高等数学 习题册解答_10.重积分(青岛理工大学).

⎰→→ϕϕθππ
π
§4重积分的应用
1、(1、由面积22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（）
A 2(41+π B 2(21+π 2(4
3
+π D 2+π
(2、位于两圆θρsin 2=与θρsin 4=之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是(
A (0,35 B (0,36 C (0,3
lim
2
0π
解：利用积分中值定理及连续性有0, 0( , (lim , (1lim
8
2
0f f dxdy y x f a a D a ==→→⎰⎰ηξπ
§ 2二重积分的计算法
1、设⎰⎰
+=D
dxdy y x
I 1，其中D是由抛物线12+=x y与直线y=2x，x=0所围成的区域，则I=（）
A：2
12ln 3ln 87+-- B：21
2ln 3ln 89-+
C：2
12ln 3ln 89-- D：41
2ln 3ln 89--
2、设D是由不等式1≤+y x所确定的有界区域，则二重积分⎰⎰+D
dxdy y x (为
（）
A：0 B：31 C：3
2
D：1
3、设D是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分⎰⎰D
xy dxdy ye为（）
1
10
xdz dy dx
2、设Ω是由曲面x 2
+y2
=2z
,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分⎰⎰⎰Ω
dxdydz z y x f , , (表示为累次积分，I=（）
A ⎰⎰⎰1
20
20
2
ρπθρθρρθzdz , sin , cos f(d d B ⎰⎰⎰2
20
20
2
ρπρθρθρρθdz z , sin , cos f(d d
Ada 2rdra 4 0 0 2a Bdr 2rdr0 0 2a 1 4a ; 2 2a 2a 2 Cdr 2 dra 3 Dda 2adr2a 4 . 0 0 0 0 3 4、设是由三个坐标面与平面x2 yz =1所围成的空间区域,则xdxdydz=(.1 1 1 C D. 24 48 24 z 2 x2 y2是锥面222 (a0, b0, c0与平面x0, y0, zc所围成的5、设c a b xy空间区域在第一卦限的部分,则. dxdydz=( z1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ab b bc a c ab . A ab c B C D 36 36 36 36 6、计算Izdv ,为z 2x 2y 2 , z1围成的立体,则正确的为(和（）A 1 48 BA C Idrdrzdz Iddzrdr 0 0 r 21 1 B D 0 20 1 0 1 Idrdrzdz 0 21 1 Idzdzrdr . 0 0 0 1 0 2r z 7、曲面zx 2y 2包含在圆柱x 2y 22 x内部的那部分面积s( A 3B 2C 5D 2 2. 8、由直线xy2, x2, y2所围成的质量分布均匀(设面密度为的平面薄板,关于x轴的转动惯量I x =( . A 3B 5C 4D 6二、计算下列二重积分:（20分）1、( x 2y 2 d,其中D是闭区域: 0ysin x,0x. D (240 9 2、arctan d,其中D是由直线y0及圆周x 2y 24, x 2y 21 , yx所围D y x成的在第一象限内的闭区域. ( 3 264 3、( y 23x6 y9d,其中D是闭区域: x 2y 2R 2 D (4 R 49R 2 4、x 2y 22 d,其中D : x 2y 23 . D ( 5. 2三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:（15分）
12
2
1x
x
dx y dx x
11、设D={(x,y|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求⎰⎰+D
y x dxdy e的值
解：⎰⎰+D
y
x dxdy e
=⎰⎰⎰⎰-==+1
21
10
1
1( ((e dy e dx e dy e
dx y x
l y
x
12设I=⎰⎰--D
dxdy y x R 222,其中D是由x 2+y2=Rx所围城的区域，求I (331
, (为(
A ⎰⎰a a y
dx y x f dy 0
, ( B ⎰⎰a y
a
dx y x f dy 0
, (
C ⎰⎰a y dx y x f dy 0
, ( D ⎰⎰a x
dx y x f dy 0
, (
8、求⎰⎰
=D
dxdy y
x I 2
2，其中:D由x=2,y=x,xy=1所围成. (49
9、设I=⎰⎰
解：⎰⎰D
y x
dxdy e }
22
, max{=110
10
2
2
-=+⎰⎰⎰⎰e dx e d dy e dx y
y x
x y
15、计算二重积分⎰⎰
++D
dxdy y
x y
x 2
2，D：. 1, 122≥+≤+y x y x解：⎰⎰++D dxdy y
x y x 22=24 sin (cos201sin cos 12πθθθπ
z y x t (1lim 2
2222224
0⎰⎰⎰≤++→++π
解：dxdydz z y x f t
t z y x t ⎰⎰⎰≤++→++2
22222240(1
lim π
= 0(' (4lim
sin (1lim 4
20
220
40f t dr
r f r dr r r f d d t
t
t t
t ==⎰⎰⎰
θθ-=+⎰+r r d
§ 3三重积分
1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则⎰⎰⎰Ω
xdxdydz为
(
A ⎰⎰
⎰--1
210
1
y x y xdz d dx B ⎰
⎰
⎰---210
210
1
y y
x xdy dz dx
C ⎰
⎰
⎰---210
210
1
x y
x xdz dy dx D ⎰⎰⎰10
第十章重积分
§ 1二重积分的概念与性质1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
dxdy y x I D
⎰⎰+=22其中D为：422≤+y x
( dxdy y x I D
⎰⎰+=22=πππ3
16
2. 4. . 312. 4. =
- 2、设D为圆域, 0, 222>≤+a a y x若积分
dxdy y x a D
7 D (0,38
(3、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是（）
A (0, 0, 34 B (0, 0, 3
5 C (0, 0, 45 D (0, 0, 47
(4、质量分布均匀(密度为μ的立方体所占有空间区
域:}10, 10, 10| , , {(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz轴的转动惯量I Z =(
R π
13、计算二重积分⎰⎰-+D
dxdy y x |4|22，其中D是圆域922≤+y x
解：⎰⎰-+D
dxdy y x |4|22==
-+-⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d ππθθ20
3
2
220
20
2 4( 4(2
41π 14、计算二重积分⎰⎰D
y x dxdy e
}
, max{22，其中D={(x,y| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}
:222]([y x D dxdy xy f V
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
⎰⎰D
ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0, 0:
(≤
0⎰⎰D
ydxdy x 22sin sin 2π≤ 7、设f(x,y为有界闭区域D：222a y x ≤+上的连续函数，求⎰⎰→D
a dxdy y x f a , (1
⎰⎰
--2
2
2
=12π，求a的值。
解：
dxdy y x a D
⎰⎰
--2
2
2
=3
. 34. 21a π 81
=aຫໍສະໝຸດ Baidu
3、设D由圆, 2 1( 2(22围成=-+-y x求⎰⎰D
dxdy 3
解：由于D的面积为π2,故⎰⎰D
dxdy 3=π6
4、设D：}10, 53| , {(≤≤≤≤y x y x，
⎰⎰⎰⎰+=+=D
A：e e e 212124-- B：21
242
1
21e e e e -+-
C：e e 2
1
214+2421e e -
4、设f(x,y是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ⎰
⎰++-2
1
1
, (为（）
A dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰----+1
1
2
积分⎰⎰D
dxdy y x f (2为（）
A ⎰⎰1
, (22D dxdy y x f B ⎰⎰2
2 , (4D dxdy y x f
C ⎰⎰1
, (42D dxdy y x f D
⎰⎰2
2
, (21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|≤1
上的连续函数，则二重积分⎰⎰D
dxdy y x f (22为（）
A⎰⎰1
, (222D dxdy y x f ⎰⎰1
, (422D dxdy y x f
C ⎰⎰1
, (822D dxdy y x f D
⎰⎰1
, (212
2D dxdy y x f
7、.设f(x,y为连续函数，则⎰⎰a x
dy y x f dx 0
解：π102559222=--=⎰⎰≤+y x y x 1S π20255
16
2
22=--=⎰⎰≤+y x y x 3S
π70=2S
5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积解：3
122(22
2222
2R R y x R R y x π-=++=
⎰⎰
≤+S
6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy平面之间那部分立
1ln(2
22222 (0 6、计算⎰⎰⎰+Q
dxdydz y x (22其中Ω为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的
区域(
π5
64
7、计算⎰⎰⎰Q
zdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域
(2/27
8、设函数f(u有连续导数，且f(0=0,求dxdydz z y x f t t
, (dx y x f dy ⎰
⎰-y
dx y x f dy 10
1
, (.
2、设D为222a y x ≤+,当=a (时, π=--⎰⎰D
dxdy y x a 222. A 1 B 23 C 43 D 2
1 3、设⎰⎰+=D
dxdy y x I (22,其中D由222a y x =+所围成,则I =( B .
3
1
ln 0
, (x
dy y x f dx ,交换积分次序后I为：
I=⎰⎰
3
1
ln 0
, (x
dy y x f dx =⎰⎰3
ln 0
3
, (y e
dx y x f dy
10、改变二次积分的次序：⎰⎰⎰⎰-+4
2402
00 , ( , (x
x
dy y x f dx dy y x f dx = ⎰⎰
20
C ⎰⎰20
22
20
2ρπρθρθρρθdz z , sin , cos f(d d D ⎰⎰⎰202
20dz z , sin , cos f(d d ρθρθρρθπ
3、设Ω是由1222≤++z y x所确定的有界闭域，求三重积分⎰⎰⎰Ω
dv e z ||
解：⎰⎰⎰Ω
dv e z ||=⎰⎰⎰
--≤+1
D
dxdy y x I dxdy y x I 221][ln(, ln(，比较1I ,与2I的大小关系
解：在D上，ln(y x +≤ 2][ln(y x +,故1I ≤2I
5、设f(t连续，则由平面z=0，柱面, 122=+y x和曲面2]([xy f z =所围的
立体的体积，可用二重积分表示为⎰⎰≤+=1
体的体积
解：43 (2132
222R dxdy y x R Rx y x π=+=⎰⎰≤+V第九章自测题
一、选择题:（40分）1、⎰
⎰-x dy y x f dx 10
1
0 , (=(
A⎰⎰-1010
, (dx y x f dy x B ⎰
⎰-x
dx y x f dy 1010 , ( C ⎰⎰1
1
A 31μ32μ C μ D 3
4
μ
2、求均匀上半球体(半径为R的质心
解：显然质心在z轴上，故x=y=0,z=⎰⎰⎰Ω=8
31R
zdv V故质心为(0,0,R 38
4、曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为s 1, s2, s3,求s 1:s2:s3
1
1||2
22 (
z y x z dz dxdy e =2⎰=-1
2
2 1(ππdz z e z 4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1及z=0所围成的空间区域，求⎰⎰⎰Ω
dxdydz z xy 32
(1/364
5、设Ω是球域：12
2
2
≤++z y x，求⎰⎰⎰Ω
++++++dxdydz z y x z y x z 1
111102 , ( , ( B dx y x f dy y ⎰⎰--1
11
0 , (
C dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰-----+1
1
2
11
11
02 , ( , ( D dx y x f dy y ⎰⎰---1
1
2
02 , (
5、设有界闭域D 1、D 2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重