(整理)闭区间上连续函数的性质

§4.2 闭区间上连续函数的性质
一、性质的证明
定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .
证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数
)(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从
而得到M >0.
证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义，
∈∀a [a,b]，取0ε=1，0δ∃>0,∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1
即∈∀a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。

显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间
{（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且
∈∀x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n
取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈∀x [a,b]，∈∃i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）⋂[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M
定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间
能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =
[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤
证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。

设：sup ()[]{}|,f x x a b M ∈=
用反证法：假使[],x a b ∀∈有()f x <M,显然，()0M f x -> ([],x a b ∀∈)，且()M f x -在[],a b 连续，于是函数()
1
M f x -在[],a b 连续，根据定理3，
函数
()
1
M f x -在[],a b 有界，即：0c ∃>，[],x a b ∀∈⇒
()1c M f x <-，或，()1
f x M c
<-
由上确界的定义知：M 不是数集()[]{}|,f x x a b ∈的上确界，矛盾，于是
[]2,x a b ∃∈，使()2f x M =。

定理3.(零点定理) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，且)()(b f a f <0(即)(a f 与)(b f 异号)，则在开区间（a,b ）内至少存在一点c ,使)(c f =0
证明：不妨设)(a f <0，)(b f >0.用反证法，假设∈∀x [a,b]，有)(x f ≠0，将闭区间],[b a 二等分，分点为
2b a +.已知)2(b a f +≠0，如果)2
(b
a f +>0,则函数)(x f 在闭区间]2,
[b a a +的两个端点的函数值的符号相反；如果)2(b
a f +<0,则函数)(x f 在闭区间[
2
b
a +,b] 的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间]2,
[b a a +与[2
b
a +,b]必有一个使函数)(x f 在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[11,
b a ]，有)()(11b f a f <0，
再将[11,b a ]二等分，必有一个闭区间，函数)(x f 在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[22,b a ]，有)()(22b f a f <0，用二分法无限进行下去，得
到闭区间{[n n b a ,]}（b b a a ==00,），且
1）[a,b]⊃ [11,b a ]⊃…⊃[n n b a ,]⊃……; 2))(lim n n n a b -∞
→= n
n a
b 2lim
-∞→=0
对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理（4.1定理1），存在唯一数c 属于所有的闭区间，且n n a ∞
→lim =n n b ∞
→lim =c （1）
而c ∈[a,b]，且)(c f ≠0，设)(c f >0.一方面，已知函数)(x f 在c 连续，根据连续函数的保号性，δ∃>0,x ∀:|c x -|<δ,即x ∀),(δδ+-∈c c ，有)(x f >0;另一方面，由（1）式，
当n 充分大时，有[n n b a ,]⊂),(δδ+-c c ，已知)()(n n b f a f <0，即函数)(x f 在),(δδ+-c c 中某点的函数值小于0，矛盾.于是，)(c f ≯0.同法可证)(c f ≮0.所以闭区间[n n b a ,]内至少存在一点c ,使)(c f =0.
二、 一致连续性 已知：()f x =
1
x
在()0,1连续，即：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,(限定00||||2x x x -<⇒0||
||2
x x > 011
|
|x x -=00||||||x x x x -≤02
02||||
x x x -<ε 0||x x -<20||*2x ε，取200||||min *,22x x δε⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
于是：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,∃0
x δ=2
0||*2
x ε。

∀x ：||x x δ- <0x δ⇒()()||f x f x δ-<ε
由此看出，对同一ε，()0,1的不同的点0x ，使上式成立的δ的大小不同，换句
话说，δ的大小不仅与给定的ε有关，同时也与点0x 在()0,1中的位置有关。

区间()0,1有无限多个0x ，相应地存在无限多个0x δ>0，那么这无限多个0x δ中是否存在一个公用的δ>0，（即最小的δ>0），使∀0x ∈()0,1，∀x ：0||x x -
<δ⇒()()0||f x f x -<ε呢？事实上，在区间上的连续函数中，有的存在公用
的δ，有的不存在公用的δ。

（存在的，就是一致连续）
定义：设函数()f x 定义在区间上，若∀ε>0,∃δ>0，∀1x ，2x ∈I ：
12||x x -<δ⇒()()12||f x f x -<ε，则称函数()f x 在区间I 上一致连续（均匀
连续）
比较与连续概念的异同。

()f x 在I 连续，∀1x ∈I ∀ε>0,∃δ>0。

∀2x ：
12||x x -<δ⇒()()2||f x f x -<ε。

（一致连续的1x ，2x 是任意的，δ与x 无关；连续中的1x 是固定的，δ与1x 有关 一致连续是整体性质，是关于区间来谈的。

连续是局部性质，是针对区间中的一点来谈的。

）
从定义可知： “一致连续⇒连续”，但不能说“连续⇒一致连续”。

非一致连续（()f x 在I ）定义：∃0ε>0，∀δ>0，∃1x ，2x ∈I ：
12||x x -<δ⇒()()12||f x f x -≥0ε
例1、2
定理4（一致连续性）：若()f x 在[],a b 连续，则()f x 在[],a b 一致连续。

证法：应用反证法与致密性定理
证明：假设函数)(x f 在[a,b]非一致连续，即
00>∃ε，0>∀δ，'x ∃，"x ∈[a,b]：|-'x "x |<δ,有
|)('x f )("x f -|≥0ε.
取δ=1，'x ∃，"x ∈[a,b]：|-'x "x |<1，有
|)('x f )("x f -|≥0ε.
取δ=21，'x ∃，"x ∈[a,b]：|-'x "x |<2
1
，有
|)('x f )("x f -|≥0ε.
…
取δ=n 1，'x ∃，"x ∈[a,b]：|-'x "x |<n
1
，有
|)('x f )("x f -|≥0ε.
…
这样的闭区间[a,b]构造两个有界数列{'n x }与{"
n x }
根据致密定理（4.1定理5）数列{'n x }存在收敛的子数列{
'
k
n x }，设
∞
→k lim
'k
n x =∈ξ[a,b] 因为|'
k
n x "
k
n x -|<k
n 1
,所以，也有∞→k lim
"
k
n x =ξ. 一方面，已知函数)(x f 在ξ连续，有∞
→k lim |
)('k
n x f )("
k n x f -|=|)()(ξξf f -|=0 即当k 充分大时，有|
)('k
n x f )("
k n x f -|<0ε 另一方面，+∈∀N k ,有|
)('k
n x f )("k n x f -|≥0ε 矛盾，即函数)(x f 在闭区间[a,b]一致连续.
定理指出：函数在闭区间[],a b 上连续与一致连续等价。

证明：函数()f x 在(),a b 内连续，函数在(),a b 内一致连续的必要充分条件
是()0f a +与()0f b +都存在。

3（3）.证明：函数()f x
=在[0,)+∞一致连续 证明：将[0,)+∞分为[]0,1 [1,)+∞
∀ε>0，∀1x ，2x ∈[1,)+∞，()()12||f x f x -
=||
=
≤
12||
2
x x -<ε， 12||x x -<2ε 取1δ=2ε
于是∀ε>0，∃1δ=2ε，∀ 1x ，2x ∈[1,)+∞：12||x x -<δ
⇒||<ε
在[1,)+∞
一致连续。

又在[0,)+∞连续，∴
在[]0,2连续，
[]0,2一致连续。

即：
∀ε>0，∃2δ>0，∀1x ，2x ∈[]0,2，12||x x -<δ
⇒|<ε
取δ={}12min ,,1δδ，那么∀1x ，2x ∈[0,)+∞，且12||x x -<δ时，有1x ，
2x ∈[]0,2或1x ，2x ∈[1,)+∞
于是∀ε>0，∃δ={}12min ,,1δδ，∀ 1x ，2x ∈[0,)+∞，
12||x x -<δ
⇒||<ε
[0,)+∞一致连续。

8.证明：若函数()f x 在[,)a +∞连续，且lim x →+∞
()f x b =，则函数()f x 在[,)
a +∞一致连续。

证明：已知lim x →+∞
()f x b =
即：∀ε>0，∃0A >，1x ，2x >A 。

⇒()1||2
f x b ε
-<
，()2||2
f x b ε
-<
⇒()()12||f x f x -≤()1||f x b - + ()2||f x b -<ε
又()f x 在[,)a +∞连续，∴()f x 在[],1a A +连续。

因此()f x 在[],1a A +一
致连续
即：：∀ε>0，∃10δ> ∀ 1x ，2x ∈[],1a A +，12||x x -<1δ
⇒()()12||f x f x -<ε，取δ={}1min ,1δ
于是：∀ε>0，∃δ={}1min ,1δ，∀1x ，2x ∈[,)a +∞
12||x x -<δ⇒()()12||f x f x -<ε
即()f x 在[,)a +∞一致连续。

例：用一致连续定义证明：若函数()f x 在[],a c 与[],c b 都一致连续，则函数
()f x 在[,)a +∞一致连续。

证明：已知()f x 在[],a c 一致连续，()f x 在[],c b 一致连续 即：∀ε>0，∃1δ>0，∀1x ，2x ∈[],a c ：12||x x -<1δ
⇒()()12||f x f x -<ε
∀ε>0，∃2δ>0，∀1x ，2x ∈[],c b ：12||x x -<2δ
⇒()()12||f x f x -<ε
取δ={}12min ,δδ ，∀1x ，2x ∈[],a b ，
12||x x -<δ，当1x ，2x ∈[],a c 或[],c b 时，已有()()12||f x f x -<ε，
若1x ∈[],a c ，2x ∈[],c b ，则
()()12||f x f x -≤()()()()12||||f x f c f x f c -+-<2ε
即：∀ε>0，∃δ={}12min ,δδ ，∀1x ，2x ∈[],a b ：
12||x x -<δ⇒()()12||f x f x -<ε
()f x 在[],a b 上一致收敛。

10. 证：
()f x 在[],a b 上连续，
∴()f x 在[],a b 上一致连续。

∀ε>0，∃δ>0，∀1x ，2x ∈[],a b ：12||x x -<δ⇒ ()()12||f x f x -<ε。

取定自然数n ，使b a
n δ
->
，即
b a
n
δ-< 现将[],a b 等分成n 个小区间：[]01,x x ，[]12,x x ，…[]1,n n x x -…
故对'i x ∀，"i x ∈[]1,i i x x - ()12i n =，，…， ，有 '"||i i x x -<δ，从而有
()()'"||i i f x f x ε-< 证毕。