绩。 寄语：无论你是考研、期末考试还是准备其他考试，既然决定了，就 要坚持到底，花几个月的时间，精心准备，在加上资料的帮助，必然 会得到回报。 1. 一份合理科学的学习计划是你备考的领航灯。要有总体的时间规划， 也要有精细到每天的计划，不打无准备的仗。 2. 资料需要反复练习，任何一件看似轻而易举的事情，都是经过反复 刻意练习的结果。公众号:第七代师兄,学习也是一样的，手里的资料， 一定要反复练习几遍，才能孰能生巧，融汇贯通，考场上才能轻松应 对。 3. 态度决定一切，不要手稿眼底，从最基础的知识学起，基础扎实了， 才能平底起高楼，才能将各类知识点运用自如。 4. 坚持到底，无论是考试还是做事情，很多人打败自己的永远是自己。 切记心浮气躁，半途而废。 5. 希望这套资料能够很好的帮助你复习备考，祝学习进步，加油。
《数学分析III》期末考试卷及参考答案05
第 1 页 共 6 页数学分析下册期末试题及参考答案05一、 填空题（第1题每空2分，第2、3、4、5、6题每题4分，共26分）1、已知、已知 22xy u e-=,，则u x¶¶= ，uy¶=¶ ， du = ；2、cos sin x ar y br q q =ìí=î，则(,)J r q = ；3、设L ：cos sin x a t y b t=ìí=î 0t p ££，则22()Lx y ds +ò= ；4、120(,)ydyf x y dx òò交换积分顺序后为：交换积分顺序后为： ； 5、2221x y I x ydxdy +£=òò= ；6、令设222L x y a +=：，则Lydx xdy -=ò . 第 2 页 共 6 页二、判断题（对的打√，错的打×，每空3分，共15分）1、若函数(,)z f x y =的重极限和两个累次极限都存在，的重极限和两个累次极限都存在，则他们必相等；则他们必相等； （ ）2、若函数(,)z f x y =在00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 一定连续；一定连续； （ ）3、若函数(,)z f x y =在闭区域D 上连续，则函数(,)z f x y =在D 上可积；上可积； （ ）4、(,,)P x y z 是定义在双侧曲面S 上的函数，则上的函数，则(,,)(,,)SSP x y z dxdy P x y z dxdy =-òòòò； （ ）5、若函数(,)z f x y =的偏导数在00(,)x y 的邻域内存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（ ）三、计算题（第3、6题各7分，其余每题8分，共46分）1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积. 得 分分 阅卷人阅卷人得 分分 阅卷人阅卷人第 3 页 共 6 页2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域. 3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积的面积任教姓学考生答题不得过此线密封线课教师：学班号：名：号：装订线第 4 页 共 6 页4、计算第二型曲面积分：1SI dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧. 5、计算22()SI x y ds =+òò，其中S 为立体221x y z +££的边界曲面.第 5 页 共 6 页6、利用高斯公式计算235SI xdydz ydzdx zdxdy =++òò，其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧. 四、证明题（四、证明题（66分）1、证明(3sin )(cos )x y dx x y dy ++是全微分，并求原函数(,)u x y得 分分 阅卷人阅卷人 考生答题不得过此线密封线任课教师：教学班号：姓名：学号：装订线得 分分 阅卷人阅卷人第 7 页 共 6 页1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积 解：设所求体积为V,V,则则2222[()]xyD V x y x y dxdy =+-+òò，其中，22:1xy D x y +£（3分），令cos ,sin x r y r q q ==，则xy D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以，，所以， 21200()V d r r rdr pq =-òò(5分)＝6p （8分）分）2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域解：令sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r j q j q j ===(2分)， 则V 可表示为：02,,0cos 2r pq p j p j ££££££-（4分），所以, 222VI x y z dxdydz =++òòò=2cos 3002sin d d r dr ppjp q j j -òòò(5分) ＝10p（8分）3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积解：设所求面积为S,则Ds dxdy =òò，其中D 为：22221x y a b +£（2分），令cos ,sin x ar y br q q ==（3分），则D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以， 2100S d abrdr pq =òò（5分），所以S ab p =（7分）. 4、计算第二型曲面积分：1S I dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧解：记1S 为椭球面0z ³的一侧，2S 为椭球面0z £的一侧，则的一侧，则12111S S SI dxdy dxdy dxdy z z z ==+òòòòòò（2分），则12,S S 在xoy 面上的投影都是2222:1xy x y D a b +£（3分），所以222222221111xyxyDD I dxdy dxdy x y x y c c aba b =------òòòò22221x y c a b --21dr c r-＝4ab cp（，则221x y z z ++=22x y =+，则2212x y z z ++=（22222)+2)+＝(12)2p +23Sxdydz ydzdx +òò235Sxdydz ydzdx =++òò分），所以10I =D 44033p p ´=分）分）则y x ==¶¶，所以第 9 页 共 6 页则00(,)(3sin )(cos )3cos x yM Mu x y x y dx x y dy xdx x ydy =++=+òòòò（5分）分）＝23sin 2x x y +（6分）（说明：原函数可以直接观察得出！）五、应用题（五、应用题（77分） 一页长方形白纸，要求印刷面积占2Acm ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为：a b h +=cm,左部与右部宽度之和为：c d r +=cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)，使它的面积最小.解：由题意，目标函数与约束条件分别为xy S =与.))(( , ,A h y r x h y r x =-->>（1分）作Lagrange 函数],))([(A h y r x xy L ---+=l （2分）则有分）则有ïîïíì=---==-+==-+=.0))(( ,0)( ,0)(A h y r x L r x x L h y y L yx l l l （3分）分） 由此解得由此解得, , 111r h Ah x y r l l l l l æö===-+ç÷ç÷++èø（5分）分） 于是有于是有. ,h rAhy r h Arx +=+=（6分）分）根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的..（7分）分）。
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上学期数学与统计学院数学类
一、判断题（15分，每小题3分）判断下列各题，请在正确的题后括号内打“√”，错误的题后括号内打“Х”。
（1）实数域上致密性定理与柯西收敛原理等价。
（ ） （2）若()f x 在[],a b 连续，则()f x 在[],a b 一致连续。
（ ）
（3）若级数1
n n u ∞
=∑收敛，则41
n n u ∞
=∑也收敛。
（ ）
（4）若(),f x y 在a x b ≤≤；d y c ≤≤上连续，则(),b
a
f x y dx ⎰在[c, d ]一致连续。
（ ）
（5）若函数序列(){}n S x 在区间(),a b 内闭一致收敛，则(){}n S x 在(),a b 一致收敛。
（ ） 二、填空题（15分，每小题3分）。
（1）()1lim 131n n n n →∞⎡⎤
⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
＝ 。
（2）已知级数()1
ln n
n x ∞
=∑收敛，则x 的取值范围为 。
（3）5
2
1cos lim 1sin y e y y y dx x y xy
→+++⎰
= 。
（4）30
1
..2
PV
dx x -⎰= 。
（5）将()2
x x
e e
f x -+=展开为x 的幂级数，则()f x = 。
三、计算题（共42分，每小题7分）。
(1)
242
x x
e
dx +∞-+⎰
（2）求积分()1
1sin ln 0ln b a
x x
dx
b a x x
-⎛⎫>> ⎪⎝⎭⎰。
（3）设()22
1sin 1()1
y y y x F y dx x ++⎡⎤⎣⎦
=+⎰
，求微分dF 。
（4）判断正项级数()
21
1
1
212n n n ∞
-=-∑
的敛散性。
（5）判别广义积分0
1
x
dx x e
+∞⎰
的敛散性。
（6）判别含参变量广义积分()10
ln xy dx ⎰在1
,
33
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的一致收敛性。
四、综合应用题（7分） 将()21f x x =-在[]0,π上展开成余弦级数，给出展开的富里埃级数在[]0,π的收敛函数，并由此求级数()
1
2
11n n n -∞
=-∑
的和。
五、证明题（21分，每小题7分）
（1）设()f x 在[],a b 上连续，又有{}[],n x a b ⊂，使()lim n n f x A →∞
=。
证明：存在[]0,x a b ∈，
使得()0f x A =。
（2）证明函数()()
1ln 1n
n n x f x n x
∞
=+=∑
在[)2,+∞上连续。
（3）设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数，1
1()(),1,2,n
n k k f x f x n n n ==
+=∑，证明：函数
列{()}n f x 在任意有限闭区间上一致收敛。