人教版高数选修4-5第1讲：不等式的性质与绝对值不等式(学生版)
高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式§1.1.1不等式的基本性质学习目标1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质; 2 .掌握比较两个实数大小的一般步骤学习重难点学习重点：不等式的基本性质学习过程 一、课前准备实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知：b a b a -⇔>b a b a -⇔=0ba b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
二、新课导学不等式的基本性质： 10. 对称性：b a >⇔ ； 20. 传递性：⇒>>c b b a ,；30. 同加性：⇒>b a ；推论：同加性：⇒>>d c b a , ；30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ；推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)． 典型例题例1已知0,0>>>c b a ，求证：b ca c > ．例2若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题中能成立的个数是( )()1ad bc >；()20a bd c+<；()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-.A 1 .B 2 .C 3 .D 4.例3 ()1若0x y <<，试比较()()22x yx y +-与()()22xy x y -+的大小()2设0a >，0b >，且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.例4 若2()f x ax c =-满足4-≤(1)f ≤1-，1-≤(2)f ≤5，求(3)f 的取值范围.变式训练1：（1）已知0a b >>，0d c <<<（2）已知,,a b c 满足：a b c R +∈、、，222a b c +=，当n N ∈，2n >时，比较n c 与n na b +的大小.（3）设()1log 3,()2log 2x x f x g x =+=，其中0,1x x >≠，比较()f x 与()g x 的大小．§1.1.2基本不等式学习目标1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的件 2 . 初步掌握不等式证明的方法学习重难点学习重点： 基本不等式的运用学习过程 一、课前准备 二、新课导学探究1：重要不等式 1. 222(,)a b ab a b R +≥∈（当且仅当a b =时取“=”） 2．重要不等式的几何解释3．变式：（1）22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（2）222a b c ab bc ac ++≥++ （3）若0b >，则22a b a b+≥ 例1．若,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++探究2：基本不等式（均值不等式）1.2a b +≤(0,0)a b >>（当且仅当a b =时取“=”），其中2a b+正数a,b 的算数平均数和几何平均数 2．基本不等式的几何解释3．推广：若0,0a b >>,则有22ab a b a b +≤≤≤+a b =时取“=”）例2．已知y x ,都是正数①如果xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2； ②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积有最大值241s利用基本不等式求最值应注意:①x,y 一定要都是正数;②求积xy 最大值时,应看和x+y 是否为定值;求和x+y 最小值时,看积xy 是否为定值;③等号是否能够成立.以上三点可简记为“一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值时,一定要检验等号是否．．．．．．．．．能取到．．．,若取到等号,则解法是合理的,若取不到,则必须改用其他方法. 例3．(1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. (3) 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．例4．（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x=+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x的值．例5．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于1米， 且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？ 且当AC 最短时，BC 长度为多少米？变式训练2： （1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
选修4-5_第一讲_不等式和绝对值不等式(不等式)
x 当 1 x , 2
2 4 x 时, ymax . 3 27
构造三个数相加等于定值
0 x 1时, 求函数y x(1 x )的最大值. 练习: (2)当
2
解:
0 x 1, 1 x 0,
2
由y x(1 x ), 得
2
y x (1 x )
x yz 3 证明：因为 xyz，所以 3
（x y z） xyz， 27
3
即（x y z） 27 xyz
3
2 例2: (1)当 0 x 1时, 求函数y x (1 x)的最大值.
解:
0 x 1, 1 x 0,
x x y x (1 x ) 4 (1 x ) 2 2 x x 1 x 4 3 2 2 4( ) 3 27
称 ab 为a,b的几何平均数。 基本不等式可以描述为： 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 它们的几何平均数。
例1 求证：
（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大； 设矩形的长为x，宽为y， 设矩形周长为定值l，即2x+2y=l， 由基本不等式
l 4 xy
面积xy≤l2/16
第一讲 不等式和绝对值不等式
一 不等式
不等式的基本性质
A
a
B b
x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为A,B 那么,当点A在点B的左边时 A a B b x 当点A在点B的右边时 B b A a x
a<b
a b ab0 a b ab 0 a b ab0
a>b
. 例1 比较( x 3)( x 7)和( x 4)( x 6)的大小
人教版高中数学选修4-5-1-绝对值不等式ppt课件
备考知考情 1.以选择题的形式考查绝对值不等式， 同时与不等式的性质相 结合． 2.以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、 补运算.
J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知 知识点一
识
梳
理
绝对值三角不等式
定理 1：如果 a，b 是实数，那么 |a＋b |≤ |a |＋ |b |，当且仅当
答案
C
【规律方法】
两数和与差的绝对值不等式的性质
|a |－ |b |≤ |a± b |≤ |a |＋ |b | (1) 对绝对值三角不等式定理 |a |－ |b |≤ |a± b |≤ |a |＋ |b |中等号成 立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时． (2)该定理可强化为 ||a |－ |b ||≤ |a± b |≤ |a |＋ |b |，它经常用于证明 含绝对值的不等式．
对 知识点一
点
自
测
绝对值三角不等式
1.设 ab>0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________． ①|a＋b |>|a |；② |a＋b |<|b |；③ |a＋b |<|a－b |；④ |a ＋b|>|a |－ |b |.
解析 确． ∵ab>0，∴a，b 同号，∴|a＋b |＝ |a |＋ |b |，∴①和④正
{x|0<x<2}
4．不等式|2 x＋1|－2|x－1|>0 的解集为________ ．
解析
原不等式化为 |2x＋1|>2|x－1|.
两边平方得：4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1) 1 即 12x>3，即 x> 4.
答案 1 {x|x> 4}
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质
探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
人教版高中数学选修4-5 1.1.1《不等式的基本性质》练习及答案
第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1不等式1．1.1不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案: ＞0＝0＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1比较大小：x2＋3________x2＋1.答案: ＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .(3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n (n ∈N ，且n ＞1)．(6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞n b (n ∈N ，且n ＞1)．思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b .思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b .答案: 2．思考2：＞ 思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3 答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a －d ＞b －c，从而有a d ＜b c. 答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2.答案：＜4．“a ＞b ”与“1a ＞1b ”同时成立的条件是________________________________________________________________________． 答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b答案：D8．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2.其中正确的有() A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A12．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3>b 3 B.1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<0答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y (0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b； ②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解．∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b，故①正确． 构造函数y ＝x c .∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确．∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．。
人教数学选修4-5全册精品课件：第一讲一1.不等式的基本性质第一课时
解：设每天配制甲种饮料 x 杯，乙种饮 料 y 杯，则满足条件的所有不等关系组 成的不等式组为
9x＋4y≤3600， 4x＋5y≤2000， 3x＋5y≤3000， x≥0x∈R＋， y≥0y∈R＋.
作差法比较大小
例2 设a，b∈R.试比较a2＋b2－ab＋1与a＋
a>b (2)对于任意两个实数，a－b>0⇔_____. a<b a＝b a－b＝0⇔_____，a－b<0⇔_____. 2．两个实数比较大小的步骤 较两个实数a与b的大小，其步骤为： (1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)结论．
思考感悟 什么情况下适合用作商比较法？ 提示：作商法比较数式的大小，一般适用于 比较两个幂或指数式或乘积式这是因为：幂 式或指数式作商后便于运算；乘积式在作商 后易于因式分解、约分、化简．
2
2
故a2＋b2－ab＋1－(a＋b)≥0， ∴a2＋b2－ab＋1≥a＋b.
法二：a2＋b2－ab＋1－a－b＝a2＋(－b－1)a ＋b2－b＋1，
令f(a)＝a2＋(－b－1)a＋b2－b＋1 Δ＝(－b－1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0. ∴f(a)≥0恒成立，即a2＋b2－ab＋1≥a＋b.
误区警示 同向不等式相减致误．
例
π π 若 0<α<π，－ <β< ，求 α－β 的 4 4
π 由已知得 0－(－ )<α－β<π 4
范围．
【错解】
π － ， 4 π 3π 即 <α－β< . 4 4
【错因】 错解误用了不等式的可加性， 3π 3π 实际上当 α＝ ，β＝0 时，α－β＝ ， 4 4 3π 这与 α－β< 矛盾． 4
5.1.1不等式的基本性质(1)课件(人教版选修4-5)
（3）
a
2
b
2
（4）
2 2
a
b
• • • • • • • • > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
小结
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
与 (a 2 a 1)( a 2 a 1) 的大小．
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 >
2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 •求差比较大小 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 若 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
高中数学·选修4-5(人教版)课件：第一讲绝对不等式的解法PPT课件
当 x＞3 时，x＋3－(x－3)＞3，即 6＞3，故 x＞3. 综上所述，所求的解集为xx＞32. 答案：A
4. 不等式|8－x|≥3 的解集为________________． 解析：原不等式化为 x－8≥3 或 x－8≤－3 解得 x≥11 或 x≤5. 答案：{x|x≥11 或 x≤5}
－x，x＜0，
数时，|x|为－x，即 x 的相反数．
2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等 式的图象解法和画出函数 f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c(a＜b) 的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象 的关键是写出 f(x)的分段表达式．不妨设 a＜b，于是 f(x)
－2x＋a＋b－c，x≤a， ＝b－a－c，a＜x＜b， 这种图象法的关键是合 2x－a－b－c，x≥b，
理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体
现了函数与方程结合、数形结合的思想． 3．几何解法的关键是理解绝对值的几何意义．
类型 3 绝对值不等式的综合应用(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 10 分)设函数 f(x)＝|x＋ a|－ |x－ 1－a|.
所以原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．
法二：当 x≤－1 时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x －1)≥3，
解得 x≤－32. 当－1<x<1 时，原不等式可以化为 x＋1－(x－1)≥3， 即 2≥3 不成立，无解． 当 x≥1 时，原不等式可以化为 x＋1＋x－1≥3.
所以 x≥32. 综上可知原不等式的解集为{x|x≤－32或 x≥32}． 法三：将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
高中数学人教新课标A版选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式二绝对值不等式
将│2x-1│≤3两边除以2，得
x1 3, 22
它的解集是数轴上到坐标为
1 2
的点
的距离不大于 3 的点集合.
2
探究
如何求解│x-a│+│x-b│≥c和 │x-a│+│x-b│ ≤c型不等式？
提示
思路一：对几何意义作分析； 思路二：把含绝对值的不等式转化 为不含绝对值的不等式； 思路三：从函数的观点处理。
如果当a,b是实数，则 a b a b ,
当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理1 （很重要）
探究
如果把定理1中的实数a,b分别换为向 量a,b能得出什么结果？你能解释它的几 何意义吗？
(1)当向量a,b不共线时，向量a+b,a,b构成 三角形.
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
可以得到 x x1 a和 x x1 a的解集。
例3 解不等式│2x-1│≤3
分析 可以把 (2x-1) 看成一个整体X， 即所解不等式就是 X 2.
解： 由 2 x 1 3得：-3 ≤2x-1 ≤3 解得-1≤x ≤2 因此，原不等式的解集 为｛x│-1≤x ≤2｝
思考
该题解的几何解释是什么？
解法二： 作函数y=x2-2x的图像. │x2-2x│<3 表示函数图像中在直线 y=-3 和直线 y=3 之间相应部分的自变量的集合.
解方程x2-2x=3得x1=-1,x2=3 即不等式的解集是(-1,3).
2.求函数y=│x-4│+ │x-6│的最小值.
解： y=│x-4│+ │x-6│ = │x-4│+ │6-x│
0 a b a+b
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式(1)课件 新人教版选修4-5
∴ x(3 2x) = 1 2x(3 2x) ≤ 2
当且仅当 x 3 时取等号. 4
1 2x 3 2x = 3 2
22
4
∴函数 y x(3 2x) 的最大值为 3 2 ,当且仅当 x 3 取得.
4
4
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中
阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空
角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元.
(1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系
式;
HG
(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.
解:设AM=y米
Q
P
从 而 4xy+x2=200 y=200 4x -x2
（1）若c>a>b>0，则 a b （真命题）
（2）若a>b, 1 1
ca cb
，则a>0，b<0。（真命题）
ab
5.已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求
f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]
二: 基本不等式
定 理 1 ： 如 果 a ， b ∈ R ， 那 么 a 2+b 2≥ 2 a b ， 当 且 仅 当 a=b 时 等 号 成 立 。
(9) a b 0, c d 0 a b ( × )
cd 2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)=(2x4 2x3 ) (1 x2 )
人教版高数选修4-5第1讲：不等式和绝对值不等式(学生版)-精选教育文档
不等式和绝对值不等式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点：掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法； 教学难点： 理解绝对值不等式的解法 1、基本不等式2ba ab +≤(1)基本不等式成立的条件：_____________ (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． 2、几个重要的不等式 3、算术平均数与几何平均数设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为________，几何平均数为______，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4、利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (简记：和定积最大)． 5、若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用6、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）7、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即类型一： 基本不等式的性质例1. 已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18B ．36C ．81D ．243练习1. 若,2,0,0=+>>b a b a 则下列不等式对一切满足条件的b a ,恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．练习2. 已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是________． 例2：求函数15()22y x =<<的最大值练习3. 求下列函数的值域22132y x x =+ 练习4. 求下列函数的值域1y x x=+类型二：绝对值不等式的性质及其解法 例3. 解不等式392+≤-x x 练习5. 解不等式32<-x练习6. 解不等式532<+<-x 例4. 解不等式123x x ->-。
高二数学之人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.1
同乘以3 -1da得
3
b，即 c
3
a d
3
b. c
a
3
d
3 b. c
2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e<0”,其
他【条证件明不】变因,为证c明<d:<0,a所e以c2-＞c>b-ded>02,.
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
1 a
1. b
(2)当a,b有一个为负数时,不妨设a>0,b<0,且a+b>0, 所以a>|b|.又n为偶数,所以(an-bn)·(an-1-bn-1)>0,且 (ab)n>0,
故 an bn an1 bn1
abn
0,
即
bn1 an
a n1 bn
1 a
【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0<
,再由0<b<a,
1＜1
所以 a c b d
b＜a . ac bd
【延伸探究】 1.(改变问法)本题条件不变,证明: 3 a 3 b .
dc
【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,
所以 0 1 1 , 又a>b>0, 所以 c d
2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 (1)倒数法则要求两数同号. (2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数 的正负而定. (3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.
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不等式的性质与绝对值不等式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点：掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法；教学难点： 理解绝对值不等式的解法1、基本不等式2b a ab +≤ (1)基本不等式成立的条件：_____________(2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号．2、几个重要的不等式).0(2);,(222>≥+∈≥+ab ba ab R b a ab b a ),(2)2();,()2(2222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3、算术平均数与几何平均数设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为________，几何平均数为______，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4、利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (简记：和定积最大)． 5、若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用6、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a7、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或0类型一： 基本不等式的性质例1. 已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( )A ．18B ．36C ．81D ．243练习1. 若,2,0,0=+>>b a b a 则下列不等式对一切满足条件的b a ,恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．① 1≤ab ②2≤+b a ③222≥+b a ④322≥+b a ⑤.211≥+ba 练习2. 已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是________．例2：求函数15()22y x =<<的最大值 练习3. 求下列函数的值域22132y x x =+ 练习4. 求下列函数的值域1y x x=+ 类型二：绝对值不等式的性质及其解法例3. 解不等式392+≤-x x练习5. 解不等式32<-x练习6. 解不等式532<+<-x例4. 解不等式123x x ->-。
练习7. 解不等式125x x -++<练习8. 解关于x 的不等式212+<-x x1. 已知,0,0>>y x y b a x ,,,成等差数列y d c x ,,,成等比数列，则cdb a 2)(+的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4 2. 若直线),0,0(02>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则b a 11+的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2D.32＋2 23. 若,0,0>>y x 且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是________4. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域 5. 解不等式22x x x x >++的值。
6.解不等式 x x 3232->-的值。
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．42. 已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2y xz 的( ) A ．最小值为8B ．最大值为8C ．最小值为18D ．最大值为183. 函数xx y 1+=的值域为 ____________________． 4. 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．5. 若,0,0>>y x 满足,53xy y x =+则y x 43+的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6 6. 已知,0,0>>b a ,1222=+b a 则21b a +的最大值为________．7. 下列不等式一定成立的是( )A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x x x ∈≠≥+π C ．)(212R x x x ∈≥+ D.)(1112R x x ∈>+ 8. 设,0,0>>b a 且不等式011≥+++b a k b a 恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4C ．－4D ．－2 9. 已知M 是ABC ∆内的一点，且AB ·AC ＝23，,300=∠BAC 若MCA MBC ∆∆,和MAB ∆的面积分别为,,,21y x 则y x 41+的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．16 D ．1910. 已知,1log log 22≥+b a 则b a 93+的最小值为________11. 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值 12. 若a x x >+++12恒成立，求实数a 的取值范围。
13. 数轴上有三个点A 、B 、C ，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M ，使它到A 、B 、C 三点的距离之和最小。
14. 解关于x 的不等式10832<-+x x15. 解关于x 的不等式2321>-x能力提升16.已知两条直线m y l =:1和),0(128:2>+=m m y l 1l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点C 、D ,记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为.,b a 当m 变化时，a b 的最小值为( ) A ．16 2 B ．8 2C ．348D ．34417.对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )A ．k<3 B.k<-3 C.k ≤3 D. k ≤-318.函数)1,0(1≠>=-a a a y x 的图象过定点,A 若点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上，求nm 11+的最小值； 19.若正数b a ,满足,3++=b a ab 求ab 的取值范围20. 解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈ 21. 解关于x 的不等式1312++<--x x x22. 设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈课程顾问签字： 教学主管签字：。