高等数学中有理分式定积分解法总结

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高等数学公式大全导数公式：基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹Leibniz 公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。

高等数学积分公式大全

高等数学积分公式大全在高等数学的学习中，积分是一个非常重要的概念和工具。

积分公式如同数学世界中的宝库，为我们解决各种问题提供了有力的武器。

下面就为大家详细介绍一下高等数学中常见的积分公式。

一、基本积分公式1、常数积分公式∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这意味着对一个常数进行积分，结果是这个常数乘以自变量 x 再加上一个常数 C。

2、幂函数积分公式∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当 n 为正整数时，这个公式很好理解。

比如∫x² dx ＝（1/3)x³＋ C 。

3、指数函数积分公式∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。

4、对数函数积分公式∫（1/x) dx ＝ ln|x| ＋ C这是对数函数积分的基本形式。

二、三角函数积分公式1、正弦函数积分公式∫sin x dx ＝ cos x ＋ C2、余弦函数积分公式∫cos x dx ＝ sin x ＋ C3、正切函数积分公式∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C4、余切函数积分公式∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C三、反三角函数积分公式1、反正弦函数积分公式∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C2、反余弦函数积分公式∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C3、反正切函数积分公式∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2)ln(1 ＋ x²) ＋ C四、有理函数积分有理函数是指两个多项式的商。

对于形如 P(x)／Q(x) 的有理函数积分，通常需要先将其分解为部分分式，然后再利用上述基本积分公式进行积分。

五、定积分的基本性质1、线性性质∫kf(x) ＋ lg(x) dx ＝k∫f(x) dx ＋l∫g(x) dx （k，l 为常数）2、区间可加性∫a,b f(x) dx ＝∫a,c f(x) dx ＋∫c,b f(x) dx （a ＜ c ＜ b）六、换元积分法换元积分法是积分计算中的一种重要方法。

高等数学定积分及重积分的方法与技巧

高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注（1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结（定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数；（2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解（1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结（1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。

高等数学应试攻略积分知识点的掌握与运用

高等数学应试攻略积分知识点的掌握与运用高等数学应试攻略：积分知识点的掌握与运用在高等数学的学习中，积分是一个至关重要的知识点，也是考试中的重点和难点。

掌握积分的概念、性质、计算方法以及应用，对于在考试中取得好成绩至关重要。

本文将详细探讨积分知识点的掌握与运用，帮助大家在应试中更加得心应手。

一、积分的基本概念积分包括定积分和不定积分。

不定积分是求导的逆运算，而定积分则是一个数值，表示曲线下的面积。

不定积分的定义是：如果函数 F(x) 的导数是 f(x)，那么 F(x) 就是f(x) 的一个不定积分，记作∫f(x)dx ＝ F(x) ＋ C，其中 C 是常数。

定积分的定义则是：设函数 f(x) 在区间 a, b 上有定义，用分点 a ＝x₀＜ x₁＜ x₂＜＜ xₙ ＝ b 将区间 a, b 分成 n 个小区间，在每个小区间 xᵢ₋₁, xᵢ上任取一点ξᵢ（i ＝ 1, 2,， n），作和式∑f(ξᵢ)Δxᵢ，当 n无限增大且小区间长度的最大值趋近于零时，如果和式的极限存在，那么这个极限值就叫做函数 f(x) 在区间 a, b 上的定积分，记作∫ₐᵇf(x)dx。

二、积分的性质积分具有许多重要的性质，这些性质在解题中经常用到。

1、线性性质不定积分的线性性质为：∫k₁f(x) ＋ k₂g(x)dx ＝ k₁∫f(x)dx ＋k₂∫g(x)dx，其中 k₁、k₂为常数。

定积分的线性性质为：∫ₐᵇk₁f(x) ＋ k₂g(x)dx ＝ k₁∫ₐᵇf(x)dx ＋k₂∫ₐᵇg(x)dx。

2、区间可加性不定积分没有区间可加性，而定积分具有区间可加性。

即如果 c 在区间 a, b 内，那么∫ₐᵇf(x)dx ＝∫ₐᶜf(x)dx ＋∫ᶜᵇf(x)dx。

3、奇偶性如果函数 f(x) 是奇函数，即 f(x) ＝ f(x)，那么在关于原点对称的区间上，其定积分的值为 0；如果函数 f(x) 是偶函数，即 f(x) ＝ f(x)，那么在关于原点对称的区间上，其定积分的值为2∫₀ᵃf(x)dx，其中 a 为区间的一半。

高数讲义第四节有理函数的积分全

例9
求积分
1
x
1 xdx x
解令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式

高等数学中有理分式定积分解法总结(1)

定积分的计算方法与技巧

定积分的计算方法与技巧定积分是高等数学中重要的一部分，它在数学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。

本文将介绍定积分的基本概念和计算方法，以及一些常用的技巧。

一、定积分的基本概念定积分是对连续函数在一定区间上的面积进行求解的方法。

设f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则它在该区间上的定积分为：∫(b,a) f(x) dx其中，∫是积分符号，f(x) 是被积函数，dx 表示积分变量。

二、定积分的计算方法1. 基本积分公式对于一些常见的函数，有一些基本积分公式可供使用。

比如：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C (n≠-1)∫e^x dx = e^x + C∫sinx dx = -cosx + C∫cosx dx = sinx + C等等，使用这些基本积分公式可以简化复杂的计算过程。

2. 函数的分段积分对于一些在区间上不连续的函数，可以尝试将区间划分成几个子区间，然后在每个子区间上分别进行积分计算。

这个方法被称为分段积分。

3. 反常积分对于某些函数，其在一定区间上可能无法被积分，这时需要使用反常积分的方法进行计算。

反常积分分为两种情况：无穷积分和间断积分。

无穷积分是对于某些函数在无穷区间上的积分。

间断积分是对于某些函数在一定区间上存在间断点的积分。

三、定积分的技巧1. 积分中的代换对于一些复杂的积分式，可以使用代换的方法将其转化成一些已知的积分式，从而简化计算。

例如，对于∫cos(x^2)dx ，可以使用代换 y=x^2 ，将积分式转化成∫cos(y)dy 。

2. 微积分基本定理微积分基本定理指出，对于连续函数 f(x) ，其在区间 [a,b] 上的定积分可以表示成其原函数 F(x) 在区间 [a,b] 上的值之差，即：∫(b,a) f(x) dx = F(b) - F(a)这个定理可以用来简化一些定积分的计算。

3. 奇偶对称性对于一些奇偶对称的函数，其在区间 [a,b] 上的定积分可以简化为：∫(b,a) f(x) dx = 2∫(b,a/2) f(x) dx （偶函数）∫(b,a) f(x) dx = 0 （奇函数）例如，对于 f(x) = sin(x) ，其在区间 [0,π] 上的定积分可以简化为：∫(π,0) sin(x) dx = 2∫(π/2,0) sin(x) dx = 24. 积分中的分数分解对于一些积分式中含有分数的情况，可以使用分数分解的方法将其拆分成一些已知的积分式。

高等数学中有理分式定积分解法汇总

高等数学中有理分式定积分解法汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】当被积函数为两多项式的商()()P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式真分式假分式多项式除法拆项法凑微分法定积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.例1.2 422231x x dx x +++⎰ ()22222131x x x dx x ++-=+⎰解原式222212311x x dx dx dx x x =+-++⎰⎰⎰324arctan 3x x x C =+-+ ()422222222222223321.11311311311131arctan x x dxx x x x dx x x x dx dxx x dx dxx x dx dx dxx x x x C +++-=+=-+⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭=-++=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例解原式总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：2221111x dx dx x x ⎛⎫=-⎪++⎝⎭⎰⎰ 对于真分式()()P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：()()P x Q x ()()()()1212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、()()1kP x x a -、()()22lP x xpx q ++等三类函数，则多项式的积分容易求的2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1 类型一 ()mkax b dx cx +⎰ 例2.1.1()321x dx x -⎰322331=x x x dx x -+-⎰解原式211=33xdx dx dx dx x x-+-⎰⎰⎰⎰211=332x x In x C x-+++总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算2.2 类型二 ()kmcx dx ax b +⎰例2.2.1()232x dx x +⎰解令x+2=t ,则2x t =-，∴有dx dt =()()232323222=44=111=44t42=Int+42n 222t dxtt t dt tdt dt dt t t t tx C x x --+-+++-+++⎰⎰⎰⎰⎰ 原式 -+C=I总结：当被积函数形如时()kmcx dx ax b +⎰，将其用换元法转换为()mkax b dx cx+⎰，再按照后者解法求解2.3 类型三()()2x lP dx axbx c ++⎰()()()()3223222322322312222x =dt11x-1dt 1+tan =dtset tan 3tan 3tan 1=dt set =sin cos 3sin cos 3sin cos dt x dxxx x t t t tt t t tt t t t t t --+⎡⎤-+⎣⎦++++++⎰⎰⎰⎰⎰ 例2.3.1 原式设 =tant,x=tant+1,dx=set 上式 set ()()()()()22222223=-1cos costd cos +sin 2dt dt cos 2dt 41cos 21111111122=222arctan 1224422t t t t t x x x x In x x x Cx x x x -+-+∴-+-+-∴-+++-++-+-+⎰⎰⎰⎰Q =-In +cos t+2t+2sintcosttant=x-1,cost=,sint=上式()()()()()2222222221dx2312222 = dx 23111 = d 23-2d 2231211 = In 23-2arttan +C 22+bx+c +c +1lx x x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭+⎰⎰⎰⎰例2.3.2 总结：当被积函数分母含有ax 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set .x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次，便于计算3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分()()()()()()22222222+3dx 3102+3dx3101=d 310310=In 3102+3dx 3102+32+3=310+525252115252=x x x x x x x x x x x x x x x x x A Bx x x x x x A B x B A x x x x +-+-+-+-+-+-+--+-++-=++-+-∴⎰⎰⎰⎰例3.1 解法1 +C 解法2 =+=原式211dx52310x x x x ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭+-⎰ =In +C总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公式进行运算.例3.2 ()()22dx 211x x x x ++++⎰()()()()2222222=dx2111121122=212111111121d 1212121324111211223x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+++⎝⎭+-+++++-++++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫++++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式 d -dx =d dx =In -In +arctan +C总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3 ()()23dx 11x x x ---⎰()()()()()2222223=d 1121d 211122112d d 2111111d 21d d 221111111x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x InC x x --+-⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭⎛⎫-- ⎪=- ⎪-++ ⎪⎝⎭=-+---++--=+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：()1+sin sin 1cos xdx x x +⎰.例如被积函数中含有nnax b ax b cx d +++或时用换元法将根号去掉，例：1d 1xx x x-+⎰，3d 11x x ++⎰. 虽然形式各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松。

简单有理分式函数的积分

简单有理分式函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和有理分式两类：
有理整式 f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;
有理分式
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实数，并且a0≠0,b0≠0.
一、有理函数的积分
1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，
一、有理函数的积分
整理得 1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）
比较式（4-19）两端x的同次幂的系数及常数，有
一、有理函数的积分
3. 有理函数积分举例【例1】
去分母,得 2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D) =Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),
三、积分表的使用
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做，而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.
实际应用中常常利用积分表来计算不定积分.求不定积分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过少量的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
【例3】
二、可化为有理函数的积分
【例4】
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分

高考定积分知识点总结

高考定积分知识点总结定积分是高等数学中的重要内容之一，也是高考数学考试中常见的题型。

本文将对高考中常见的定积分知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地准备考试。

一、定积分的基本概念定积分是对一个区间上的函数进行求和的过程。

区间可以是有限区间，也可以是无限区间。

定积分的计算可以看作是曲线下的面积，也可以理解为函数的反导数。

二、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。

这些性质在定积分的计算和性质分析中起到了重要作用。

三、定积分的计算方法在高考中，求定积分通常通过几种基本的计算方法来完成，包括换元法、分部积分法、定积分的性质等。

不同的计算方法适用于不同的函数和题目类型，需要根据具体情况选择合适的方法。

四、定积分的应用定积分在数学中有广泛的应用。

在高考中，常见的应用包括计算面积、求曲线的弧长、求平均值等。

理解和掌握这些应用可以帮助我们更好地解决与定积分相关的题目。

五、典型题目解析以下是一些高考中常见的定积分题目及其解析，供同学们参考和练习：例题一：计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(0 to 1) x^2 dx = [x^3/3] (0 to 1) = 1/3例题二：计算不定积分∫(2 to 5) (2x+1) dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(2 to 5) (2x+1) dx = [x^2+x] (2 to 5) = (5^2+5) - (2^2+2) = 24例题三：求函数f(x)=2x在区间[0，3]上的平均值。

解析：函数的平均值可以通过定积分来计算，平均值=1/(b-a) * ∫(a to b) f(x) dx = 1/(3-0) * ∫(0 to 3) 2x d x = 1/3 * [x^2] (0 to 3) = 1/3 * (3^2-0^2) = 3通过以上例题解析，我们可以看到定积分的计算方法和应用的具体过程，希望同学们通过练习更加熟练掌握这些知识点。

大一高数积分知识点总结

大一高数积分知识点总结积分作为数学中的重要概念，广泛应用于科学和工程领域。

在大一的高等数学课程中，积分是一个重要的学习内容。

下面将对大一高数中的积分知识点进行总结和梳理。

一、不定积分不定积分是高数中最常见的一种积分形式，它表示函数的原函数。

不定积分的求解需要基于求导的逆运算。

一般来说，我们可以直接使用数学公式或者利用换元法、分部积分法等方法进行求解。

1. 基本积分公式大家应该都熟悉的基本积分公式包括：（1）常数积分公式：∫kdx = kx + C，其中 k 是常数，C 是常数项。

（2）幂函数积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C，其中 n 不等于 -1。

（3）指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C。

（4）三角函数积分公式：∫sinx dx = -cosx + C，∫cosx dx = sinx+ C，∫sec^2x dx = tanx + C 等。

2. 换元法换元法是求解不定积分的重要方法之一。

它通过引入新的变量，将被积函数转化为新变量的积分形式，从而简化计算。

换元法的关键是选择合适的换元变量，并进行组合凑整的操作。

3. 分部积分法分部积分法是求解不定积分的另一种常用方法。

它是基于求导的乘积法则，通过对被积函数进行适当的分解，将复杂的积分转化为简单的函数积分。

常用的分部积分公式为：∫u dv = uv - ∫v du。

二、定积分定积分是在一定区间内，计算函数曲线下方的面积。

它常用于计算曲线长度、质量、物理学中的功等问题。

定积分的计算需要根据对应的函数和积分区间进行求解。

1. 定积分的计算计算定积分时，可以使用以下方法：（1）几何法：通过图形分析，并利用几何图形的知识来求解定积分。

（2）换元法：将定积分转化为不定积分，并根据换元的新变量对应的积分区间进行求解。

（3）分部积分法：将定积分转化为不定积分，并利用分部积分法进行求解。

2. 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是将不定积分与定积分联系起来的一种重要工具。

(完整版)高等数学(上)第五章定积分总结

第五章定积分内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。

要求：理解定积分的概念和性质。

掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。

重点:定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。

难点:定积分的概念;变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。

§1。

定积分的概念一、实例分析1．曲边梯形的面积设函数)(x f y =∈C[a , b ］, 且)(x f y =〉0。

由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形.如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高。

（2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高。

(3）预备一张呈曲边梯形状的纸，将其撕成许多细长条. （4）启示:将曲边梯形分割为许多细长条，分割得越细，误差越小。

第i 个细长条面积)],,[()(11---=∆∈∀∆≈∆i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ曲边梯形面积： ∑=∆≈ni i i x f S 1)(ξ定积分概念示意图.ppt定义： ),,2,1,max {()(lim 10n i x x f S i ni ii =∆=∆=∑=→λξλy =f (x )x =a x =by =f (x )a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义设)(x f y =在［a ， b ］有定义，且有界。

(1) 分割：用分点b x x x a n =<<<= 10把［a ， b ]分割成n 个小区间：},,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x ni x x i i i i i i =∆=-=∆=--λ记(2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i, 做乘积: i i x f ∆)(ξ。

高数大一知识点总结定积分

高数大一知识点总结定积分定积分是高等数学中的一个重要概念，也是高数大一学习的重点内容之一。

它是对函数曲线下面的面积进行求解的一种方法，具有广泛的应用价值。

下面将对定积分的基本概念、性质以及求解方法进行总结。

一、定积分的基本概念定积分是通过将函数曲线下的面积进行划分，将其转化为极限的求和形式来定义的。

对于函数f(x)在[a, b]区间上的定积分表示为：∫[a, b] f(x) dx其中，积分号∫表示对函数进行积分运算，f(x)是被积函数，dx 表示自变量的微小增量。

二、定积分的性质1. 线性性质：定积分具有线性性质，即若函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积，常数k，则有：∫[a, b] (f(x) ± g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx ± ∫[a, b] g(x) dx∫[a, b] k·f(x) dx = k·∫[a, b] f(x) dx2. 区间可加性：若[a, b]、[b, c]都是f(x)的定义区间，则有：∫[a, c] f(x) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx3. 积分中值定理：若f(x)在[a, b]上连续，则存在ξ∈(a, b)，使得：∫[a, b] f(x) dx = f(ξ)·(b - a)三、定积分的求解方法1. 函数性质法：对于一些具有特殊性质的函数，可以利用其性质来求解定积分。

例如，奇偶性、周期性、对称性等。

2. 几何意义法：通过对函数曲线下的区域进行几何意义上的分析，可以求得定积分的值。

例如，面积、体积、质量等。

3. 分段函数法：对于一些复杂的函数，可以将其分成多个简单的部分进行分别求解，再将结果进行相加。

4. 定积分的性质法：利用定积分的性质，如线性性质、区间可加性、积分中值定理等，对定积分进行变形，从而求解。

四、定积分的应用定积分在各个学科领域中都有广泛的应用，尤其是在物理学和工程学中。

定积分求解方法总结

定积分求解方法总结
定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解曲线所围成的面积或者曲线下方
的区域的面积。

在求解定积分时，我们可以采用多种方法来得到准确的结果。

首先，最常用的方法是使用基本积分公式。

这些基本积分公式包括多项式函数、三角函数和指数函数的积分公式。

通过熟练掌握这些公式，我们可以将原函数转化为定积分的形式，并进行积分运算。

其次，我们可以利用换元法来求解定积分。

换元法是一种将变量变换为新的变
量的方法，从而简化积分运算的技巧。

通过选择适当的变换，我们可以将复杂的被积函数转化为简单的形式，从而更容易求解定积分。

另外，分部积分法也是解决定积分问题的一种常用方法。

当被积函数是乘积形
式时，我们可以通过分部积分法将问题转化为求解两个函数的积分的形式。

这种方法可以将原来的积分式子进行分解，从而得到更简单的形式，进而求解定积分。

还有一种方法是使用几何意义来理解定积分。

定积分可以看做是曲线下方区域
的面积，通过将区域划分为一系列无穷小的矩形，我们可以估计曲线下方的面积，并通过求和的方法得到准确的结果。

总之，求解定积分的方法有很多种，我们可以根据具体的问题选择合适的方法。

通过熟悉基本积分公式、掌握换元法、分部积分法以及理解几何意义，我们可以准确地求解各种形式的定积分。

这些方法不仅在理论上具有重要意义，也在实际问题的求解中起到关键的作用。

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由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】当被积函数为两多项式的商P(x)的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，Q( x)在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式真分式假分式多项式除法拆项法凑微分法定积分两个多项式的商P xP x称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式Q x与分母多项式 Q x 之间无公因式，当分子多项式P x 的次数小与分母多项式Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.1. 对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式 .例3x 4 2x 21.1x 2 1dx解原式3x 2 x21 x 2x21dx3x2dx x 2 dxx 2 13 x2dx 1 x 2 1 dx1 3 x2dx dx1 dxx 3 x21x arctanx C2x 4x 2 3 例 1.221 dxx2x 2 x 2 13 x2 dx解原式x212 x 2dx 31 1 dx x2 dxx 2x 2 12 x 34arctan x x C31总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分 . 对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：x 2 dx1 1dxx 2 1 x 2 1P x 对于真分式，若分母可分解为两个多项式乘积Q x = Q 1 x Q 2 x ，且 Q 1x ，Q xP x P xP xQ 2 x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：12，上述过程称为Q xQ 1 x Q 2x把真分式化为两个部分分式之和. 若 Qx 或 Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘12积，则最后有理函数分解式中出现多项式、P 1 xk、P 2 x 等三类函数，则多项xx 2px la q式的积分容易求的2. 先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1类型一(ax b) mdxcxkx31dx例 2.1.1x2解原式 =x 33x23x1dxx 2= xdx3 dx 31dx 1dxx x 2= 1x 2 3x 3In x 1 C 2x总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算2.2类型二cx kax m dxbx 2例 2.2.13 dxx2解令 x+2=t , 则 xt 2 ，有 dx dt2t 2原式 = 2dxt 3= t24t4dtt 3= 14 11 dt t2 dt43 dttt=Int+ 4 - 2+Ct t 2=I n x 242Cx 2x 2 2总结：当被积函数形如时cxkm dx ，将其用换元法转换为ax b解法求解2.3 类型三P x l dxax 2bx c例 2.3.1x 32dxx 22x2原式 =x 32 dtx 1 21设=tant,x=tant+1,dx=set2x-1tdt3上式 =1+tantset 2tdtset 2t= tan 3 t 3tan 2 t 3tan t 1dtset 2t = sin 3 t cos 1 t 3sin t cost 3sin 2 t cos 2 t dtm(axb)dx ，再按照后者cx k=- 1 cos 2t costd cost +3sin 2tdt dt cos2tdt4=-Incost + 1cos 2t+2t+2sintcost2 1x 1Q tant=x-1, cost=2,sint= 2x 1 1x1 1上式122x 22 x 214 2arctan x 1 x 2 2x 2C= 2 In x4x 2x 23例2.3.2x 1 dxx 2 2x132x22=2dx22x 3x=1x 21 3 d x 22x 3 -212 dx 2 2 xx 1 2= 1In x22x 3 - 2arttanx 1+C22总结：当被积函数分母含有 ax 2 +bx+c 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如 ax 2 lbx+c 时，可将其变形为 T 2 x +1或者是1-T 2 x ,然后利用三角函数恒等变形 sin 2x+cos 2x=1和1+tan 2x=set 2x 将T 2 x 降次，便于计算 .3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分例 3.1 2x+3dx2 3x 10x解法 12x+3 dx2 3x 10x =x 21d x 2 3x 103x 10=In x 23x 10 +C解法 22x+3dxx 23x102x+3 10 = 2x+3 = A + B 2 x 2 3x x+5 x 2 x 5 x =A B x 5B 2A1 1x 5 x 2x 5 x 2原式 =11dxx5 x 2=In x 23x 10 +C总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公4式进行运算 .x2 dx例 3.22x 1x 2 x 1原式 =2xdx2x 1 x 2 x111 2x 1 1=d 2x 1 - 2x 2 x 2dx 2x 11=1 d 2x 11x21 d x 2x 1112dx 2x 12 x121 3x24=In2x 1 - 1In x2x 1+ 1arctan x1+C232总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换.x 3dx 例 3.3x 2x 1 1=x 3dxx 2x11x 2 1 dxx 2 2x 1 x11 2x 2112 dxx 22xdx1 x11 x2 1 d x22x 11 2 dx1dx 2 2x 1x 1x1Inx1 x 1 Cx 11总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分 . 例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：1+sin xdx . 例如被积函数中含有cos xsin x 1nax b 或 nax b时用换元法将根号去掉，例：x 1 xdx ， 1dx . 虽然形式cxd1 x3x15各种各样 , 但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松6。

(完整版)高等数学中有理分式定积分解法总结

由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】当被积函数为两多项式的商()()P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式真分式假分式多项式除法拆项法凑微分法定积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.例1.2 422231x x dx x +++⎰ ()22222131x x x dx x ++-=+⎰解原式222212311x x dx dx dx x x =+-++⎰⎰⎰324arctan 3x x x C =+-+ ()422222222222223321.11311311311131arctan x x dxx x x x dx x x x dx dxx x dx dxx x dx dx dxx x x x C +++-=+=-+⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭=-++=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例解原式总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：2221111x dx dx x x ⎛⎫=-⎪++⎝⎭⎰⎰ 对于真分式()()P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：()()P x Q x ()()()()1212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、()()1kP x x a -、()()22lP x xpx q ++等三类函数，则多项式的积分容易求的2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1 类型一 ()mkax b dx cx +⎰ 例2.1.1()321x dx x -⎰322331=x x x dx x -+-⎰解原式211=33xdx dx dx dx x x-+-⎰⎰⎰⎰211=332x x In x C x-+++总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算2.2 类型二 ()kmcx dx ax b +⎰例2.2.1()232x dx x +⎰解令x+2=t ,则2x t =-，∴有dx dt =()()232323222=44=111=44t42=Int+42n 222t dxtt t dt tdt dt dt t t t tx C x x --+-+++-+++⎰⎰⎰⎰⎰ 原式 -+C=I总结：当被积函数形如时()kmcx dx ax b +⎰，将其用换元法转换为()mkax b dx cx+⎰，再按照后者解法求解2.3 类型三()()2x lP dx axbx c ++⎰()()()()3223222322322312222x =dt11x-1dt 1+tan =dtset tan 3tan 3tan 1=dt set =sin cos 3sin cos 3sin cos dt x dxxx x t t t tt t t tt t t t t t --+⎡⎤-+⎣⎦++++++⎰⎰⎰⎰⎰ 例2.3.1 原式设 =tant,x=tant+1,dx=set 上式 set ()()()222223=-1cos costd cos +sin 2dt dt cos 2dt 41cos 21122=222arctan 1224422t t t t t x In x x x Cx x x x -+-∴-∴-+++-++-+-+⎰⎰⎰⎰Q =-In +cos t+2t+2sintcosttant=x-1, 上式()()()()()2222222221dx2312222 = dx 23111 = d 23-2d 223121 = In 23+C 2+bx+c +c +1lx x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++++⎰⎰⎰⎰例2.3.2 总结：当被积函数分母含有ax 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set .x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次，便于计算3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分()()()()()()22222222+3dx 3102+3dx3101=d 310310=In 3102+3dx 3102+32+3=310+525252115252=x x x x x x x x x x x x x x x x x A Bx x x x x x A B x B A x x x x +-+-+-+-+-+-+--+-++-=++-+-∴⎰⎰⎰⎰例3.1 解法1 +C 解法2 =+=原式211dx52310x x x x ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭+-⎰ =In +C总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公式进行运算.例3.2 ()()22dx 211x x x x ++++⎰()()()()2222222=dx2111121122=212111111121d 12121213241121122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+++⎝⎭+-+++++-++++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫++++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式 d -dx =d dx =In -In +C总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3 ()()23dx 11x x x ---⎰()()()()()2222223=d 1121d 211122112d d 2111111d 21d d 221111111x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x InC x x --+-⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭⎛⎫-- ⎪=- ⎪-++ ⎪⎝⎭=-+---++--=+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：()1+sin sin 1cos xdx x x +⎰.例如被积函数中含有时用换元法将根号去掉，例：x，. 虽然形式各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松。

有理分式的积分

有理分式的积分
有理分式的积分是一种常见的数学问题，它涉及到求解有理分式的积分。

有理分式的积分是一种求解有理分式的积分的方法，它可以帮助我们解决一些复杂的数学问题。

有理分式的积分可以分为两种：一种是积分的基本定义，另一种是积分的技巧。

积分的基本定义是指把一个函数的值积分起来，以获得函数的积分。

积分的技巧是指使用一些特殊的技巧来求解有理分式的积分，比如分部积分、变量替换等。

有理分式的积分是一种比较复杂的数学问题，它需要我们掌握一定的数学知识和技巧，才能够正确地求解有理分式的积分。

因此，我们在学习有理分式的积分时，需要多加练习，以便掌握有理分式的积分的基本技巧。

总之，有理分式的积分是一种比较复杂的数学问题，它需要我们掌握一定的数学知识和技巧，才能够正确地求解有理分式的积分。

只有掌握了有理分式的积分的基本技巧，才能够解决一些复杂的数学问题。

高数有理分式积分法分解

22
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例9. 求
1
2
解: 原式
cos x
dx
2
a tan x b
2
2
1 d tan x 2 2 a tan 2 x ( b ) a
1 a arctan( tan x ) C ab b
说明: 通常求含 sin x , cos x 及 sin x cos x 的有理式的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
Ax B (3) 2 ( p 2 4q 0) x pxq Ax B 2 (4) 2 ( p 4q 0, k 2,3, 4 ) k ( x p x q)
于是,求任何一个真分式的不定积分问题,也就转化为求
以上四种类型的不定积分.
5
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的分式.(其中A、a、M、N、p、q为常数)
3
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P( x) ( P( x), Q( x) 无公因子)都可定理. 任何一个真分式 Q( x)
分解成若干个简单分式之和,并且 (1) 若Q(x)=0有k重实根a (即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有 ( x a)k 因子), 则分解时必含有以下的分式:
9
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(2) 用赋值法
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x3 A ( x 2) 原式 5 x 2 x 3 x 2 x3 6 B ( x 3) 原式 x 3 x2 x 3
15
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例6. 求

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由十个例题掌握有理分式定积解法
【摘要】当被积函数为两多项式的商
()
()
P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结
【关键词】有理分式真分式假分式多项式除法拆项法凑微分法定积分
两个多项式的商
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()
P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.
1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.
例1.2 422
23
1
x x dx x +++⎰ ()222
2
2131
x x x dx x ++-=+⎰
解原式
2
2
2212311
x x dx dx dx x x =+-++⎰⎰⎰
()42
2222
2
22
222223321.11
311
31
13111
31
arctan x x dx
x x x x dx x x x dx dx
x x dx dx
x x dx dx dx
x x x x C +++-=+=-+⎛
⎫=-- ⎪+⎝⎭
=-++=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例解原式
3
24arctan 3
x x x C =
+-+ 总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：
2221111x dx dx x x ⎛
⎫=- ⎪++⎝⎭
⎰⎰ 对于真分式
()
()
P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：
()()P x Q x ()()()()
1
212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为
把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、()
()
1k
P x x a -、
()
()
22
l
P x x
px q ++等三类函数，则多项
式的积分容易求的
2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分
2.1 类型一 ()m
k
ax b dx cx
+⎰ 例2.1.1
()
3
2
1x dx x -⎰
322
331
=x x x dx x
-+-⎰解原式 211
=33xdx dx dx dx x x
-+-⎰⎰⎰⎰
211
=332x x In x C x
-+++
总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，
然后利用常见积分公式进行运算
2.2 类型二
()
k
m
cx dx ax b +⎰
例2.2.1
()2
3
2x dx x +⎰
解令x+2=t ,则2x t =-，∴有dx dt =
()
()2
3
23
2322
2=44
=111
=44t 42
=Int+42
n 222t dx t t t dt t dt dt dt t t t t
x C
x x --+-+++-+++⎰
⎰⎰⎰⎰ 原式 -+C
=I
总结：当被积函数形如时()
k
m
cx dx ax b +⎰，将其用换元法转换为()m
k
ax b dx cx
+⎰，再按照后者解法求解
2.3 类型三
()
()
2
x l
P dx ax
bx c ++⎰
()
()()
()3
2
2
3
2
2
23
22
322
312222x =dt
11x-1dt 1+tan =dt
set tan 3tan 3tan 1
=dt set =sin cos 3sin cos 3sin cos dt x dx
x
x x t t t t
t t t t
t t t t t t --+⎡⎤-+⎣⎦
++++++⎰⎰
⎰
⎰⎰ 例2.3.1 原式设 =tant,x=tant+1,dx=set 上式 set ()()
()222223
=-1cos costd cos +
sin 2dt dt cos 2dt 4
1
cos 2
1122=222arctan 1224422
t t t t t x In x x x C
x x x x -+-∴-∴-+++-++-+-+⎰⎰⎰⎰ =-In +cos t+2t+2sintcost
tant=x-1, 上式
()()(
)()()2
222
222221
dx
23
1
2222 = dx 23111 = d 23-2d 223121 = In 23+C 2+bx+c +c +1l
x x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++++⎰
⎰⎰⎰例2.3.2 总结：当被积函数分母含有ax 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，
可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set .
x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次，便于计算
3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分
()()()()()()
2222222dx
3102+3
dx
310
1
=d 310310=In 3102+3
dx
3102+32+3=310+52525211
5252=x x x x x x x x x x x x x x x x A B
x x x x x x A B x B A x x x x +-+-+-+-+-+-+--+-++-=++-+-∴⎰
⎰⎰⎰
例3.1 解法1 +C 解法2 =+
=
原式21
1dx
52310x x x x ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭+-⎰ =In +C
总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公式进行运算.
例3.2 ()()2
2
dx 211x x x x ++++⎰
()()()(
)22
2
2
222=dx
2111121122=21211
1111121d 12121213
24
1121122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫
- ⎪+++⎝⎭
+-+++++-++++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛
⎫++++ ⎪⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式 d -dx =d dx =In -In +C
总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3 ()()23
dx 11x x x ---⎰
()()
()()()
2
22222=d 112
1d 21112211
2d d 2111111d 21d d 2211111
11
x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x In
C x x -+-⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭⎛⎫
-- ⎪=- ⎪-++ ⎪
⎝⎭=-+---++--=+++-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项
除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：
()1+sin sin 1cos x
dx x x +⎰.例如被积函数中含
有
时用换元法将根号去掉，
例：x
，. 虽然形式各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来
应当是信手拈来，甚是轻松。