高等数学中有理分式定积分解法总结

由十个例题掌握有理分式定积解法

【摘要】 当被积函数为两多项式的商

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P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结

【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分

两个多项式的商

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P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.

1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.

例1.2 422

23

1

x x dx x +++⎰ ()222

2

2131

x x x dx x ++-=+⎰

解 原式

2

2

2212311

x x dx dx dx x x =+-++⎰⎰⎰

()42

2222

2

22

222223321.11

311

31

13111

31

arctan x x dx

x x x x dx x x x dx dx

x x dx dx

x x dx dx dx

x x x x C +++-=+=-+⎛

⎫=-- ⎪+⎝⎭

=-++=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 解 原式

3

24arctan 3

x x x C =

+-+ 总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：

2221111x dx dx x x ⎛

⎫=- ⎪++⎝⎭

⎰⎰ 对于真分式

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P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：

()()P x Q x ()()()()

1

212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为

把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、()

()

1k

P x x a -、

()

()

22

l

P x x

px q ++等三类函数，则多项

式的积分容易求的

2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分

2.1 类型一 ()m

k

ax b dx cx

+⎰ 例2.1.1

()

3

2

1x dx x -⎰

322

331

=x x x dx x

-+-⎰解 原式 211

=33xdx dx dx dx x x

-+-⎰⎰⎰⎰

211

=332x x In x C x

-+++

总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，

然后利用常见积分公式进行运算

2.2 类型二

()

k

m

cx dx ax b +⎰

例2.2.1

()2

3

2x dx x +⎰

解 令x+2=t ,则2x t =-，∴有dx dt =

()

()2

3

23

2322

2=44

=111

=44t 42

=Int+42

n 222t dx t t t dt t dt dt dt t t t t

x C

x x --+-+++-+++⎰

⎰⎰⎰⎰ 原式 -+C

=I

总结：当被积函数形如时()

k

m

cx dx ax b +⎰，将其用换元法转换为()m

k

ax b dx cx

+⎰，再按照后者解法求解

2.3 类型三

()

()

2

x l

P dx ax

bx c ++⎰

()

()()

()3

2

2

3

2

2

23

22

322

312222x =dt

11x-1dt 1+tan =dt

set tan 3tan 3tan 1

=dt set =sin cos 3sin cos 3sin cos dt x dx

x

x x t t t t

t t t t

t t t t t t --+⎡⎤-+⎣⎦

++++++⎰⎰

⎰

⎰⎰ 例2.3.1 原式 设 =tant,x=tant+1,dx=set 上式 set ()()

()222223

=-1cos costd cos +

sin 2dt dt cos 2dt 4

1

cos 2

1122=222arctan 1224422

t t t t t x In x x x C

x x x x -+-∴-∴-+++-++-+-+⎰⎰⎰⎰ =-In +cos t+2t+2sintcost

tant=x-1, 上式

()()(

)()()2

222

222221

dx

23

1

2222 = dx 23111 = d 23-2d 223121 = In 23+C 2+bx+c +c +1l

x x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++++⎰

⎰⎰⎰例2.3.2 总结：当被积函数分母含有ax 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，

可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set .

x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次，便于计算

3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分