圆锥曲线的面积问题(pdf版)

圆锥曲线的“面积问题”

一、 总结——椭圆中的三角形面积为例

1、面积公式12121122

S

d x x S d y y =-=- , 题型：已知椭圆方程C ，直线l 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若存在点M ，求MAB S .

满足条件：

①直线AB 与x 轴（或y 轴）有交点00(,)N x y ；

②点M 与点00(,)N x y 在同一坐标轴上，且d MN =为定长； 方法提炼：

①一设；二联立；三判断；四韦达

注：（1）由于直线l 过定点00(,)N x y ，可设直线为点斜式()()00y y k x x -=-；（2）考虑斜率不存在的情况。

②MAB AMN BMN S S S =+ ，其中，可令AMN 与BMN 底边同为定长d MN =； ③121

2

MAB S d x x =- （MN 在y 轴上）；121

2

MAB S d y y =

- （MN 在x 轴上）.

2

、点到直线的距离公式d =

题型：已知椭圆方程C ，直线l 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若存在点M ，求MAB S .

满足条件：

已知定点00(,)M x y ；

方法提炼：

①一设；二联立；三判断；四韦达

注：（1）若直线l 不过定点，可设直线为斜截式y kx m =+；（2）考虑斜率不存在的情况。

②点00(,)M x y 到直线AB

的距离为d =

③弦长公式

AB =③1

2

MAB

S d AB = .

3、面积公式1

sin 2

S ab θ=

的运用 题型：已知椭圆方程C ，直线l 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若存在点M ，求MAB S .

满足条件：

已知定点00(,)M x y ； 方法提炼：

①一设；二联立；三判断；四韦达

注：（1）若直线l 不过定点，可设直线为斜截式y kx m =+；（2）考虑斜率不存在的情况。

②

1sin ,2

MAB

S MA MB MA MB =⋅⋅

.

二、 典型例题

【例1】 已知椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）1，短轴长（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A ，B 两点，若三角形OAB 的面积为4

，求直线AB 的方程．

【例2】 已知椭圆22221(0)y x a b a b

+=>>的离心率为2，且椭圆上的点到两个焦点距离

为斜率为(0)k k ≠的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,)M m ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；

（Ⅲ）试用m 表示MPQ 的面积，并求面积的最大值．

【例3】已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，长轴长为，直线

:l y kx m =+交椭圆于不同的两个点A ，B .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若1m =，且0OA OB ⋅=

，求k 的值（点O 为原点坐标）.

（Ⅲ）若坐标原点O 到直线l ，求AOB 面积的最大值.

【例4】在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等13

-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点M ,N ，问：是否存在点P 使得PAB 与

PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.

【例5】 已知动直线与椭圆22

:132x y C +=交于()11,P x y ，()22,Q x y 两不同点，且

OPQ

的面积2

OPQ S =

，其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值；

（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；

（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D ，E ，G

，使得2

ODE ODG OEG S S S === ？若存在，判断DEG 的形状；若不存在，请说明理由.

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