七年级下数学辅导资料
2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第11讲 全等三角形的概念和性质及判定(讲义)解析版
第11讲 全等三角形的概念和性质及判定本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．模块一：全等三角形的概念和性质知识精讲全等形、全等三角形及其相关的概念（1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.（2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．如下图所示：已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点) 对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ．对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与．全等三角形的数学语言：三角形ABC 与三角形A ′B ′C ′全等，记作△ABC ≌△A ′B ′C ′，读作“三角形ABC 全等于三角形A ′B ′C ′”．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等．全等三角形中应注意的问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等；（3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；A B C D E F画三角形：确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边.例题解析例1．（2019·上海浦东新区·）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（）A．周长相等的两个等边三角形B．三个内角分别相等的两个三角形C．两条边和其中一个角相等的两个三角形D．面积相等的两个等腰三角形【答案】A【分析】依据全等三角形的概念即可做出选择.【详解】解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确；B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误；C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形,只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误；D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误；答案为：A.【点睛】本题考查了全等三角形的定义，即全等三角形不仅形状相同，而且大小相等.例2.下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的三角形C．全等三角形的周长和面积都相等 D．所有的等边三角形都全等【难度】★【答案】C【解析】A错，形状相同，大小也要相同；B错，面积相等不一定全等，反例同底等高的三角形；D错，大小不一定相等．【总结】本题主要考查全等三角形的概念．例3.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等【难度】★【答案】C【解析】等底同高，所以面积相等．【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．例4.如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（）A ．∠1＝∠2B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC【难度】★【答案】D【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等．【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．例5.下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边【难度】★【答案】C【解析】C 选项是边边角，不能作为全等的判定条件．【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．例6.练习画出下列条件的三角形：（1） 画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=；（2） 画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===；（3） 画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒；（4） 画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒．例7.下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★【答案】B【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对；（4）对，故选B ．【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解．例8.下列说法中错误的是（ ）A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B ．全等三角形的公共边也是对应边C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边【难度】★★【答案】C【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三 角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．例9.如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ）A ．80°B ．100°C ．60°D ．45°【难度】★★【答案】A【解析】设1=28x ∠，25x ∠=，33x ∠=，则36180x =，解得：5x =．1140∴∠=︒，225∠=︒，315∠=︒，22ABC ACB ∴∠∂=∠+∠212280=∠+∠=︒．【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用．例10．（2021·安仁县思源实验学校七年级期末）若ABC DEF △≌△，70A ∠=︒，50B ∠=︒，点 A 的对应点是D ，AB DE =，那么F ∠的度数是_______．【答案】60︒【分析】根据全等三角形的性质求解；【详解】解：ABC DEF ≌，70A ∠=︒，50B ∠=︒，18060F C A B ︒︒∴==--=∠∠∠∠．故答案为：60︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质，理解相关性质正确推理计算是解题关键．例11．（2020·福建泉州市·七年级期末）如图，△ABC≌△ADE，且点E在BC上，若∠DAB＝30°，则∠CED＝_____．【答案】150°【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∵∠BHE＝∠DHA，∴∠BED＝∠DAB＝30°，∴∠CED＝180°﹣∠BED＝150°.故答案为：150°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．△≌△，DEF的例12．（2020·黑龙江省红光农场学校七年级期末）已知ABC DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=12cm，则AB=_______， BC=______，CA=_____【答案】9cm 12cm 11cm【分析】作出图形，先求出DF，再根据全等三角形对应边相等解答即可．【详解】解：∵△DEF的周长是32cm，DE=9cm，EF=12cm，∴DF=32-9-12=11cm，∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE=9cm，BC=EF=12cm，DF=AC=11cm．故答案为：9cm；12cm；11cm．【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．∆≅∆，例13．（2020·河南周口市·七年级期末）如图，ABC DEF120,20∠=︒∠=︒，则DB F∠=__________°.【答案】40【分析】根据全等三角形的性质得出∠E=∠B=120°，再根据三角形的内角和定理求出∠D 的度数即可．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠E=∠B=120°，∵∠F=20°，∴∠D=180°-∠E-∠F=40°，故答案为40．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．例14．（2019·海南七年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2=_______度.【答案】90【分析】根据网格特点可知两个三角形全等，故可求解.【详解】由网格的特点可知两个三角形全等∴∠2=∠3∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°，故答案为：90°.【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知全等三角形的性质及网格的特点.例15．（2019·山东泰安市·七年级期中）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________．【答案】11【分析】根据全等三角形的性质求出x和y即可.【详解】解：∵这两个三角形全等∴x=6，y=5∴x + y =11故答案为11.【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键.例16．（2018·全国七年级课时练习）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出对应边和其他对应角．【答案】AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠D与∠E是对应角．【分析】先根据△ABE≌△ACD，可以确定点A的对应点是A，点B的对应点是C，点D的对应点是E，然后根据对应顶点，结合图形即可找出对应边和对应角．【详解】∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴点A的对应点是A，点B的对应点是C，点E的对应点是D，∴∠E与∠D是对应角，AB与AC，BE与CD，AE与AD是对应边．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一般情况下，对于图形的全等来说，能够完全重合的部分是相互对应的，实际应用中，应结合图形将对应点写在对应位置上，以免出现错误．例17．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10.（1）求△ABC的周长；（2）求△ACE的面积.【答案】（1）24；（2）50【分析】（1）根据三角形全等得到AC=CE，即可得出答案；（2）根据三角形全等得到∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE，进而求出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出答案.【详解】解：（1））∵△ABC≌△CDE∴AC=CE∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24（2）∵△ABC≌△CDE∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE又∠B=90°∴∠ACB+∠BAC=90°∴∠ACB+∠DCE=90°∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°∴△ACE的面积=150 2AC CE⨯⨯=【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的周长和面积公式，需要熟记三角形的周长和面积公式.例18.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于F.（1）∠DEF和∠CBE相等吗?请说明理由；（2）请找出图中与ED相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.【难度】★★【答案】（1）相等；（2）ED BC AD ==．【解析】（1）90DEF CEB ∠+∠=︒，90CBE CEB ∠+∠=︒，DEF CBE ∴∠=∠（同角的余角相等）（2）AE 平分DAB ∠， 45DAE ∴∠=︒，DE AD ∴=． AD BC =， DE AD BC ∴==．【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再 利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题．例19.如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长．【难度】★★【答案】（1）1=55∠°；（2）4AC cm =．【解析】（1）ADF BCE ≅，30A B ∴∠=∠=︒，AD BC =，155A F ∴∠=∠+∠=︒；（2）ADF BCE ≅，AD BC ∴=， 514AC AD CD cm ∴=-=-=．【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用． 例20.如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠ACB =2:5:11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋转，试旋转前后的△A ’B ’C ’中的顶点B ’在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA ’的度数．【难度】★★【答案】40︒．【解析】设2A x ∠=，5B x ∠=，11ACB x ∠=，则18180x =， 解得：10x =，∴110BCA ∠=，70BCB '∠=．110A CB ''∠=， 40BCA '∴∠=．【总结】考察学生对旋转的理解，注意利用全等三角形的性质进行解题．例21.如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，∠ACB =1050，∠CAD =100，∠ADE =250，求∠DFB 和∠AGB 的度数．【难度】★★【答案】∠DFB =85︒，∠AGB =45︒．【解析】证明：ABC ADE ≅，25ADE ABC ∴∠=∠=︒，50CAB EAD ∠=∠=︒，10502585DFB ∴∠=︒+︒+︒=︒，1801102545AGB ∠=︒-︒-︒=︒．【总结】本题主要考察学生对全等三角形的性质及三角形外角性质和内角和定理的综合 运用．例22.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．【难度】★★★【答案】（1）AED A ED '≅，A A '∠=∠，AED A ED '∠=∠，ADE A DE '∠=∠；（2）11802x ∠=-，21802y ∠=-；（3）()1122A ∠=∠+∠． 【解析】（3）证明：∵()180A x y ∠=-+，1+2=3602()x y ∠∠-+，∴()1122A ∠=∠+∠． 【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查全等三角形的性质及三角形内角和 定理的运用．例23.如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD 的位置；如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．AB CD E （1）AB C D （2）AB C D E （3）A B C （4）D E F【难度】★★★【答案】翻折变换，平移变换或旋转变换，平移变换．【解析】AB ED =，BC EF =，AC DF =．【总结】考察学生对图形的运动的理解和掌握，需要学生进行一定的空间想象． 模块二：全等三角形的判定知识精讲本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应 相等（SAS ）”，“两角及夹边对应相等（ASA ）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS ）”“三边对应相等（SSS ）”的两个三角形全等．例题解析例1.如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由．【难度】★★【解析】证明：12∠=∠，12DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．在ABC 和DAE 中，B D BAC DAE AC AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ADE （A.A.S ）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．例2.如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD相等吗?为什么?【难度】★【解析】证明：在ABE 和ADC 中，A A C E BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE ADC ∴≅（A.A.S ）， AB AD ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例3.如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由．【难度】★【解析】证明：AD BC =，AE BE =，DE CE ∴=．在ACE 和BDE 中，AE BE =AEC BED ∠=∠，ACE BDE ∴≅（S.A.S ）AC BD ∴=，C D ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例4如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由．【难度】★【解析】证明：连接BD在ABD 和CDB 中，AB CD AD BC BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABD CDB S S S ∴≅A C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例5.如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，说明△ADE 与△CDF 全等的理由．【难度】★★【解析】//AE CF ， E EFC ∴∠=∠．∵BD 是△ABC 的中线， ∴AD CD =．在ADE 和CDF 中，ADE FDC AD CD ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ADE CDF ∴≅（A.A.S ）． 【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．例6.如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；（2）说明EO =FO 的理由．【难度】★★【解析】证明：（1）//AC BD ，C D ∴∠=∠．在AOC 和BOD 中，C D AOC BOD AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AOC BOD ∴≅（A.A.S ）； （2）AOC BOD ≅， CO DO ∴=．在CEO 和DFO 中，C D CO DOCOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()CEO DFO ASA ∴≅， EO FO ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例7.如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由．【难度】★★【解析】CD AB BE AC ⊥⊥，， 90BDC DEC ∴∠=∠=︒．在BDO 和CEO 中，DO EODOB COE ⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)BDO CEO A S A ∴≅． DO EO ∴=，B C ∠=∠， BO CO =， BE CD ∴=．在ABE 和ACD 中，A A BE CDBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABE ≌ACD （A.S.A ）， AB AC ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意利用多次全等． 例8.如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么?（2） 说明AB =CD 的理由；（3） 图中有哪几对全等三角形?【难度】★★【解析】证明：（1）全等，//AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠．//BF DE ，DEF BFE ∴∠=∠， AED BFC ∴∠=∠．在AED 和BFC 中，DAC ACB AE CF AED BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ADE CBF A S A ∴≅；（2）ADE CBF ≅， AD BC ∴=．在ABC 和ADC 中AD BC DAC ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABC ADC S A S ∴≅，AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）；（3）AED CFB ≅；DEC BFA ≅；ABC CDA ≅．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用．例9.如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由．【难度】★★【解析】在ABC 和BCD 中，AB CD AC BD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABC DCB S S S ∴≅， ABC BCD ∴∠=∠，在ABM 和DCM 中，AB CD ABC BCD BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABM DCM S A S ∴≅， AM DM ∴=．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用，利用多次全等进行证明． 例10.如图，∠1=∠2，AC =BD ，E 、A 、B 、F 在同一条直线上，说明：∠CAD =∠DBC 的理由．【难度】★★【解析】12∠=∠， CAB DBA ∴∠=∠．在CAB 和DBA 中，AC BD CAB DBA AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)CAB DBA S A S ∴≅，CBA DAB ∴∠=∠，又CAB DBA ∠=∠，CAD DBC ∴∠=∠．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与角的和差的综合运用．例11.如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理由．【难度】★★【解析】证明：在ABE 和ACE 中，AB AC BE CE AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)ABE ACE S S S ∴≅，BAD CAD ∴∠=∠．在ABD 和ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ABD ACD S A S ∴≅，90ADB ADC ∴∠=∠=， AD BC ∴⊥．【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，通过多次全等得到垂直． 例12.如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由．【难度】★★【解析】证明：在ADC 和AEB 中，AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴(..)ADC AEB S A S ≅B C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）AB CA =，AD AE =，BD CE ∴=．在BDO 和CEO 中，DOB COE ∠=∠B C ∠=∠BD CE =(..)BDO CEO A A S ∴≅， OD OE ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，注意对全等的多次运用． 例13．（2019·上海奉贤区·七年级期末）阅读并填空：如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE OD ，那么CD BE =，为什么？解：过点E 作EF AC 交BC 于F所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF ∠=∠（________）在OCD 与OFE △中()________COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE △≌△，（________）所以CD FE =（________）因为AB AC =（已知）所以ACB B =∠∠（________）所以EFB B ∠=∠（等量代换）所以BE FE =（________）所以CD BE =【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）∴CD FE =（全等三角形对应边相等）∵AB AC =（已知）∴ACB B =∠∠（等边对等角）∴EFB B ∠=∠（等量代换）∴BE FE =（等角对等边）∴CD BE =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.例14．（2019·上海市民办新竹园中学七年级期中）如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过点D 的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥GF ，交AB 于点E ，连接EG ，EF.（1）说明：BG=CF ；（2）BE ，CF 与EF 这三条线段能否组成一个三角形？【分析】（1）由BG ∥AC 得出∠DBG=∠DCF,从而利用ASA 得出△BGD 与△CFD全等，进一步证得结论（2）根据△BGD与△CFD全等得出GD=FD,BG=CF,再又因为DE⊥GF，从而得出EG=EF,从而进一步得出结论【详解】（1）∵BG∥AC∴∠DBG=∠DCF又∵D为BC中点∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF∴△BGD≅△CFD（ASA）∴BG=CF（2）能证明如下：∵△BGD≅△CFD∴BG=CF，GD=DF又∵DE⊥GF∴GE=EF∵BE,BG,GE组成了△BGE∴BE,BG,GE三边满足三角形三边的关系同理，与BG,GE相等的两边CF,EF与BE三条线段亦满足三角形三边关系∴BE,CF,EF这三条线段可以组成三角形【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判断及性质是关键例15．（2018·华东理工大学附属中学七年级月考）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，∠FDE=∠B,请说明∠B=∠C【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠B+∠DFB ，再根据∠FDE=∠B ，证明∠DFB=∠EDC ，然后根据边角边定理证明△DFB 与△EDC 全等，根据此思路进行解答即可.【详解】证明：∵∠FDC=∠B+∠DFB （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB又∵∠FDE=∠B （已知）∴∠DFB=∠EDC在△DFB 与△EDC 中FB=ED （已知），∠DFB=∠EDC ，BF=CD （已知）∴△DFB ≌△EDC （SAS ）∴∠B =∠C .【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键.例16．（2019·上海浦东新区·）公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB CD ∥，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE CF =，M 是BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.（提示：可通过证明180EMF =∠）【分析】先根据SAS 判定△BEM ≌△CFM ，从而得出∠BME=∠CMF.通过角之间的转换可得到E ，M ，F 在一条直线上.【详解】证明：∵AB CD ∥（已知）∴B C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）在EBM △与FCM △中，BE CF B CBM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（中点的意义）∴(...)EBM FCM S A S △≌△∴BME CMF ∠=∠（全等三角形的对应角相等）∵180BMF CMF +=∠∠（平角的意义）∴180BMF BME ∠+∠=（等量代换）∴E ，M ，F 三点共线（平角的意义）【点睛】本题主要考查了学生对全等三角形的判定的掌握情况，关键是共线的证明方法. 例17．（2019·上海浦东新区·）如图，已知ABC △中，AB AC =，O 是ABC △内一点，且OB OC =，试说明AO BC ⊥的理由.【分析】先证明AOB AOC △≌△，再利用全等三角形的性质得到BAO CAO ∠=∠，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明.【详解】证明：在AOB 与AOC △中，AB AC OB OCAO AO （已知）（已知）（公共边）=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴(...)AOB AOC S S S △≌△∴BAO CAO ∠=∠（全等三角形的对应角相等）∵AB AC =（已知）∴AO BC ⊥（等腰三角形的三线合一）【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题和等腰三角形三线合一性质的运用.例18．（2018·上海市第八中学七年级月考）如图，点E 、F 位于线段AC 上，且 AF=CE ， AB ∥CD ， BE ∥DF 。
七年级数学复习资料
七年级数学复习资料篇一：七年级数学下册辅导复习资料第五章1、填一填相交线与平行线5.1.1相交线2二、概括归纳1、邻补角概念：，这样的两个角叫互为邻补角；请指出上图中的邻补角：性质：2、.对顶角概念：，这样的两个角叫互为对顶角；三、课堂检测：1、如图，直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的对顶角是_______,∠COF的邻补角是________.若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________.EACFDB2、如图，直线AB、CD相交于点O.DA(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.(2)若∠BOC比∠AOC的2倍多33°,求各角的度数B5.1.2垂线（一）1、如图，若∠1=60°，那么∠2=、∠3=、∠4=.2、改变上图中∠1的大小，若∠1=90°，请画出这种图形，并求出此时∠2=、∠3=、∠4的大小。
上面所画图形中两条直线的关系是__________，知道两条直线互相________是两条直线相交的特殊情况。
2、用语言概括垂直定义两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。
3、垂直的表示方法：垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为__________________4、垂直的推理应用：（1）∵∠AOD=90°（）∴AB⊥CD（）（2）∵AB⊥CD（）∴∠AOD=90°（）画图实践：1．用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.(1)已知直线L，画出直线L的垂线，能画几条LAOD小组内交流,明确直线L的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。
(2)怎样才能确定直线L的垂线位置呢在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,能画几条再经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条LLB．A从中你能得出什么结论____________________________________________.二、检测：1、如图，直线AB、EF相交于O点，C于O点，DAB，EOD12819BOF,AOFC2、（1）画图：①直线AB、CD②过O点作OE⊥CD于O，并使OE、OB在CD的同侧。
2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第13讲 等腰三角形一(讲义)解析版
第13讲等腰三角形一等腰三角形从边和角两方面出发，阐述了它的特殊性．在理解等腰三角形的性质和判定的基础上，能够熟练的进行边和角之间的计算及证明，本节课的内容相对基础．模块一：等腰三角形性质知识精讲等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）．（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．例题解析例1．（2018·上海七年级零模）如果一个等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，那么第三条边的长是________cm．【答案】6【分析】分“3cm为腰长”和“6cm为腰长”两种情况计算，再根据三边关系判断即可．【详解】解：分两种情况考虑：若3cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为3cm，3cm，6cm，因为3+3=6，不符合三边关系，故舍去；若6cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，6cm，3cm，符合三边关系，则第三条边的长是6cm．故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三边关系，掌握基础知识是关键，做题时注意分情况考虑．例2．（2018·上海市闵行区上虹中学七年级月考）若等腰三角形有一个内角为80°，则该等腰三角形顶角的度数为________【答案】80°或20°【分析】分顶角为80°和底角为80°两种情况求解即可.【详解】当底角为80°时，顶角=180°-80°×2=20°.故答案为：80°或20°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及分类讨论的数学思想，分顶角为80°和底角为80°两种情况求解是解答本题的关键.例3．（2018·上海市兴陇中学七年级月考）等腰三角形的两边的长分别为2cm和7cm，则三角形的周长是_______________．【答案】16cm．试题分析：分两种情况， 当2cm为腰长，7cm为底边长时，三角形三边长分别为2cm,2cm,7cm，不符合三角形的三边关系，不构成三角形； 当7cm为腰长，2cm为底边长时，三角形三边长分别为2cm,7cm,7cm，符合三角形的三边关系，所以三角形的周长为16cm．考点：等腰三角形的性质；分类讨论．例4．（2020·上海闵行区·）等腰三角形的两边长为4，9，则它的周长为___________．【答案】22【详解】解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去4+9＞9，故4，9，9能构成三角形∴它的周长是4+9+9=22．故答案为：22．例5．（2019·上海浦东新区·）等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线将这个三角形分成两部分,这两部分的周长之差为2cm，则这个等腰三角形的腰长为_______________．【答案】8cm或12m【详解】如图，设等腰三角形的腰长是xcm．当AD+AC与BC+BD的差是2cm时，即12x+x-（12x+10）=2解得：x=12cm；当BC+BD 与AD+AC 的差是2cm 时，即10+12x-（12x+x ）=2 解得：x=8cm ．故腰长是：8cm 或12cm ． 例6等腰三角形底边长为7cm ，它的周长不大于25cm ，则它的腰长x 的取值范围是____________．【难度】★ 【答案】792cm x cm <≤． 【解析】由题意得7257x x x x ++≤⎧⎨+>⎩，解得：792cm x cm <≤． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．例7.（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数是_______；（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，则顶角的度数是___________．【难度】★【答案】（1）40︒或140︒；（2）100︒．【解析】（1）当三角形为锐角三角形时，顶角为40︒，当三角形为钝角三角形时，顶角为140︒；（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，所以底角为40︒，所以顶角为100︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和的运用，注意分类讨论． 例8.已知：AB =AC ，AD =DE =BE ，BD =BC ，那么∠A 的度数为________．【难度】★【答案】45︒．【解析】∵AB =AC ，AD =DE =BE ，BD =BC ，∴ABC ∆、AED ∆、BED ∆、BDC ∆都是等腰三角形，设EBD α∠=，则2A AED α∠=∠=，3ABC ACB BDC α∠=∠=∠=， ∴8180A ABC ACB α∠+∠+∠==︒，∴22.5α=︒，∴245A α∠==︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．例9.已知：在三角形ABC 中，D 是AC 上一点，且AB =BC =CD ，BE =DE ，AD =AE ，连接DE ，则∠C 的度数为_________．【难度】★【答案】36︒．【解析】∵AB =BC =CD ，BE =DE ，AD =AE ，∴ABC ∆、AED ∆、BED ∆、BDC ∆都是等腰三角形，设EBD α∠=，则2ADE AED α∠=∠=，2CBD CDB α∠=∠=， ∴5180ADE EDB BDC α∠+∠+∠==︒，∴36α=︒，∴180436A α∠=︒-=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及平角定理的综合运用．例10.如果等腰三角形的两个角的度数的比为4:1，那么顶角为（） A ．30°或120°B ．120°或20°C ．30°或20°D ．以上都不正确 【难度】★【答案】B ．【解析】当三个角度数比为4:4:1时，顶角为20︒；当三个角度数比为4:1:1时，顶角为120︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．例11.如图，在△ABC 中，已知∠C =90°，AD =BD ，如果∠DBC =15°，那么∠A（ ）A ．75°B ．37.5°C ．60°D ．以上都不对【难度】★★【答案】B ． 【解析】901537.52A ︒-︒∠==︒． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．例12.等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（） A ．4厘米B ．8厘米C ．4厘米或8厘米D ．不确定 【难度】★★【答案】C ．【解析】当腰比底大2时，腰长为8厘米；当腰比底小2时，腰长为4厘米．【总结】本题考查了等腰三角形的性质．例13.在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，那么△ABC 的最大外角为（） A ．160°B ．140°C ．135°D ．145° 【难度】★★【答案】C ．【解析】B ∠和C ∠的外角为135︒．【总结】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用．例14.在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个 【难度】★★【答案】B ．【解析】两腰上的角平分线、中线、高的条数最多有6条，底边上三线合一，所以共7条．【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．例15.（2020·上海市建平中学七年级期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，点 E 在AD 上，点F 在AD 的延长线上，且//CE BF ，试说明DE DF =．AB AC =，AD BC ⊥BD ∴= （ ）//CE BFCED ∴∠= （ ）（完成以下说理过程）【分析】根据已知条件判定两三角形全等并利用全等三角形的对应边相等得到线段DE=DF 的长即可；【详解】解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ．（ 等腰三角形底边上的高与底边上的中线、顶角的平分线重合）∵CE ∥BF ，∴∠CED=∠BFD ，（两直线平行，内错角相等）在△BFD 和△CED 中，CED BFD EDC BDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BFD ≌△CED （AAS ）∴DE=DF （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通常利用全等三角形证明线段相等或角相等．例16.如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD =DE ，∠BAD =20°，∠EDC =10°，求∠DAE 的度数．【难度】★★【答案】60︒．【解析】∵AD =DE ，∴DAE DEA α∠=∠=，∵AB =AC ，∴ABC ACB ∠=∠，∵∠BAD =20°，∠EDC =10°，∴10ABC ACB α∠=∠=-︒ ∴()21020180αα-︒++︒=︒，解得：60α=︒，∴60DAE ∠=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．例17.如图，在△ABC 中，AC =BC ，CD 为AB 边上的中线，点E 为BC 边上的一点，EF ⊥AB ，垂足为F ，试说明∠ACD =∠BFE 的理由．【难度】★★【解析】∵AC =BC ，CD 为AB 边上的中线，∴CD AB ⊥，ACD BCD ∠=∠，∵EF ⊥AB ，∴CD ∥EF ，∴BFE BCD ∠=∠，∴ACD BFE ∠=∠．【总结】本题考查了等腰三角形的性质与平行线性质的综合运用．例18.如图，AB =AC ，AD =CE ，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明∠EAC =∠ACB 的理由．【难度】★★【解析】∵AB =AC ，AD =CE ，∠1=∠2，∴ADB ∆≌CEA ∆，∴3EAC ∠=∠，∵∠3=∠4，4ACB ∠=∠， ∴EAC ACB ∠=∠．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及全等的综合运用．例19.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 上一点，EC ⊥BC ，EC =BD ，DF =EF ，说明AF ⊥DE 的理由．【难度】★★【解析】∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴45B ACB ∠=∠=︒，∵EC ⊥BC ，∴45ACE ∠=︒，∴ACE B ∠=∠．在△ABD 与△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ∆≌ACE ∆，∴AD AE =，∵DF =EF ，∴AF ⊥DE ．【总结】本题考查了等腰三角形的性质与全等三角形性质的综合运用．例20.等腰三角形的周长为30cm（1） 若腰长为xcm ，则x 的取值范围是____________cm ；（2） 若底边长为acm ，则a 的取值范围是____________．【难度】★★【答案】（1）15152x <<；（2）015cm a cm <<． 【解析】由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三边关系的综合运用．例21如图，已知∠A =150，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM =_____________．【难度】★★★【答案】75︒．【解析】∵∠A =150，AB =BC ，∴15ACB ∠=︒，30CBD ∠=︒． ∵BC =CD =DE =EF ，同理可得：75FEM ∠=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．例22.如图，在△ABC 中，AB =BC ，M ，N 为BC 边上两点，并且∠BAM =∠CAN ，MN =AN ，则∠MAC 的度数是____________．【难度】★★★【答案】60︒．【解析】设NAM α∠=，∠CAN β=∵AB =BC ，∴BAC C ∠=∠．∵MN =AN ，∴NMA NAM α∠=∠=．∵NMA B BAM ∠=∠+∠，∠BAM =∠CAN β=，∴2BAC C αβ∠=∠=+，B αβ∠=-，∴33180BAC C B αβ∠+∠+∠=+=︒，∴60αβ+=︒， ∴60MAC αβ∠=+=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理的综合运用．模块二：等腰三角形的判定知识精讲如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）． 例题解析例1．（2018·全国）已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）A ．50°B ．65°C ．50°或65°D ．50°或80°【答案】D 【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．【详解】如图所示，△ABC 中，AB=AC ．有两种情况：当顶角∠A=50°时∠B=∠C=18050652当底角是50°时，∵AB=AC ，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-50°-50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故正确选项为：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．例2．（2019·山东全国·七年级单元测试）如图所示方格纸中的三角形是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【分析】是等腰三角形，AB，AC分别位于两个全等的直角三角形里．【详解】从图上可知：△ADB≌△AEC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的概念和全等三角形的判定与性质，证明△ADB≌△AEC是解答本题的关键．例3.下列说法中，不正确的是（）A．如果三角形ABC是等腰三角形，那么∠B=∠CB．如果△ABC中，∠B=∠A，那么△ABC是等腰三角形C．如果三角形的两条边相等，那么此三角形一定是等腰三角形D．有两个角相等的三角形是等腰三角形【难度】★【答案】A．【解析】A选项，三角形ABC是等腰三角形，不能确定哪个角是顶角，故选A．【总结】本题考查了等腰三角形的判定．例4.（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠B=52°，那么∠A=__________；（2）在Rt△ABC中，如果∠B=45°，那么△ABC是___________三角形；（3）在△ABC中，如果∠BCA=30°，∠ABC=50°，那么△ABC是________三角形．（按角分类）．【难度】★【答案】（1）76︒；（2）等腰直角三角形；（3）钝角．【解析】（1）∵AB=AC，∴B C∠=︒-︒-︒=︒；A∠=∠，∵∠B=52°，∴180525276（2）∵在Rt△ABC中，∠B=45°，∴180904545∠=︒-︒-︒=︒，C∴△ABC是等腰直角三角形；（3）1803050100∠=︒-︒-︒=︒，∴△ABC是钝角三角形．CAB【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．例5．（2020·山东泰安市·泰山中学七年级月考）等腰三角形的一个内角是80︒，则它的顶角度数是_______________．【答案】20度或80度【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．【详解】当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−80°×2＝20°．故答案为：80°或20°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．例6．（2020·黑龙江省红光农场学校）在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是______________三角形．【答案】等腰【分析】根据三角形的内角和定理求出∠B，即可判断．【详解】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，∴∠B=180°－∠A－∠C=70°∴∠B=∠C∴△ABC为等腰三角形故答案为：等腰．【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和等腰三角形的判定，掌握三角形的内角和定理和等角对等边是解决此题的关键．例7.若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为__________．【答案】17【分析】有两种情况：①腰长为3，底边长为7；②腰长为7，底边长为3，分别讨论计算即可.【详解】①腰长为3，底边长为7时，3+3＜7，不能构成三角形，故舍去；②腰长为7，底边长为3时，周长=7+7+3=17.故答案为17.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，当腰和底不明确的时候，需要分类讨论，并利用三边关系舍去不符合题意的情况.例8.（2020·山东淄博市·七年级期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE AD =，求证：40ECA ∠=︒．【分析】在BC 上截取BFAB =,连DF ,可得ABD FBD ∆≅∆,再证明DCE DCF ∆≅∆即可证明∠ECA=40°．【详解】在BC 上截取BF AB =,连DF ,∵BD 平分∠ABC,∴∠ABD=∠FBD=20°,又∵AB=FB,DB=DB,∴ABD FBD ∆≅∆()SAS ,∴DF DA DE ==,∠ABD=∠DBF=20°,∵AB=AC,∴40ACB ABC ∠=∠=︒,18080DFC A ︒∠=-∠=︒,∴60FDC ∠=︒,∴1801802010060EDC ADB ABD A ∠=∠=︒-∠-∠-︒-︒=︒=︒,∵DF=DE,∠EDC=∠FDC,DC=DC,∴DCE DCF ∆≅∆(SAS),故40ECA DCB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质 ，三角形全等的判定和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．例9.已知AC =BC ，∠ACD =∠BCE ，试说明△CDE 是等腰三角形的理由．【难度】★★【解析】∵AC =BC ， ∴A B ∠=∠．在△ACD 与△BCE 中，AC AB AC BCE A B D ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠=⎩∠∴CAD ∆≌CBE ∆（A ．S ．A ）， ∴CD CE =， ∴△CDE 是等腰三角形．【总结】本题考查了等腰三角形的判定理及全等三角形性质的综合运用．例10.如图：BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，DE ∥BC ，说明EF =BE -CF 的理由．【难度】★★【解析】∵BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，∴EBD DBC ∠=∠，ACD DCM ∠=∠，∵ED ∥BC ，∴EDB DBC ∠=∠，FDC DCM ∠=∠，∴EDB EBD ∠=∠，FDC FCD ∠=∠， ∴EB ED =，CF DF =，∴EF BE CF =-．【总结】本题考查了等腰三角形的判定及性质与平行线性质的综合运用．例11.如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，•试说明△DBE是等腰三角形．【难度】★★【解析】∵BA=BC，∴B C∠=∠，∵DF⊥AC，∴90C CEF∠+∠=︒，∠+∠=︒，90A D∴D CEF∠=∠，∵DEB CEF∠=∠，∴DEB D∠=∠，∴△DBE是等腰三角形．【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．例12.△ABC中，在（1）∠1=∠2；（2）AD⊥BC；（3）BD=CD；这三个条件中有两个条件成立，能否得出AB=AC?证明所有的可能．【难度】★★【解析】（1）、（2）作为已知条件时，∵∠1=∠2，AD⊥BC，AD AD=，∴ABD∆，∆≌ACD∴AB AC=；（2）、（3）作为已知条件时，∵AD⊥BC，BD=CD，AD AD∆，∆≌ACD=，∴ABD∴AB AC=；（1）、（3）作为已知条件时，过点D分别向AB、AC作垂线交于M、N点，∵AMD AND ∠=∠，∠1=∠2，AD AD =，∴AMD ∆≌AND ∆，∴DM DN =，∵BD =CD ，∴BMD ∆≌CND ∆， ∴B C ∠=∠，∴AB AC =．【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．例13.如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的一点，且BD =CE ，∠DEF =∠B ，说明△DEF 是等腰三角形的理由．【难度】★★【解析】∵AB =AC ，∴B C ∠=∠．∵DEC B BDE DEF FEC ∠=∠+∠=∠+∠，∠DEF =∠B ， ∴BDE FEC ∠=∠．在△DBE 与△ECF 中，BD CE BDE FEC B C ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠=⎩∠∴DBE ∆≌ECF ∆（A.S.A ），∴DE EF =，∴△DEF 是等腰三角形．【总结】本题考查了等腰三角形的判定及三角形外角性质的综合运用．例14.已知三角形三个内角度数如图所示，试画一条直线MN ，将这个三角形分割成两个等腰三角形．【难度】★★【解析】【总结】本题考查了等腰三角形的分割，注意从多个角度考虑．例15.（1）如图，在△ABC 中，已知∠A =36°，∠ABC =72°，CD 平分∠ACB ，交边AB 于点D ．图中那几个是的等腰三角形?为什么?（2）在第（1）小题中，如果再作DE∥BC，交边AC于E，那么上图中还有哪几个三角形是等腰三角形?为什么?【难度】★★【答案】（1）ABC∆、BDC∆是等腰三角形；∆、ADC（2）ADE∆是等腰三角形．∆、DEC【解析】（1）由题意易得36A ACD BCD∠=∠=∠=︒，∆、BDC∆、ADC∆是等腰三角形；∠=∠=︒，∴ABC72B BDC（2）∵DE∥BC，∴ADE∆是等腰三角形．∆、DEC【总结】本题考查了等腰三角形的判定与平行线性质的综合运用．例16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，说明AG ⊥EF的理由．【难度】★★【解析】∵BE平分∠ABC，∴ABE CBE∠=∠，∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AEB BFD∠=∠，∵AFE BFD∠=∠，∴AF = AE．∠=∠，∴AFE AEB∵G为EF的中点，∴AG⊥EF．【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理及等角的余角相等的综合运用．例17.如图，已知：D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，DE∥AB，交BC于点E，DF∥AC，交BC于点F，如果BC=12cm，求△DEF的周长．【难度】★★【答案】12厘米．【解析】∵D 是∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点，∴ABD CBD ∠=∠，ACD BCD ∠=∠，∵DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴ABD BDE ∠=∠，ACD FDC ∠=∠，∴CBD BDE ∠=∠，BCD FDC ∠=∠，∴EB ED =，FD FC =， ∴DEF C DE EF DF BE EF FC BC ∆=++=++=， ∵BC =12cm ，∴△DEF 的周长为12厘米．【总结】本题主要考查了“平行与角平分线可推出等腰三角形”的基本模型的运用．例18.把一张长为8厘米，宽4厘米的长方形的纸条，像如图所示的那样折叠，重合部分是△BDE ，求△ABE 的周长，并简单说明理由．【难度】★★★【答案】12厘米．【解析】由翻折可得：CBD DBC ∠=∠．∵AD ∥BC ，∴EDB DBC CBD ∠=∠=∠，∴EB ED =．∴ABE C AB BE AE AB AD ∆=++=+， ∵4AB =，8AD =， ∴12ABE C ∆=厘米．【总结】本题考查了翻折的性质与基本模型的综合运用，解题时注意观察．例19.如图，在△ABC中，∠ACB=45°，∠ABC=60°，AD、CF分别是BC、AB边上的高，且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于点M、N，试找出图中所有的等腰三角形，并简述理由．【难度】★★★【答案】ADC∆、PMN∆、ABE∆是等腰三角形，理由见解析．∆、MAB∆、NBC【解析】∵∠ACB=45°，∠ABC=60°，∴75∠=︒．BAC∵AD、CF分别是BC、AB边上的高，∴45∠=︒，∠=︒，30BCFBAD∠=︒，30CAD∵BE是∠ABC的平分线，∴30∠=∠=︒．ABE CBE易得：60ABE∠=︒，∠=∠=︒，75PMN MPN∴等腰三角形有ADC∆．∆、ABE∆、PMN∆、MAB∆、NBC【总结】本题考查了等腰三角形的性质及判定的综合运用，等腰三角形较多，不要漏解．随堂检测1.在△ABC中，已知AB=3，∠B=52°，如果AC=3，那么∠A=________．【难度】★【答案】76︒．【解析】∵AB AC∠=︒．A=，∴52C B∠=∠=︒，∴76【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．2.等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为__________．【难度】★【答案】80︒、20︒或50︒、50︒．【解析】当100°为底角的外角时，另两角为80︒、20︒；当100°为顶角的外角时，另两角为50︒、50︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质．3.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=___________．【难度】★【答案】102︒．【解析】∵AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=84°，∴1242DBE ABC∠=∠=︒，∵BD=BE，∴78DEB∠=︒，∴102DEC∠=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用．4.（1）如果等腰三角形中有一个角为120°，另外两个角的度数为________；（2）如果等腰三角形中有一个角为30°，另外两个角的度数为____________．【难度】★★【答案】（1）30︒、30︒；（2）30︒、120︒或75︒、75︒．【解析】（1）120︒只能为等腰三角形的顶角，所以另外两个角的度数为30︒、30︒；（2）当30︒为等腰三角形的底角时，另外两个角的度数为30︒、120︒；当30︒为等腰三角形的顶角时，另外两个角的度数为75︒、75︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质，注意要分类讨论．5.（1）等腰三角形的两边长分别为6厘米和12厘米，它的周长为________；（2）等腰三角形的两边长分别为8厘米和12厘米，它的周长为___________．【难度】★★【答案】（1）30厘米；（2）28厘米或32厘米．【解析】（1）由三角形的存在性可知6厘米为底，12厘米为腰，所以周长为30厘米；（2）当8厘米为腰时，周长为28厘米；当12厘米为腰时，周长为32厘米．【总结】本题考查了三边关系的运用，注意考虑三角形的存在性问题．6.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，∠DAB=∠DBA，又知AC=18，△CBD的周长为28，求BC 的长．【难度】★★【答案】10．【解析】∵CE平分∠ACB，且CE⊥BD，∴△BCD是等腰三角形（等腰三角形的三线合一）即CB CD=．∵∠DAB=∠DBA，∴DA DB=．∵△CBD的周长为28，∴28+=，CA BC++=，即28CD DB BC∵AC=18，∴281810BC=-=．【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．7.如图，已知：△ABC中∠C的平分线CD交AB于点D，DE∥BC于点E，若DE=3，AE=4，求AC的长．【难度】★★【答案】7．【解析】∵C∠的角平分线，∠是ACB∴BCD ECD∠=∠，∵DE∥BC，∴BCD EDC∠=∠，∴ECD EDC=．∠=∠，∴ED EC∵DE=3，AE=4，∴7=+=+=．AC AE EC AE ED【总结】本题主要考查了“平行与角平分线可推出等腰三角形”的基本模型的运用．8.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD=∠ACE，CE=BD．说明：（1）△ADE 也是等腰直角三角形；（2）BD⊥CE的理由．【难度】★★★【解析】（1）在△ABD 与△ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ∆≌ACE ∆，∴AD AE =，BAD CAE ∠=∠，∴BAC DAE ∠=∠．∵∠BAC =90°，∴90DAE ∠=︒，∴△ADE 也是等腰直角三角形；（2）∵ABD ∆≌ACE ∆， ∴AEC ADB ∠=∠，∵90AEC CED ADE ∠+∠+∠=︒，∴90ADB CED ADE ∠+∠+∠=︒ ∴1809090EFD ∠=︒-︒=︒，∴BD ⊥CE ．【总结】本题考查了全等三角形判定及等腰三角形的性质和判定的综合运用．。
人教版七年级数学下册辅导资料9
.二元一次方程（组）复习例1、已知：一等腰三角形的两边长x y 、满足方程组23328x y x y -=⎧⎨+=⎩，，则此等腰三角形的周长为( )A.5B.4C.3D.5或4例2、小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”.小刚却说：“只要把你的31给我，我就有10颗”，如果设小刚的弹珠数为x 颗，小龙的弹珠数为y 颗，则列出的方程组是（ ）A ．⎩⎨⎧=+=+303202y x y xB ．⎩⎨⎧=+=+103102y x y xC ．⎩⎨⎧=+=+103202y x y xD ．⎩⎨⎧=+=+303102y x y x例3、为了更好治理和净化运河，保护环境，运河综合治理指挥部决定购买10台污水处理设备．现有A 、B 两种型号的设备，经调查：购买一台A 型设备比购买一台B 型设备多2万元，购买2台A 型设备比购买3台B 型设备少6万元．求两种型号的设备分别每台多少元？例4、已知方程组2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩与方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，求()20122a b +的值．练习：1、 解方程组⎩⎨⎧=-=+2463247y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-73443231n m n m ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-131221231y x y x2、某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元．设购买了甲种票x 张，乙种票y 张，由此可列出方程组： ． 3、已知2,1x y =⎧⎨=⎩是方程52=+ay x 的解，则a = ． 4、已知x 、y 满足方程组⎩⎨⎧-=+=+152122y x y x ，求 2013)(y x +的值.5、甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？不等式与不等式组全章内容精讲一、不等式的概念1、下列各式：①3＞2；②3m-2≥0；③a 2≠-1；④0<3n 2+t ；⑤x 2-3x ；⑥11<x；⑦2x-3=0中，是不等式的有： ；是一元一次不等式的有2、根据下列语句列不等式①x 的倒数与1的和大于5. ②m 的相反数比m 的2倍小. ③x 的平方与2的和不超过5. ④a 与1的和的平方是非负数。
初中七年级下册数学讲义第2讲-实数的表示与开方(上体馆)
1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期时 间主 题第2讲-实数的表示与开方学习目标1．进一步理解无理数、实数、平方根等概念； 2．理解立方根和开立方运算以及开n 次方运算； 3. 会进行简单的实数运算；4. 掌握实数大小比较的方法，会根据情况灵活选择方法进行实数大小比较。
教学内容1. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________. -0.4， 342. 若，则___________. 1±3. 为最大的负整数，则a 的值为___________. 4±4、若一个数的立方根就是它本身，则这个数是________。
0、1、-1知识点一、立方根与开立方问题：什么是立方根？什么是开立方运算？x 21=x 3=回顾：立方根和开立方的性质有哪些？1.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零；2.任意实数都有立方根，且只有一个立方根； 可以用具体的例子引导学生总结3. ()33a a =，33a a =.（注意与平方根和开平方相应性质的对比）4.33a a -=-.例1. 下面说法正确的是（ ）A ．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D ．一个数的立方根与被开方数同号 例2.33(2)-的值是 .例3. 立方根等于本身的数是 ，平方根等于本身的数是 . 答案：D ； -2； 0，1，-1； 0，1； 试一试：1.64的平方根是 ，64的立方根是 .2.16的平方根是 ，64的立方根是 .3.已知()38210x -+=，则x = .答案：1. 8,4±； 2. 2,2±； 3. 32； 【例题精讲】 例4.填表：a0.0000010.001 1 1000 10000003a教法指导：建议让学生观察并讨论本题的解题思路。
参考答案：0.01 0.1 1 10 100例5.根据上表总结规律：被开方数的小数点每向 移动 位，则立方根的小数点相应地向 移动 位. 教法指导：这个结论让学生多观察总结，还可以再举例让学生理解 参考答案:右，3，右，1 【试一试】已知35.25 1.738=，35258.067=，则30.000525-=（ ）A . 17.38-B . 0.01738-C . 806.7-D . 0.08067- 参考答案：D知识点二、立方根运算 【例题精讲】 例6. 计算：（1）38515； （2）327102--- ； （3）3387）（- ； （4）6356）（-； （5）312564-38+1001 ； （6）3125.0-1613+23)871(-.教法指导：建议让学生独立完成，可以设置为相互PK 的形式。
七年级下册数学复习资料
七年级下册数学复习资料虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事，但古人说得好--吃一堑，长一智。
多了一次失败，就多了一次教训；多了一次挫折，就多了一次经验。
没有失败和挫折的人，是永远不会成功的。
下面是本文库带来的七年级下册数学复习资料。
【资料一：相似变换】※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n，或写成.※2、四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.※3、注意点:①a:b=k，说明a是b的k倍；②由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数；③比与所选线段的长度单位无关，求出时两条线段的长度单位要一致；④除了a=b之外，a:b≠b:a，与互为倒数；【资料二：平移变换】（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）（3）多次平移相当于一次平移。
（4）多次对称后的图形等于平移后的图形。
（5）平移是由方向，距离决定的。
（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。
这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移【资料三：相似三角形】※1、在相似多边形中，最为简简单的就是相似三角形.※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3、全等三角形是相似三角的特例，这时相似比等于 1.注意:证两个相似1三角形，与证两个全等三角形一样，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4、相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5、相似三角形周长的比等于相似比.※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方.【资料四：统计】科学记数法：一个大于10的数可以表示成A*10N的形式，其中1小于等于A小于10，N是正整数。
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用代入消元法解二元一次方程组【典例分析】【例1】【例2】【例3】解方程组4132x yx y x+=⎧⎪+⎨-=⎪⎩【例4】()()⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++2823623yxyxyxyx【基础能力训练】1.用代入法解方程组⎩⎨⎧=--=-⑵yx⑴yx107332，较简便的解法步骤是：先把方程变成，再代入方程，求得的值。
然后再求的值；2．已知方程2x+3y=2，当x与y互为相反数时，x=______，y=_______．3．若方程组431(1)3x ykx k y+=⎧⎨+-=⎩的解x和y的值相等，则k=________．4．已知x=-1，y=2是方程组的1311ax bybx ay+=⎧⎨+=-⎩解，则ab=________．5．如果12xy=⎧⎨=⎩是方程2mx-7y=10的解，则m=_______．6．若x-3y=2x+y-15=1，则x=______，y=_______．7.用代入法解方程⎩⎨⎧=-=+⑵yx⑴yx52243，使用代入法化简，比较容易的变形是（）A、由⑴得342yx-= B、由⑴得432xy-=C、由⑵得25yx+= D、由⑵得52-=xy8．把方程7x-2y=15写成用含x的代数式表示y的形式，得（）A．x=215152715157...7722x x y x xB xC yD y----===9.将31--=xy代入12=-yx，可得（）A、()1312=--xx B、1312=-⨯-xxC、1322=++xx D、1322=-+xx10．把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式：①3x+5y=21 ③4x+3y=x-y+1 ④2（x+y）=3（x-y）-1y＝x＋6 2x＋3y＝8 2x＋3y＝－19 x＋5y＝111．用代入法解下列方程组：（1）23328y x x y =-⎧⎨-=⎩3(2)3814x y x y -=⎧⎨-=⎩23(3)253s t t s =⎧⎪+⎨=⎪⎩（4）⎩⎨⎧-=+-=+32312y x x y（5）⎪⎩⎪⎨⎧=+=-123222n m n m （6）⎩⎨⎧=+=+17431232y x y x（7）11233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（8） 357,23423 2.35x y x y ++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩12.方程组⎩⎨⎧-=-+=-32342x y m y x 的解x 、y 互为相反数，求m 的值。
人教版数学七年级下册辅导资料4
1一、几何基础复习1、已知如图，b a c b c a ∥求证：,,⊥⊥.2、已知如图，b a c b c a ∥求证：∥∥,,3、已知如图，c a cb b a ⊥⊥求证：∥,,4、已知，21,,∠=∠∠求证：平分∥COM OP MN AB5、已知的度数求DEC C B ADE ∠︒=∠∠=∠,32,.6、已知:CD AB D B BC AD ∥求证：∥,,∠=∠.7、已知直线l 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 和∠DFE 的平分线交于点P ，且∠P ＝90°，求证：AB ∥CD 。
二、实数基础知识复习 1、填空（1）64的平方根是 ，64的算术平方根是 ，64的立方根是 。
（2）9的算术平方根是 ，9是 的算术平方根。
（3）2的立方根是 ，2是 的立方根。
（4）-3是 的平方根，-3是 的立方根，-3的立方根是 。
（5）81的平方根是 ，364-的立方根是 。
（6）21-的绝对值是 ，相反数是 （7）平方根等于本身的数有 ，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 ，倒数等于本身的数有 ，相反数等于本身的数有 ，绝对值等于本身的数有 。
（8）=64.0 ;±=44.1 －=625=31252、在38,0,3129,3050.0,2,,1023.0--∙∙π中，无理数有 ，有理数有 ，正实数有 ，负实数有 ，整数有 ，分数有 。
a bc c b acb aPOANBC M 1 2 AB C D E F P l23、比较大小- 2.234、化简=-+-12215、写出使下列各式有意义的x 的取值范围x -3 ； 15---x x；4--x6、一个正方形的面积为5平方厘米，它的边长为 ，周长为 。
7、一个正方形的边长为3厘米，它的面积为 。
8、解下列方程01822=-x 14)18(22=-x01833=+x 16)18(23=-x三、平面直角坐标系1、什么叫平面直角坐标系？平面直角坐标系由两条 ， 的数轴组成。
七年级下册数学知识点辅导
七年级下册数学知识点辅导数学一直是很多学生的难点，七年级下册涉及到的数学知识点也非常多，需要同学们认真复习和掌握。
在这篇文章中，我将详细介绍七年级下册数学知识点的辅导，希望能帮到大家。
1.平面直角坐标系平面直角坐标系是数学中的基础知识之一，也是后续学习中必不可少的。
学生需要掌握平面直角坐标系的构建方法、坐标轴的属性、坐标的表示方法等。
平面直角坐标系在后续的函数、图形等知识点中都有应用。
2.整数的加减法整数的加减法是七年级下册的数学重点，学生需要掌握加减法的计算方法和应用，特别是在解决实际问题时，需要考虑到问题的实际应用意义。
3.分数的加减乘除分数的加减乘除同样也是七年级下册的数学重点，同学们需要掌握分数的基本概念、分数的化简与约分等知识，以及分数的加减乘除的计算方法。
4.小数的加减乘除小数的加减乘除同样是七年级下册数学的重点，在日常生活中也经常应用。
学生需要掌握小数的基本概念、小数的计算方法和应用，例如物价计算、利率计算等。
5.比例与比例关系比例与比例关系也是七年级下册数学的重点，学生需要了解比例的基本概念、比例关系的表示方法和应用、比例的性质等知识。
6.几何图形相关知识七年级下册数学中几何图形相关的知识非常多，在这里简单列举一些，例如：相似三角形、勾股定理、平行四边形、梯形、圆等。
学生们需要掌握这些基本的几何图形知识，为后续学习打下坚实的基础。
以上是七年级下册数学知识点辅导的主要内容，也是同学们需要认真复习和掌握的。
在学习过程中，学生们既要理论有依据，也要有实践应用，例如通过课堂练习、作业练习等方式来提高自己的数学成绩。
希望同学们认真对待每一个知识点，通过不断地学习和练习，取得优异的成绩。
七年级下册数学辅导资料4
（一）、平行线的判定 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ．3．如图２，写出一个能判定直线a ∥b 的条件： ．4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。
6．如图4，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）；（2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）；（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ）7．如图5，推理填空： （1）∵∠A =∠ （已知），∴AC∥ED（ ）；（2）∵∠2 =∠ （已知），∴AC∥ED（ ）；（3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）； 8．如图6，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．(二)、平行线的性质1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 =，∠3 = ，∠4 = ． 2．如图2，直线AB 、CD 被EF 所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = ．4．如图4，直线l 1∥l 2，AB⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ．5．如图5，DE∥BC，∠D∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB 的度数．5、如图，已知： AB ∥CD ，BE ∥CF ．求证：∠1=∠4．6．如图12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．求证：（1）AB∥CD； （2）∠2 +∠3 = 90°．a b c d 1 23 图３ AB C E D 1 2 3 图１ 图２4 3 2 15 a b 1 23 A F C D B E图5E B AF D C 图6A D CB O 图4 图1 2 4 3 1 A BCDE 1 2 A B D C EF 图2 图4 1 2 D AC B l 1 l 2 图5 2 1 B C ED C 图6 123 A B D FA ●B ● BCA第11题图例题讲解1、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠1＝∠2．则∠1的对顶角是_____，∠4的邻补角是______．∠2的补角是_____ ． 4、如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐的角∠A 是120○，第二次拐的角∠B 是150○，第三次拐的角是∠C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 是 ．3．如图，在数轴上1，2的对应点分别是A 、B ， A 是线段BC 的中点，则点C 所表示的数是4、已知一个奇数的算术平方根是a ，则下一个奇数的算术平方根是 18.已知5+11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ,a +b = ;a －b = 16、如果A 的平方根是2x －1与3x －4，则A 的值为11、如图，BC ⊥AC,C 为垂足，BC ＝4cm,AC ＝3cm,AB ＝5cm,则点B 到AC 的距离是_____cm, 点A 到BC 的距离是_____cm, 点A 、点B 的距离是_____cm 。
人教版七年级数学下册辅导资料8
1、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ ）（A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个 2、关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x my x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m 的值是（ ） （A ）2；（B ）-1； （C ）1； （D ）-2；3、若5x -6y =0，且xy ≠0，则yx yx 3545--的值等于（ ）（A ）32（B ）23 （C ）1 （D ）-14、已知⎩⎨⎧-==24y x 与⎩⎨⎧-=-=52y x 都是方程y =kx +b 的解，则k 与b 的值为（ ） （A ）21=k ，b =-4 （B ）21-=k ，b =4 （C ）21=k ，b =4 （D ）21-=k ，b =-4 5、二元一次方程5a －11b=21 （ ）A ．有且只有一解B ．有无数解C ．无解D ．有且只有两解6、方程y=1－x 与3x+2y=5的公共解是（ ）A ．3333 (242)2x x x x B C D y y y y ==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩7、若│x －2│+（3y+2）2=0，则yx的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．－3D ．328、某年级学生共有246人，其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）A ．246246216246...22222222x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=+=+=+⎩⎩⎩⎩9、在方程3x +4y =16中，当x =3时，y =________，当y =-2时，x =_______若x 、y 都是正整数，那么这个方程的解为___________； 10、方程2x +3y =10中，当3x -6=0时，y =_________；11、如果0.4x -0.5y =1.2，那么用含有y 的代数式表示x 是_____________； 12、若⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+1242a y x b y ax 的解，则⎩⎨⎧==______________b a ； 13、方程|a |+|b |=2的自然数解是_____________； 14、如果x =1，y =2满足方程141=+y ax ，那么a =____________； 15、若4x +3y +5=0，则3(8y -x )-5(x +6y -2)的值等于_________； 16、从方程组)0(030334≠⎩⎨⎧=+-=--xyz z y x z y x 中可以知道，x :z =_______；y :z =________； 17、已知方程2x+3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y=_______；用含y 的代数式表示x 为：x=________． 18、在二元一次方程－12x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．19、若x 3m －3－2y n －1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．20、已知2,3x y =-⎧⎨=⎩是方程x －ky=1的解，那么k=_______．21、已知│x －1│+（2y+1）2=0，且2x －ky=4，则k=_____．22、二元一次方程x+y=5的正整数解有______________． 23、以57x y =⎧⎨=⎩为解的一个二元一次方程是_________． 24、已知2316x mx y y x ny =-=⎧⎧⎨⎨=--=⎩⎩是方程组的解，则m=_______，n=______．25、解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-1332343n m nm ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+125432y x yx y x ；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1213222132y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+101216x z z y y x⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+35351343z y x z y x z y x26、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？27、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？28、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？29、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的31，求这两个水桶的容量。
人教版数学七年级下册辅导资料3
实数单元复习题一、平方根及算术平方根一个正数有 个平方根，它们互为 。
其中 叫它的算术平方根。
的平方根和算术平方根都是它本身。
注意：求一个数的算术平方根的运算叫 ，所用的运算符号是“ ”，求一个数的平方根所用的运算符号是“ ”。
如：求9的平方根列式为：求41的算术平方根列式为： 练习：2、 －3是 的平方根，－3是 的平方根。
3、9＝ ；±144＝4、 ( )2＝0.81，( )2＝105、 9的平方根是 ，算术平方根是 。
9的平方根是 ，算术平方根是 。
6、－6是 的平方根，－2是 的平方根。
7、正数a 有m 、n 两个平方根，则下列说法：①m+n ＝0；②mn ＝a,③mn ＝－a;④m 2＝n 2。
其中正确的有 拓展1：理解记忆：①a a =2， ②)0()(2≥=a a a思考：①2a 为什么等于a ，而不是等于a ？此处的a 可以取任意实数吗？②a a =2)(中，为什么规定0≥a ？③a 表示什么？它的值可能为负数吗？ ④－a 表示什么？=-2)(a运用：①29＝2)9(-＝②2)14.3(-π＝2)21(-＝2)3(＝ 2)3(-＝③判断：25＝2)5(- （ ）2)7(＝2)7(- （ ）拓展2：被开方数的小数点每向左（或向右）移动 位，其算术平方根的小数点就向 方向移动 位。
如：已知2.1＝1.095；12＝3.464，则可得：12.0＝ 120＝二、立方根每个实数都有 个立方根，正数的立方根是 数，负数的立方根是 数，0的立方根是 。
求一个数的立方根的运算叫 ，求立方根所用的运算符号是“ ”。
如：求27的立方根列式为 练习：（1）=38=-31 =--38=3216.0（2）4是 的立方根。
4的立方根是 （3）64的立方根是64的立方根是364的立方根是拓展3：33a ＝ =33)(a如=332 =33)2(=-33)5( =-33)5(拓展4：被开方数的小数点每向左（或向右）移动 位，其立方根的小数点就向 方向移动 位。
七年级下册数学复习资料
一、代数式初步知识1. 代数式用运算符号“＋－×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。
注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式。
2. 列代数式的几个注意事项（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“·”乘，或省略不写。
（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·”乘，也不能省略乘号。
（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a（4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式；（5）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .3. 几个重要的代数式（1）a与b的平方差是：a2-b2；a与b差的平方是：（a-b）2（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b；则三位整数是：100a+10b+c。
（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n；偶数是：2n，奇数是：2n+1；三个连续整数是：n-1、n、n+1。
（4）若b＞0，则正数是:a2+b ，负数是：-a2-b，非负数是：b2，非正数是：-b2 。
二、有理数1. 有理数(1)凡能写成（a、b都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。
正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。
（注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a 也不一定是正数；p不是有理数）(2)有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。
(3)自然数是指0和正整数；a＞0，则a是正数；a＜0，则a是负数；a≥0 ，则a是正数或0（即a是非负数）；a≤0，则a是负数或0（即a是非正数）。
新人教版七年级数学培训资料Word版上下册(全年级章节培优已整理完善)
七年级数学培训资料Word版上下册目录第01讲与有理数有关的概念（2--8）第02讲有理数的加减法（3--15）第03讲有理数的乘除、乘方（16--22）第04讲整式（23--30）第05讲整式的加减（31--36)第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43)第07讲一元一次方程解法(44--51)第08讲实际问题与一元一次方程(52--59)第09讲多姿多彩的图形(60--68)第10讲直线、射线、线段(69--76)第11讲角(77--82)第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90)第13讲平行线的性质及其应用(91--100)第14讲平面直角坐标系（一）(101--106)第15讲平面直角坐标系（二）(107--112)第16讲认识三角形(113--119)第17讲认识多边形(120--126)第18讲二元一次方程组及其解法(127--134)第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145)第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155)第21讲一元一次不等式（组）的应用(156--164)第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174)第23讲数据的收集与整理(175--186)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l 5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ． －5D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若|a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a |＋b |b |＋c|c |的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a +b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l 8届迎春杯）已知(m ＋n )2＋|m |＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n )2＋|m |的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n )2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n )2＋|m |≥0，而(m ＋n )2＋|m |＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n )2＋m ＝m ，即(m ＋n )2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】 01．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l |＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a |＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ． 156B ． 172C ． 190D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a ( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b | ③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确的是( )A ． |b |＞a ＞－a ＞bB ． |b | ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b |＞b ＞－aD ． a ＞|b |＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a |a ＋|b |b ＋|abc |abc ＋|c |c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a |＝4，|b |＝5，|c |＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l 8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b |＋|b －c |＝|a －c |；③（a －b ）(b －c )(c －a )＞0；④|a |＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a |＋b |b |＋c |c |＋abc|abc |的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m |＝－m ，化简|m －l |－|m －2|所得结果( )A ． －1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p |＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )A ． 30B ． 0C ． 15D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a |＋|x －b |＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m |＋|n |－5＝0所有这样的整数组(m ，n )共有 组 09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp|3mnp |＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l |＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l |）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）132164116181412-a -b 0b a【例３】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-＝111111112233420082009-+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________. 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b＞a【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号） 02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋3 5＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋2 50＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋ (49)49(491)2⨯+＝1225 ∴S＝12252【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋1 2004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－x＝0 B．－x－x＝0 C．|x|＋|－x|＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ） A ．14 B ．14- C ．12 D ．12- 02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c＋61d 等于（ ） A ．18 B ．316 C ．732 D ．1564 03．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ）A ．30B ．32C ．34D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c25632015201051216158412410982654321534333231305．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m |＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________ 08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋...＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋ (1003)值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算 ⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积. 解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=- ⑵11111()24248⨯=⨯= ⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯= ⑷250000⨯= ⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=- 【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯ 3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ．【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞002．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，0b a>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞004．(广州)下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0【例３】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷= ⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=- ⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a 、b 满足0a b +=，则ab ＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩； 当ab ＜0，0a b a b+=，∴ab ＜0，从而ab ab ＝－1. 【变式题组】01．若k 是有理数，则(|k|＋k )÷k 的结果是（ ）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数02．若A ．b 都是非零有理数，那么ab a b a b ab ++的值是多少？03．如果0x y x y +=，试比较x y -与xy 的大小.【例５】已知223(2),1x y =-=-⑴求2008xy 的值； ⑵求32008x y的值. 【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=-⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy=-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n n x y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）A ．1.03×105B ．0.103×105C ．10.3×104D ．103×10302．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+ 原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ ＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A ．31003 B ．31004 C ．1334 D ．1100002．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞004．若|ab |＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b m cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a，则a 的取值范围（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ＜0或a ＞1 07．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1a b =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较x y-与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个 02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）A ．abcde ＜0B ．ab 2cd 4e ＜0 C ．ab 2cde ＜0 D ．abcd 4e ＜0 04．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y+-这四个数中的三个数相等，则|y |－|x |的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．9 06．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1 07．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c 08．已知a 、b 、c 都不等于0，且a b c abc a b c abc+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005()m n +＝___________. 09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753- 第二组：112,315-第三组：52.25,,412-10．一本书的页码从1记到n ，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？ 11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.32 x6413．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n=-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++== ⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，错误!未找到引用源。
人教版数学七年级下册辅导资料10
16．若不等式组的解集为x>3，则m的取值范围是________．
三、解答题(共52分)
17．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．（15分）
①②③
4、学校要到体育用品商场购买篮球和排球共１００只．已知篮球、排球的单价分别为130元、100元。购买100只球所花费用多于11800元，但不超过11900元。你认为有哪些购买方案？
练习:
1.根据下图所示，对a、b、c三种物体的重量判断正确的是( )
A. a<cB. a<bC. a>cD. b<c
2.点A（ ， ）在第三象限，则m的取值范围是（）
不等式单元总复习
•一、重要性质:
•1)不等式两边都加上(或减去)同一个数
或同一个整式,不等号的方向____.
•2)不等式两边都乘以(或除以)同一个
正数,不等号的方向____.
•3)不等式两边都乘以(或除以)同一个
负数,不等号的方向____.
另外:不等式还具有______性.如:当a>b, b>c时,则a>c
1．不等式组的解集是()
A．x＜2B．x≥－1C．－1≤x＜2D．无解
2．不等式组的解集是()
A．－<x≤2B．－3<x≤2C．x≥2D．x<－3
3．不等式组的解集是()
A．－1<x≤2B．－2≤x<1C．x<－1或x≥2D．2≤x<－1
4．不等式组的最小整数解为()
A．－1B．0C．1D．4
5．如图所示，在数轴上表示不等式组的解集为()
A. B. C. D.
3．关于x的不等式 的解集如图所示,则a的取值是( )
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平面直角坐标系全章复习知识一：读点与描点例1（1）写出图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 各点的坐标 .（2）在平面直角坐标系中画出点G(1,４)，H(3,－2)。
注意：（1）在x 轴上点的坐标是（ ， ），在y 轴上点的坐标是（ ， ），原点的坐标是（ ， ）。
. （2）坐标是 的数对， 坐标写在前面。
知识二：点的坐标的符号特征 注：坐标轴上的点不属于任何象限。
1.已知mn=0,则点(m,n)在__________ 2.已知点A(a,0)在x 轴正半轴上,点B(0,b)在y 轴负半轴上,那么点C(-a, b)在第_____象限.3.如果点M(a+b,ab)在第二象限,那么点N(a,b)在第_____象限4.若点A 的坐标为(a 2+1, -2–b 2),则点A 在 第_ ___象限.5.若ab>0,则点p(a,b)位于第＿＿＿象限．6.若 ，则点p(a,，b)位于 上． 知识三：特殊位置点的坐标 ●平行于坐标轴的点的坐标1.平行于横轴的直线上的点的 坐标相同；2.平行于纵轴的直线上的点的 坐标相同。
练习1、已知点A(m,-2),点B(3,m-1),(1)若直线AB ∥x 轴,则m=_____ (2)若直线AB ∥y 轴,则m=_______ 2.已知AB ∥x 轴，A 点的坐标为（3，2），并且AB ＝5，则B 的坐标为 。
●关于坐标轴、原点对称的点的坐标 P （x,y ）关于x 轴的对称点P （ ） P （x,y ）关于y 轴的对称点P （ ） P （x,y ）关于原点的对称点P （ ） 练习1.点（4，3）与点（4，- 3）的关系是＿＿＿＿＿2.点（m ，- 1）和点（2，n ）关于 x 轴对称，则 mn 等于( ) （A ）- 2 （B ）2 （C ）1 （D ）- 13.若点(a,b)关于y 轴的对称点在第二象限，则a ＿＿0,b ＿＿0.4.如果点M(1-x,1-y)在第二象限，那么N(1-x,y-1)关于原点的对称点P 在第 象限．●象限角平分线上的点的坐标练习1．已知点A(3a+5,4a-3)在第一三象限角平分线上，则a=＿＿＿ 2．已知点A(3-m,2m-5)在第二四象限角平分线上，则m=＿＿＿3.已知点A （－3+a ，2b+9）在第二象限的角平分线上，且a 、 b 互为相反数，则a 、b 的值分别是____________。
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1实数单元主要知识点及题型回顾1、一个正数有 个平方根，它们 ，其中正的那个平方根叫做它的 。
负数 平方根，0的平方根是 。
2、如果x 2=a ，那么x 叫a 的 ，如果x>0，那么x 也叫做a 的3、求一个数的平方根的运算叫 ，求a 的平方根记作： 练习：（1）、=4 =44.1=25111 =-2)5(（2）、2是 的算术平方根，2的算术平方根是 。
（3）、3是 的平方根，3的平方根是 。
（4）、6-是 的平方根，6是 的平方根。
（5）、=-9 25.0±== 4（6）、如果m 2=5，那么m= （7）、81的算术平方根是 ；52 的平方根是 ；（-3）2的平方根是（8）一个正数x 的平方根是2a -3与5-a ，则x= .3、如果被开方数的小数点每移动 位，它的算术平方根的小数点就向 方向移动 位。
练习： （9）如果28.3=m ，那么=m 100 ；=m 01.0 （10）的平方根是那么已知0017201.0,147.4201.17,311.17201.1==4、如果x 3=a ，那么x 叫a 的 ，求一个数的立方根的运算叫作 。
一个正数有 个立方根，一个负数有 个立方根，0的立方根是 。
5、被开方数的小数点每移动 位，它的立方根的小数点就向 方向移动 位。
练习： （11）=38=-38 =-36433-=（12）一个正方体的体积为6立方厘米米，那么它的棱长为 厘米。
（13）如果a =35.0，b =35，c =350，=3500（ ）A 、10aB 、10bC 、10cD 、以上都不对 6、 和 统称为实数。
实数可以分为 、 和 三类。
实数与数轴上的点建立起了 的关系。
（14）下列说法正确的是（ ）A 、无理数分为正无理数、负无理数和0三类。
B 、无理数是含有根号的数。
C 、一个实数不是有理数就是无理数。
D 、无理数都比有理数小。
（15）下列说法中：①722是无理数；②π是无理数；③72不是分数；④3-是无理数。
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初一数学是整个初中学习的基础，学好初一下册数学尤为重要。
小编给大家整理了一些比较重要的知识点。
角的概念
1、角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
2、角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角。
3、角的分类：
（1）锐角：小于90°的角
（2）直角：等于90°的角
（3）钝角：大于90°小于180°的角
（4）平角：等于180°的角
（5）周角：等于360°的角
一元一次方程
1、等式的性质
性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式。
2、利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化，用时要注意把握两关：
（1）怎样变形；
（2）依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的。
3、一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解。
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等。
4、解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化。
平行线
1、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
2、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a∥b，a∥c，则b∥c。
4、平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角互补，两直线平行。
判定4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
以上是小编整理的数学知识点，希望能帮到你。