立体几何文科体积问题归类总结

立体几何大题（文科）---体积问题

学前了解：

立体几何体积问题，几乎是作为文科大题第二问的必考选项。里面考查思想中，重点考察了等体积、等面积的转化思想。其中，有两个难点。一是寻找垂线转移顶点，二是计算边长。那么，针对转化的模型不同，我对其进行以下分类。

针对求体积、和求点到面的距离问题，通常采用等体积法。（三棱锥）

一、简单等体积法。

1、如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB＝2，BC＝2，PC＝6，E，H分别为PA、AB中点。

（I）求证：PH⊥平面ABCD；

（II）求三棱锥P－EHD的体积。

2、如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB、AC、AA1三条棱两两互相垂直，且AB=AC= AA1=2，E、F分别是BC、BB1的中点．

（Ⅰ）求证：C1E⊥平面AEF；

（Ⅱ）求F到平面AEC1的距离．

3、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC =CB ，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点。

（1）证明：//1BC 平面CD A 1；

（2）求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；

（3）设1

2,22AA AC CB AB ＝＝＝＝，求E 到截面DC A 1的距离d.

4、111C C AB -A B 中，底面C ∆AB 为等腰直角三角形，C 90∠AB =，4AB =，16AA =，点M 是1BB 中点．

（I ）求证：平面1C A M ⊥平面11C C AA ；

（II ）求点A 到平面1C A M 的距离．

二、平行线转移顶点法（找好顶点后，看有没有过顶点平行底面的直线）

1、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝AD＝2，CD＝4，四边菜ADE1F1是正方形，且平面ADE1F1⊥平面ABCD，M是E1C的中点。

（1）证明：BM∥平面ADE1F1；

（2）求三棱锥D－BME1的体积。

2、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．

（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；

（2）求点P到平面ADM的距离．

3、在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，

∠CAD＝90°，EF // BC，EF ＝1

2

BC，AC 2，AE＝EC＝1．

（1）求证：CE ⊥AF ；

（2）若三棱锥F －ACD 的体积为1

3

，求点D 到平面ACF 的距离．

三、斜三棱柱（或多边锥体）变三棱锥法（等高等低的柱体和锥体是3倍关系）

1、（全国卷2014文科）如图1-4，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.

图1-4

(1)证明：B1C⊥AB；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC -A1B1C1的高．

2、如图4,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C ⊥侧面11ABB A ,12AC AA AB ==,

1160AAC ∠=︒,1AB AA ⊥,H 为棱1CC 的中点,D 为1BB 的中点.

(Ⅰ) 求证:1A D ⊥平面1AB H ；

(Ⅱ) 若2AB =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.

3、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点.

（Ⅰ）证明：11A D A BC ⊥平面；

（Ⅱ）求四棱锥111A BB C C -的体积.

A B C A 1B 1C 1D H 图4

4、如图所示的多面体ABCDE 中，已知ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB=90°，AE=BE.

（Ⅰ）若M 是DE 的中点，试在AC 上找一点N ，使得MN//平面ABE ，并给出证明； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积。

四、已知体积求边长算表面积

1、（全国卷2015文科）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，

BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；

（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的

体积为

63

，求该三棱锥的侧面积.

2、（全国卷2017文科）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90

BAP CDP

∠=∠=（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC,90

APD

∠=,且四棱锥P-ABCD的体

积为8

3

，求该四棱锥的侧面积.

3、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝1，AD＝2, AC＝3，E 是AD的中点，

BE与AC 交于点F ，GF⊥平面ABCD .

(1)求证：AB ⊥面AFG ；

(2)若四棱锥G－ABCD 的体积为

3

6

，求E到

平面ABG 的距离.