二维图形几何变换.
实验.四二维图形的基本几何变换
实验报告学院:计算机学号:姓名:实验四 二维图形的基本几何变换一、实验目的1．掌握二维图形基本的几何变换原理及变换矩阵； 2．掌握矩阵运算的程序设计。
二、实验内容实现二维图形的基本变换，包括平移、旋转、比例、对称变换。
三、实验环境硬件平台:PC运行环境: Windows 平台，Visual C++四、算法描述二维图形齐次坐标变换矩阵一般表达式 T = 这 3×3 矩阵中各元素功能一共可分成四块，即a 、b 、c 、d 四项用于图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换； k 、m 用于图形的平移变换；p 、q 用于图形的透视变换； s 用于图形的全比例变换。
平移变换 旋转变化放缩变换五、实验过程5.1打开Visualc++6.0程序5.2新建一个C++项目⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡s m kq dc p b a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''1),(110010011y x t t T y x t t y x y x y x 记为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''1)(11000cos sin 0sin cos 1y x R y x y x θθθθθ记为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''1),(11000001y x s s S y x s s y x y x y x记为5.3单击完成，双击源文件里的二维图形几何变换View.cpp,出现下图5.5找到其中的OnDraw函数，并将其改成如下，使其实现了一条直线的平移。
void C二维图形几何变换View::OnDraw(CDC* pDC){C二维图形几何变换Doc* pDoc = GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);if (!pDoc)return;// TODO: 在此处为本机数据添加绘制代码int a[3][3];int i,j;for(i=0;i<3;i++)for(j=0;j<3;j++)a[i][j]=0;for(i=0;i<3;i++)a[i][i]=1;int x0=80,x1=350,y0=120,y1=120;pDC->MoveTo(x1,y1);E:\c++6.0安装\MSDev98\MyProjects\pDC->LineTo(x0,y0);a[2][0]=80;//使直线在行方向上平移了80个单位a[2][1]=50;//使直线在列方向上平移了50个单位x0=x0*a[0][0]+y0*a[1][0]+a[2][0];y0=x0*a[0][1]+y0*a[1][1]+a[2][1];x1=x1*a[0][0]+y1*a[1][0]+a[2][0];y1=x1*a[0][1]+y1*a[1][1]+a[2][1];pDC->MoveTo(x1,y1);pDC->LineTo(x0,y0);}5.6单击运行程序并有如下结果5.7找到其中的OnDraw函数，并将其改成如下，使其实现了一条直线的平移和缩放。
二维形的旋转与翻转
二维形的旋转与翻转二维形的旋转与翻转是在数学和几何学中经常出现的操作，通过旋转和翻转可以改变图形的方向和位置，从而使得图形在空间中呈现不同的样貌和特性。
本文将深入探讨二维形的旋转和翻转，介绍其定义、方法和应用。
一、旋转操作旋转是指将一个图形围绕某一点旋转一定角度而不改变其形状和大小。
在二维平面坐标系中，旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。
1. 顺时针旋转顺时针旋转是指将一个图形按顺时针方向旋转一定角度。
假设有一个图形A，其坐标点为（x，y），要将A图形顺时针旋转θ角度后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，x'和y'为旋转后图形A'的新坐标点，x和y为旋转前图形A的坐标点，θ为旋转角度。
2. 逆时针旋转逆时针旋转与顺时针旋转相反，是指将一个图形按逆时针方向旋转一定角度。
同样假设有一个图形A，要将A图形逆时针旋转θ角度后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = x * cosθ + y * sinθy' = -x * sinθ + y * cosθ二、翻转操作翻转是指将一个图形按照某一轴进行镜像反转，可以分为水平翻转和垂直翻转两种方式。
1. 水平翻转水平翻转是指将一个图形以水平轴为对称轴进行镜像反转。
假设有一个图形A，其坐标点为（x，y），要将A图形水平翻转后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = xy' = -y2. 垂直翻转垂直翻转是指将一个图形以垂直轴为对称轴进行镜像反转。
同样假设有一个图形A，要将A图形垂直翻转后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = -xy' = y三、应用场景二维形的旋转和翻转在现实生活和工程应用中有广泛的应用，下面将介绍其中几个常见的应用场景。
计算机图形学-变换
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
计算机图形学_ 二维图形变换_53 二维图形变换原理及齐次坐标_
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点 ；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运 算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义 上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维 的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果 是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h）， 其中h称为哑坐标。 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐 标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一 种二维坐标到二维坐标之间的线性变换 （1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上 点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示 如下式所示的规格化形式：
计算机图形学 5.1二维变换
a11b13 a12b23 a13b33 a 21b13 a 22b23 a 23b33 （5-1） a n1b13 a n 2 b23 a n3b33
由线性代数知道，矩阵乘法不满足交换律，只有左矩 阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘。 特别地，对于二维变换的两个3×3的方阵A和B，矩阵 相乘公式为：
5.1.1 规范化齐次坐标
为了使图形几何变换表达为图形顶点集合矩阵与 某一变换矩阵相乘的问题，引入了规范化齐次坐标。 所谓齐次坐标就是用n＋1维矢量表示n维矢量。 例如，在二维平面中，点P(x，y)的齐次坐标表示为 （wx，wy，w）。类似地，在三维空间中，点P(x，y，z) 的齐次坐标表示为（wx，wy，wz，w）。这里，w为任一 不为0的比例系数，如果w＝1就是规范化的齐次坐标。 二维点P(x，y)的规范化齐次坐标为〔x，y，1〕，三维 点P(x，y，z)的规范化齐次坐标为〔x，y，z，1〕。不 能写成下标形式，w和x，w和y，w和z是乘法的关系。 定义了规范化齐次坐标以后，图形几何变换可以 表示为图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵与某一变换 矩阵相乘的形式。
x1 x P 2 xn y1 y2 yn 1 1 1
变换后图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：
x'1 x' ' P 2 x' n y '1 y' 2 y'n 1 1 1
a b 二维变换矩阵为： T c d l m
a11b11 a12b21 a13b31 a11b12 a12b22 a13b32 a b a b a b a 21b12 a 22b22 a 23b32 21 11 22 21 23 31 a n1b11 a n 2 b21 a n3b31 a n1b12 a n 2 b22 a n3b32
第4章二维变换
• 性质
U •V = V •U U •V = 0 ⇔ U ⊥ V U •U = 0 ⇔ U = 0
变换的数学基础(3/4) 变换的数学基础
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 U = U • U = u x + u y + u z2 2
U •V cos θ = U •V
– 矢量的叉积
i U ×V = ux vx
– 在世界坐标系（ 在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， ） 用来指定要显示的图形 。
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸） 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
P′＝P＋Tm 等价于
[x’ y’]=[x y] +[Mx My]
图形变换的特点（ 4.3.1 图形变换的特点（续）
比例变换 P′＝P×Ts
Sx 0 Ts＝ 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。 cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转
旋转变换 P＇＝P×Tr
变换后的 顶点坐标
P
变换前的 顶点坐标
•
T2D
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 c d [ l m] 是对图形进行平移变换
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义， 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系） 模型坐标系
二维图形几何变换
⼆维图形⼏何变换⼀、基本变换1. 平移定义：将物体沿直线路径从⼀个坐标位置移到另⼀个坐标位置的重定位。
不产⽣变形⽽移动物体的刚体变换。
原始坐标位置：(x ,y )，平移距离t x 、t y ，新位置(x ′,y ′)，则x ′=x +t x ,y ′=y +t y 表⽰为矩阵形式，令：→P =x y→P ′=x ′y ′→T =t x t y⼆位平移⽅程：→P ′=→P +→T2. 旋转当参考点为(0,0)定义：以某个参考点为圆⼼，将对象上的各点(x ,y )围绕圆⼼转动⼀个逆时针⾓度θ，变成新的坐标(x ′,y ′)的变换。
x ′=rcos (φ+θ)=rcos φcos θ−rsin φsin θy ′=rsin (φ+θ)=rsin φcos θ+rcos φsin θ∵x =rcos φ,y =rsin φ∴x ′=xcos θ−ysin θy ′=xsin θ+ycos θ令：→R =cos θ−sin θ−sin θcos θ写成矩阵形式：→P ′=→R ⋅→P绕任意指定的旋转位置(x r ,y r )旋转的变换⽅程1. 将坐标系原点平移到(x r ,y r )2. 在新的坐标系下做旋转变换3. 将坐标原点平移回原坐标系x ′=x r +(x −x r )cos θ−(y −y r )sin θy ′=y r +(x −x r )sin θ+(y −y r )cos θ3. 变化（缩放）Scaling定义：使对象按⽐例因⼦Sx 和Sy 放⼤或缩⼩的变换。
x ′=x ⋅S xy ′=y ⋅S y令→S =S x 00S y矩阵形式：→P ′=→S ⋅→PS x 、S y 均⼩于1，缩⼩物体尺⼨，S x 、S y 均⼤于1，放⼤物体。
S x =S y ，则保持物体相对⽐例缩放⼀致。
特殊情况当Sy =−1、Sx =1，按x 轴反射当Sy =1、Sx =−1，按y 轴反射()()()()()当Sy =−1、Sx =−1，按原点(0,0)反射⼆、变换矩阵每个基本变换均可表⽰为普通矩阵形式：→P ′=→M 1→P +→M 2平移将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，将⼆维⼏何变换的乘法和平移项组合成单⼀矩阵表⽰平移。
二维图形的几何变换 对称、平移
实验五.二维图形的几何变换1.算法分析对称和平移均可利用数学里的坐标系的点的坐标计算出新图形的每个顶点的坐标2.代码实现void CHuXiaoHua_graphics5View::Onsymmetry(){// TODO: Add your command handler code hereRedrawWindow();CDC* pDC=GetDC();CPen newpen(PS_SOLID,3,RGB(65,34,53));CPen *old=pDC->SelectObject(&newpen);CPoint spt [10];spt[0]=CPoint(100,30); //绘制多边形区域spt[1]=CPoint(150,80);spt[2]=CPoint(150,150);spt[3]=CPoint(115,150);spt[4]=CPoint(115,115);spt[5]=CPoint(85,115);spt[6]=CPoint(85,150);spt[8]=CPoint(50,80);spt[9]=CPoint(100,30);pDC->Polyline(spt,10);for(int i=0;i<=9;i++){spt[i].x=400-spt[i].x;}pDC->Polyline(spt,10);}void CHuXiaoHua_graphics5View::Ontranslation() {// TODO: Add your command handler code here RedrawWindow();CDC* pDC=GetDC();CPen newpen(PS_SOLID,3,RGB(65,34,53));CPen *old=pDC->SelectObject(&newpen);CPoint spt [10];spt[0]=CPoint(100,30); //绘制多边形区域spt[1]=CPoint(150,80);spt[3]=CPoint(115,150);spt[4]=CPoint(115,115);spt[5]=CPoint(85,115);spt[6]=CPoint(85,150);spt[7]=CPoint(50,150);spt[8]=CPoint(50,80);spt[9]=CPoint(100,30);pDC->Polyline(spt,10);for(int i=0;i<=9;i++){spt[i].y+=120;}pDC->Polyline(spt,10); }3.运行结果对称平移。
二维几何形的平移旋转与翻转方法
二维几何形的平移旋转与翻转方法二维几何形的平移、旋转与翻转方法在二维几何学中，平移、旋转和翻转是常用的形状变换方法。
通过这些方法，我们可以改变形状的位置和方向，从而达到不同的目的，例如对图像进行调整、创建图案或进行设计等。
本文将介绍二维几何形的平移、旋转和翻转的基本方法及其应用。
一、平移方法平移是指在平面上将一个几何形状沿着一定方向进行移动，移动的距离和方向是相同的。
下面是平移的基本方法：1. 翻译向量法：平移可以通过翻译向量来实现。
翻译向量可以表示从一个点移动到另一个点的位移量，通常使用向量坐标的形式来表示。
假设有一个点A(x1, y1)，要将其平移至另一个点B(x2, y2)，则平移向量可以表示为(Tx, Ty)，其中Tx = x2 - x1，Ty = y2 - y1。
通过将所有点坐标的x和y值分别加上相应的平移向量，即可将整个几何形状平移至目标位置。
2. 平移矩阵法：平移也可以通过平移矩阵来实现。
平移矩阵是一个2x3的矩阵，其第三列表示平移向量，即[1, 0, Tx; 0, 1, Ty]。
通过将几何形状的坐标点与平移矩阵相乘，即可得到平移后的新坐标。
该方法更适用于计算机图形学和图像处理中的平移操作。
二、旋转方法旋转是指将一个几何形状绕着某一点或某一直线进行旋转。
下面是旋转的基本方法：1. 极坐标法：通过极坐标系来进行旋转。
假设有一个点A(x, y)，要将其绕原点O旋转一个角度θ，通过将其坐标转换为极坐标形式(r, φ)，其中r = √(x^2+y^2)，φ = arctan(y / x)。
旋转后的新坐标可以表示为(r, φ + θ)。
通过将所有点的极坐标进行相应的旋转计算，再转换回直角坐标系即可完成旋转操作。
2. 旋转矩阵法：旋转也可以通过旋转矩阵来实现。
旋转矩阵是一个2x2的矩阵，其元素由旋转角度θ决定。
假设有一个点A(x, y)，通过旋转矩阵[R] = [cos(θ), -sin(θ); sin(θ), cos(θ)]，点A的旋转后坐标可以表示为点B(x', y') = [R] * A。
图形变换概述
0 1 ty
100÷÷÷÷÷÷÷÷÷
(x',y') (x,y)
0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
X
《计算机图形学》
平移变换的特性
二维图形变换 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的每个点移动相同的坐标
几何变换
直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上
平移变换
平移变换 旋转变换 放缩变换 错切变换
关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换
对称变换 复合变换
视象变换
(-x,y) Y(x,y)
视窗变换
(y,x)
(-y,-x)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(-x,-y) (x,-y)
《计算机图形学》
旋转变换的特性
二维图形变换 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的所有点旋转相同的角度
几何变换
直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角
平移变换 旋转变换 放缩变换
多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
(xⅱ y
1)= (x
y
1)骣 ççççççç桫100
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
Y (x,y)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(x,-y)
《计算机图形学》
对称(Mirror)变换
二维图形变换 关于Y轴进行对称变换的解析表示
图形变换概述
x'= –x
二维图形几何变换
矩阵表示法的具体形式和计算方法
矩阵表示法在二维图形几何变换中的应用和实现
定义：矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
性质：矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
பைடு நூலகம்
运算规则：两个矩阵相加时，必须保证它们的维度相同，即行数和列数分别相等。
添加标题
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矩阵变换的基本概念：介绍矩阵和几何变换的基本概念，以及它们之间的关系。
添加标题
矩阵变换的种类：列举常见的二维图形几何变换，如平移、旋转、缩放、错切等，并解释如何通过矩阵运算实现这些变换。
添加标题
矩阵变换的步骤：详细介绍如何通过矩阵运算实现二维图形的平移、旋转、缩放和错切等几何变换的步骤，包括变换前后的矩阵表示和计算过程。
汇报人：
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01
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二维图形几何变换是指对二维图形进行旋转、平移、缩放等操作，使其在几何上发生变化的过程。
通过二维图形几何变换，可以实现图形的重新排列、调整和优化，从而满足不同的设计需求。
二维图形几何变换的基本要素包括原点、方向、角度和比例等，这些要素决定了变换的具体效果。
性质：逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵
应用：在二维图形几何变换中，矩阵的逆运算可用于还原图形的原始位置和形状
图像处理：平移变换常用于图像处理中的缩放、旋转等操作，以提高图像质量和分辨率。
动画制作：在动画制作中，平移变换可以用来实现角色或物体的移动、缩放等效果，增强视觉效果和表现力。
二维几何形的变换学会进行平移翻转与旋转等操作
二维几何形的变换学会进行平移翻转与旋转等操作二维几何形的变换学会进行平移、翻转与旋转等操作在数学中，二维几何形的变换是一种常见的操作。
通过平移、翻转和旋转等变换操作，我们可以改变形状的位置、方向和对称性。
本文将介绍如何进行这些二维几何形的变换操作，帮助读者更好地理解和应用。
1. 平移操作平移是指沿给定方向将一个图形移动到另一个位置，移动的距离与方向都相同。
要进行平移操作，可以按照以下步骤进行：（1）选择一个参考点，这个点将保持不变，称为固定点。
（2）确定平移的方向和距离。
（3）从起始点出发，沿指定方向移动指定距离，得到终点。
（4）以固定点为圆心，终点为半径画一个圆，即可得到平移后的图形。
2. 翻转操作翻转是将一个图形按照某条线进行对称，使得图形在对称线两侧呈镜像关系。
翻转操作可以分为水平翻转和垂直翻转两种情况：（1）水平翻转：将图形沿水平方向翻转，即上下颠倒。
（2）垂直翻转：将图形沿垂直方向翻转，即左右镜像。
进行翻转操作时，可以按照以下步骤进行：（1）选择一个参考线，图形将以该线为对称轴进行翻转。
（2）对于水平翻转，将图形上下颠倒；对于垂直翻转，将图形左右镜像。
3. 旋转操作旋转是指将一个图形围绕一个点旋转一定角度，得到一个新的图形。
旋转操作可以按照以下步骤进行：（1）选择一个参考点，该点为旋转中心。
（2）确定旋转方向和旋转角度。
（3）将旋转中心和所有的图形顶点依次连线。
（4）按照旋转角度和方向，将原图形中的每个点沿着连接线旋转到新位置，得到旋转后的图形。
需要注意的是，旋转角度可以为正数或负数，正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。
综上所述，通过学会进行二维几何形的平移、翻转和旋转等操作，我们能够更好地理解和应用几何学中的变换。
这些操作不仅可以帮助我们对图形进行位置调整，还可以通过变换增加对称性或改变方向，从而得到更多有趣的结果。
通过实践和练习，我们可以掌握这些变换操作，并将它们应用到解决实际问题的过程中。
第4章 二维图形变换_几何变换
y
几何关系
x' y y' x
o
x
矩阵形式
对称变换（5）
x
y 1 x
0 1 0 y 1 1 0 0 y x 1 0 0 1
2.错切变换（shear） （1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切
将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的
（4-1）
a b x ' y ' x y T x, y c d x ' ax cy a S x c 0 ' b 0 d S y y bx dy
矩阵形式
x
y x
Sx S y
y
2.旋转变换（rotation）
P
点P绕原点逆时针转θ度角 （设逆时针旋转方向为正方向）
P
x
旋转变换
几何关系
x r cos y r sin
（4-3）
x' r cos( ) r cos cos－r sin sin y ' r sin( ) r cos sin ＋r sin cos
4.齐次坐标表示
( x1 , x2 ,..., xn )
有n个分量的向量
(x1 , x2 ,..., xn , )
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
( x1 , x2 ,..., xn , )
( x1 / , x2 / ,..., xn / )
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
1 2 1 2 1 2 1 2
1
二维几何形的放缩与旋转
二维几何形的放缩与旋转二维几何形在数学和几何学中扮演着重要的角色，而其中的放缩和旋转操作常常被运用于各种实际问题中。
本文将探讨二维几何形的放缩和旋转操作，并介绍它们的定义、性质以及应用。
一、放缩操作放缩是一种常见的几何变换操作，可以通过改变二维几何形的尺寸来实现。
放缩操作分为两种形式：等比例放缩和非等比例放缩。
1. 等比例放缩等比例放缩是指同时按照相同比例因子放大或缩小二维几何形的各个维度。
假设原始二维几何形为图形A，放缩比例为k，则经过等比例放缩后得到的新图形为图形A'。
放缩比例k可以是正数、负数或零，具体取决于放缩的方向和程度。
在等比例放缩过程中，二维几何形的各个点的坐标可以通过乘以放缩比例k来获得。
例如，若点P(x, y)为原始二维几何形上的一个点，经过等比例放缩后，新的点P'(x', y')的坐标可计算如下：x' = k * xy' = k * y2. 非等比例放缩与等比例放缩不同，非等比例放缩可以独立地对二维几何形的各个维度进行放缩操作。
在非等比例放缩中，每个维度的放缩比例可以是不同的，这使得二维几何形可以在不失真的情况下在各个方向上进行独立放缩。
非等比例放缩可以使用一个矩阵来表示。
假设原始二维几何形为图形B，放缩矩阵为M，则经过非等比例放缩后得到的新图形为图形B'。
放缩矩阵M通常为一个2x2的矩阵，其中的元素表示对应维度的放缩比例。
二、旋转操作旋转是另一种常见的几何变换操作，它可以使二维几何形绕着一个固定点旋转一定角度。
旋转操作可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
1. 顺时针旋转顺时针旋转是指二维几何形绕着固定点按照顺时针方向旋转一定角度。
假设原始二维几何形为图形C，旋转角度为θ，则经过顺时针旋转后得到的新图形为图形C'。
在顺时针旋转过程中，二维几何形的各个点的坐标可以通过使用旋转矩阵来计算。
旋转矩阵R是一个2x2的矩阵，其中的元素根据旋转角度θ的值而定。
二维图形变换原理及齐次坐标
⼆维图形变换原理及齐次坐标⼆维图形变换通过学习【向量分析】和【图形变换】，可以设计出⼀些⽅法来描述我们所遇见的各种⼏何对象，并学会如何把这些⼏何⽅法转换成数字。
⼀、向量从⼏何⾓度看，向量是具有长度和⽅向的实体，但是没有位置。
⽽点是只有位置，没有长度和⽅向。
在⼏何中把向量看成从⼀个点到另⼀个点的位移。
1、向量的基本知识（1）向量的表⽰从P点到Q点的位移⽤向量v=(3,-2)表⽰。
v是从点P到点Q的向量，两个点的差是⼀个向量：v=Q-P换个⾓度，可以说点Q是由点P平移向量v得到的，或者说v偏移P得到Q：Q=P+v（2）向量的基本运算向量的加(减)法可以采⽤“平⾏四边形法则”（3）向量线性组合m个向量v1,v2,...,v m的线性组合具有如下形式的向量：w=a1v1+a2v2+...+a n v n1>仿射组合线性组合的[系数的和等于1]，那么它就是仿射组合a1+a2+...+a m=12>向量的凸组合a1+a2+...+a m=1，[a i>=0（i=1,2,...,m）]2、向量的点积和叉积【点积得到⼀个标量，叉积产⽣⼀个新的向量。
】（1）向量的点积a=(a1,a2) b=(b1,b2)点积最重要的应⽤就是计算两个向量的夹⾓，或者两条直线的夹⾓：可知，两个⾮零向量夹⾓与点积的关系：（2）向量的叉积两个向量的叉积是另⼀个三维向量。
【叉积只对三维向量有意义】最常⽤的属性是【它与原来的两个向量都正交】【利⽤叉积求平⾯的法向量】垂直于平⾯的直线所表⽰的向量为该平⾯的法向量。
⼆、图形坐标系坐标系是建⽴图形与数之间对应联系的参考系1、坐标系的分类从维度上看，可分为⼀维、⼆维、三维坐标系。
从坐标轴之间的空间关系来看，可分为直⾓坐标系、极坐标系、圆柱坐标系、球坐标系等。
在计算机图形学中，从物体（场景）的建模，到在不同显⽰设备上显⽰、处理图形时同样使⽤⼀系列的坐标系2、计算机图形学中坐标系的分类（1）世界坐标系描述对象的空间被称为世界坐标系，即场景中物体在实际世界中的坐标。
相对任意方向的二维几何变换
相对任意方向的二维几何变换平面上的二维几何变换是指将平面上的一个点或一组点通过某种规则进行变换，得到新的点或点集的过程。
这些变换可以是平移、旋转、缩放、对称等。
在本文中，将分别介绍这些二维几何变换的定义、特点和应用。
一、平移变换平移变换是指将平面上的点沿着指定的方向进行移动，距离为指定的平移向量。
平移变换的特点是保持形状和大小不变，只改变位置。
平移变换可以用向量表示，即用平移向量将原始点的坐标进行平移，得到新点的坐标。
平移变换的应用非常广泛，比如在计算机图形学中，平移变换常用于图像的移动、平面的平移等。
此外，在几何学中，平移变换也可以用于解决平面图形的位置关系、求解线段的平移等问题。
二、旋转变换旋转变换是指将平面上的点绕着指定的旋转中心按照指定的角度进行旋转。
旋转变换的特点是保持形状和大小不变，只改变方向和位置。
旋转变换可以用旋转角度和旋转中心表示，即通过旋转矩阵将原始点的坐标进行旋转，得到新点的坐标。
旋转变换的应用也非常广泛，比如在航空航天中，旋转变换常用于描述飞机的姿态变化；在计算机图形学中，旋转变换常用于图像的旋转、三维模型的旋转等。
此外，在几何学中，旋转变换也可以用于解决线段的旋转、图形的对称等问题。
三、缩放变换缩放变换是指将平面上的点按照指定的比例进行放大或缩小。
缩放变换的特点是保持形状不变，只改变大小。
缩放变换可以用缩放因子表示，即通过缩放矩阵将原始点的坐标进行缩放，得到新点的坐标。
缩放变换的应用也非常广泛，比如在计算机图形学中，缩放变换常用于图像的放大、缩小、三维模型的缩放等。
此外，在几何学中，缩放变换也可以用于解决图形的相似性判断、线段的伸缩等问题。
四、对称变换对称变换是指将平面上的点按照指定的对称中心或对称轴进行镜像。
对称变换的特点是保持形状不变，只改变方向。
对称变换可以用对称中心或对称轴表示，即通过对称变换的公式将原始点的坐标进行镜像，得到新点的坐标。
对称变换的应用也非常广泛，比如在几何学中，对称变换常用于解决图形的对称性判断、线段的对称等问题。
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P'(4,3) P(2,1)
x ' xs x y '6-2
比例变换(Sx=2,Sy=3)
比例变换
推导： x’=Sx*X,y’=Sy*Y
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
复合变换具有形式：
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)
Y
Y
Y
X
X
X (b)关于y轴对称
(c)关于原点对称
(a)关于x轴对称
对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
Y
Y
X (d)关于x=y对称
(e)关于x=-y对称
X
对称变换
X
(1)关于x轴对称
Y
(a)关于x轴对称
Y
P(x,y) X P'(x,-y) (a)关于x轴对称
1 0 0 0 1 0 0 0 1
矩阵：
S x 0 0
0 Sy 0
0 0 1
a b y 1 c d l m
p q s
比例变换
Sx=Sy>1 原图 原图 Sx<Sy
Sx=Sy<1
Sx>Sy
(a)
Sx=Sy比例 图6-3
(b) 比例变换
Sx<>Sy比例
比例变换
整体比例变换：
对称变换
X
(2)关于y轴对称
(b)关于y轴对称
Y
P'(-x,y)
p(x,y) X
1 0 0 0 1 0 0 0 1
(b)关于y轴对称
Y
对称变换
X
(3)关于原点对称
(c)关于原点对称
P(x,y) X
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1
(1)沿x方向错切
(2)沿y方向错切 (3)两个方向错切
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成 P’ = P * T 的形式： 1. 点的变换 2. 直线的变换 3. 多边形的变换 4. 曲线的变换
4.1.3 复合变换
复合变换是指：
图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘。 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。
矩阵：逆时针旋转θ角
顺时针旋转θ角?
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
旋转变换
简化计算（θ很小）
x'
y ' 1 x
1 0 y 1 1 0 0 0 1
对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
平移变换
平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。
平移是一种不产生变形而移动物体的
刚 体 变 换 （ rigid-body transformation）
P' T P Tx Ty
x' x Tx y' y Ty
Y
X 图6-1 平移变换
平移变换
1 0 0 0 1 0 0 0 s
a b y 1 c d l m p q s
问题：S>1时缩还是放？
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
y/s
[x’ y’ 1]=[x y s]=[x/s
s/s]
旋转变换
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标 轴进行的几何变换
二维变换矩阵
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
a b y 1 c T1 d l T2 m
p q T3 s T4
T1：比例、旋转、对称、错切 T2：平移 T3：投影 T4：整体缩放
P'(-y,-x)
0 1 0 1 0 0 0 0 1
(e)关于x=-y对称
错切变换
错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变 形处理。
Y
Y
Y
(a)
X 原图
(b)
沿x方向错切
X
(c)
X
图6-7 错切变换
沿y方向错切
错切变换
其变换矩阵为：
1 d b 1 0 0
图6-4 旋转变换
旋转变换
推导：
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
a b y 1 c d l m
p q s
y’= rsin(a+θ) X’ = rcos(a+θ) = rcosacosθ-rsinasinθ = rcosasinθ+rsinacosθ = x cos θ-y sinθ = x sin θ+y cosθ
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正， 顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。 X’ = rcos(a+θ) = rcosacosθ-rsinasinθ = x cos θ-y sinθ
P' r θ r
α
Y
P X
y’= rsin(a+θ) = rcosasinθ+rsinacosθ = x sin θ+y cosθ
推导： x’=x+Tx,y’=y+Ty
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
a b y 1 c d l m
p q s
矩阵：
1 0 0 1 Tx Ty
0 0 1
Tx，Ty称为平移矢量
比例变换
比例变换是指对 p点相对于坐标
第4章 图形变换(二维)
提出问题：
如何对二维图形进行方向、尺寸和形状 方面的变换
如何方便地实现在显示设备上对二维图
形进行观察
基本概念
几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比 例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺
寸和形状方面的变换。
二维图形几何变换
平移变换 旋转变换 比例变换
(c)关于原点对称
Y
Y
对称变换
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x,y) p'(y,x) X (d)关于x=y对称
Y
X (d)关于x=y对称
0 1 0 1 0 0 0 0 1
Y
对称变换
(5)关于y=-x轴对称
(e)关于x=-y对称
Y
X
x=-y
Y
P(x,y) X