小学奥数教师版-5-4-4 完全平方数及应用(一)

5-4-4.完全平方数及应用（一）

教学目标1.学习完全平方数的性质；2.整理完全平方数的一些推论及推论过程3.掌握完全平方数的综合运用。

知识点拨

一、完全平方数常用性质

1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因

数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则

2|n p N ．

性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个

位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是

完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-例题精讲

模块一、完全平方数计算及判断

【解析】【例1】已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?

【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】解答

我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝211；

12321＝2111；1234321＝21111……，于是，我们归纳为1234…n …4321=2(1111) n个1

，所以，1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积

为7777777的平方．

【答案】7777777

【例2】1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是的平方．

【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】填空

【关键词】祖冲之杯

【解析】212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，

原式22(11111117)7777777=⨯=．

【答案】7777777

【例3】已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是

。

【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，第9题【解析】（法1）先将12！分解质因数：105212!235711=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n 得到一个完全平方数，那么

这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235⨯⨯，所以n 最小为

104212!2353711÷⨯⨯=⨯⨯231=。

（法2）12!除以n 得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n 的最小值是3711231⨯⨯=。

【答案】231

【解析】【例4】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．

【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答

平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以

所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数

是1444．

【答案】1444

【例5】A 是由2002个“4”组成的多位数，即20024

4444 个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；【解析】如果不是，请说明理由．

【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答

略

【答案】2200242002444421111A ==⨯ 个个1．如果A 是某个自然数的平方，则20021111 个1

也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，

而200220011111111110-= 个1个1

不是4的倍数，矛盾，所以A 不是某个自然数的平方．【巩固】A 是由2008个“4”组成的多位数，即444 2008个4

，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如【解析】果不是，请说明理由．

【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答

略

【答案】不是． 24442111A ==⨯ 2008个12008个4假设A 是某个自然数的平方，则 111 2008个1

也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而