高考数学(人教a版,理科)题库：椭圆(含答案)

第4讲 椭 圆

一、选择题

1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x 281

＋y 272

＝1 B.x 281

＋y 2

9＝1 C.

x 281

＋

y 245

＝1 D.

x 281

＋

y 236

＝1

解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1

3×2a ，∴c ＝3，

∴b 2

＝a 2

－c 2

＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281

＋

y 272

＝1.

答案 A

2．椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )． A.14

B.55

C.1

2

D.5－2

解析 因为A ，B 为左、右顶点，F 1，F 2为左、右焦点，所以|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c .

又因为|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列， 所以(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2. 所以离心率e ＝c a ＝5

5，故选B. 答案 B

3．已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，1，则实数m 的取值范围是 ( )．

A.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，34

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫

43，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

43，＋∞

D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1，43

解析 椭圆标准方程为x 2＋y 21m

＝1.当m >1时，e 2

＝1－1m ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫14，1，解得m >43；

当0

＝1m －11m ＝1－m ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫14，1，解得0

是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 C

4．设F 1、F 2分别是椭圆x 2

4＋y 2

＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一

点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )．

A ．1 B.83 C ．2 2 D.26

3

解析 由题意知，点P 即为圆x 2

＋y 2

＝3与椭圆x 2

4

＋y 2＝1在第一象限的交点，

解方程组⎩⎨⎧

x 2＋y 2＝3，

x

2

4＋y 2

＝1，

得点P 的横坐标为

26

3

. 答案 D

5．椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB

是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A.3－12 B.5－1

2 C.

1＋54 D.3＋1

4

解析 根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12.

答案 B

6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3

2.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与

椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为

( )．

A.x 28＋y 2

2＝1

B.x 212＋y 2

6＝1 C.x 216＋y 2

4＝1

D.x 220＋y 2

5＝1

解析 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝3

4a 2＝a 2－b 2，所以b 2

＝14a 2，即a 2＝4b 2

.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋

x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫2

5b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2

＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.

答案 D 二、填空题

7．设F 1、F 2分别是椭圆

x 225

＋

y 216

＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的

中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．

解析 由题意知|OM |＝1

2|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝2×5－6＝4.

答案 4

8．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a 6＋y 2

a 5

＝1的离

心率为________．

解析 由题意，得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16>a 5，∴e ＝16－13

4

＝3

4. 答案 3

4