2005“卡西欧杯”全国数学竞赛试题和答案
最新2018年全国初中数学竞赛
2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题（2005年4月10日 上午9：30－11：30）答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线.3.草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得零分）1.如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6. 将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ） A.2 B.4 C.6 D.82.若223894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A.正数 B.负数 C.零 D.整数3.已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点. 若点B 在△A 1 B 1 C 1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°4.设2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，则与A 最接近的正整数是（ ）A.18B.20C.24D.255.设a ，b 是正整数，且满足5659a b ≤+≤，0.90.91ab<<，则22b a -等于（ ） A.171 B.177 C.180 D.182二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6.在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）. 若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB 的面积第一次达到最大.7.在直角坐标系中，抛物线2234y x mx m =+-（m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点. 若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1123OB OA -=，则m 的值等于＿＿＿＿. 8.有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A ，2，3，…，J ，Q ，K的顺序排列. 某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是＿＿＿＿＿.CDCBA9.已知D ，E 分别是△ABC 的边BC ，CA 上的点，且BD ＝4，DC ＝1，AE ＝5，EC ＝2. 连结AD 和BE ，它们相交于点P. 过点P 分别作PQ ∥CA ，PR ∥CB ，它们分别与边AB 交于点Q ，R ，则△PQR 的面积与△ABC 的的面积之比为＿＿＿＿. 10.已知1x ，2x ，…，40x 都是正整数，且124058x x x +++=. 若2221240x x x +++的最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于＿＿＿＿. 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11.8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）. 其中一辆小汽车在距离火车站10km 的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟. 这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的平均速度是5km/h.. 试设计一种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.12.如图，半径不等的两圆相交于A ，B 两点，线段CD 经过点A ，且分别交两圆于C ，D 两点. 连结BC ，BD ，设P ，Q ，K 分别是BC ，BD ，CD 的中点，M ，N 分别是弧BC 和弧BD 的中点. 求证： （1）BP NQPM QB=； （2）△KPM ∽△NQK13.已知p ，q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()281050x p q x pq --+=至少有一个正整数根，求所有的质数对（p ，q ）.14.从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a ，b ，c （a ＜b ＜c ＝，都有ab c ≠.参考答案：1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 6. 1515597. 2 8. 方块6 9. 400108910. 494 NMK Q PDCBA。
2005全国高中数学联赛试题及答案[1]
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2005年高中数学联赛试卷（一）一、选择题1. 使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是（ ） A.36-B.3C.36+D.62. 空间四点A 、B 、C 、D ，满足3||=、4||=BC 、11||=、9||=，则⋅的取值（ ）A. 只有一个B. 有两个C. 有四个D. 有无穷多个 3. △ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线交此圆于A 1、B 1、C 1三点，则CB A CCC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，ABCD －A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）A. S 是定值，l 不是定值B. S 不是定值，l 是定值C. S 、l 均是定值D. S 、l 均不是定值5. 方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ） A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在y 轴上的双曲线6. 记集合}6,5,4,3,2,1,0{=T ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i ，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（ ） A.43273767575+++ B. 43272767575+++ C. 43274707171+++ D. 43273707171+++二、填空题7. 将多项式2019321)(xx x x x x f +-+-+-= 表示为关于y 的多项式=)(y g202019192210y a y a y a y a a +++++ ，且4-=x y ，则2010a a a +++ =__________。
一元二次方程的整数根
例 2 (2000 年全国初中数学联赛试题)设关于 x 的二次方程 (k2－6k＋8)﹒x2＋(2k2－6k－4)x＋k2＝4
的两根都是整数.求满足条件的所有实数 k 的值.
分析 此题也可通过直接求根法求出二根，但是它的条件与例 1 不同，例 1
况。 解 若 k=6, 则 x=-2; 若 k=9, 则 x=3；
若 k≠6 且 k≠9，原方程可化为 [(k-6)x-9][(k-9)x-6] = 0 ,故方程的二
根为 x1＝ k 9 6 ，x2＝ k 6 9 .为使 x1 和 x2 都是整数，则应有 k-6 = ±1,±3,± 9 ， k=-3,3,5,7,9,15;还 应 有 k-9 = ± 1,± 2, ± 3,± 6, k=3,6， 7,8,10,11,12，15. 所以 k=3,7,15时，x 1 和 x 2都是整数，
当 m =1 时，方程 mx2-6x+9=0 的二根均为 1，方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 的
二根为-1 和 5，符合要求。 当 m =-1 时，方程 mx2-6x+9=0 的二根均不是整数,不符合要求. 所以仅当 m=1 时，方程的两根都是整数。 例 4． (1996 年上海市初中数学竞赛试题)若关于 x 的方程 ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
a = 25, 18, 16, -9, -2, 0
因 a 为正实数，于是 a 25 或 18或 16均为所求.
例 8 (第十七届全俄数学奥林匹克十年级试题)求使方程 x2-pqx+p+q=0 有
整数根的所有正整数 p 和 q．
解 设原方程两根为 x1、x2，则 x1x2 = p+q
2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题
2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题一选择题1．如果x+y=1,x2+y2=3，那么x3+y3的值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 52．如图，在△ABC中，∠ABD=∠DBE=∠EBC, ∠ACD=∠DCE=∠ECB, 若∠BEC=45º则∠BDC等于(A) 100º(B) 105º(C) 110º(D) 115ºB C3．若3x3-kx2+4被3x-1除后余3,则k的值为(A) 2 (B) 4 (C) 9 (D) 104．关于x的方程| 1- |x| | + = x 的根的个数为(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 45. 如图在等边△ABC中,BD=2DC,DE⊥BE,CE,AD相交于点P,则(A) AP>AE>EP (B) AE>AP>EP (C) AP>EP>AE (D) EP>AE>APB CD6. 如果a,b是关于x的方程(x+c)(x+d)=1的两个根,那么(a+c)(b+c)等于(A) 1 (B) -1 (C) 0(D) c27.,则所有满足条件的正整数的a的和为(A) 396 (B) 1002 (C) 1200 (D) 20048. 如果a+b+c=0,111123a b c+++++=0, ,那么(a+1)2+(b+1)2+(c+3)2的值为(A) 36 (B) 16 (C) 14 (D) 39. 一位模型赛车手遥控一辆赛车,先前进1米,然后原地逆时针方向旋转αº(0º<αº< 180º),被称为一次操作,若5次操作后发现赛车回到原出发点,则αº为(A) 72º(B) 108º或144º(C) 144º(D) 72º或144º10. 如图,在四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,AN,BN,DM,CM划分四边形所成7个区域的面积分别为S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,那么恒成立的关系式是(A) S2 +S6 = S4 (B) S1 +S7= S4(C) S2 +S3 = S4(D) S1 +S6= S4N 二. 填空题11. 方程组2252010429x y x yx y⎧+--=⎨+=⎩的解为.12. 如图, 在梯形ABCD中, AB∥DC,AB=12,DC=17,23 AEBFED FC==, 则EF= .C13. 2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为.14. 在下列结论中,正确结论的序号是(请把所有正确结论的序号都填上)①一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形;②两组对角的内角平分线分别平行的四边形是平行四边形;③一组对边中点间的距离等于另一组对边边长和的一半的四边形是平行四边形;④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形.三. 解答题15.一罐咖啡甲乙两人一起喝10天喝完,甲单独喝则需12天喝完; 一斤茶叶两人一起喝12天喝完,乙单独喝则需20天喝完.假设甲在有茶叶的情况下绝不喝咖啡,而乙在有咖啡的情况下绝不喝茶叶,问两人一起喝完一斤茶叶和一罐咖啡需要多少天?16. 如图.AA’,BB’,CC’交于点O, 且AA’=BB’=CC’=1, ∠AOC’=∠BOA’=∠COB’= 60º.(1) 求证: S△AOC’+S△BOA’+S△COB’<4;(2) 求证S△AOC’,S△BOA’,S△COB’中至少有一个不大于16C2005年竞赛题答案 1．C; 2.C; 3.D; 4.B;5.A;6.B;7.C;8.A;9.D; 10.B11.12121.5, 3.5,3.5; 1.5.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩12.14;13.－10；14.②③15.甲单独喝完茶叶要：113030÷=（天） 乙单独喝完咖啡要：60天因此，安排：前30天甲专喝茶叶，直到喝完；同时乙专喝咖啡，至余下：3011602-=（斤） 余下的咖啡甲乙共同喝完：111()521260÷+=（天） 故总共喝35天喝完。
2005年全国高中数学联赛试卷及解答
特征方程为x2－7x+1＝0．
解得：x＝ ＝ ＝ ．
令an＝α +β ．由a0＝1，a1＝5解得
α＝ ，β＝ ；
得an＝ [ + ]⑤
注意到 · ＝1， + ＝ ．
有，anan+1－1＝ [ + ]·[ + ]－1
＝ [ பைடு நூலகம் + + －5]
＝ [ + ]2
15．过抛物线y＝x2上一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足 ＝λ1；点F在线段BC上，满足 ＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
加试卷
一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F．
填 ．
解：V＝ × AC×BCsin45×h≤ AC×BC×ADsin45．
即AC×BC×ADsin45≥1 ×BC×AD≥1．
而3＝AD+BC+ ≥3 ＝3，等号当且仅当AD＝BC＝ ＝1时成立，
故AC＝ ，且AD＝BC＝1，AD⊥面ABC．CD＝ ．
11．若正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，则该正方形面积的最小值为；
A． + + + B． + + + C． + + + D． + + +
二、填空题：
2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。
2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。
所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。
2005年全国高中数学联赛试题及答案
二○○五年全国高中数学联合竞赛试题一.选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于xk 有解的实数k 的最大值是（ ） A． BC ．63+D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足||3,||7,||11,||9,AB BC CD DA ====则AC BD ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个 3．ABC ∆内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。
则CB A CCC B BB A AA sin sin sin 2cos2cos 2cos 111++⋅+⋅+⋅ 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，D C B A ABCD ''''-为正方体。
任作平面α与对角线C A ' 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面 多边形的面积为S ，周长为l .则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值5.方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a aa M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
十年初中数学竞赛试题全包括(含答案)
1999年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月4日上午8:30--9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。
每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。
1、计算的值是（ D ）。
（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。
解：原式＝。
2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ C ）。
（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。
解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。
∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。
∴。
3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ B ）。
解：由方程组的解知两直线的交点为，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于，小于的数，不等于，故图D不对；故选B。
4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ B ）。
（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。
解：当时，。
∴当自变量取2、3、…、98时，函数值都为0。
而当取1、99、100时，，故所求的和为：5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ C ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。
解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。
2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题
2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题一选择题1．如果x+y=1,x2+y2=3，那么x3+y3的值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 52．如图，在△ABC中，∠ABD=∠DBE=∠EBC, ∠ACD=∠DCE=∠ECB, 若∠BEC=45º则∠BDC等于(A) 100º(B) 105º(C) 110º(D) 115ºB C3．若3x3-kx2+4被3x-1除后余3,则k的值为(A) 2 (B) 4 (C) 9 (D) 104．关于x的方程| 1- |x| | + = x 的根的个数为(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 45. 如图在等边△ABC中,BD=2DC,DE⊥BE,CE,AD相交于点P,则(A) AP>AE>EP (B) AE>AP>EP (C) AP>EP>AE (D) EP>AE>APB CD6. 如果a,b是关于x的方程(x+c)(x+d)=1的两个根,那么(a+c)(b+c)等于(A) 1 (B) -1 (C) 0(D) c27.,则所有满足条件的正整数的a的和为(A) 396 (B) 1002 (C) 1200 (D) 20048. 如果a+b+c=0,111123a b c+++++=0, ,那么(a+1)2+(b+1)2+(c+3)2的值为(A) 36 (B) 16 (C) 14 (D) 39. 一位模型赛车手遥控一辆赛车,先前进1米,然后原地逆时针方向旋转αº(0º<αº< 180º),被称为一次操作,若5次操作后发现赛车回到原出发点,则αº为(A) 72º(B) 108º或144º(C) 144º(D) 72º或144º10. 如图,在四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,AN,BN,DM,CM划分四边形所成7个区域的面积分别为S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,那么恒成立的关系式是(A) S2 +S6 = S4 (B) S1 +S7= S4(C) S2 +S3 = S4(D) S1 +S6= S4N 二. 填空题11. 方程组2252010429x y x yx y⎧+--=⎨+=⎩的解为.12. 如图, 在梯形ABCD中, AB∥DC,AB=12,DC=17,23 AEBFED FC==, 则EF= .C13. 2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为.14. 在下列结论中,正确结论的序号是(请把所有正确结论的序号都填上)①一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形;②两组对角的内角平分线分别平行的四边形是平行四边形;③一组对边中点间的距离等于另一组对边边长和的一半的四边形是平行四边形;④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形.三. 解答题15.一罐咖啡甲乙两人一起喝10天喝完,甲单独喝则需12天喝完; 一斤茶叶两人一起喝12天喝完,乙单独喝则需20天喝完.假设甲在有茶叶的情况下绝不喝咖啡,而乙在有咖啡的情况下绝不喝茶叶,问两人一起喝完一斤茶叶和一罐咖啡需要多少天?16. 如图.AA’,BB’,CC’交于点O, 且AA’=BB’=CC’=1, ∠AOC’=∠BOA’=∠COB’= 60º.(1) 求证: S△AOC’+S△BOA’+S△COB’<4;(2) 求证S△AOC’,S△BOA’,S△COB’中至少有一个不大于16C2005年竞赛题答案 1．C; 2.C; 3.D; 4.B;5.A;6.B;7.C;8.A;9.D; 10.B11.12121.5, 3.5,3.5; 1.5.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩12.14;13.－10；14.②③15.甲单独喝完茶叶要：113030÷=（天） 乙单独喝完咖啡要：60天因此，安排：前30天甲专喝茶叶，直到喝完；同时乙专喝咖啡，至余下：3011602-=（斤） 余下的咖啡甲乙共同喝完：111()521260÷+=（天） 故总共喝35天喝完。
全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案2005
2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
）1、如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6。
将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ）A 、2B 、4C 、6D 、8答：A解：由折叠过程知，DE ＝AD ＝6，∠DAE ＝∠CEF ＝45°，所以△CEF 是等腰直角三角形，且EC ＝8－6＝2，所以，S △CEF ＝22、若M ＝136498322++-+-y x y xy x （x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ）A 、正数B 、负数C 、零D 、整数解：因为M ＝136498322++-+-y x y xy x ＝222)3()2()2(2++-+-y x y x ≥0 且y x 2-，2-x ，3+y 这三个数不能同时为0，所以M ≥0 3、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是 点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。
若点B 在△A 1B 1C 1的外接 圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 答：C解：因为IA 1＝IB 1＝IC 1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A 1B 1C 1的外接圆的圆心，设IA 1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA 1＝2ID ， 所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°4、设A ＝)41001441431(48222-++-+-⨯Λ，则与A 最接近的正整数为（ ） A 、18 B 、20 C 、24 D 、25答：D解：对于正整数mn ≥3，有)2121(414n 12+--=-n n ，所以A ＝)1021101110019914131211(12)10216151()981211(4148----+++⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+++⨯ΛΛ ＝)102110111001991(1225+++⨯- 因为)102110111001991(12+++⨯＜99412⨯＜21，所以与A 最接近的正整数为25。
历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(1)
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
2005年高等数学竞赛参考答案及评分标准 2005
2005年高等数学竞赛参考答案及评分标准 2005.6.4一.(10分) 设()()200523456131123143-++++=x x x x x x f ,求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-215f 的值. 解:记215-=s ,满足12=+s s , (4分) ()()()[]()111311200520052232-=-=-+++=s s s s s f (6分)二.(15分) 设()αC 为()αx +1的Maclaurin 级数中2005x 项的系数,试求积分()⎰∑=+⋅---=1020051d 11y ky y C I k解:()()()()()()()!20052005211,!200520041------=----=y y y y C C αααα()()()()!20052005211+++=---y y y y C , (5分)()()()()()()()2005!2005!2005!2006200521!20051d 1200521!20051d 11101200512005110=-=+++=++++=+---=⎰∑∑⎰==y y y y ky y y y y k y y C I k k (10分)三.(15分) 试证不等式: ππ222d sin 202->⎰x x 解:⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==πππππππ02020202d sin 1121d sin d sin 21d sin 21d sin t t t t t t t t t t t t t x x ,（7分） 设()=t f π+-t t 11， ()()0112133<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+='t t t f π,()t f 在[]π,0上单调减少,(5分) ππππ222221121d sin 202-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎰x x , (3分) 四.(15分) 设()x f 在区间[]1,0上连续,在()1,0内可导,且()()211,00==f f ,试证: ()ηξηξ≠∈∃,1,0,,使得 ()()ηξηξ+='+'f f .解: 设 ()()()()22121211x x x f x f x F -+---=, (8分) ()x F 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,()021,00=⎪⎭⎫⎝⎛=F F ,由Rolle 定理,,21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃ξ使得(),0='ξF 取⎪⎭⎫⎝⎛∈-=1,211ξη,得()()ηξηξ+='+'f f .五.(15分) 设()x f 在[]b a ,上有连续导函数,且()0=a f ,试证: ()()()()⎰⎰'-≤b aba x x f ab x x fd 2d 222解:()()()()()()⎰⎰⎰⎰'-≤'≤'=ba xa xa xa x x f a x t t f t t t f x fd )(d )(d 1d 2222(10分) ()()()⎰⎰'-≤b a ba x x f ab x x fd )(2d 222(5分)六.(15分) 设()x f 在[]π,0上连续,证明:两个不等式()[]()[]4d sin ,4d cos 022ππππ<-<-⎰⎰x x x f x x x f 不能同时成立.解: 用反证法,设两个不等式同时成立,则()()()()()()2d sin ,2d cos 212212ππππ<-<-⎰⎰x x x f x x x f (3分)()()()()()()()πππππ<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≤-=⎰⎰⎰221221022d sin d cos d cos sin xx x f x x x f x x x 矛盾.说明两个不等式不能同时成立. (12分)七.(15分) 考察所有的具有如下性质的正整数,它们的十进制表示中没有数字9,证明由所有这样的正整数的倒数构成的级数收敛.解:设m S 表示所考察的级数的m 项的部分和,数列{}m S 单调递增,只需证明数列{}m S 有上界. (3分)对于给定的部分和m S ,令n 为整数m 中数字的个数,恰好有n 个数字,并且十进制表示中每个数字都不是因9的整数个数是198-⨯n 个(第一个数字不为零),(如1=n ,即;8,,2,12=n ,即 ,3;88,80;;28,,20;18,,10=n ),于是它们的倒数的和小于111098--⨯n n 于是80109109181098109810988212=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+<- n m S , 所以原级数收敛. (12分)。
2005年上海市高中数学竞赛_CASIO杯试题
2005年上海市高中数学竞赛_CASIO 杯试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算：0!1!2!100!i i i i ++++=_______________（i 表示虚数单位）.2．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin8sin 2θθ=.则θ的可能值构成的集合是_____________（用列举法表示）.3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等.则x 表示的复数是___________.4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB CD 、上各有一点E F 、.若1AE cm =，2CF cm =，则线段EF 的长为_____________.5．若关于x 的方程()43250xxa +++=至少有一个实根在区间[]1,2内，则实数a 的取值范围是____________.6．a b c d e 、、、、是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复）.则abcd e +为奇数的概率为_____________.7．对任意实数x y 、，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--.若()11f =，则对负整数n ，()f n 的表达式为___________.8．实数x y 、、z 满足0x y z ++=，且2221x y z ++=.记m 为222x y z 、、中的最大者，则m 的最小值为___________.二、解答题9．设()f x =求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正数b ，使()f x 的定义域和值域相同.10．已知双曲线()22221R x y a b a b+-=∈、的半焦距为c ，且2b ac =.P Q 、是双曲线上任意两点，M 为PQ 的中点.当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ⋅的值.11．设[]x 表示不超过实数x 的最大整数.求集合2,12004,2005k n n k k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=≤≤∈N ⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭的元素个数.12．数列{}n f的通项公式为11,Z 22n nn f n +⎡⎤⎛⎛⎫+⎢⎥=-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，记1212nn n n n n S C f C f C f =+++.求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除.参考答案1．952i + 【解析】 【详解】当k ∈N ，且4k ≥时，4!k . 从而，!i 1k =.于是， 原式26i+i+i +i +97=95+2i =. 故答案为: 952i + 2．279,,,,3321010πππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 【详解】由sin8sin2θθ=，得822k θπθ=+或()8212k θπθ=+-，即13k θπ=或()12110k θπ=+，这里Z k ∈. 又θ是某三角形的最大内角，则3πθπ≤<.故θ的可能值构成的集合是279,,,,3321010πππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故答案为:279 ,,,,3321010πππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 3．11i 22+ 【解析】 【详解】设第一行另两格内填的数为y z 、（如图），则按题设每行、每列及对角线上三个数的和都是x y z ++.于是，中间格为1x z +-，中间行左边第一格为i 1y -+，第三行左边第一格为i 1z +-，第三行右边第一格为i x y +-.最后，由含x 的对角线三个数的和得()()1i x x z x y x y z ++-++-=++.解得11i 22x =+. 故答案为:11i 22+4【解析】 【详解】FE FC CB BE =++，注意到CD AB ⊥，有22||()FE FC CB BE =++222||||2()FC CB BE FC CB FC BE CB BE =+++⋅+⋅+⋅()43625226cos120065cos120=+++⨯⨯︒++⨯⨯︒23=.故23EF EF ==5．3334a -≤≤--【解析】 【详解】由()43250xxa +++=，得4532x xa ++=-. 令2x t =.由于[]1,2x ∈，故[]2,4t ∈，且53a t t ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭.函数()5f t t t=+在⎡⎣上为减函数，在4⎤⎦上为增函数；()()()9212,5424f f f ===，故()f t 在[]2,4上的值域为214⎡⎤⎢⎥⎣⎦.于是，2134a -≤+≤-故实数a 的取值范围为3334a -≤≤--.故答案为：3334a -≤≤--6．17943125【解析】 【详解】abcd e +=奇数abcd ⇔=奇数，e =偶数；或abcd =偶数，e =奇数.abcd 为奇数有4381=种可能，abcd 为偶数有4453544-=种可能.因此，所求的概率为58125443179453125P ⨯+⨯==. 故答案为：179431257．()2322n n f n +-=【解析】 【详解】令1y =，由题设得()()()()1112f x f x f x f x x +=+++=++.即()()12f x f x x +-=+.特别地，有()()102f f -=，即()01f =-. 当n 为负整数时，()()()()()()()()112100f n f n f n f n f n f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+++-+++--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()2311n n ⎡⎤=-+++++-⎣⎦()()2332122n n n n -++-=--=. 故答案为：()2322n n f n +-=8．12【解析】 【详解】因为用x y z ---、、分别代换x y z 、、，条件、结论都不变， 则由对称性不妨设0,0,0x y z ≥≥≤. 又()z x y =-+，因此，()222222221z z x y x y z xy =++=+++≥.故212z ≥.从而，212m z ≥≥.当,0,22x y z ===-时，12m =. 故m 的最小值为12. 故答案为：129．0或4- 【解析】 【详解】若0a =，则对每个正数b ，()f x =[)0,+∞，故0a =满足条件.若0a >，则对正数b ，()f x =的定义域为{}20D x ax bx =+≥ [),0,b a ⎛⎤=-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，即0a >不合条件.若0a <，则对正数b ，()f x =的定义域0,b D a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.由于此时()()max2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()f x的值域为⎡⎢⎣.则b a -=0,4a a a<⎧⎪⇔⇔=-⎨=-⎪⎩. 综上所述，a 的值为0或-4. 故答案为：0或4- 10【解析】 【详解】因M 是PQ 的中点，故可设()00,M x y ，()00,P x y αβ++，()00,Q x y αβ--. 于是，00OM y k x =，PQ k βα=. 又点P Q 、都在双曲线上，所以，()()22222200b x a y a b αβ+-+=， ()()22222200b x a y a b αβ---=.两式相减得2200440b x a y αβ-=.故20220OM PQy b ac c k k x a a aβα⋅====. 由2222,c a b b ac⎧=+⎨=⎩消去2b 得22c a ac =+.解得c a =（负根已舍去）.故PQ OM k k ⋅=.11．1503【解析】 【详解】由()221211200520052005k k k ++-=≤，解得1002k ≤.当1,2,,1002k =时，有()22120052005k k ⎡⎤+⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦或()221120052005k k ⎡⎤+⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为210025002005⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2102005⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以当1,2,,1002k =时，22005k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦能取遍0,1,,500.另外，当1003,1004,,2004k =时，由于()221120052005k k +->，故()221120052005k k ⎡⎤+⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即222100310042004,,,200520052005⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦各不相同. 这些数有200410021002-=个.注意到221003100250120052005⎡⎤⎡⎤=>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以集合2,12004,2005k n n k k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=≤≤∈N ⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭共有50110021503+=个元素.12．见解析 【解析】 【详解】 记α=，β=，则 ()()10n n i i ii i i nn n i i S C C αβαβ===-=- 00n n i i i i nn i i C C αβ==⎫=-⎪⎭∑∑ ()()11n n αβ⎡⎤=+-+⎣⎦ n n⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦.3 =1=，可得112n n n n nS+++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-⋅+--⎢⎥⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎭13n nS S+=-. ①因此，2nS+除以8的余数，完全由1nS+、n S除以8的余数确定.又因11111S C f==，12221223S C f C f=+=，故由式①可以算出{}n S各项除以8的余数依次为1,3,0,5,7,0,1,3,…，它是一个以6为周期的周期数列.从而，83nS n⇔.因此，当且仅当3n时，8n S.。
全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
拓展资源：配方法拓展与解析
配方法的拓展与解析配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
配方法的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ；a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab 。
配方法在数学的教与学中有着广泛的应用。
在初中阶段它主要适用于：一元二次方程、二次函数、二次代数式的讨论与求解。
经过几年的教学实践发现：很多情况下用配方法解一元二次方程或者求二次函数的顶点坐标要比用公式法简单实用。
在应用配方法解一元二次方程（ax 2+bx+c=0）时有两种做法：一种是先移走常数项，然后方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1，再两边同时加上一次项系数（除以二次项系数后的）一半的平方，把原方程化成(x ＋m)2=n(n ≥0)的形式，再两边同时开方，把一元二次方程转化为一元一次方程。
典型例题：2x 2+6x-3=0解法1：移项得：2x 2+6x=3两边同时除以2得：2332=+x x 两边同时加2)23(得:4923)23(322+=++x x 所以：415)23(2=+x 开方得：21523=+x 或21523-=+x 解得：2153,215321--=+-=x x另一种方法是先移走常数项，然后通过“凑”与“配”进行配方。
解法2：移项得：2x 2+6x=3原方程变为：222)223(3)223(22322)2(+=+∙∙+x x 即原方程化为：430)2232(2=+x 两边同时开方得：2302232=+x 或2302232-=+x 解得：2153,215321--=+-=x x 与用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标时，要把二次项和一次项看作一个整体，提出（而不是除以）二次项的系数，再进行配方，但配方时与解一元二次方程的配方有所不同。
2005年(卡西欧杯)全国初中数学竞赛
2005年(卡西欧杯)全国初中数学竞赛
李果民
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2005(000)006
【摘要】2005年(卡西欧杯)全国初中数学竞赛共有A、B两套试题.两套试题除第一、二大题相同外,第三大题各题均不同.特此说明.
【总页数】6页(P33-38)
【作者】李果民
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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2005年全国高中数学联赛试卷及解答
2005年全国高中数学联赛试卷(2005年10月16日上午8∶00－9∶40)一、选择题：1．使关于x 的不等式x －3+6－x ≥k 有解的实数k 的最大值是 ( ) A ．6－ 3 B ． 3 C ．6+ 3 D ． 62．空间四点A 、B 、C 、D 满足|→AB |＝3，|→BC |＝7，|→CD |＝11，|→DA |＝9．则→AC ·→BD 的取值( ) A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cosC2sin A +sin B +sin C的值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 ( ) A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值5．方程x 2sin 2－sin 3+y 2cos 2－cos 3＝1表示的曲线是 ( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线6．记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6}，M ＝{a 17+a 272+a 373+a 474| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )A ．57+572+673+374B ．57+572+673+274C ．17+172+073+474D ．17+172+073+374二、填空题：7．将关于x 的多项式f (x )＝1－x +x 2－x 3+…－x 19 +x 20表为关于y 的多项式g (y )＝a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20，其中y ＝x －4，则a 0+a 1+…+a 20＝ ；8．已知f (x )是定义在(0，+∞)上的减函数，若f (2a 2+a +1)＜f (3a 2－4a +1)成立，则a 的取值范围是 ；9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x ∈R ，cos(x +α)+cos(x +β)+cos(x +γ)＝0，则γ－α＝ ；10．如图，四面体DABC 的体积为16，且满足∠ACB ＝45︒，AD +BC +AC2＝3，则CD ＝ ；11．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x －17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上，则该正方形面积的最小值为 ；12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2005，则a 5n ＝ ．三、解答题：A'B'C'D'DCBA45°ADCB13．数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S ，求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)15．过抛物线y ＝x 2上一点A (1，1)作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE EC ＝λ1；点F 在线段BC 上，满足BF FC＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD 与EF 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．加试卷一、如图，在△ABC 中，设AB ＞AC ，过点A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以点A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于点D ；交直线l 于点E 、F ．证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心．二、设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z的最小值．三、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数， [1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．呜呼！不怕繁死人，就怕繁不成！2005年全国高中数学联赛试卷(2005年10月16日上午8∶00－9∶40)一、选择题：1．使关于x 的不等式x －3+6－x ≥k 有解的实数k 的最大值是 ( ) A ．6－ 3 B ． 3 C ．6+ 3 D ． 6 选D ．解：3≤x ≤6，令x －3＝3sin α(0≤α≤π2)，则x ＝3+3sin 2α，6－x ＝3cos α．故6≥3(sin α+cos α)≥3．故选D ．2．空间四点A 、B 、C 、D 满足|→AB |＝3，|→BC |＝7，|→CD |＝11，|→DA |＝9．则→AC ·→BD 的取值( ) A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 选A ．解：→AB +→BC +→CD +→DA ＝→0．DA 2＝→DA 2＝(→AB +→BC +→CD )2＝AB 2+BC 2+CD 2+2(→AB ·→BC +→AB ·→CD +→BC ·→CD )＝AB 2+BC 2+CD 2+2(→AB ·→BD +→BC ·→BD －→BC 2)，(其中→BC +→CD ＝→BD ，→CD ＝→BD －→BC ) ＝AB 2+BC 2+CD 2－2BC 2+2(→AC ·→BD )．故2→AC ·→BD ＝DA 2+BC 2－AB 2－CD 2＝92+72－32－112＝0⇒→AC ·→BD ＝0．选A ．3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cosC2sin A +sin B +sin C的值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．8 选A ．解：AA 1·cos A 2＝2sin(B +A 2)cos A2＝sin(A +B )+sin B ＝sin C +sin B ．AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cos C2＝2(sin A +sin B +sin C )．故原式＝2．选A ．4．如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 ( )A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值 选B ．解：设截面在底面内的射影为EFBGHD ，设AB ＝1，AE ＝x (0≤x ≤12)，则l ＝3[2x +2(1－x )]＝32为定值；而S ＝[1－12x 2－12(1－x )2]sec θ＝(12－x －x 2)sec θ(θ为平面α与底面的所成角)不为定值．故选B ．ACBA1B 1C 1IE FGHA'B'C'D'D CB A5．方程x 2sin 2－sin 3+y 2cos 2－cos 3＝1表示的曲线是 ( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 选C ．解：由于3+2＞π⇒π2＞3－π2＞π2－2＞0⇒cos(3－π2)＜cos(π2－2)⇒sin 2－sin 3＞0；又，0＜2＜3c ＜π⇒cos 2－cos 3＞0，⇒曲线为椭圆． sin 2－sin 3－(cos 2－cos 3)＝2[sin(2－π4)－sin(3－π4)]．而0＜2－π4＜3－π4＜π2⇒sin 2－sin 3＜cos 2－cos 3⇒焦点在y 轴上．故选C ．6．记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6}，M ＝{a 17+a 272+a 373+a 474| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )A ．57+572+673+374B ．57+572+673+274C ．17+172+073+474D ．17+172+073+374选C ．解：M ＝{174(a 1×73+a 2×72+a 3×7+a 4)| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，a 1×73+a 2×72+a 3×7+a 4可以看成是7进制数，(a 1a 2a 3a 4)7，其最大的数为(6666)7＝74－1＝2400．从而从大到小排列的第2005个数是2400－2004＝396，即从1起从小到大排的第396个数，396＝73+72+4⇒(1104)7，故原数为17+172+073+474．故选C ．二、填空题：7．将关于x 的多项式f (x )＝1－x +x 2－x 3+…－x 19 +x 20表为关于y 的多项式g (y )＝a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20，其中y ＝x －4，则a 0+a 1+…+a 20＝ ；填521+16解：f (x )＝a 0+a 1(x －4)2+a 2(x －4)2+…+a 20(x －4)20．令x ＝5得f (5)＝1－5+52－53+…－519+520＝(－5)21－1(－5)－1＝521+16＝a 0+a 1+…+a 20．8．已知f (x )是定义在(0，+∞)上的减函数，若f (2a 2+a +1)＜f (3a 2－4a +1)成立，则a 的取值范围是 ；填(0，13)∪(1，5)．解：⎩⎨⎧2a 2+a +1＞0，3a 2－4a +1＞0．⇒a ∈(－∞，13)∪(1，+∞)．2a 2+a +1＞3a 2－4a +1⇒a 2－5a ＜0⇒0＜a ＜5． 故所求取值范围为(0，13)∪(1，5)．9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x ∈R ，cos(x +α)+cos(x +β)+cos(x +γ)＝0，则γ－α＝ ；填43π． 解：由f (x )≡0，得f (－α)＝f (－β)＝f (－γ)＝0：cos (β－α)+cos(γ－α)＝cos(β－α)+cos(γ－β)＝cos(γ－α)+cos(γ－β)＝－1． 故cos(β－α)＝cos(γ－β)＝cos(γ－α)＝－12，由于0＜α＜β＜γ＜2π，故β－α，γ－β，γ－α∈{23π，43π}．从而γ－α＝43π．10．如图，四面体DABC 的体积为16，且满足∠ACB ＝45︒，AD +BC +AC2＝3，则CD ＝ ；填3．解：V ＝13×12AC ×BC sin45︒×h ≤16AC ×BC ×AD sin45︒．即AC ×BC ×AD sin45︒≥1⇒AC2×BC ×AD ≥1．而3＝AD +BC +AC2≥33AD ·BC ·AD2＝3，等号当且仅当AD ＝BC ＝AC2＝1时成立，故AC ＝2，且AD ＝BC ＝1，AD ⊥面ABC ．⇒CD ＝3．11．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x －17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上，则该正方形面积的最小值为 ；填80．解：设正方形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上，C 、D 在直线上． 设直线AB 方程为y ＝2x +b ， ⑴ 求AB 交抛物线y ＝x 2的弦长：以y ＝2x +b 代入y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0．△＝4+4b ⇒l ＝25(b +1)．⑵ 两直线的距离＝|b +17|5．⑶ 由ABCD 为正方形得，25(b +1)＝|b +17|5⇒100(b +1)＝b 2+34b +289⇒b 2－66b +189＝0． 解得b ＝3，b ＝63．正方形边长＝45或165⇒正方形面积最小值＝80．12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2005，则a 5n ＝ ．填52000．解：一位的吉祥数有7，共1个；二位的吉祥数有16，25，34，43，52，61，70，共7个；三位的吉祥数为x 1+x 2+x 3＝7的满足x 1≥1的非负整数解数，有C 82＝28个(也可枚举计数)．一般的，k 位的吉祥数为x 1+x 2+…+x k ＝7的满足x 1≥1的非负整数解数，令x i '＝x i +1(i ＝2，3，…，k )，有x 1+x 2'+…+x k '＝7+k －1．共有解C k +5k －1＝C k +56组．45°ADCB4位吉祥数中首位为1的有28个，2005是4位吉祥数中的第29个．故n ＝1+7+28+28+1＝65．5n ＝325．C 66+C 76+C 86+C 96+C 106＝1+7+28+84+210＝330．即是5位吉祥数的倒数第6个：5位吉祥数从大到小排列：70000，61000，60100，60010，60001，52000，…． 三、解答题：13．数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数． 证明：⑴ a 1＝5，且a n 单调递增．所给式即 (2a n +1－7a n )2＝45a n 2－36⇒a n +12 －7a n +1a n +a n 2+9＝0． ①下标加1： a n +22 －7a n +2a n +1+a n +12+9＝0． ②相减得： (a n +2－a n )(a n +2－7a n +1+a n )＝0．由a n 单调增，故a n +2－7a n +1+a n ＝0⇒a n +2＝7a n +1－a n ． ③因a 0、a 1为正整数，且a 1＞a 0，故a 2为正整数，由数学归纳法，可知，对任意n ∈N ，a n 为正整数．⑵ 由①：a n +12 +2a n +1a n +a n 2＝9(a n +1a n －1)⇒a n +1a n －1＝(a n +a n +13)2④由于a n 为正整数，故a n +1a n －1为正整数，从而(a n +a n +13)2为正整数．但a n 、a n +1均为正整数，于是a n +a n +13必为有理数，而有理数的平方为整数时，该有理数必为整数，从而a n +a n +13是整数．即a n +1a n －1是整数的平方，即为完全平方数．故证．原解答上有一段似无必要：记f (n )＝a n +1a n －(a n +a n +13)2，则f (n )－f (n －1)＝(a n +1a n －a n a n －1)－19(2a n +a n +1+a n －1)(a n +1－a n －1)＝19(a n －1－a n +1)(a n +1－7a n +a n －1)＝0．即f (n )＝f (n －1)＝…＝f (0)＝1，故④式成立．故a n a n +1－1为完全平方数．又证：由上证，得③式后：a n +2－7a n +1+a n ＝0．特征方程为 x 2－7x +1＝0．解得： x ＝7±352＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3±522＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5±124．令 a n ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +β⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n．由a 0＝1，a 1＝5解得 α＝5+125，β＝5－125； 得 a n ＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +1] ⑤注意到5+12·5－12＝1，5+12+5－12＝5． 有， a n a n +1－1＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +1]·[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +5+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +5]－1＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+128n +6+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－128n +6+⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124+⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124－5]＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +3]2由二项式定理或数学归纳法知⎝⎛⎭⎪⎫5+124n +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +3为k 5型数(k ∈N *)，故a n a n +1－1为完全平方数． (用数学归纳法证明：n ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫5+123+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－123＝25．设当n ≤m (m ∈N *)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +3＝k n 5(k n ∈N *)，且k 1＜k 2＜…＜k m ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124(m +1)+3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124(m +1)+3＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124m +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124m +3]·[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124]－[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124m －1+⎝⎛⎭⎪⎫5－124m －1]． ＝7k m 5－k m －15＝(7k m －k m －1)5．由归纳假设知k m +1＝7k m －k m －1∈N *，且k m ＜k m +1成立． 得证．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S ，求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)解：9个有编号的小球放在圆周的九个九等分点上，考虑镜面反射的因素，共有8!2种放法；为使S 取得最小值，从1到9之间应按增序排列：设从1到9之间放了k 个球，其上的数字为x 1，x 2，…，x k ，则|1－x 1|+|x 1－x 2|+…+|x k －9|≥|1－x 1+x 1－x 2+…+x k －9|＝8．当且仅当1－x 1、x 1－x 2、…、x k －9全部同号时其和取得最小值，即1，x 1，x 2，…，x k ，9递增排列时其和最小．故S ≥2×8＝16．当S 取得最小值时，把除1、9外的7个元素分成两个子集，各有k 及7－k 个元素，分放1到9的两段弧上，分法总数为C 70+C 71+…+C 76种，考虑镜面因素，共有64种方法．所求概率P ＝64×28!＝1315．15．过抛物线y ＝x 2上一点A (1，1)作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AEEC ＝λ1；点F 在线段BC 上，满足BF FC＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD 与EF 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．解：过点A 的切线方程为y ＝2x －1．交y 轴于点B (0，－1)．AB 与x 轴交于点D (12，0)．设点C 坐标为C (x 0，y 0)，CDCP＝λ，点P 坐标为(x ，y )．由AE EC ＝λ1⇒AC CE ＝1+λ1，同理，CBCF＝1+λ2； 而CA CE 、CD CP 、CBCF成等差数列(过A 、B 作CD 的平行线可证)． 得2λ＝1+λ1+1+λ2＝3，即λ＝32．从而点P 为△ABC 的重心．x ＝1+0+x 03，y ＝1+(－1)+y 03．y 0＝x 02．解得x 0＝3x －1，y 0＝3y ，代入y 0＝x 02得，y ＝13(3x －1)2． 由于x 0≠1，故x ≠23．所求轨迹方程为y ＝13(3x －1)2(x ≠23)．又解：过点A 的切线方程为y ＝2x －1．交y 轴于点B (0，－1)．AB 与x 轴交于点D (12，0)．设点C 坐标为C (t ，t 2)，CD 方程为x －12t －12＝y t 2，即y ＝t 22t －1(2x －1)．点E 、F 坐标为E (1+λ1t 1+λ1，1+λ1t 21+λ1)；F (λ2t 1+λ2，λ2t 2－11+λ2)．从而得EF 的方程为：y －1+λ1t 21+λ1λ2t 2－11+λ2－1+λ1t 21+λ1＝x －1+λ1t1+λ1λ2t 1+λ2－1+λ1t1+λ1． 化简得：[(λ2－λ1)t －(1+λ2)]y ＝[(λ2－λ1)t 2－3]x +1+t －λ2t 2． ① 当t ≠12时，直线CD 方程为： y ＝2t 2x －t22t －1 ②联立①、②解得⎩⎨⎧x ＝t +13，y ＝t 23． 消去t ，得点P 的轨迹方程为y ＝13(3x －1)2．当t ＝12时，EF 方程为：－32y ＝(14λ2－14λ1－3)x +32－14λ2，CD 方程为：x ＝12，联立解得点(12，112)，此点在上述点P 的轨迹上，因C 与A 不能重合，故t ≠1，x ≠23．故所求轨迹为 y ＝13(3x －1)2(x ≠23)．加试卷一、如图，在△ABC 中，设AB ＞AC ，过点A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以点A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于点D ；交直线l 于点E 、F ．证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心．证明：连DC 、DE ，作∠BAC 的平分线交DE 于点I ，交CD 于G ． 由AD ＝AC ，∠DAI ＝∠CAI ，AI ＝AI ⇒△ADI ≌△ACI ． 故∠ADI ＝∠ACI ，但∠FAD ＝∠ACB (弦切角)；∠FAD ＝2∠ADE (等腰三角形顶角的外角)所以∠FAD ＝2∠ACI ⇒∠ACB ＝2∠ACI ，即CI 是∠ACB 的平分线．故点I 是△ABC 的内心． 连FD 并延长交AI 延长线于点I '，连CI '．由于AD ＝AE ＝AF ⇒∠EDF ＝90︒⇒∠IDI '＝90︒．而由△ADI ≌△ACI 知，∠AID ＝∠AIC ⇒∠DII '＝∠CII '，又ID ＝IC ，II '为公共边．故△IDI '≌△ICI '，⇒∠ICI '＝90︒．由于CI 是∠ACB 的平分线，故CI '是其外角的平分线，从而I '为△ABC 的一个旁心．又证：⑴ 连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DE 于I ，DC 于G ，连IC ，则由AD ＝AC ，得AG ⊥DC ，ID ＝IC ．又D 、C 、E 在⊙A 上，故∠IAC ＝12∠DAC ＝∠IEC ．故A 、I 、C 、E 四点共圆．所以∠CIE ＝∠CAE ＝∠ABC ，而∠CIE ＝2∠ICD ，故∠ICD ＝12∠ABC ．所以，∠AIC ＝∠IGC +∠ICG ＝90︒+12∠ABC ，所以∠ACI ＝12∠ACB ．故I 为△ABC 的内心．⑵ 连FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于I 1，连II 1，BI 1、BI ，则由⑴知，I 为△ABC 的内心，故∠IBI 1＝90︒＝∠EDI 1．故D 、B 、I 1、I 四点共圆．故∠BII 1＝∠BDI 1＝90︒－∠ADI ＝(12∠BAC +∠ADG )－∠ADI ＝12∠BAC +∠IDG ，故A 、I 、I 1共线．所以，I 1是△ABC 的BC 边外的旁心．二、设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z的最小值．解：解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b 2+c 2－a 22bc ，y ＝c 2+a 2－b22ac，z ＝a 2+b 2－c 22ab．由于x 、y 、z 为正数，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2＞c 2，b 2+c 2＞a 2，c 2+a 2＝b 2．⇒⎩⎪⎨⎪⎧a +b ＞c ，b +c ＞a ，c +a ＝b ．即以a 、b 、c 为边可以构成锐角三角形．记边a 、b 、c 的对角分别为∠A 、∠B 、∠C ．则cos A ＝x ，cos B ＝y ，cos C ＝z ．(A 、B 、C 为锐角)f (x ，y ，z )＝f (cos A ，cos B ，cos C )＝cos 2A 1+cos A +cos 2B 1+cos B +cos 2C1+cos C．令u ＝cot A ，v ＝cot B ，w ＝cot C ，则u ，v ，w ∈R +，且uv +vw +wu ＝1．于是，(u +v )(u +w )＝u 2+uv +uw +vw ＝u 2+1．同理，v 2+1＝(v +u )(v +w )，w 2+1＝(w +u )(w +v )．cos 2A ＝sin 2A cot 2A ＝cot 2A 1+cot 2A ＝u 21+u 2，所以，cos 2A 1+cos A ＝u 21+u 21+u 1+u 2＝u 21+u 2(1+u 2+u )＝u 2(1+u 2－u )1+u 2＝u 2－u 31+u 2＝u 2－u 3(u +v )(u +w )≥u 2－u 32(1u +v +1u +w )． 同理cos 2B 1+cos B ≥v 2－v 32(1v +u +1v +w )，cos 2C 1+cos C ≥w 2－w 32(1w +u +1w +v)．于是f ≥u 2+v 2+w 2－12(u 3+v 3u +v +v 3+w 3v +w +w 3+u 3w +u)＝u 2+v 2+w 2－12(u 2－uv +v 2+v 2－vw +w 2+w 2－wu +u 2)＝12(uv +vw +wu )＝12(等号当且仅当u ＝v ＝w ，即a ＝b ＝c ，x ＝y ＝z ＝12时成立．)故知[f (x ，y ，z )]min ＝12．又证：由约束条件可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b 2+c 2－a 22bc ，y ＝a 2+c 2－b 22ac ，z ＝a 2+b 2－c 22ab．故⎩⎪⎨⎪⎧1+x ＝(a +b +c )(－a +b +c )2bc，1+y ＝(a +b +c )(a －b +c )2ac，1+z ＝(a +b +c )(a +b －c )2ab．得，f (x ，y ，z )＝12(a +b +c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b 2+c 2－a 2)2bc (b +c －a )+(c 2+a 2－b 2)2ac (c +a －b ) +(a 2+b 2－c 2)2ab (a +b －c )． ⑴ 显然有a +b －c ＞0，a －b +c ＞0，－a +b +c ＞0．由Cauchy 不等式有，⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b 2+c 2－a 2)2bc (b +c －a )+(c 2+a 2－b 2)2ac (c +a －b ) +(a 2+b 2－c 2)2ab (a +b －c )·[bc (b +c －a )+ca (c +a －b )+ab (a +b －c )]≥(a 2+b 2+c 2)2．故f (x ，y ，z )≥(a 2+b 2+c 2)22(a +b +c )(b 2c +bc 2+ac 2+a 2c +a 2b +ab 2－3abc )＝12·a 4+b 4+c 4+2a 2b 2+2b 2c 2+2a 2c 22a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2+b 3c +b 3c +a 3b +a 3c +c 3a +c 3b －abc (a +b +c )． 下面证明a 4+b 4+c 4+2a 2b 2+2b 2c 2+2a 2c 22a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2+b 3c +b 3c +a 3b +a 3c +c 3a +c 3b －abc (a +b +c )≥1．即证a 4+b 4+c 4≥a 3b +a 3c +b 3c +b 3a +c 3a +c 3b －(a +b +c )abc ． ⑵ 由于，a 4－a 3b －a 3c +a 2bc ＝a 2(a 2－ab －ac －bc )＝a 2(a －b )(a －c )．故⑵式即a 2(a －b )(a －c )+b 2(b －a )(b －c )+c 2(c －a )(c －b )≥0．不妨设a ≥b ≥c ．则a 2(a －b )(a －c )+b 2(b －a )(b －c )≥a 2(a －b )(b －c )－b 2(a －b )(b －c )＝(a 2－b 2)(a －b )(b －c )≥0， 又，c 2(c －a )(c －b )≥0于是a 2(a －b )(a －c )+b 2(b －a )(b －c )+ c 2(c －a )(c －b )≥0成立．等号当且仅当a ＝b ＝c 时成立．所以，f (x ，y ，z )≥12，且f (12，12，12)＝12．又证：令p ＝12(a +b +c )，⑴式即f (x ，y ，z )＝18p ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b 2+c 2－a 2)2bc (p －a )+(c 2+a 2－b 2)2ac (p －b ) +(a 2+b 2－c 2)2ab (p －c )(由Cauchy 不等式)≥18p ·(a 2+b 2+c 2)2bc (p －a )+ca (p －b )+ab (p －c )＝18p ·(a 2+b 2+c 2)2p (ab +bc +ca )－3abc ．而a 2+b 2+c 2＝2(p 2－4Rr －r 2)，ab +bc +ca ＝p 2+4Rr +r 2，abc ＝4Rrp ．(*) 故，f (x ，y ，z )≥12p ·(p 2－4Rr －r 2)2p (p 2+4Rr +r 2)－12pRr ＝12p 2·(p 2－4Rr －r 2)2p 2－8Rr +r 2． 而(p 2－4Rr －r 2)2p 2－8Rr +r 2≥p 2⇔p 4+16R 2r 2+r 4－8p 2Rr －2p 2r 2+8Rr 3≥p 4－8p 2Rr +p 2r 2⇔16R 2+8Rr +r 2≥3p 2⇔4R +r ≥3p ． (**)最后一式成立．故得结论．关于(*)式：由△＝rp ，得 r 2＝△2p 2＝p (p －a )(p －b )(p －c )p 2＝(p －a )(p －b )(p －c )p＝p 3－(a +b +c )p 2+(ab +bc +ca )p －abc p ＝－p 3+(ab +bc +ca )p －abcp； ①又由△＝abc 4R ，得4Rr ＝abc p．故4Rr +r 2＝－p 2+(ab +bc +ca )．就是 ab +bc +ca ＝p 2+4Rr +r 2；a 2+b 2+c 2＝(a +b +c )2－2(ab +bc +ca )＝4p 2－2p 2－8Rr －2r 2＝2(p 2－4Rr －r 2)； abc ＝4R △＝4Rrp ． 关于(**)式：由r ＝4R sin A 2sin B 2sin C2，故4R +r ＝4R +4R sin A 2sin B 2sin C2＝4R +4R (cos A +cos B +cos C －1)＝R (3+ cos A +cos B +cos C )＝2R (cos 2A2+cos 2B2+cos 2C2)．而p =R sin A +R sin B +R sin C ＝4R cos A 2cos B 2cos C2．故4R +r ≥3p ⇔cos 2A2+cos 2B2+cos 2C 2≥23cos A 2cos B 2cos C2．又cos 2A2+cos 2B2+cos 2C2≥33cos 2A2cos 2B2cos 2C2，而33cos 2A2cos 2B2cos 2C 2≥23cos A 2cos B 2cos C2⇔32≤3cos A 2cos B 2cos C 2⇔ cos A 2cos B 2cos C 2≥338⇔ sin A +sin B +sin C ≤3sin π3．(由琴生不等式可证)三、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数， [1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．解：对于任意n (n 不是完全平方数)，存在k ，满足k 2＜n ＜(k +1)2，则1≤n －k 2≤2k ．此时n ＝k +{n }．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1{n }＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n +k n －k 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k +{n }n －k 2． 由于2k ＜2k +{n }＜2k +1．故2k n －k 2＜2k +{n }n －k 2＜2k +1n －k 2．从而在2k n －k 2与2k +1n －k 2之间没有整数．即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k +{n }n －k 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k n －k 2．若记n －k 2＝i (i ＝1，2，…，2k )，又240＝152+15． 于是，k ＝1∑240f (k )＝k ＝1∑14i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i +i ＝1∑15⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×15i ．由于k ＜i ≤2k 时⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ＝1故i ＝k +1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ＝k ．于是 k ＝1∑240f (k )＝k ＝1∑15i ＝1∑k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i +k ＝1∑14k ＝(2+6+11+16+22+29+34+42+49+56+63+72+78+87+96)+105＝768．即所求值为768． 又解：为计算i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ，画一2k ×2k 的表格，在第i 行中，凡i 的倍数处填写*号，则这行的*号共有⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i个，全表共有i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i 个．另一方面，第j 列中的*号个数等于j 的约数的个数T (j )，从而全表中的*号个数等于j ＝1∑2kT (j )．故i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ＝j ＝1∑2kT (j )．以2k ＝6为例：故a ＝1∑(n+1)2f (a )＝k ＝1∑n j ＝1∑2kT (j )＝n [T (1)+T (2)]+(n －1)[T (3)+T (4)]+…+[T (2n －1)+T (2n )]． ③由此，k ＝1∑162f (k )＝k ＝1∑16(16－k )[T (2k －1)+T (2k )] ④记a n ＝T (2k －1)+T (2k )．可得a k 的取值如下表(k ＝1，2，…15)：k ＝1∑162f (k )＝k ＝1∑16(16－k )a k＝783． ⑤又当k ∈{241，242，…，255}时，设k ＝152+r (r ＝16，17，…30)．则k －15＝152+r －15＝r152+r +15，从而r 31＜r 152+r +15＜r 30，于是1≤30r ＜1{k }＜31r ＜2． 故，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1{k }＝1，k ∈{241，242，…，255}，又f (256)＝0， 所以k ＝1∑240f (k )＝783－15＝768．呜呼！不怕繁死人，就怕繁不成！。
卡西欧杯全国初中数学竞赛及参考 答案
2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题（2005年4月10日 上午9：30－11：30） 答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线.3.草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得零分）1.如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6.将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ） A.2 B.4 C.6 D.82.若223894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A.正数 B.负数 C.零 D.整数3.已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点. 若点B 在△A 1 B 1 C 1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°4.设2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，则与A 最接近的正整数是（ ）A.18B.20C.24D.255.设a ，b 是正整数，且满足5659a b ≤+≤，0.90.91ab<<，则22b a -等于（ ） A.171 B.177 C.180 D.182二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6.在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）.若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB 的面积第一次达到最大. 7.在直角坐标系中，抛物线2234y x mx m =+-（m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点.若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB，且满足1123OB OA -=，则m 的值等于＿＿＿＿. DCBA8.有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A ，2，3，…，J ，Q ，K 的顺序排列.某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是＿＿＿＿＿.9.已知D ，E 分别是△ABC 的边BC ，CA 上的点，且BD ＝4，DC ＝1，AE ＝5，EC ＝2. 连结AD 和BE ，它们相交于点P.过点P 分别作PQ ∥CA ，PR ∥CB ，它们分别与边AB 交于点Q ，R ，则△PQR 的面积与△ABC 的的面积之比为＿＿＿＿. 10.已知1x ，2x ，…，40x 都是正整数，且124058x x x +++=.若2221240x x x +++的最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于＿＿＿＿.三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11.8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）.其中一辆小汽车在距离火车站10km 的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟.这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的平均速度是5km/h..试设计一种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.12.如图，半径不等的两圆相交于A ，B 两点，线段CD 经过点A ，且分别交两圆于C ，D 两点. 连结BC ，BD ，设P ，Q ，K 分别是BC ，BD ，CD 的中点，M ，N 分别是弧BC 和弧BD 的中点. 求证： （1）BP NQPM QB=； （2）△KPM ∽△NQK13.已知p ，q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()281050x p q x pq --+=至少有一个正整数根，求所有的质数对（p ，q ）.NMK Q PDCBA14.从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a ，b，c（a＜b＜c＝，都有ab c.参考答案：1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 6.1515597. 2 8. 方块6 9.400108910. 494。
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2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题
（2005年4月10日 上午9：30－11：30）
答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.
2.解答书写时不要超过装订线.
3.草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得零分）
1.如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6. 将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8
2.若2
2
3894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A.正数 B.负数 C.零 D.整数
3.已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点. 若点B 在△A 1 B 1 C 1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°
4.设22
2
111483444
1004A ⎛⎫
=⨯+++
⎪---⎝⎭
，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18 B.20 C.24 D.25
5.设a ，b 是正整数，且满足5659a b ≤+≤，0.90.91a
b
<
<，则22b a -等于（ ） A.171 B.177 C.180 D.182
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6.在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）. 若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB 的面积第一次达到最大.
7.在直角坐标系中，抛物线2
2
34y x mx m =+-
（m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点. 若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足
1123
OB OA -=，则m 的值等于＿＿＿＿. 8.有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按
A ，2，3，…，J ，Q ，
K 的顺序排列. 某人把按上
C
D
C
B
A
述排列的两副扑克牌上下叠在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是＿＿＿＿＿.
9.已知D ，E 分别是△ABC 的边BC ，CA 上的点，且BD ＝4，DC ＝1，AE ＝5，EC ＝2. 连结AD 和BE ，它们相交于点P. 过点P 分别作PQ ∥CA ，PR ∥CB ，它们分别与边AB 交于点Q ，R ，则△PQR 的面积与△ABC 的的面积之比为＿＿＿＿. 10.已知1x ，2x ，…，40x 都是正整数，且124058x x x ++
+=. 若2221240x x x +++的最大
值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于＿＿＿＿. 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11.8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）. 其中一辆小汽车在距离火车站10km 的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟. 这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的平均速度是5km/h.. 试设计一种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.
12.如图，半径不等的两圆相交于A ，B 两点，线段CD 经过点A ，且分别交两圆于C ，D 两点. 连结BC ，BD ，设P ，Q ，K 分别是BC ，BD ，CD 的中点，M ，N 分别是弧BC 和弧BD 的中点. 求证： （1）
BP NQ
PM QB
=； （2）△KPM ∽△NQK
13.已知p ，q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()2
81050x p q x pq --+=至少有一个正整数根，求所有的质数对（p ，q ）. N
M
K Q P
D
C
B
A
14.从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三
.
个数a，b，c（a＜b＜c），都有ab c。