信号处理中的一些非线性问题

（ 5-2-2）
其中 xk为 k 时刻的状态向量（n维），wk为 k 时刻的系统噪声（p维）， k为 n p干扰 矩阵， yk 为观测向量（m维）， vk 为观测
噪声。如§4-7中那样，假定 wk和 vk 都是零
均值的白噪声。
这里非线性是指状态向量而言的。
现在假定 x* 是差分方程 k
xk 1
信号为傅里叶频谱存在的信号序列。记这 种序列的全体为 X 。其中的广义加法为卷 积，关于数乘，当 为自然数时， x x* * x 即连续 次卷积，当 不是自然数时， x F 1[x (e jw)] 。于是卷积同态系统的特征 系统 D*由F ，ln ，F 1串联而成，它是广义线性
，其中的运算定义为普通的函数相乘，
则映射
x x(e jw )
是同态映射，因为根据卷积定理有
(x1 * x2 ) (x1)(x2 )
从而 {X ,,Y}是个同态系统。
（5-1-9）
显然，对于卷积定理成立的变换（离 散和连续的傅里叶变换、z变换等）都可以 导致类似的同态系统。
对于如模型（5-1-3）所示的卷积型信 号，易知可通过傅里叶变换或z变换环节， 这样做就把卷积化成乘积。相应的滤 波系统如图5-1-2所示，它称为卷积同态 滤波系统，其中，线性环节 L之前有三个 环节：F ，ln ，F 1。F 表示傅里叶变换。输入
取 x0 0，则利用迭代格式 xn1 f (xn ) 可得到
依次为0.58,0.64,0.68,0.71,0.73,0.74,0.75, 0.75,…，因此x 0.75是原方程(5-3-3)的一 个近似解。
由此产生一个很自然的问题：什么情
形下迭代格式 xn1 F(xn )是收敛的，而且收 敛于方程 x F(x) 的解？我们在更为广泛的
组成，它反映图像亮度的动态范围。反射
成分 xr主要由图像 g 的高频成分组成，它
反映画面上物象边缘的突变部分。若将此
g(m, n) 输入到图5-1-1所示的乘积同态系统， 则相应的输出为
y(m,
n)

x i
(m,
n)
xr
(m,
n)
（5-1-6）
当参数 ， 取得满足 1， 1 时，该乘
（当然 D*1也是）映射。卷积同态系统常用 于语音处理，消除回波干扰等。
x(n)
x
xˆ
xˆ(n)
yˆ (n)
yˆ
y
y(n)
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ln
Ｆ１
L
F
exp
Ｆ１
*




*
图5-1-2 卷积同态滤波系统
在实际中，卷积同态系统的线性环节 常取做如下形式：
L{xˆ(n)} {(n)xˆ(n)}
其中{ (n)}为序列。显然这是普通的线性映 射，根据的取值情况，又可将分为以下几 类：
舍去高次项，代（5-2-1）和（ 5-2-2），
再令 ， 并将 以 xk
xk
x* k
yk

yk

hk
(x* k
)
k (xk )
k
代替（ k
(x* k
)
k (xk ) 本身是误差项，所以
这样是合理的），便得到
xk1 Fk xk k wk
（ 5-2-7）
yk Hk xk vk
(n)


m n
,n

Nk
m,
m

n, k

0, 1, 2,
1, 其他
5-2 台劳展开的应用
推广的卡尔曼滤波
这一小节研究非线性卡尔曼滤波。设 非线性系统的动态方程和观测方程为
xk1 f（k xk）+k (xk )wk
（5-2-1）
yk h（k xk） vk
时，都需要有一个展开的基准。例如式
（6-2-9）中的 xk / 0 ，式（6-2-13）中的 式（5-2-5）和（5-2-6）中的 x* 。
xi k
/i
k
对 于于x*k ，xik/i可，以我取们为已关经于指x出k 的用某迭种代先法验来估求计。，对 或者关于 xk 的预测 xˆ k/k1，或者关于差分方程
系数
压缩映像原理：设算子 F 映巴拿赫空 间 X 中的闭集 Q 为自己，且 F 为 Q 上的压 缩算子，压缩系数为 q ，则 F 在 Q 内存在
唯一的不动点 x*，若 x0 为 Q 中的任意一点，
则迭代格式
收敛于 xn1 F(xn ) ，并x* 有误差估
计
xn x*
qn 1 q
F (x0 ) x0
设 X 和 Y 为两个非空集合。如果对于
X 中的每一个元素 x 均有一个确定的规则
使得 Y 中有一个元素 y 与之对应，则称这
种对应关系定义了一个从 X 到 Y 的一个映
射。若记此映射为 ，则 x 和 y 对应关系
记为 y x ，如果对于 Y 中的任意元素 y，
在 X 中至少有一个元素 x与之对应：x y
在信号处理中，也存在着大量的非线性问 题。我们在这一章里只是有选择的介绍几 种经典的方法。
5-1 同态滤波
通常，一个信号由不同的成分构成，
而且构成的方式也不尽相同。例如它可以
是真实信号 s 和噪声v 相加而成
x s v
（5-1-1）
或者更广一些，如§3-3-3中所讨论的线性
模型：
x Hs v
参数。光学原理告诉我们，一幅图像（离 散的）其亮度函数 g(m, n) 可表示为
g(m, n) xi (m, n)xr (m, n)
（5-1-5）
其中 xi (m, n) 称为照明成分，xr (m, n) 称为反
射成分，它们都是取正值的函数。实验表 明，照明成分 xi主要由图像 g 的低频成分
（5-1-2）
也可以是如例3-5-1（回声干扰）所示的卷 积形式：
x s*v
还可以是乘积形式：
（5-1-3）
x sv
（5-1-4）
如此等等。对于线性模型（5-1-1）和（51-2），可用通常的线性估计的方法来进 行滤波。对于模型（5-1-3）和（5-1-4） ，由于是非线性的，故需用特殊的方法来
消除噪声。例如第三章中的最小二乘滤波 和第四章的维纳滤波都可用来恢复式（5-
1-3）中的 s 。
本节介绍的同态滤波方法，对于模型（51-3）和（5-1-4）都是适用的，而且对于 不同的成分可以起到分别处理的作用。在 做精确描述之前，我们先简述同态滤波的 思想方法。
以乘积模型（5-1-4）为例，考虑到 对数能将乘积转换成相加，从而成为线性 模型，于是可按照图5-1-1所示的过程进 行滤波，其中 和 为根据需要而选取的
，则称映射 是满射。
现有集合 X 和 Y 分别定义有运算 和
。如果从 X 到 Y 的映射都是满射，而且
对于任意的 x1, x2 X 均有等式
(x1 x2 ) (x1) (x2 )
（5-1-7）
则称是 X从 Y到的同态映射。
在信号与系统的分析中，通常涉及的
是系统的输入信号的集合X 和输出信号
x F(x)
（ 5-3-1）
的解，而且它可以按迭代格式
xn1 F (xn )
（ 5-3-2）
来进行计算，只要此迭代格式收敛。当然
并不是所有形为式（5-3-2）的迭代格式都 可用来解方程的。例如对于代数方程
x5 x 1 0
（ 5-3-3）
可化成 x 1 x5 f (x),则求解方程（5-3-3）

f（k x
）
k
（ 5-2-3）
的解，即
x* k1
f（k x*k）
将f
k
和
h
k按
x* k
作台劳展开
f（k xk）
f（k x*k）+f（k' x*k）(xk
x* k
)

（ 5-2-4） （ 5-2-5）
h（k xk）
h（k x*k）+h（'k x*k）(xk
x* k
)

（ 5-2-6）
1.低通

(n)

1, 0,
n n

N N
2.高通

(n)

0, 1,
n n

N N
3.带通
4.点阻

(n)

1, 0,
M n 其他

N
(n) 01,,其n 他Nk , k 0, 1, 2,
5.梳状
0, n Nk , k 0, 1, 2, 3, 4, 5,
对 X中任意两个元素 x1和 x2所构成有序对
(x1, x2 )都有X中的元素 x3与之对应，便称在 X 中定义了一种运算。若该运算定义为普
通的加法，则 (2,3) 5 ；(3, 4.5) 7.5 。若该 运算定义为普通的乘法，则 (2,3) 6 ， (3, 4.5) 13.5。如果记该运算为 ，则可以 写成 x1 x2 x3。例如对于普通加法，2 3 5 ，3 4.5 7.5；对于普通乘法，2 3 6 ， 3 4.5 13.5 。在抽象代数中，如果在一个 集合中定义一种（或几种）运算，且这些 运算满足一定的运算规律，则常称此集合 为一个代数，例如线性空间、群、环、域 布尔代数等都是代数。
情形下即巴拿赫空间进行讨论。设 X 是巴
拿赫空间， F 是映 X 为 X 的算子。设 Q 是
算子 F 的定义域中的一个子集。如果存在
常数 q (0,1) ，使得对任意的 均有 x', x'' Q
F(x' ) F(x'' ) q x' x''
（ 5-3-5）
则称 F 是集合 Q上的压缩算子，称 q为压缩
就是求 f 的不动点。为此，设 x0 0 ，利用
迭代格式 xn1 f (xn ) ，得到 x1 1，x2 0 ，x3 1
，x4 0 ，…，毫无结果。这表明此迭代格式
是无效的，然而若把方程(5-3-3)改写成
x 5 x 1 x5 g(x) 6 66
（ 5-3-4）
（ 5-3-6）
例 5-3-1 仍然考察前面求解方程
x5 x 1 0 的例子。由于 h(x) x5 x 1在区 间 [0,1] 上严格单调且 h(0) 1h(1) 1 ，故h(x)在
[0,1]内有根且仅有一根。若设 f (x) 1 x，5
则由中值定理 可以看出 f (x') f (x'') 5 4 x' x''
第五章 信号处理中的一些非线性问题
绪论
本章介绍非线性问题的以下几种求解 方法：1.线性化（例如台劳展开并略去高 阶项，同态变换）；2.迭代法计算；3.用简 单表示复杂，即逼近（例如台劳展开，伏 特拉展开，人工神经网络等）。
非线性现象在自然界到处存在，比线 性现象多得多，也复杂的多。可以说， “线性”仅仅是一种，而“非线性”则是 无穷多种的统称。难于用统一的方法来研 究。
积同态系统的滤波效果是：
既使照明成分压缩，又使反射成分增强。 由此可见，此种滤波方法可以同时对照明 成分和反射成分分别进行不同的处理。
x sv
ln x ln s ln v
y ln s ln v
y sv
ln
L
exp
图5-1-1 乘积同态系统
一我些们代把数线概性念 环节 L之前的环节称为该系统 一的的的D*1些范特环 e为简畴征节[] 。了单。系称确的设统为切代 ， 逆X 为的数 常 特一叙概 记 征给述念 为 系定同， 统D*。的态它 ，这非滤记们里空波为属D集，于D**1。合抽需ln，这，象要之里如代引后数进果
（ 5-2-8）
其中，Fk

， f（' x*）
k
k
Hk

h（' x*）于是就化成了线性形
k
k
式的动态方程和观测方程，与式（4-7-1）
和（4-7-2）相比只是x k和 yk都换成了 xk和 yk
而已。于是可以利用卡尔曼滤波方程（4-
7-25）对 x（k 从而对 xk）进行最佳估计。
我们看到在用台劳展开进行线性化的
（5-2-4）的迭代值，等等。 当然最好取成函数方程
x f（k x）
的解，如果其存在且可求。
（ 5-2-9）
5-3 非线性迭代
本节介绍求解非线性方程时常用的迭 代格式-不动点迭代法及其有关的一些问题。 不动点理论是泛函分析的重要内容之一。 它在计算技术中有着广泛的应用。设有函 数 F(x)，如果 x*满足 F(x*) x* ，则称 x* 是函数 F的不动点。因此求F的不动点，实际上就 是求方程
的集合Y 。如果这时是从 X到Y 的同态映 射，则称为同态系统，并记为 {X ,,Y}。
例 5-1-1 设 x {x(n)}是双边无穷序列，
其傅里叶频谱

x(e jw ) x(n)e jnw
（5-1-8）
n
存在。这样的序列全体为 X 。X 中的运算
定义为序列卷积。定义集合Y {x(e jw), x X}