专题基本不等式常见题型归纳(学生版)

都成立，则实数
m 的最大值是
．
【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：
将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数
f (x) ax2 bx c(a 0, x R) ,有
1）
f
(x)
0对
x
R 恒成立
a
0 2） 0
f
(x)
0对
x
R 恒成立
a
0 . 0
分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题
转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：
1） f (x) g(a)(a为参数）恒成立 g(a) f (x)max
2） f (x) g(a)(a为参数）恒成立 g(a) f (x)max
。
a b2
5.设实数 x、y 满足 x 2 ＋2xy－1＝0，则 x＋y 的取值范围是_________
6.已知 x, y, z R ，且 x y z 1， x 2 y 2 z 2 3 ，求 xyz 的最大值为______
【题型四】换元法
【典例 6】已知函数 f(x)＝ax2＋x－b(a，b 均为正数)，不等式 f(x)＞0 的解集记为 P，集合 Q
4
1a 1b
最小值为
．
练习 1．设实数 x，y 满足 x2＋2xy－1＝0，则 x2＋y2 的最小值是
．
2．已知正实数 x，y 满足
，则 x + y 的最小值为
．
3．已知正实数 x, y 满足 (x 1)( y 1) 16 ，则 x y 的最小值为
．
4.若 a 0,b 2 ，且 a b 3，则使得 4 1 取得最小值的实数 a =
4.已知正数 a ， b 满足 1 9 ab 5 ，则 ab 的最小值为 ab
【题型二】含条件的最值求法
【典例 4】已知正数 x, y 满足 x y 1，则 4 1 的最小值为 x 2 y 1
练习 1．已知正数 x, y 满足 1 1 1 ，则 4x 9 y 的最小值为
.
xy
x 1 y 1
3.已知 a 0,b 0, c 2 ，且 a b 2 ，则 ac c c 5 的最小值为
.
b ab 2 c 2
【典例 2】已知 x，y 为正实数，则4x4＋x y＋x＋y y的最大值为
．
【典例 3】若正数 a 、 b 满足 ab a b 3,则 a b 的最小值为__________.
上述三个不等关系揭示了 a2＋b2 ，ab ，a＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2 ab(或 ab≤(a＋2 b)2)，当且仅当 a＝b 时 取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系
【典例
1】ຫໍສະໝຸດ Baidu知
2a+3b 的最小值为________． 5.常数 a，b 和正变量 x，y 满足 ab＝ 16，ax＋2yb＝12.若 x＋2y 的最小值为 64，则 ab＝________.
6.已知正实数 a, b 满足
2a
1
bb
2b
2
aa
1 ，则 ab
的最大值为
．
【题型三】代入消元法
【典例 5】（苏州市 2016 届高三调研测试·14）已知 ab 1 ， a,b (0,1) ，则 1 2 的
＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数 t，P∩Q≠，则a1－1b的最大值是
．
2．已知正数 a，b，c 满足 b+c≥a，则 + 的最小值为
．
练习
1．若实数
x，y
满足
2x2＋xy－y2＝1，则
5x2
x 2y 2xy
2y2
的最大值为
．
2．设 x, y 是正实数,且 x y 1,则 x2 y2 的最小值是____. x 2 y 1
专题：基本不等式
基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．
三个不等式关系：
（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取等号．
（2）a，b∈R＋，a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时取等号． （3）a，b∈R，a2＋2 b2≤(a＋2 b)2，当且仅当 a＝b 时取等号．
3..若实数 x，y 满足 2x2＋xy－y2＝1，则5x2－x－2x2y＋y 2y2的最大值为
．
2 4
4．若实数 满足
，当
取得最大值时， 的值为
.
【题型五】判别式法
【典例 7】已知正实数 x，y 满足 x 2 3y 4 10 ，则 xy 的取值范围为
．
x
y
练习 1.若正实数 满足
，则
的最大值为
a＞b＞1 且
2
log
a
b
3 log
b
a
7
，则
a
1 b2 1
的最小值为
.
练习：1．若实数
x, y 满 足 x y 0 ， 且 log2 x log2
y 1 ，则
x2 y2 x y
的最小值
为
．
2.若实数 x, y 满足 xy 3x 3(0 x 1) ，则 3 1 的最小值为
．
2
x y3
确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则
可简化解题过程。
2．设二次函数 f x ax2 bx c （ a,b, c 为常数）的导函数为 f ' x．对任意 x R ，
．
2.设 x, y R ， 3x 2 y 2 xy 1，则 2x y 的最大值为________
变式 1．在平面直角坐标系 xOy 中，设点 A(1，0) ， B(0，1) ，C(a，b) ， D(c，d) ，若不等式
2
CD
≥ (m
2)OC
OD
m(OC
OB)
(OD
OA)
对任意实数
a ，b ，c ，d
变式：1.若 a, b R ,且满足 a2 b2 a b ,则 a b 的最大值为_________.
2.设 x 0, y 0 ， x 2y 2xy 8 ，则 x 2y 的最小值为_______
3.设 x, y R ， 4x2 y 2 xy 1，则 2x y 的最大值为_________
2.已知正数 x, y 满足 x 2y 2 ，则 x 8y 的最小值为
．
xy
3．已知函数 y ax b(b 0) 的图像经过点 P(1,3) ，如下图所示，
则 4 1 的最小值为
.
a 1 b
4．己知 a，b 为正数，且直线 ax by 6 0 与直线 2x (b 3) y 5 0 互相平行，则