中考数学复习微专题：对三角形内接矩形问题的探究

对三角形内接矩形问题的探究
题目一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图1所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是()
(A)第4张
(B)第5张(C)第6张(D)第7张分析
根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得结果.
解已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3,
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x ，
则331522.5
x =，解得 4.5x =，所以另一段长为22.5－4.5=18.
因为18÷3=6，所以是第6张.
点评本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用.
以原题为基础，稍作改变，可进行逐级延伸与拓展.
引申如图2，在Rt ABC ∆中，90,4,3C AC BC ∠=︒==.四边形DEFG 为ABC ∆的内接正方形，求正方形的边长.
解析作CN AB ⊥，再根据//GF AB ，可知CGF ∆∽CAB ∆，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，根据相似三角形的性质列出关于x 的方程，即可求出正方形的边长.在图2中作CN AB ⊥，交CF 于点M ,交AB 于点N .
在Rt ABC ∆中，
4,3,AC BC == 125,5AB CN ∴==.//,GF AB CGF ∴∆ ∽CAB ∆，CM GF CN AB
∴=.设正方形边长为x ,则12605,125375
x x x -=∴=.变式1如图4,ABC ∆内有并排的两个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于ABC ∆，求正方形的边长
.
解析在图5中作CN AB ⊥，交GF 于点M ，交AB 于点N .
//,GF AB CGF ∴∆ ∽CAB ∆,CM GF CN AB
∴
=.设每个正方形边长为x ,122605,125495
x x x -=∴=
.变式2如图6,ABC ∆内有并排的三个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于
ABC ∆，求正方形的边长
.
解析作CN AB ⊥，交GF 于点M ，交AB 于点N ，易知，CGF ∆∽CAB ∆;根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长为:60
61
x =变式3如图7，按前面的规律，当有n 个相等的正方形时，探求正方形的边长.解析设每个正方形的边长为x
，同理
得:1251255
x nx -=，则601225x n =+.变式4如图8，直角ABC ∆中，从左向右
依次作正方形NDMC 、MKEH 、HPFG ，若NDMC 、MKEH 的边长分别为m 、n ，请你用含m 、n 代数式表示HPFG 的边长
.
解如图9所示，
根据条件可以得到DKE ∆∽EPF ∆,
::DK PE KE PF ∴=.
而,,,DK m n FG c PE n c PF c =-==-=,
2():():,m n n c n c n mc ∴--=∴=,
∴正方形HPFG 的边长是2
n m
.评注一题多变，是基于“原题”之上的多变，在“继承”原题的部分条件或结论的同时，还应将“原题”的分析与求解的历程适度延续，在知识的应用、技能的训练或思想的渗透等方面应略高于原题.所以，设计好基于“原题”的变式题，将有利于提高分析问题和解决问题的能力.
拓展如图10，在锐角三角形ABC ∆中，BC =12,ABC ∆的面积为48,,D E 分别是边,AB AC 上的两个动点(D 不与,A B 重合)，且保持//DE BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .
(1)当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长;
(2)设,DE x ABC =∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.
解析(1)当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，
如图10，过点A 作BC 边上的高AM ,交DE 于N ，垂足为M .
18,12,8ABC S BC AM ∆==∴= .
//,DE BC ADE ∆ ∽ABC ∆,
DE AN BC AM
∴
=.而AN AM MN AM DE =-=-,
8128
DE DE -∴=，解之得DE =4.8.∴当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，正方形DEFG 的边长为4.8.
(2)分两种情况:
①当正方形DEFG 在ABC ∆的内部时，
如图9,ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为正方形DEFG 的面积.
2,DE x y x =∴= ,
此时x 的范围是0 4.8x <≤;
②当正方形DEFG 的一部分在ABC ∆的外部时，
如图10，设DG 与BC 交于点,Q EF 与BC 交于点,P ABC ∆的高AM 交DE 于N .
,//,
DE x DE BC = ADE ∴∆∽ABC ∆,即
DE AN BC AM
=.而AN AM MN AM EP =-=-,
8128x EP -∴=解得283EP x =-.所以2(8)3y x x =-，即2283y x x =-+,3一
由题意， 4.8x >，且x <12,
所以4.812x <<.
因此ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积需分两种情况讨论:
当0 4.8x <≤时，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04;
当4.812x <<时，因为2283y x x =-
+,所以当8622()3x =-=⨯-时，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值为22686243
-⨯+⨯=.所以，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24.
点评本题主要考查了二次函数，平行线以及正方形的性质等知识点，要根据题意，得到二次函数关系，再根据二次函数的性质，即可得答案.
变式型的数学练习设计是一种思维广度的训练，在这种思维广度训练中，涉及的知识点是在具体问题情境中给予展示的，这种练习对于学生解决问题思维的全面性是一种有效的促进.但仅仅依赖一题多变还无法形成知识的全方位梳理，将一题多变引入到中考试题中，恰恰达到了这样的效果，同时也达到了发展能力的培养要求.。