统计学第四章参数估计

思考：
点估计实际上只有一个取值，怎 样的估计会更科学？
引例1
盖洛普公司就消费者对美国产品质量的 看法，对美国、德国、日本的消费者分别进 行调查，结果表明：有55%的美国人相信美国 产品的质量非常好，而持同样看法的德国人 和日本人的比例分别是26%和17%，美联社在 报道这项调查结果时曾提到“抽样误差在正、 负三个百分点之间”，在报道中，“正、负 三个百分点”这句话有什么作用？
1.51
要求: (1)计算这一比值95%的置信区间; (2)得出上述结论时作了什么假设; (3)能否以95%的置信水平说明新酵
素的产出率提高了。
已知: x x 1.268, s 0.228 n
1 95%
1求 :
解 :由1 95%知Z 1.96
2
: x Z
2
S n
1.268
2
S n
N N
n 1
分析：
大样本情形下，当方差未知时，用 样本标准差代替总体标准差
例题5：
某药厂在生产过程中改换了一种新的 酵素，测定了36批的产出率与理论产出率
的比值： 1.28 1.31 1.48 1.10 0.99 1.25 1.22 1.65 1.40 0.95 1.25 1.32 1.23 1.43 1.24 1.73 1.35 1.31 0.92 1.10 1.05 1.39 1.16 1.19 1.41 0.98 0.82 1.22 0.91 1.26 1.32 1.71 1.29 1.17 1.74
理论基础：抽样分布
置信度的图示
均值的抽样分布:
x
x
-1.65 x
+1.65x
90%的样本
在电池寿命的例题中，若样本的平均使用寿命为198 ，标准差为30，以0.9的置信度建立总体均值的置信 区间会如何？
置信度的图示
均值的抽样分布:
x s n 30 25 6
-1.65 x
+1.65x
Ｚ/2=1.96
总体均值区间为：
x Z 2
n
,
x
Z
2
n
26 1.96
6 ,26 1.96 100
6 100
24.824,27.176
结论：我们可以95％的置信度保证平均每天参加 锻炼的时间在24.824 - 27.176 分钟之间
例题4：
某企业购进一批部件，这批部件的质 量取决于平均每件的缺陷数。根据以往的 经验，平均每件产品的缺陷数为1，标准差 为0.2，如果缺陷数超过1就应该拒收。现 随机抽取64件，其平均缺陷数为1.1，要求 以95%的置信系数构造缺陷数的置信界限， 并决定是否拒收。
x
90%的样本
根据抽样分布理论得：抽样分布为正态分布，x 198
按90%的置信度区间半径应为 1.65 x ,即198 1.65 6
每一个可能样本都可以建立一个90%置信度的半径相 同的区间
对置信度的理解
均值的抽样分布:
/2
1-
x源自文库
/2
x x
(1 - ) % 区间包含了， % 的区间未包含
置信度是表示多次抽样得到的区间中大概有多少
2
n
不重复抽样
:
x
Z
2
n
N N
n 1
例题3：
某 大 学 从 该 校 学 生 中 随 机 抽 取 100 人，调查到他们平均每天参加体育锻 炼的时间为26分钟。试以95％的置信 水平估计该大学全体学生平均每天参 加体育锻炼的时间（已知总体方差为 36）。
解：已知 x＝26, =6，n=100, 1- = 0.95，
总体平均数在250±3×0.8487克之间的可信度为
99.73%。 总结做区间估计的必要条件
影响区间宽度（半径）的因素
1. 总体数据的离散程度，用 来测度
2.
样本容量，影响
x
n
3. 置信水平 (1 -α)，影响 z 的大小
: (x z 2 x )
P z z 1 , z 与1 一一对应.
2
2
如: P z 1 0.6826
P z 2 0.9545
1
2
2
z 0
z
2
2
在标准正态分布下，z 与1一一对应.
2
而在抽样分布N (
,
2 x
)下，由于x与的距离
是对
称的
，若x
为
中心,
距
离为
：z
2
x
,
则
:
z 2
ax
x
a
x
z 2
x
z 2
bx
x
b
x
z 2
x
2 x
1
2
2
x a
x
z
2
x
b
x
z
2
求该产品直径的均值的置信区间。
已知 : x x 14.8 15.3 15.1 15
n
6
0.05
由1 0.95知Z Z 0.025 1.96
2
求:
解 : : x
Z
2
n
15
1.96
0.05 6
14.96,15.04
（二）大样本（总体分布未知） 1、方差已知
重复抽样 : x Z
3. 例如: 总体均值落在50~70之间，置信度为95%
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
区间估计就是根据样本估计量以 一定可靠程度推断总体参数所在的区 间范围。
P L U 1
L ,U 分别称为置信下限和
置信上限，通称为置信限。 为显 著性水平， 1 则称为置信度。
区间估计中几个常用的概念
均值的抽样分布:
x
- 3x
x
-1.65 x
+1.65x +3x
- 2x
+2x
90%的 x
95.45%的 x
99.73%的 x
例如：教材第16题
（3）若从该种电池中随机抽取25个电池 检验，该样本电池的平均寿命在200小时 左右多大的范围内概率不小于0.9？
（4）若已知该样本电池的平均寿命为 198小时，标准差为30小时，而总体平均 寿命未知，那么总体平均寿命在198左右 多大的范围内可信度不小于0.9呢？
置信度、显著性水平 置信区间、置信限
置信度
1、置信度（置信系数）：总体未知参数落在 所估计区间内的可信度(可靠度）
2 、置信度用1-α表示。置信度越大，估计区 间内所包含总体参数的可信度越高。(α称 为显著性水平：与总体参数存在显著差异 的比例)
3 、常用的置信度有 99%, 95%, 90% 95.45%， 99.73%（事先给定的）
区间包含总体参数，也可以理解为某个样本有多大 的概率是这些包含总体参数的区间中的一个
对置信区间的理解
置信区间是由样本统计量所构造的总体参 数的估计区间
用一个具体的样本所构造的区间是一个特 定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间 是否包含总体参数的真值
我们只能希望这个区间是大量包含总体参 数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几 个不包含参数真值的区间中的一个
置信区间与置信限
置信区间: 与一个“置信度”相联系的估
计值的取值范围。用 x 表示 x
置信限：与置信区间相联系的界限，包括 上限和下限。
思考: 置信区间与置信度的关系? 置信度与估计的精度的关系？
第二节 一个总体参数的估计
置信区间
均值
比例
大样本
小样本 大大样样本本
方差
【引例】
某食品进出口公司向东南亚出口一批花 生制品，管理人员从中抽取50包作为样本， 计算其平均数为250克。另外，合同规定总 体标准差为6克。 分析: “这个估计量的平均误差是多少？”
1.用于估计总体某一参数的随机变量 – 如样本均值，样本比例、样本中位数等 – 例如: 样本均值就是总体均值的一个估 计量
– 如果样本均值 x = 3 ，则 3 就是对
总体均值的估计值
2、理论基础是抽样分布
二、判断估计量优良性原则
无偏性：估计量的数学期望等于被估计 的总体参数
P( X )
无偏
有偏
A
x
1
68.26% 80% 90% 95% 95.45% 99% 99.73%
Z
2
1 1.28 1.645 1.96 2 2.58
3
总体均值的置信区间
(大样本的估计方法) 1. 假定条件
– 总体服从正态分布,且总体方差（２）已知
– 如果不是正态分布，但为大样本 (n ≥ 30)
2. 使用正态分布统计量Ｚ
引例2
销售经理想估计一下明年的出口总 值，甲估计是53万美元，乙估计是50— 56万美元之间，并可以确切地说“有 95%的把握”。哪一个更可信,为什么?
50—56万美元的范围是如何计算 的？“有95%的把握”是什么意思？
区间估计
1. 根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范 围
2. 并给出总体参数落在这一区间的可信度
Z x ~ N (0,1) n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间
即当已知样本均值： x
对于给定的置信度1 就有 : 总体均值的置信区间为:
: x Z
2
n
x Z
2
n
, x Z
2
n
其中抽样极限误差为： Z
2
n
n 5% N n 5% N
: x
Z
2
n
N N
C
X
有效性：一个方差较小的无偏估计量称 为一个更有效的估计量。如:与其他估计 量相比，样本均值是一个更有效的估计 量
P(X ) 均值的抽样分布
B
A
中位数的抽样分布
X
一致性：随着样本容量的增大，估 计量越来越接近被估计的总体参数
较大的样本容量
P(X )
B
A
较小的样本容量
X
三、参数估计的方法
估计方法
“总体平均数可能落入样本平均数 上、下多大范围内？”
“这个估计值的可靠程度是多少？”
解析过程:
(1)确定抽样分布
(2)抽样平均误差 x
n
(3)若用250克这个估计值估计总体平均数，其平
均误差 x 为0.8487。
(4)总体平均数在250±0.8487克之间的可信度为 68.26%。
总体平均数在250±2×0.8487克之间的可信度为 95.45%。
点估计
区间估计
估计方法——点估计
1、从总体中抽取一个样本，根据该样本的统计 量对总体的未知参数作出一个数值点的估计 例如: 用样本均值作为总体未知均值的估计 值就是一个点估计
2、点估计没有给出估计值接近总体未知参数程 度的信息,很难控制误差
3、点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、 最大似然法、最小二乘法等
但实际估计时，情况恰好相反。 x 是已知
的，而 是未知的，也正是我们想要估
计的。由于 x 与 的距离是对称的，
如果某个 x 落在 的1.65倍标准差的
范围之内，那么反过来， 也落在以 x
为中心、两侧1.65倍标准差的范围之内，这 意味着，有90%的样本均值所构造的1.65倍标
准差的区间会包括 。
第四章 参数估计
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
第一节：参数估计的一般问题 第二节：一个总体参数的区间估计 第三节：两个总体参数的区间估计 第四节：样本容量的选择
第一节 参数估计的一般问题
一、估计量与估计值
二、判断估计量的优良性原则
三、估计方法
一、估计量与估计值
已知: 0.2, n 64 30
x 1.1,1 95%
求 : 1
2
?
1
解 :由1 95%知z 1.96
2
: x
z
2
n
1.1 1.96
0.2 64
1.051,1.149
2 1.051,1.149 1
应该拒收
2、方差未知
重复抽样
: x
Z
2
S n
不重复抽样 : x Z
信区间。
已知: N 1000, n 100 30
1.96
0.228 36
1.194,1.342
（2）假设36批的样本是随机的。 （3）置信区间（1.194,1.342)>1,
说明新酵素的产出率提高了。
例题6:
某企业生产某种产品的工人有1000 人，某日采用非重复抽样 抽取100人调查 他们的当日产量，样本人均产量为35件， 产量的样本标准差为4.5件,试以95.45%的 置信度估计平均产量的抽样极限误差和置
n 1
: x
Z
2
n
Z
2
n
N n N 1
Z
2
n
（一）正态总体、方差已知 （大、小样本）
总体均值 在1- 置信水平下的
置
信区间为：
x Z 2
n
, x Z 2
n
例题1:
某种零件长度服从正态分布，从该 批产品中随机抽取９件，测得其平均长
度 为 21.4 mm 。 已 知 总 体 标 准 差
结论: 我们可以95％的置信度保证该种零件的 平均长度在21.302 - 21.498 mm之间
例题2：
某企业从长期实践得知，其产品直 径X是一随机变量，服从标准差为0.05的正 态分布。从某日产品中随机抽取6个，测得 其直径分别为14.8,15.3, 15.1, 15, 14.7, 15.1 (单位:厘米)。在0.95的置信度下,试
=0.15mm，试建立该种零件平均长度的置 信区间，给定置信水平为0.95。
解：已知Ｘ~N(，0.152)，x＝21.4, n=9, 1- = 0.95
Ｚ/2=1.96
总体均值的置信区间为：
x
Z
2
n
,
x
Z
2
n
21.4 1.96 0.15 ,21.4 1.96 0.15
9
9
21.302,21.498