高等数学习题册解答_10.重积分(青岛理工大学).

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专升本《高等数学》易错题解析-第十章：重积分的应用

第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。

尤其是在几何和物理两方面。

几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。

物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。

在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。

通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求： 1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。

2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。

3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。

一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用二、典型错误分析例1．求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。

如图： y1=xy （2，2）)21,2(O 1 2 x [错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S yDσ [分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。

问题在于区域D ，若先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。

[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y Ddx dy dx dy d S σ 例2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。

[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。

高等数学习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学).

22R y x =+解:⎰
⎰⎰⎰
--+=-+
+=R
R
H
D dy y
R dz z
R R dydz y
R y z
R I yz
2
2
2
2
2
2
22
2
1. 1212
=2R
H
R y R z R R
H arctan 2].[arcsin][arctan0π=-
3、求曲面积分⎰⎰∑
++ds zx yz xy ( ,其中∑是锥面22y x z +=
=dydz z y x P , , (
(⎰⎰∑1
, , 2dydz z y x P C. (⎰⎰∑-1
, , 2dydz z y x P D.ABC都不对
2.设(0:2222≥=
++∑z a z y x取上侧,则下述积分不等于零的是( A ⎰⎰∑
dydz x 2∑
xdydz C ⎰⎰∑
ydxdy D ⎰⎰∑
0, πA的积分(
(dy y x dx y L
+++⎰213的值最小
解:(([]
30333
44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +
-=+++=⎰ππ
((
(0811, 014' ' 2
' >=⇒=⇒=-=I a a a I。, 1=a (a I最小,此时x y sin =
第十一章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x f ,关于y是偶函数时,

青岛理工大学2011级高等数学(上)B试题及答案

一、选择题：每题2分，共10分注意：请将答案填入下表，否则不给分。

1．“当0x x →时，A x f -)(是无穷小”是A x f x x =→)(lim 0的（）。

A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2．若)(0x f '存在，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000=（）。

A. )(0x f '-B.)(0x f 'C. )(20x f 'D.)(20x f '- 3．若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，0)(<'x f ，又0)(<a f ，则（）。

A.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f >0B.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f <0C.)(x f 在],[b a 上单减且)(b f <0D.)(x f 在],[b a 上单增，但)(b f 的符号无法确定 4．下列反常积分发散的是（）。

A.⎰1xdx B.⎰-112x dx C.⎰+∞-0dx xe xD.⎰+∞∞-+21x dx 5．如函数y=(C 1+C 2x)e 2x，满足初始条件： y|x=0=0， y '|x=0=1，则C 1,C 2的值为（）。

A. C 1=0，C 2=1 B. C 1=1，C 2=0 C. C 1=π，C 2=0 D. C 1=0，C 2=π 二、填空题：每题2分，共10分注意：请将答案填入下表，否则不给分。

1．极限⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x 7sin 3sinlim =_______________。

2．设x x f arctan )(=，则)0(f ''=_____________。

3．反常积分⎰+∞∞-++222x x dx=___________________。

青岛理工大学高等数学练习教程答案

第一章函数与极限第一节映射与函数选择题1.已知函数)(x f 的定义域是()+∞∞-,，满足)()()(y f x f y x f +=+则)(x f 是（） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶 D.不能确定2.已知2x e x f =)(()[]x x φf -=1，且()0x ≥φ，()=x φ（）A.()x -1ln 1<xB.()x -1ln 0≤xC.()x -1ln 1-<xD.()x -1ln 0x <3.设2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()=x f （）A.22-xB.22+xC.2-xD.x xx 1122-+4.已知21x y --=直接函数的反函数是21x y --=，则直接函数的定义域是（）A.()01,-B.[]11,-C.[]01,-D.[]10, 5.()x e x x x f cos sin = ()+∞<<∞-x 是（）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数6.设()x f 与()x g 分别为定义在()+∞∞-,上的偶函数与奇函数，则()()x g f 与()()x f g 分别（）A.都是偶函数B.都是奇函数C.是奇函数与偶函数D.是偶函数与奇函数7.设()⎩⎨⎧>+≤=0022x x x x x x f ，则（）A.()()⎩⎨⎧>+-≤-=-0022x xx x x x f B.()()⎩⎨⎧>-≤+-=-022x xx x x x f C.()⎩⎨⎧>-≤=-0022x x x x x x f D.()⎩⎨⎧>≤-=-0022x xx x x x f8.()x f y =的定义域是[]11,-，则()()a x f a x f y -++=的定义域是（）其中10≤≤aA.[]11+-,a aB.[]11+---a ,aC.[]11-+-,a aD.[]11+--a ,a9.函数()x f y =与其反函数()x f y 1-=的图形对称于直线（） A.0=y B.0=x C.x y = D.x y -= 答案ABACD ADDC 练习题1.设()x x f y +==11，求()[]x f f解：()[]x f f xxx++=++=21111121-≠-≠,x x 2.指出下列两个函数是否相同，并说明理由 (1)()1+=x x f ()()21x x g += (2)()x x f =，()()x x g arcsin sin =(3)()xx x f =，()xx x g 2=解：(1)不同，对应法则不同(2)不同，定义域不同()x f 的是()+∞<<∞-x ,()x g 的是[]11,- (3)相同，定义域和对应法则都相同3.若()⎩⎨⎧≥<=02x xx xx f ，求()[]x f f 解：()[]()()()[]()()()[]⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧≥<=00022x x f x x f x f x f x f x f x f f 4.（2001数学二考研题）()⎩⎨⎧>≤=1011x x x f ，则()[]x f f 解()[]()()()()∞+∞-∈≤⎩⎨⎧>≤=,x x f x f x f x f f 1111而5.()⎩⎨⎧<<-≤≤==012102x x x x x f y 求()1+x f解()()()()()⎩⎨⎧-<<-+≤≤-+=⎩⎨⎧<+<-+≤+≤+=+1212011011121101122x x x x x x x x x f6.设()x F 是定义在关于原点对称的某数集X 上的函数，证明()x F 必可表示成一个偶函数与一奇函数之和。

重积分部分难题解答

重积分部分难题解答1．（P148,第2题）求函数()y x y x f 22sin .sin ,=在闭正方形区域:D ()ππ≤≤≤≤y x 0,0上的函数值的平均值.解：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰ππ0202sin .sin ,ydy xdx dxdy y x f D202sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰πxdx ；又.22sin 41222cos 1sin |002ππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰x x dx x xdx 所以().4,2π=⎰⎰dxdy y x f D故()y x f ,在闭正方形区域D 上的函数值的平均值为()().414,122===⎰⎰ππσdxdy y x f D S D2．（P148,第3题）设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，证明不等式()()().22dx x fa b dx x f ba b a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡证明：考虑积分 ()()[]d x d y y f x f I D⎰⎰-=2一方面 ()()()()dxdy y f dxdy y f x f dxdy x f I DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=22.2()()()();222dx x fa b dy x fdx dxdy x fbab a baD⎰⎰⎰⎰⎰-==()()()()dy y fa b dy y fdx dxdy y f bababaD⎰⎰⎰⎰⎰-==222()();2dx x f a b ba⎰-=()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ba b a babaDdy y f dx x f dxdy y f x f dx dxdy y f x f ...().2⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰ba dx x f 代入）得 ()()().2222⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰ba badx x f dx x f a b I 另一方面显然0≥I ，即()()()02222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰b a badx x f dx x f a b ，故 ()()().22dx x f a b dx x f b a b a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡3．（P149,第4题）设()x f 在闭区间[]b a ,上为正值连续函数.证明不等式()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 证法一：考虑到定积分与变量的记号无关.故有：()()⎰⎰=b a bay f dy x f dx()().dy y f dx x f bab a⎰⎰=所以， ()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy y f x f x f dx dx x f 其中，⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 同理， ()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy x f y f x f dx dx x f ， ()()()()()()()()()().2.2⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D Db a b a dxdy y f x f x f y f dxdy y f x f x f y f x f dx dx x f ()222.Dd x d yb a ==-⎰⎰ 即：()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 证法二：因为()0≥x f ，所以，20b a dx ⎡⎤⎢≥⎢⎣⎰，即： ()()()220.b baadxf x dx b a f x λλ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰------（1）（1）式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式()()()20b b a a dx b a f x dx f x ⎡⎤⎡⎤∆=--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰，故()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 4．（书p149页习题8）设函数()x f 在[]b a ,上连续，证明：()()().dx x b x f dx x f dy bab ay a-=⎰⎰⎰证法一：()dxx f dy b aya⎰⎰对应的二重积分的积分区域⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b x a b y x D 交换积分次序后，重新计算()dx x f dy b a y a⎰⎰，则有 ()=⎰⎰dx x f dy bay a()dy x f dx b ab x⎰⎰()().dx x b x f ba-=⎰.证法二：记()()dx x f y F ya⎰=，则()()dy y F dx x f dy b a b a y a ⎰⎰⎰= ()[]()dy y F y y F y ba b a ⎰'-=|.()()()dy y f y a aF b bF ba⎰--=. ()()dx x f x dx x f b baba⎰⎰--=.0. ()().dx x b x f ba -=⎰5．（书p149页习题10）设()x f 为[]1,1-上的连续函数，证明：().4210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰≤≤dx x f ab dxdy b y f a x f by ax证明：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰--≤≤bb a a by ax dy b y f dx a x f dxdy b y f a x f . 其中对于dx a x f aa ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛，令,a x u =则()()()dx x f a du u f a du u f a dx a x f aa⎰⎰⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛--10101122；同理，对于dy b y f b b ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛，令,b y v =则()()()dxx f b dv v f b dv v f b dy b y f bb⎰⎰⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛--1010112.2().4210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰≤≤dx x f ab dxdy b y f a x f by a x6．（书p158页习题3）证明：dy yxdx xx⎰⎰2sin21π().242sin3242+=+⎰⎰πππdy yxdx x证明：（一）记 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.,21:1x y x x D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤2,42:2y x x D .分别画出草图.则12.D D D = （二）按所给积分次序很困难，故更换积分次序，即要将积分区域视为-Y 型区域：⎩⎨⎧≤≤≤≤.,21:2y x y y D ，此时无须分块. 原式dx yxdy y y⎰⎰=22sin21π⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰y x d y x dy yy y22sin2221πππdy y x y y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21|22cos 2ππdy y y ⎰-=212cos 2ππ ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰y d y 2sin4212ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰212122sin 2sin 4|ydy y y πππ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=|2122cos .214y πππ().2421432+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ππππ 7．（书p158页习题4）求⎰⎰-=1102.2xy dy e dx x I解：按所给积分次序很困难，画出积分区域D 的图形，交换积分次序.dx x dy e I y y ⎰⎰-=02102⎰-=103231dy y e y ()⎰--=12261y e d y()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--10210222|61y d e e y y y []().216116161111101|2------=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=e e e e e y8．（书p158页习题5）利用极坐标，求下面的二重积分：（ⅰ）()D dxdy y xy x I D,22⎰⎰++=为由上半圆周122=+y x （0≥y ）与直线xy ±=围成的圆扇形；（ⅱ）D dxdy yx y x I D,112222⎰⎰++--=为单位圆（122≤+y x ）；（ⅲ）D dxdy y x I D,sin 22⎰⎰+=为圆环域（22224ππ≤+≤y x ）；（ⅳ）D dxdy x yI D,arctan ⎰⎰=为单位圆（122≤+y x ）含在第一象限内的部分.解：（ⅰ）()=++=⎰⎰dxdy y xy x I D22()022++⎰⎰dxdy y xD.841422.224102πππθππ=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==⎰⎰dr r r d（ⅱ）rdr r r d dxdy yx y x I D⎰⎰⎰⎰+-=++--=201022222211411πθ rdr r r ⎰+-=1022112π（令t r =2） dt t t ⎰+-=111πdt t t ⎰--=10211πdt t ⎰-=10211πdt t t ⎰--1021π .12⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππ （ⅲ）⎰⎰⎰⎰=+=20222.sin 4sin πππθrdr r d dxdy y x I D⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ2.sin .2.4rdr r ()⎰-=πππ2cos .2r rd 2222cos cos 6.|r r rdr ππππππ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦⎰ （ⅳ）rdr r r d dxdy x y I D.cos sin arctan arctan 2010⎰⎰⎰⎰==πθθθ==⎰⎰rdr d .2010πθθ .1621.21.2102202201||πθθθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d 9．（书p158页习题6）计算下面的二重积分：（ⅰ）D dxdy x y I D,2⎰⎰-=为正方形（20,11≤≤≤≤-y x ）；（ⅱ）D dxdy y x I D,422⎰⎰-+=为圆域（922≤+y x ）；（ⅲ）()D dxdy y x I D,cos ⎰⎰+=为正方形（20,20ππ≤≤≤≤y x ）.解：（ⅰ）（画图）12D D D = ，则原式=()()1222.D D y x dxdy x y dxdy -+-⎰⎰⎰⎰其中，⎩⎨⎧≤≤-≤≤,11,2:21x y x D ， ⎩⎨⎧≤≤-≤≤,11,0:22x x y D 于是，有()d y x y dx I x⎰⎰--=11222().15465115431122=+=-+⎰⎰-dy y xdx x （ⅱ）设222212:04,:49.D x y D x y ≤+≤≤+≤则12.D D D = 所以，()()12222244D D I x y d x y d σσ=--++-⎰⎰⎰⎰()()222322024144.2d r rdr d r rdr πππθθ=-+-=⎰⎰⎰⎰ （ⅲ）以直线2π=+y x 将区域D 分成两个子区域，12D D D =其中，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤,20,20:1ππx x y D ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-,20,22:2πππx y x D ()dy y x dx I x⎰⎰-+=22cos ππ()dy y x dx x⎰⎰-+-+2022cos πππ其中()=+⎰⎰-dy y x dx x202cos ππ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2020|sin ππ()12s i n 120-=-=⎰ππdx x ；()dy y x dx x ⎰⎰-+-2022cos πππ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-2022|sin πππ ().121cos 20-=--=⎰ππdx x 所以 .21212-=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππI10．（书p159页习题7）求(),t F '其中()()0002>=⎰⎰≤≤≤≤-t dxdy et F ty tx y tx .解：（一）()dx edy dxdy et F t ty tx ty tx ytx ⎰⎰⎰⎰-≤≤≤≤-==00dy y tx d e t y tt y tx ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-00222dy e t y t t y tx⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-002|2 dy e t y t yt ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-02122t d y e t y t y t ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-022122令,tu y =则,tdu dy =()()du t e u t F u 211212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=- ()du e u t u ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1012212 （二） ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='⎰⎰--10122112121222u u e u t t du e u t t F ().2t F t =11．（书p159页习题8）根据⎰⎰=DD dxdy 的面积，求下面曲线围成图形的面积：（ⅰ）由抛物线x y =2与半圆周22y x -=围成的图形；（ⅱ）曲线()xy y x =+222围成的图形.解：（ⅰ）联立 ⎩⎨⎧-==.2,22y x x y 得⎩⎨⎧==.1,1y x 或⎩⎨⎧-==.1,1y x 故两曲线的交点为()1,1及()1,1-.化出区域D 的草图，并视之为-Y 型区域. 则所求面积为 []⎰⎰⎰⎰⎰-----===1122112222y ydx dy dxdy A y yD32222a r c s i n .2223222|10212-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=--=⎰y y ydy y .312+=π （ⅱ）解：记1D 为D 在第一象限内的那部分区域，则⎰⎰⎰⎰===20sin cos 01221πθθθrdr d dxdy A A D .21cos .sin 222020sin cos 02|⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππθθθθθθd d r 12．（书p159页习题9）求下面立体图形的体积（ⅰ）球面()02222>=++a az z y x 的上半部分与圆锥面222y x z +=围成图形；（ⅱ）圆柱面222a z y =+与222a z x =+围成的立体的图形. （ⅰ）解法一：画出积分区域Ω的草图.联立 ⎩⎨⎧+==++.,2222222y x z az z y x ，消去z ，得Ω在xoy 面投影.:222a y x D ≤+ ()[]d xdy y x y x a a V D⎰⎰+---+=22222()[]⎰⎰--+====πθ2022ardr r r a a d 极⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰⎰⎰a a ar d r r a dr r ardr 0002222π 3.a π= 解法二：画出积分区域Ω的草图，显然见Ω的体积为球体az z y x 2222≤++的体积的上半部分体积加上锥体()a z y x z ≤≤+≥0222的体积故 ..3134.2132321a a a a V V V πππ=+=+=（ⅱ）解法一：()()(),22222z az aD S z A z -=-==所以，()().316883220a dz z a dz z A V a a =-==⎰⎰ 解法二：()()().3163388883330222221111a aa dx y a dy dy x a dx V V V V a xay=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+==⎰⎰⎰⎰13．（P159,第12题）根据下面的提示，证明贝塔函数()t s ,β与伽马函数()t Γ之间的关系为()()()()t s t s t s +ΓΓΓ=,β ()0,0>>t s其中 ()(),1,111dx x xt s t s --⎰-=β()dx e x t x t -+∞-⎰=Γ01证明：（ⅰ）令2u x =，则 udu dx 2=，故 ()()u d u eu t u t 2212-+∞-⎰=Γdu e uu t .20122-+∞-⎰=换记为 ()dx e x t x t .20122-+∞-⎰=Γ.（ⅱ）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΓΓ⎰--+∞→dx e x t s a x t a 0122lim 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰--+∞→dy e y ay s a 0122lim 2. ()dxdy y x f Da ⎰⎰+∞→=,lim 4. (){}a y a x y x D ≤≤≤≤=0,0|,为正方形区域，()().,221212y xs t e y x y x f +---=（ⅲ）显然，由于()0,≥y x f ，故有()()≤⎰⎰dxdy y x f aK ,()≤⎰⎰dxdy y x f D,()().,2d x d y y x f aK⎰⎰ （1）其中 ()(){}222|,a y x y x a K ≤+= ；()(){}2222|,2a y x y x a K ≤+=分别是半径为a 及的a 2圆含在第一象限的部分.（1）式左端积分()222121t s xyK a x y e dxdy ----⎰⎰（极坐标）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-----⎰⎰rdr e r r d r s a t s t .sin cos 212012121220θθθπ其中()()θθθπd s t 12122sin cos --⎰()()()θθθθθπd s t sin .cos 2sin cos 21121202--=--⎰（令u =θ2cos ，则du d =-θθθsin cos 2）()du u u s t 1101121----=⎰()().,211211110t s du u u s t β=-=--⎰；（2）其中rdr e r rr s t a.212120---⎰（令u r =2，则du rdr =）du e u u s a --+⎰=120221dx e x xt s a --+⎰=10221；（3）故由（2）、（3）两式，得（1）式左端积分().,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t s β⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎰dx e x x s a 120221()dx e x t s xa t s --+⎰=201,41β. 同理得（1）式右端积分 ()dx e x t s x a t s --+⎰=2201,41β.故（1）化为 ()dx e x t s x a t s --+⎰201,41β ()dxdy y x f D⎰⎰≤,两边令,+∞→a 有()()()()≤ΓΓ≤+Γt s t s t s .41.,41β()()t s t s +Γ.,41β 故()()()()t s t s t s ΓΓ=+Γ.41..,41β即得： ()()()().,t s t s t s +ΓΓΓ=β14．（书p166页习题1）引入适当的变换，将下面的二重积分化为一重积分：（ⅰ）()dxdy y x f I y x ⎰⎰≤++=1；（ⅱ）()D dxdy xy f I D,⎰⎰=为双曲线1=xy 和2=xy （0,0>>y x ）与直线x y =和x y 4=围成的区域；（ⅲ）dxdy x y f I xy x ⎰⎰≤+⎪⎭⎫⎝⎛=22；（ⅳ）()dxdy c by ax f I y x ⎰⎰≤+++=122（022≠+b a ）.解：（ⅰ）画出积分区域D （如图，为一个正方形区域）.作变量代换： ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧-=+=.2,2.,v u y v u x y x v y x u 由二重积分的换元法()()dudv J u f dxdy y x f I D y x ⎰⎰⎰⎰'≤+=+=1()()2121212121,,-=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=v y uy v x u xv u y x J ； ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-'.11,11:u v D()()dv u f du dudv u f I D ⎰⎰⎰⎰--'==11112121 ()()⎰⎰--==1111.221du u f du u f （ⅱ）画出积分区域D （如图）.作变量代换： ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==..,.,v u y v u x x y v xy u 换元法 ()()dudv J u f dxdy xy f I D D⎰⎰⎰⎰'==.()()v vu uv v v uuv v y u y v xu xv u y x J 1.2121212121,,=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂= ⎩⎨⎧≤≤≤≤'.21,41:u v D()()dv vdu u f dudv v u f I D ⎰⎰⎰⎰=='21411.211.21 ()⎰=21..2ln du u f （ⅲ）画出积分区域D （如图）.作变量代换： ⎩⎨⎧==.s i n ,c o s θθr y r x由二重积分的换元法 ()θθd r d J f d x d y x y f I D D ⎰⎰⎰⎰'=⎪⎭⎫⎝⎛=tan .()()r r r y ryxrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤'.22,cos 0:πθπθr D ()θθr d r d f d x d y x y f I D D ⎰⎰⎰⎰'=⎪⎭⎫⎝⎛=tan()r d rf d ⎰⎰-=22c o st a n ππθθθ ().cos .tan 21222⎰-=ππθθθd f （ⅳ）作正交变量代换：..,22222222v u y x b a av bu y b a bv au x +=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=由二重积分的换元法 ()()d u d vJ c b a u f d x d y c by ax f I D y x ⎰⎰⎰⎰'≤+++=++=22122.()().1,,22222222=+-+++=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=b a a ba b b a b b a a vy uy v x uxv u y x J.1:22≤+'v u D或 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤--'.11,11:22u u v u D ()d udv c b a u f I D ⎰⎰'++=22()d v c b a u f du u u⎰⎰----++=11112222().1211222⎰-++-=du c b a u f u15．（书p167页习题2）引入适当的变换，求下列曲线所围成图形的面积：（ⅰ）()222a x y x =+-；解：作变量代换： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=.,.,u v y v x x v y x u 222a v u =+. dxdy S D⎰⎰=1dudv J D ⎰⎰'=1其中()().11110,,=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=vy u y vxu x v u y x J 222a v u ≤+ .12a dudv S D π==⎰⎰'16．（书p167页习题3）求由下列曲面包围的立体的体积：（ⅰ）1222222=++cz b y a x （椭球面）；（ⅱ）1222222-=-+c z b y a x （双叶双曲面），12222=+by a x （椭圆柱面）；（ⅲ）12222=++c z b y a x ，.0,13232==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛z b y a x 解：（ⅰ）根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰--==122221144D dxdy b y a x c V V .0,0,1:22221>>≤+y x b y a x D为计算方便，特引入变量替换令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则被积函数化为 2222211r c by a x c z -=--=积分区域1D 化为 .20.1:21⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤'πθr D ⎰⎰'-==121144D drd J r c V V θ ()()abr br b ra a y ryxr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎰⎰'-==D drd J r c V V θ21144 ⎰⎰'-=D rdrd r abc θ214⎰⎰-=201214πθrdr r d abc ().341322|10232abc r ab ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（ⅱ）根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰++==Ddxdy b y a x c V V 2222122上其中 .1:2222≤+b y a x D为计算方便，特引入变量替换令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则被积函数化为 2222211r c by a x c z +=++=积分区域D 化为 .1:2≤'r D ⎰⎰'+==D drd J r c V V θ21122()()abr br b ra a y ryxr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎰⎰'+==D drd J r c V V θ21122⎰⎰'+=D rdrd r abc θ212 ⎰⎰+=πθ201212rdr r d abc()().122341322|10232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=abc r ab ππ（ⅲ）12222=++c z b y a x ，.0,13232==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛z b y a x 根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1222214D dxdy b y a x c V 其中 ()0,0,1:32321≥≥≤⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛y x b y a x D为计算方便，特引入变量替换令⎩⎨⎧==.sin ,cos 33θθbr y ar x 则被积函数化为 ().s i n c o s 16262θθr r c z --=积分区域1D 化为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤'20.1:1πθr D ()⎰⎰'--=16262sin cos 14D drd J r r c V θθθ()().sin .cos 3cos .sin 3sin sin .cos 3cos ,,222323θθθθθθθθθθθabr br b ra a y r y xr x r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂= ()⎰⎰'--=16262sin cos 14D drd J r r c V θθθ()⎰⎰--=201226262sin .cos sin cos 112πθθθθθrdr r r d abc()⎰-=2042cos cos 6πθθθd abc ()⎰--20108cos cos 3πθθθd abc()⎰--20108sin sin 3πθθθd abc⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2.!!10!!9!!8!!732.!!4!!346πππabc abc ⎪⎭⎫⎝⎛--2.!!10!!9!!8!!73πabc.25675abc π=17.（书p174页习题2）计算下列各三重积分（先画出积分区域的草图）：（ⅰ）()dz dxdy z y x dxdydz⎰⎰⎰Ω+++31，其中Ω为由坐标平面0,0,0===z y x 和平面1=++z y x 围成的四面体；（ⅱ）dz dxdy z xy ⎰⎰⎰Ω32，Ω为由曲面xy z =和平面0,1,===z x x y 围成的区域；（ⅲ）dz xyzdxdy ⎰⎰⎰Ω，Ω为单位球1222≤++z y x 位于第一卦限的那部分区域；（ⅳ）dz zdxdy ⎰⎰⎰Ω，Ω()0,022>>+=R h y x Rhz 与平面h z =围成的区域；解：（ⅰ）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,10:⎩⎨⎧≤≤-≤≤x x y D()d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++311=()dz z y x dy dx xyx ⎰⎰⎰---+++101010311()()z y x d z y x dy dx xyx ++++++=⎰⎰⎰---111110103()⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=1010102|11.21xy x dy z y x dx ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=10102411121x dy y x dx ⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=1010|411121dx y y x x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=101144321dx x x ().1652ln 21811ln 4321|102-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=x x x （ⅱ）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,0:⎩⎨⎧≤≤≤≤x x y D 故d x d y d z z xy ⎰⎰⎰Ω32=dz z dy y xdx x xy ⎰⎰⎰100032 ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100042|41xxy dy z y xdx ⎰⎰=1006441x dy y x xdx ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=10075|7141dx y x x ⎰=1012281dx x =1/364 （ⅲ）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.10,10:2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故dxdydz xyz ⎰⎰⎰Ω=dz z ydy xdx x y x ⎰⎰⎰---11010222⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110102222|21x y x dy z y xdx ()⎰⎰---=1010222121x dy y x y xdx ()12220011114248x x y dx ⎡=---=⎢⎣⎦⎰ （ⅳ）由对称性知，dz zdxdy ⎰⎰⎰Ωdz zdxdy ⎰⎰⎰Ω=14其中1Ω为Ω在第一卦限内的那部分区域，1Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.0,0:221⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤Rx x R y D 故d x d y d z z ⎰⎰⎰Ω=⎰⎰⎰+-Rh y x Rhx R zdz dy dx 022224⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Rx R h y x R hdy z dx 022222|214 ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=R x R dy y x R h h dx 0022222222dx y y x R y hRx R ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-003222|223112()dx xRx R x R x R hR⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+---=032222222223112⎰-=Rdx x R h2222dx x R xRh R⎰--0222222()dx xRR h R⎰--3222232其中 222202222141.22R h R h dx x R h R ππ==-⎰；=--⎰dx x R xRh R222222 tdt R t tR R Rh cos .cos sin 2202222⎰-πdt t t R h ⎰-=202222cos sin 2π()dt t t R h ⎰--=204222sin sin 2π222282.!!4!!32.!!2!!2R h R h πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=；()=--⎰dx xRR h R 03222232⎰-203322c o s .c o s 32πt d tR t R R h ⎰-=20422c o s 32πt d t R h .82.!!4!!3322222R h R h ππ-=-=所以d x d y d z z ⎰⎰⎰Ω222R h π=228R h π-=-228R h π.422R h π= 18（书p174页习题3）利用改变积分次序的方法，将下面的三次积分表示成一重积分（ⅰ）()ρρηξξηd f d d I x⎰⎰⎰=0；（2）().1010dz z f dy dx I yx ⎰⎰⎰+=解：（1）先将后两次积分()ρρηξηd f d ⎰⎰0中的积分次序进行变换：()()()[]()()ρρξρρηρηρρρρηξξρξξξρξηd f d f d f d d f d -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰000|-所以，()()()()ξρξρρρρξρξρξd f d d f d I x xx -=-=⎰⎰⎰⎰0()()ρρρρρρρξξρρd x x f d f x xx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰222002222| ()().220ρρρd x f x-=⎰（2）先将后两次积分()dz z f dy yx ⎰⎰+1中的积分次序进行变换：()()()dy z f dz dy z f dz dz z f dy xz x xx yx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+++=111010()()()dz x z z f dz z f x xx +-+=⎰⎰+11所以， ()()()∏+I =+-+=∧+⎰⎰⎰⎰dz x z z f dx dz z f dx I x xx 110110-.其中，()()()dz z z f dx z f dz z-==I ⎰⎰⎰11101- ()()()()dx x z z f dz dx x z z f dz z z +-++-=∏⎰⎰⎰⎰-11211110()()()dz z z f dz z z z f 22222121-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰，所以，∏+I =I ()()dz z z f -=⎰11()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎰⎰dz z z f dz z z z f 222221210 ()()()()dz z z f dz z z f 221210221221-+-=⎰⎰. 19（书p174页习题4）证明不等式()dz dxdy xyz ⎰⎰⎰Ω≤cos 1()2s i n≤+⎰⎰⎰Ωdz dxdy xyz 其中Ω为为正方体区域()10,10,10≤≤≤≤≤≤z y x . 证明：显然，对于()Ω∈z y x ,,，414410πππ+≤+≤⇒≤≤xyz xyz()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 2sin cos πxyz xyz xyz24sin 24sin21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤=ππxyz ，即 ()()2s i n c o s 1≤+≤x y z x y z 所以，由估值定理知()()[]2s i nc o s 1≤+≤⎰⎰⎰Ωdz dxdy xyz xyz （注意到正方体的体积为1）. 20（书p174页习题5设函数()z y x f ,,在区域3R ⊂Ω内连续，若对于Ω内任何一个有界子域ω都有()0=⎰⎰⎰dz dxdy xyz f ω证明：(),0,,≡z y x f 其中().,,3R z y x ∈证明：反证法设()0,,≡z y x f ，()3,,R z y x ∈的结论不成立，则必存在某点()30000,,R z y x P ∈，使得 ().0,,000≠z y x f 不妨假设().0,,000>z y x f 因为()z y x f ,,在()0000,,z y x P 处连续，故有()().0,,,,lim 000000>=→→→z y x f z y x f z z y y x x （1）故根据函数极限的定义知，对于(),0,,210000>=z y x f ε,00>∃δ使得当()()()0202020δ<-+-+-z z y y x x 时（即()()00,,,δP U z y x P ∈时），就有()()()000000,,21,,,,z y x f z y x f z y x f <- （2）由（2）式可解得，当()()00,,,δP U z y x P ∈时，就有()().0,,21,,000>>z y x f z y x f （3）所以，由积分中值定理有()()≥⎰⎰⎰dz dxdy xyz f P U 00,δ()0.34.,,30>δπζηξf （4）而（4）式与函数()z y x f ,,在对于Ω内任何一个有界子域ω上都有()0=⎰⎰⎰dz dxdy xyz f ω的假设前提是矛盾的！所以，(),0,,≡z y x f 其中().,,3R z y x ∈21（书p179页习题1）利用适当的方法，计算下列各三重积分：解：（ⅰ）()()dxdy y x dz dz dxdy y x zD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω22222.3163242.||2032020242202πππθπ====⎰⎰⎰⎰z dz r rdr r d dz z z如采用柱面坐标系：()dz dxdy y x ⎰⎰⎰Ω+22.3166.2142222.2|206420223222202πππθπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰r r dr r r dz r rdr d r （ⅱ）采用柱面坐标计算.联立⎪⎩⎪⎨⎧+=--=,,22222y x z y x z 消z , 得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为圆域.1:22≤+y x Ddz zdxdy ⎰⎰⎰Ωdr z r zdz rdr d r r r r⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--11022220|22222.2πθπ().127642|106421042πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=⎰r r r dr r r r（ⅲ）dxdy y x dz dz dxdy y x zD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++Ω122221111()dz z rdr r d dz z2010220101ln 212.11+=+=⎰⎰⎰⎰πθπ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰1022102121ln |dz z z z z π().222ln arctan 22ln |10⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=πππz z（ⅳ）dxdy yx e dz dz dxdy yx e zD z z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω212222()⎰⎰⎰⎰⎰===21021202122.z zz ze zd dz ze rdr re d dz ππθπ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰2121|2dz e ze z z π.2222212|e e e e z ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（ⅴ）解法一：柱面坐标法：联立⎩⎨⎧=++=++,2,222222Rz z y x R z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为圆域.43:222R y x D ≤+ dz dxdy z⎰⎰⎰Ω2dr z r dz z rdr d R R r R r R R r R r R R ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==------230233220|222222223.2πθπ()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=R dr r R R r R r 23032232232π（令t R r sin =） []⎰-+-=3235c o s s i n c o s 3c o s 31c o s 232ππt d t t t t t R⎰=3045sin cos 34ππtdt t R ⎰-305sin cos 32ππtdt t R⎰+325s i n c o s 2ππt d t t R⎰-335s i n c o s 2ππt d t t R|30555cos 34ππt R -=|30252cos 32ππt R +|30353cos 2ππt R -|30454cos 2ππt R + ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32311545R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4335R π⎪⎭⎫ ⎝⎛--87325R π⎪⎭⎫⎝⎛-+161525R π .480595R π= 其实，此题最宜采用球面坐标计算：这时首先要把积分区域Ω分成两个子区域： .21Ω⋃Ω=Ω其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,0,30,20:1R ρπϕπθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,c o s 20,232,20:2ϕρπϕππθR则dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+22 ρρϕρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=20300222.cos sin ρρϕρϕϕθπππϕd d d R ⎰⎰⎰+2023cos 20222.cos⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰R d d 04302cos .sin 2ρρϕϕϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ϕππρρϕϕϕπcos 204232cos .sin 2R d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=||0530351cos 312R ρϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰2375cos .sin 32512ππϕϕϕπd R 551.247.2R π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+|2385cos 81564ππϕπR 5607R π=5160R π+.480595R π= （ⅵ）()dz dxdy z y x ⎰⎰⎰Ω++222ρρρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=2022.sin⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰ρρϕϕππd d R 040.sin 2.5451.cos 25050||R R πρϕππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （ⅶ）dxdy y x dz dz dxdy y x zD z⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω2222 ⎰⎰⎰-=R z Rz rdr r d dz 00202.πθ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Rdz R z R 0322432π（令t R R z sin 22+=） ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛=223cos 2.cos 232πππtdt R t R ⎰-=2244cos .161.32πππtdt R .642.!!4!!3..12424R R πππ== （ⅷ）显然(),0ln 222=++⎰⎰⎰Ωdz dxdy z y x z 因为积分区域Ω：41222≤++≤z y x 关于xoy 坐标面对称，且被积函数关于z 为奇. 22 .（书p180页习题3）设()u f 连续函数，求函数 ()()dz dxdy z y x f t F t z y x ⎰⎰⎰≤+=++=2222222 的导数()F t '.解：()()()22222222220tx y z t F t f x y z dxdydz d d f d ππθϕρρρ++≤=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2204t f d πρρρ=⎰，所以，()()224F t f t t π'=.20.（书p180页习题4）设k n m ,,为非负整数，Ω为单位球体.1222≤++z y x 求 ⎰⎰⎰Ω=dxdxydz z y x I k n m解：（一）当k n m ,,中至少有一个为奇数时例如k 为奇数时，于是⎰⎰⎰Ω=dxdxydz z y x I k n m⎰⎰⎰≥≤++=1222z z y x k n m dxdxydz z y x ⎰⎰⎰≤≤+++1222z z y x k n m dxdxydz z y x （记为） .21I I +=今在积分2I 中作变量代换即令⎪⎩⎪⎨⎧-===.,,w z v y u x ，则 .1100010001-=-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=wz vz uz wyv y u y w xv x u x J 故 ⎰⎰⎰≥≤++-=012222w w v u k n m dudvdw w v u I ⎰⎰⎰≥≤++=1222z z y x k n m d x d x y d z z y x .1I -=于是 .01121=-=+=I I I I I（二）当k n m ,,均偶数时，此时被积函数k n m z y x 关于三个坐标平面皆对称.于是 ⎰⎰⎰≥≥≥≤++=0,0,012228z y x z y x kn m dxdxydz z y x I 为方便计算，引入球坐标变换 ρρϕϕϕθθθππd d d I k n m km m nm⎰⎰⎰+++++=1220120c o s .s i ns i n .c o s 8ϕϕϕθθθππd d k n m k n m n m c o s .s i n s i n .c o s 31.820120⎰⎰+++++=⎰20s i n .c o s πθθθd nm⎰--=2011c o s .s i n .s i n .c o s πθθθθθd n m()()()⎰---=202212212sin sin .sin 121πθθθd n m （令t =θ2sin ） ()dt t t n m 21121121--⎰-=()dt tt n m 12110121.121-+-+⎰-= .21,2121⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n m β ϕϕϕπd k n m cos .sin 201⎰++.21,2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=k n m β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=21,2221.21,212131.8k n m n m k n m I ββ .2321.22..222121312⎪⎭⎫⎝⎛+++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ+++=k n m k n m n m n m k n m .23212121.312⎪⎭⎫⎝⎛+++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ+++=k n m k n m k n m 由于 ⎪⎭⎫⎝⎛-Γ--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ23.23.2121.2121n n n n n n⎪⎭⎫⎝⎛Γ--==21.2123.21 n n ()()..2!!121..2!!122πnn n n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ-= 比如：..2!!52121.23.2523.23.2525.252132273π=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ故 ()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+++=+++ππππ222222!!22!!12!!12!!1.312k n m k n m k n m k n m k n m I()()()().!!2!!1!!1!!1.34+++---+++=k n m k n m k n m π书中183P 所提供的答案有误.23 .（书p180页习题5）求由曲面ax c z b y a x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222222()0,0,0>>>c b a 包围的立体体积.解：根据对称性及二重积分的几何意义，知 ⎰⎰⎰Ω==1441dxdxydz V V其中1Ω为由曲面ax c z b y a x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222222()0,0,0>>>c b a 包围的立体体积Ω在第一卦限的那部分区域.为方便计算，令⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕρθϕρθϕρc z b y a x 则曲面ax c z b y a x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2222222的方程化为.cos .sin 23θϕρa = 积分区域1Ω 化为.20,20,c o s .s i n:321πθπϕθϕρ≤≤≤≤≤'Ωa 则 ⎰⎰⎰'Ω=14ρϕθd d d J Vρϕθρϕθρϕθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=zz z yy y x x xJ ϕϕρθϕθϕρθϕρθϕθϕρθϕρc o ss i n 0s i n s i n s i n c o s c o s s i n c o s s i n c o s c o s s i n s i n c c b b b a a a --=.sin 2ϕρabc = ⎰⎰⎰'Ω=1s i n 42ρϕθϕρd d d a b c V ρρϕϕθθϕππd d d abc a ⎰⎰⎰=32cos sin 022020sin 4()⎰⎰=20202s i n c o s .s i n 314ππϕϕθϕθd a d a b c .33bc a π=24.（书p187页习题1）讨论下列二重积分的收敛性（当收敛时，并求出积分值）解：（ⅰ）()⎰⎰>++12222y x yxdxdyμ（μ为参数）(){}()21|,22≥≤+<=n n y x y x D n()()⎪⎩⎪⎨⎧≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡--===+-⎰⎰⎰⎰.1,1221.2,1,ln 2.122201222μμπμπθμπμμn n rdr r d yxdxdynD n因此当1>μ时，广义积分()⎰⎰>++12222y x yxdxdyμ收敛，且收敛于().111lim2-=---+∞→μπμπμnn 当1≤μ时，广义积分()⎰⎰>++12222y x y x dxdy μ发散.（ⅱ）dxdy ey x y x⎰⎰≥+--12222； (){}()21|,22≥≤+≤=n n y x y x D n.1212.22222|1201⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-----⎰⎰⎰⎰n n r nr D y x e e e rdr ed dxdy enππθπ=⎰⎰--+∞→dxdy e nD y x n 22lim.1lim 2ee e n n ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→因此广义积分dxdy e y x y x ⎰⎰≥+--12222收敛，且收敛于.eπ（ⅲ）()dxdy y x ey x y x22sin .22+⎰⎰+∞<<∞-+∞<<∞---；()(),2211sin .,44222222r r e e y x e y x f rr y x=<=≤+=--- ()dxdy y x e y x y x 22sin .22+⎰⎰+∞<<∞-+∞<<∞--- ⎰⎰⎰+∞-+∞-==02020sin 2.sin .2tdt e rdr r e d t r πθπ().211cos sin |022ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞+-t e t t（ⅳ）()dxdy yxx y y x ⎰⎰+∞<≤≤≤+-11022222；()dy yxx y ⎰∞++-122222()dy yxy ⎰∞++=12222()dy yxx ⎰∞++-12222()dy yxy ⎰∞++=12222()dy yxx ⎰∞++-12222()dy y x y y ⎰+∞+=122222()dy yx y y x ⎰∞++-1222222. 其中()=+⎰+∞dy yx yy 122222⎰∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-12212y x d y （分部积分） ⎰+∞+∞+++-=1221221211.2|dy y x y x y dy yx x ⎰+∞+++=122212111.21；（1）()dy y x yy x ⎰∞++1222222⎰∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=122212y x d y x （分部积分） ⎰∞+∞+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=1222212221211.2|dy y x y x y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+=⎰∞+∞+12212211211.21|dy y x y x x .121211.2112222⎰∞+++-+=dy y x x x ()dy y x x y ⎰∞++-122222⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰∞+dy y x x 122212111.21⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-⎰∞+12222121211.21dy y x x x .112111.21222x x x +=++-= ()dxdy y xx y y x ⎰⎰+∞<≤≤≤+-11022222()dy y xx y dx ⎰⎰∞++-=10122222.4arctan 11|1012π==+=⎰x dx x（ⅴ）()dxdy yxx y yx ⎰⎰≤≤+-122222()dy yxx y x⎰∞++-22222()dy yxy x⎰∞++=2222()dy yxx x⎰∞++-2222()dy yxy x⎰∞++=2222()dy yxx x⎰∞++-2222()dy y x y y x⎰+∞+=22222()dy yx y y x x ⎰∞++-222222. ()=+⎰+∞dy yx yy x222222222111.22|x x y dy x y x y +∞+∞-+++⎰dy y x x x ⎰+∞++=221211.41 ()dy yx yy x x⎰∞++222222⎰∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x y x d y x 22212（分部积分） ⎰∞+∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=x x dy y x y x y x y x 22222221211.2|⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎰⎰∞+∞+x x dy y x dy y x 22211211.41。

资料：第十章重积分答案

第十章重积分答案第一节二重积分的概念与性质1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。

)1(; ,222222a y x D d y x a D≤+--⎰⎰为其中σ解：由二重积分的几何意义知，;323222a d y x a Dπσ=--⎰⎰)2(.0 , ,)(222D22>>≤++-⎰⎰a b a y x D d y x b 为其中σ 解：由二重积分的几何意义知，).32()(2D22a b a d y x b -=+-⎰⎰πσ 2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。

)1(;1)2()2( ,)( )(2232≤-+-++⎰⎰⎰⎰y x D d y x d y x DD为其中与σσ 解：由 1)2()2(22≤-+-y x 知 ,1|2|,1|2|≤-≤-y x 即 ,31,31≤≤≤≤y x 于是 ,12>≥+y x 所以 32)()(y x y x +<+ 于是.)( )(32σσd y x d y x DD⎰⎰⎰⎰+<+ ;10 ,53:,)][ln( )ln()2(2≤≤≤≤++⎰⎰⎰⎰y x D d y x d y x DD是矩形区域其中与σσ解：在D 内 x +y >e , 故 ln(x+y )>1, 于是.)][ln( )ln(2⎰⎰⎰⎰+<+DDd y x d y x σσ .1 ,21,0 ,0 , )ln()3(所围成是由直线其中与=+=+==+⎰⎰⎰⎰y x y x y x D xyd d y x DDσσ解：在D 中，,0,0≥≥y x 且,121≤+≤y x 而不在直线x +y =1上的D 内任何点(x , y ), 都有 ,121<+≤y x 故 ,)ln(xy y x <+ 于是. )ln(⎰⎰⎰⎰<+DDxyd d y x σσ3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。

)1(};4|),{( ,)94(2222≤+=++⎰⎰y x y x D d y x D其中σ 解：上，：在区域422≤+y x D ,259449)(49492222=+⋅≤++≤++≤y x y x ,422ππσ=⋅=的面积为而区域D从而 ,425)94(4922πσπ⋅≤++≤⋅⎰⎰D d y x 即 .100)94(3622πσπ≤++≤⎰⎰Dd y x)2(}.20 ,10|),{( ,)(22≤≤≤≤=--+⎰⎰y x y x D d y x xy x D其中σ 解：,),(22y x xy x y x f --+=设则 f (x ,y )在D 上的最大值,31)31,32(==f M 最小值,4)2,0(-==f m 区域D 的面积,2=σ 从而 .32)(822≤--+≤-⎰⎰Dd y x xy x σ 4．设 f (x ,y ) 为一连续函数，试证：).0,0(),(1lim2222f dxdy y x f y x =⎰⎰≤+→ρρπρ证：由于f (x ,y )连续，由二重积分中值定理知，存在点}|,{),(222ρηξ≤+∈y x y x ，使得),,(),(),(2222ηξπρσηξρf f dxdy y x f y x =⋅=⎰⎰≤+所以 ),(1lim),(1lim222222ηξπρπρπρρρρf dxdy y x f y x ⋅=→≤+→⎰⎰).0,0(),(lim 0f f ==→ηξρ第二节二重积分的计算1．计算下列二重积分(1) ;10 ,10 : ,122≤≤≤≤+⎰⎰y x D d y x D其中σ 解：⎰⎰+D d yx σ221⎰⎰+=1021021y dy dx x 01arctan 01313y x ⋅=12π=。

《重积分练习》课件

确定积分区间
计算参数方程下的积分
确定积分结果
03
重积分的性质
积分区域的可加性
添加标题
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
积分区域的可加性是指，如果两个积分区域A和B互不相交，那么A和B的并集上的积分等于A和B上积分的和。
添加标题
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，例如格林公式、高斯公式等。
添加标题
积分区域的可加性是重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个简单的积分区域，从而简化积分的计算。
01
重积分的概念
定义与性质
重积分的定义：对多元函数在某一区域内的积分
重积分的性质：线性性、可加性、单调性等
重积分的应用：计算体积、面积、质量等
重积分的计算方法：直角坐标系、极坐标系等
计算方法
确定积分区域和被积函数计算积分上限和下限使用积分公式进行计算检查计算结果是否正确
几何意义
积分对变量的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，例如积分的换元法、积分的分部积分法等。
积分对变量的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，例如积分的换元法、积分的分部积分法等。
04
重积分的几何应用
曲面的面积
曲面积分的定义：曲面积分是积分的一种，用于计算曲面的面积或体积
曲面积分的计算方法：使用积分公式，将曲面分割成若干个小块，然后计算每个小块的面积或体积
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汇报人：PPT
确定积分函数：确定积分函数为直角坐标系下的一个函数
确定积分变量：确定积分变量为直角坐标系下的一个变量
计算积分：根据积分公式，计算积分区域

高等数学重积分习题课PPT课件

质心定义
质心是物体质量的中心点，对于连续分布的物体，质心可以通过重积分计算得到。
形心定义
形心是物体几何形状的中心点，对于平面图形或立体图形，形心可以通过重积分计算得到。
质心与形心的关系
在某些情况下，质心和形心可能重合，但在一般情况下，它们是不同的点。质心和形心的求解方法类似，都需要用到重积分。
保号性
若在区域$D$上，有$f(x,y) leq g(x,y)$，则 $iint_{D} f(x,y) dsigma leq iint_{D} g(x,y) dsigma$。
积分区域的可加性
若区域$D$被划分为两个子区域$D_1$和$D_2$，且它们没有公共部分，则$iint_{D} f(x,y) dsigma = iint_{D_1} f(x,y) dsigma + iint_{D_2} f(x,y) dsigma$。
球面坐标系下三重积分计算
球面坐标变换
将直角坐标系下的三重积分通过球面坐标变换转化为球面坐标系下的三重积分。
投影法与截面法在球面坐标系中的应用
类似于直角坐标系和柱面坐标系下的方法，通过投影或截面将三重积分转化为二重积分或一重积分进行计算。
利用球面坐标系的性质简化计算
根据球面坐标系的性质，选择合适的积分顺序和积分限，简化三重积分的计算过程。
学习方法与建议
01
重视基础知识的学习
在学习重积分的过程中，需要重视基础知识的学习，如多元函数的微分学、向量分析等，这些知识是理解和应用重积分的基础。
02
多做习题巩固知识
通过大量的习题练习，可以加深对重积分知识的理解和掌握，提高解题能力和思维水平。
03
寻求帮助和辅导

2007高等数学竞赛培训班重积分习题参考解答

2007年高等数学竞赛培训班重积分练习题参考解答 2006.5.13一.填空题(每小题3分,共15分) 1.22231(2si 5n 1)d d π 4 x y x x y x y +≤-++=⎰⎰. 解：因为22:1D x y +≤关于0x =对称，且sin x 是x 的奇函数，故sin d d 0Dx x y =⎰⎰；同理22:1D x y +≤关于0y =对称，且3y 是y 的奇函数，故3d d 0Dy x y =⎰⎰；又由轮换对称性得2222222222112π 12 0011d d d d ()d d 2π1d d 24x y x y x y x x y y x y x y x y θρρρ+≤+≤+≤+==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；显然，221d d πx y x y +≤=⎰⎰；所以222315(2sin 1)d d π4x y x x y x y +≤-++=⎰⎰. 2.2222221,π (1ln2) 2d 1x y z z x y z V x y z ++≤≥++-=+++⎰⎰⎰. 解：积分域222:1,0x y z z Ω++≤≥关于0x =对称，2222221,d 1x y z z xV x y z ++≤≥+++⎰⎰⎰中被积函数是x 的奇函数，故2222221,d 01x y z z xV x y z ++≤≥=+++⎰⎰⎰；同理2222221,d 01x y z z yV x y z ++≤≥=+++⎰⎰⎰；而 2222221,d 1x y z z zV x y z ++≤≥=+++⎰⎰⎰2π2π1220cos sin d d d 1r r r r ϕϕθϕ⋅+⎰⎰⎰π3122 0 02πcos sin d d 1r r r ϕϕϕ=+⎰⎰()π1112πln 21ln 2.⎡⎤=⋅-=-⎢⎥⎣⎦. 故2222221,d 1x y z z x y zV x y z ++≤≥++=+++⎰⎰⎰()π1ln 22-.3.设{(,)0,D x y x y =≤≤，则()22sin max{,}d d 2 D x y x y =⎰⎰.解：用直线y x =将D 分为12D D +（见右图）.于是()22sin max{,}d d Dx y x y ⎰⎰()()122222sin max{,}d d sin max{,}dD D x y x y x y =+⎰⎰⎰⎰1222sin d d sin d d D D x x y y x y =+⎰⎰⎰⎰22 0d d d d x yx x y y y x =+⎰⎰⎰⎰2 02sin d cos 2x x x ==-=⎰.4.交换二次积分的积分次序： 21 10 1 12d d (,)(,)d d yxx f x y f x y x y y ---=⎰⎰⎰⎰.解：因为当10y -≤≤时有12y -≤，故该积分不是某个二重积分的二次积分，为此，交换内层积分的上、下限，得1 02121 1d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x ----=-⎰⎰⎰⎰(,)d d Df x y x y =-⎰⎰ 211d (,)d xx f x y y -=-⎰⎰2 1 1d (,)d xx f x y y -=⎰⎰.5. 11 ln d l 1n b a x x b ax x ++-=⎰. 解： 1011110 011d d d d d ln 1d d bbay bby b y a a a a x x x b x y x x y y y x x y +-+=====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 二.选择题(每小题3分,共15分)(将正确选项的代号填在括号内) 1.设123d d ,d ,4DD Dx y I x y I x y I +===⎰⎰22{(,)(1)(1)2}D x y x y =-+-≤，则有(A)123I I I <<. (B) 231I I I <<. (C) 312I I I <<. (D) 321I I I <<.解：由图可知(,)x y D ∀∈，01x y+≤≤，故4x y +<<，且等号只x +x +在个别点处成立，又被积函数连续，所以d d d d 4D D Dx y x y x y x y +<<⎰⎰. 2.设2221:D x y R +≤，2222:2D x y R +≤，3:max{,}D x y R ≤；记221()1e d d xy D I x y -+=⎰⎰，222()2e d d xy D I x y -+=⎰⎰，22()3xy D I -+= (A) 123I I I <<. (B) 132I I I <<.(C) 213I I I <<. (D) 321I I I << 答解：被积函数相同且恒正，则积分的大小关系与积分域的包含关系一致. 3. 二次积分π1πsin 2d (,)d xx f x y y ⎰⎰等于(A) 1π0πarcsin d (,)d y y f x y x +⎰⎰. (B) 1π0πarcsin d (,)d y y f x y x -⎰⎰.(C) 1πarcsin π2d (,yy f x +⎰⎰πarcsin π2(,)d yy f x y x -⎰.答：（B ）4.设(,,)f x y z 是连续函数且(0,0,0)0f ≠，2222()(,,)d d d x y z t I t f x y z x y z ++≤=⎰⎰⎰,则当0t +→时，下列结论正确的是(A) ()I t 是t 的一阶无穷小量. (B) ()I t 是t 的二阶无穷小量. (C) ()I t 是t 的三阶无穷小量. (D) ()I t 是比3t 高阶的阶无穷小量.答: ( C )解：2222()(,,)d d d x y z t I t f x y z x y z ++≤=⎰⎰⎰34(,,)π3f t ξηζ=⋅，300()4π4πlim lim(,,)(0,0,0)033t I t f f t ξηζξηζ+→→→→∴==≠，故()I t 是t 的三阶无穷小量. πarcsin x y =-5.设222{(,,)1,0}x y z x y z z Ω=++≤≥，则(e e e )d x y z V Ω++⎰⎰⎰等于(A) 3e d x V Ω⎰⎰⎰. (B) 3e d zV Ω⎰⎰⎰. (C)(2e +e )d xzV Ω⎰⎰⎰. (D) (e +2e )d xzV Ω⎰⎰⎰. 答: ( C )解：因为积分域Ω关于,x y 轮换对称（即在Ω的表示式中将,x y 换为,y x 时Ω不变），故e d e d x y V V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而积分域Ω关于,x z 不具有轮换对称，积分域Ω关于,y z 也不具有轮换对称，所以(e e e )d xyzV Ω++⎰⎰⎰(2e +e )d (2e +e )d xzy zV V ΩΩ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 三.(本题6分)计算二重积分ed d yx yDx y +⎰⎰，其中D 是由0,0x y ==及1x y +=所围成的平面闭域.解:方法一采用极坐标进行积分.0,0x y ==及1x y +=的极坐标方程分别为 π,02θθ==及1sin cos ρθθ=+,故 π1sined d ed d yDx y θθθθθθρρ=⎰⎰⎰⎰π1sin22sin +cos sin +cos 001e d 2θθθθθρθ=⎰ ()πsin2sin +c 2os 01d s 1e 2in +cos θθθθθθ=⎰()πsin sin +cos 0sin d sin +c e s 1o 2θθθθθθ=⎰ πsin 2sin +cos 0e 11e 22θθθ-==. 方法二作代换.ed d y x yDx y +⎰⎰ 1 1 0d ed y yx yy x -+=⎰⎰，若令x y u +=，则d d x u =，当0x =时u y =，1x y =-时0u =，于是原式 1 1 0d ed yyx yy x -+=⎰⎰1 00 d e d yuyy u =⎰⎰ 1 0d e d y uu y ⎰⎰1 100e 1ed (e 1)d 2[]y uuu u u u -==-=⎰⎰.交换次序四.(本题7分) 设()f x 在[0, 1]上连续,已知 1()d f x x A =⎰,求11d ()()d xx f x f y y ⎰⎰.解:解法一令 1 ()d ()xf y y x ϕ=⎰,则()(),(0),(1)0x f x A ϕϕϕ'=-==,故11 1 1 1d ()()d ()d ()d ()()d xxx f x f y y f x x f y y x f x x ϕ==⎰⎰⎰⎰⎰2 122 01()d ()[(1)(0)]22A x x ϕϕϕϕ=-=--=⎰.解法二1 1 0d ()()d xx f x f y y ⎰⎰ 1 1 0d ()()d d ()()d y xy f x f y x x f x f y y ==⎰⎰⎰⎰,1 12d ()()d xx f x f y y ∴=⎰⎰ 11 1 0 0d ()()d d ()()d xxx f x f y y x f x f y y +⎰⎰⎰⎰112 0()d ()d f x x f y y A ==⎰⎰,即2 1 1d ()()d 2xA x f x f y y =⎰⎰. 五.(本题7分) 设ππ{(,)0,0}22D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分d DI x y =. 解: d DI x y =cos()d d Dx y x y =+⎰⎰12cos()d d cos()d d D D x y x y x y x y =++-+⎰⎰⎰⎰ππππ 2222π 02d cos()d d cos(x x x x y y x x --=+-+⎰⎰⎰⎰ππ 0(1sin )d (cos 1)d π2x x x x =---=-⎰⎰.六.(本题7分) 设2,1, (,)12,x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤求积分(,)d D f x y σ⎰⎰,其中{}(,)1D x y x y =+≤.解：由区域的对称性和被积函数的奇偶性，有1(,)d 4(,)d DD f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 是D 在第一象限的部分，而11121(,)d (,)d (,)d ,D D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中 {}11(,)01,01D x y y x x =≤≤-≤≤ {}21(,)12,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥11111112220(,)d d d d (1)d12xD D f x y x x x x x x σσ-===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 而1212ππ2100sin cos d 1(,)d d d sin cos D D f x y θθθθθσσθρρρθθ+===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()())ππ420d ππcsc cot 1,44π4θθθθ⎡⎤==+-+=⎢⎥⎣⎦+⎰))11(,)d 411.Df x y σ⎡⎤∴=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰七.(本题7分)设Ω是由曲面z xy =与平面,1,0y x y z ===所围成的闭区域，求三重积分23d I xy z V Ω=⎰⎰⎰.解：23d I xy z V Ω=⎰⎰⎰ 23 0d d d xyxyD x y xy z z =⎰⎰⎰1 5656 0011d d d d 44xyyD x y x y y x y x ==⎰⎰⎰⎰112 011d 24312y y ==⎰.八.（本题7分）求三次积分211 1(1) 0 0d d (1)e d x x zy z x z y y -------⎰⎰⎰.解：注意到被积函数与x 无关，交换次序，先对211 1(1) 0d d (1)ed xx zy z x z y y -------⎰⎰⎰2(1)(1)e d d d y z y x y z Ω---=-⎰⎰⎰21(1) 0d d (1)ed yzy zy z D y z y x -----=-⎰⎰⎰1z =21 1(1) 0 0(1)d (1)e d yy z y y y z z ----=---⎰⎰21 1(1)1(1)e d 2z y y z z y y =----==-⎰()21(1)1 011111(1)(1e )d 1e 22224ey y y ---⎡⎤=--=--=⎢⎥⎣⎦⎰. 九.(本题7分) 设222{(,,)14,0,0,0},x y z x y z x y z Ω=≤++≤≥≥≥求积分 222()()e d .xy z I x z V Ω-++=+⎰⎰⎰解：I2222ππ2()22212ed 2d d cose sin d x y z r z V r r r Ωθϕϕϕ-++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰223π244341011π(2e 5)πππ2sin cos d e d e d e e .2444e u r r u u u r r u u u ϕϕϕ=-----⎡⎤=⋅==--=⎣⎦⎰⎰⎰ 十.（本题7分）计算22[sin()]d xy y z V Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由曲线220 z x y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周而成的曲面与平面4x =所围成的立体.解：Ω是由旋转抛物面222y z x +=与平面4x =围成的（见下图）.由于Ω关于0y =对称，故s i n (x y Ω⎰⎰⎰而[0, 4]x ∀∈，22():2D x y z x +≤，所以22[sin()]d xy y z V Ω++⎰⎰⎰220()d y z V Ω=++⎰⎰⎰442π222 0()d ()d d d d d D x x y z y z x θρρ=+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰42 01282πd π3x x ==⎰.十一. (本题7分)求d d x y z Ω，其中222:1x y z Ω++≤.解：d d x y z Ω2010π02πd d r r ϕθθϕ≤≤≤≤≤≤=⎰⎰⎰22π1 π0 0d d d r θϕϕ=⎰⎰⎰112 0 02π2π d π2d 43r r r r =⋅==⎰⎰.轮换对称性十二. (本题8分)1. 设函数()f u 连续且恒正，讨论222()22()()d ()()d t D t f x y z V t f x y Ωϕσ++=+⎰⎰⎰⎰⎰在区间(0, )+∞内的单调性，其中2222(){(,,)}t x y z x y z t Ω=++≤， 222(){(,,)}D t x y z x y t =+≤.2. 设(,)f x y 在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零，证明：2201(0,0)lim d d ,2πx y Dxf yf f x y x y ε+→''+-=+⎰⎰ 其中D 为圆环域222 1.x y ε≤+≤ 解：1.因为222()22()()d ()()d t D t f x y z Vt f x y Ωϕσ++=+⎰⎰⎰⎰⎰2ππ 2222 00 0 2π220d d ()sin d 4π()d d ()d 2π()d ttttf r r rf r r r f f θϕϕθρρρρρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，222222 022 0()()d ()()d ()2()d tttt f t f tf t f r r rt f ρρρϕρρρ-'=⋅⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰222222 022 0()()d ()()d 2()d t tt t f t f u u u tf t f u u uf u u u -=⋅⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 22 022 0()()()d 20()d tt tf t f u u t u uf u u u -=⋅>⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，故()t ϕ在区间(0, )+∞内的单调增加.2. 2201lim d d 2πx y Dxf yf x y x y ε+→''+-+⎰⎰ 2π1200cos (cos ,sin )sin (cos ,sin )1lim d d 2πx x f f εερθρθρθρθρθρθθρρρ+→=''+-⎰⎰ []2π100cos (cos ,sin )sin (cos ,sin )1lim d d 2πx x f f εεθρθρθθρθρθθρ+→''-=+⎰⎰[]2π1001l d (cos ,sin )d im d d 2πf εερθρθρθρ+→-=⎰⎰ []2π1001lim (cos ,sin )d 2πf εερθρθθ+→-=⎰ []2π00(cos ,si 1lim(cos ,sin )d 2)πn f f εθθεθεθθ+→-=-⎰ []2π001lim(cos ,sin )0d 2πf εεθεθθ+→-=-⎰ []01lim (cos ,sin )2π (0, 2π)2πf εεξεξξ+→-=-⋅∈ (0,0).f =。

高数第十章习题.docx

第十章重积分第二节二重积分计算法习题一、填空题：1、+ 3兀2歹 + y 3)d(j = _______________ .其中 D: 0 < x < 1,0 < y < 1.D2、 J jxcos(x+yW = ___________________ •其中D 是顶点分别为(0,0),(龙,0),(兀,兀)的三角形闭区域.D3、将二重积分JJ/(x,yW ，D 是由X 轴及半圆周%4 5 + y 2 = r 2(y>0)所围成的闭区域，化为先对y 后对x 的二次积分，应为D4、将二重积分Jj f(x, y)db ,其中D 是由直线y = x,x = 2及双曲线y = -(x>0)所围成的闭域，化为先对X 后对y 的二次积分, D X应为 ___________________________ ・ sinxx /(匕y)dy 改换积分次序，应为 -sin —2£_2 dyf. f(x, y)dx +〜y)dx 改换积分次序，应为 ____________________________________二、画出积分区域，并计算下列二重积分：1、 J j e x+y d(y,其中D 是由|x| + |^| <1所确定的闭区域.D2、 J J(%2+ /-x)da 其中D 是由直线y = 2y y = xRy = 2兀所围成的闭区域. D训JD三、设平面薄片所占的闭区域D 由直线x+ y = 2, y = x 和x 轴所围成，它的面密度p(x, y) = x 2 + y 2,求该薄片的质量. 四、求由曲面z = x 2+ 2y 2及z = 6 — 2+ — y2,所围成的立体的体积. 答案f(x,y)dy ； 4.刃6仕+『创了(兀,以仕；5、(创*： ' /(兀,y 皿;2 7 v_y4、将(心［/(x, y)dy 化为极坐标形式的二次积分为 ______________________________ .5、将£ (x 2 + y 2)^dy 化为极坐标形式的二次积分为 ____________________ ,其值为 ________________二、计算下列二重积分：1、jjln(l + x 2 + y 2)da t 其中D 是由圆周x 2 + y 2 = 1及坐标轴所围成的在第一彖限内的区域.DD4 将JJ f(x, y)dxdy , D 为x 2 + y 2<2x,表示为极坐标形式的二次积分，为 ______________D5 将JJ/(x,y)dxdy 小为05 y 51—兀，05x51,表示为极坐标形式的二次积分为W一］13 5 兀 4 、〜二 1、e-e : 2、—:3、兀；4、—F —•二 S 一•四、6龙63 2 3极坐标习题一.填空题：arcsin v/•（） p/r「1 /•^•-arcsin vr2 r\+x 26、Whc 加（3）如 IM 如/（3心 7、WL f^y ）dy.5、将二次积分 MTy)dy 改换积分次序，应为 ___________________________7、将二次积分3' «［”（兀皿=）?叫dy（彳-x ）（x-刃3>将X 2 +)労化为极坐标形式的二次积分为 y-x 2 dxdy,其中D ： -1 <x<l,0< y <2.2、 Jj(x 2 + y 2)d(m 中 D 是由直线 y 二兀，y = x + a,y = a,y = 3a(a > 0)所罔成的区域. D3、 JJjF 一F — bdb,其中D 是由圆周X 2 + y 2 = Rx 所围成的区域.D4、 j||x 2 + / -2c/cr, Jt 中 D ：F + y2s3.D芒/*2acos^三、试将对极坐标的二次积分I = J/(rcos^,rsin^)rJr 交换积分次序."4°yz 7^ /> ° 四、设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线r = 2 &上一段弧(0<3<-)与直线0 =-所闱成，它的面密度为p(x, y) = x^ + y\求这薄片的质量.五、计算以xoy 面上的圆周x 2 + y 2 = ax 成的闭区域为底，而以曲面z = x 2 + y 2为顶的曲顶柱体的体积. 答案r — r2cos^r — p(cos^+sin^)"—、1、J ：d/(rcos^,rsin 0ydr ； 2、啊&sineI/(厂cos&rsin&)厂dr ； 5、|4kccOlan*JO4、丄龙.三、/ = £ 1rdr^\ f(rcosO,rsin2 ° "4第三节三重积分习题一、填空题：1、若Q 由ill 「血z = x 2 + >?2及平血z=l 所围成，则三重积分JJJ/(%, y, z)dxdydz 化为三次积分是 Q222、若O 是由illiiiicz = A ><C >0), * +》〒 = l,z=o 所围成的在第一卦限内的闭区域，则三重积分jjj/(x,z^dxdydz 可化为三61 Q次积分为 ________ ■3、若Q:0<x< 1,()< y < 1,0<z< 1,则 jj (兀 + y + z)dxdydzQ4、若 Q ：是由 x = 0, z = 0, z = h(h > 0), x + 2y =。

高等数学_第九章_重积分_第一节_讲义二重积分概念

在 D上连续, 则
在D上可积.
三、二重积分的性质
1.D kf(x,y)dkD f(x,y)d ( k 为常数)
以上两性质统称为线性性质. 下一性质是说，二重积分关于积分区域具有可加性.
3 .D f ( x ,y ) d D 1 f ( x ,y ) d D 2 f( x ,y ) d
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n
Ml i0m k 1(k,k)k
y x
(k,k) k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “分割；常代变求近似和；取极限求精确”
(2) 所求量的结构式相同曲顶柱体体积:
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
平面薄片的质量:
n
Ml i0m k 1(k,k)k
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高等数学_第九章_重积分_第一节_二重积分概念
精品
第九章重积分
第一节
二重积分的概念与性质
❖ 曲顶柱体的体积 ❖ 二重积分的定义 ❖ 二重积分的性质
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一、引例
1. 曲顶柱体的体积
z
S : z = f (x,y)
元素法
（1）分割区域 D, 化整为零
（2）局部以平代曲, 求近似
z
元素法
（1）分割区域 D, 化整为零
（2）局部以平代曲, 求近似
V i f(xi,yi) i
积零为整 n V f(xi,yi)i i1
（3）取极限
令分法无限变细
0
n
V = lim f(xi,yi)Δσi
i1
x
V
y
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重积分习题PPT课件

例3
计算二重积分∬D sin(x+y) dσ，其中 D为0≤x≤π，0≤y≤π。
解析
利用被积函数的对称性和区域的可加性，简化计算过程。
03
一元函数重积分
一元函数重积分的概念和性质
一元函数重积分的定义
设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，且$a leq c leq b$，若$int_{a}^{b}f(x)dx = int_{a}^{c}f(x)dx + int_{c}^{b}f(x)dx$，则称$int_{a}^{b}f(x)dx$为$f(x)$在$[a,b]$上的一元函数重积分。
要点二
拓展应用领域
除了传统的物理学和工程学领域外，重积分在经济学、金融学、生物医学等领域也有着广泛的应用前景。未来可以关注这些领域的发展动态，探索重积分在其中的应用潜力。
要点三
结合计算机技术
随着计算机技术的不断发展，数值计算和仿真模拟等方法在重积分的应用中发挥着越来越重要的作用。未来可以结合计算机技术，学习数值分析、科学计算等相关课程，提高解决实际问题的能力。
05
多重积分及其应用
多重积分的概念和性质
多重积分的定义
在多维空间中，对多元函数进行多次积分的过程。
多重积分的性质
线性性、可加性、积分区域的可加性等。
多重积分的存在性和唯一性
在一定条件下，多重积分存在且唯一。
多重积分的计算方法和技巧
直角坐标系下的多重积分
通过累次积分进行计算，先对某一变量进行积分，再对其他变量进行积分。
通过变量代换将复杂的一元函数重积分转化为简单的重积分进行计算。
分段计算法
当被积函数在积分区间内存在不可积点或间断点时，可以采用分段计算法进行处理。

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lim
2
0π
解：利用积分中值定理及连续性有0, 0( , (lim , (1lim
8
2
0f f dxdy y x f a a D a ==→→⎰⎰ηξπ
§ 2二重积分的计算法
1、设⎰⎰
+=D
dxdy y x
I 1，其中D是由抛物线12+=x y与直线y=2x，x=0所围成的区域，则I=（）
A：2
12ln 3ln 87+-- B：21
解：⎰⎰D
y x
dxdy e }
22
, max{=110
10
2
2
-=+⎰⎰⎰⎰e dx e d dy e dx y
y x
x y
15、计算二重积分⎰⎰
++D
dxdy y
x y
x 2
2，D：. 1, 122≥+≤+y x y x解：⎰⎰++D dxdy y
x y x 22=24 sin (cos201sin cos 12πθθθπ
积分⎰⎰D
dxdy y x f (2为（）
A ⎰⎰1
, (22D dxdy y x f B ⎰⎰2
2 , (4D dxdy y x f
C ⎰⎰1
, (42D dxdy y x f D
⎰⎰2
2
, (21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|≤1
解：π102559222=--=⎰⎰≤+y x y x 1S π20255
16
2
22=--=⎰⎰≤+y x y x 3S
π70=2S
5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积解：3
122(22
2222
2R R y x R R y x π-=++=
⎰⎰
≤+S
6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy平面之间那部分立
1
1||2
22 (
z y x z dz dxdy e =2⎰=-1
2
2 1(ππdz z e z 4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1及z=0所围成的空间区域，求⎰⎰⎰Ω
dxdydz z xy 32
(1/364
5、设Ω是球域：12
2
2
≤++z y x，求⎰⎰⎰Ω
++++++dxdydz z y x z y x z 1
C ⎰⎰20
22
20
2ρπρθρθρρθdz z , sin , cos f(d d D ⎰⎰⎰202
20dz z , sin , cos f(d d ρθρθρρθπ
3、设Ω是由1222≤++z y x所确定的有界闭域，求三重积分⎰⎰⎰Ω
dv e z ||
解：⎰⎰⎰Ω
dv e z ||=⎰⎰⎰
--≤+1
A 31μ32μ C μ D 3
4
μ
2、求均匀上半球体(半径为R的质心
解：显然质心在z轴上，故x=y=0,z=⎰⎰⎰Ω=8
31R
zdv V故质心为(0,0,R 38
4、曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为s 1, s2, s3,求s 1:s2:s3
第十章重积分
§ 1二重积分的概念与性质1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
dxdy y x I D
⎰⎰+=22其中D为：422≤+y x
( dxdy y x I D
⎰⎰+=22=πππ3
16
2. 4. . 312. 4. =
- 2、设D为圆域, 0, 222>≤+a a y x若积分
dxdy y x a D
体的体积
解：43 (2132
222R dxdy y x R Rx y x π=+=⎰⎰≤+V第九章自测题
一、选择题:（40分）1、⎰
⎰-x dy y x f dx 10
1
0 , (=(
A⎰⎰-1010
, (dx y x f dy x B ⎰
⎰-x
dx y x f dy 1010 , ( C ⎰⎰1
1
3
1
ln 0
, (x
dy y x f dx ,交换积分次序后I为：
I=⎰⎰
3
1
ln 0
, (x
dy y x f dx =⎰⎰3
ln 0
3
, (y e
dx y x f dy
10、改变二次积分的次序：⎰⎰⎰⎰-+4
2402
00 , ( , (x
x
dy y x f dx dy y x f dx = ⎰⎰
20
7 D (0,38
(3、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是（）
A (0, 0, 34 B (0, 0, 3
5 C (0, 0, 45 D (0, 0, 47
(4、质量分布均匀(密度为μ的立方体所占有空间区
域:}10, 10, 10| , , {(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz轴的转动惯量I Z =(
A：e e e 212124-- B：21
242
1
21e e e e -+-
C：e e 2
1
214+2421e e -
4、设f(x,y是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ⎰
⎰++-2
1
1
, (为（）
A dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰----+1
1
2
111102 , ( , ( B dx y x f dy y ⎰⎰--1
11
0 , (
C dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰-----+1
1
2
11
11
02 , ( , ( D dx y x f dy y ⎰⎰---1
1
2
02 , (
5、设有界闭域D 1、D 2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重
z y x t (1lim 2
2222224
0⎰⎰⎰≤++→++π
解：dxdydz z y x f t
t z y x t ⎰⎰⎰≤++→++2
22222240(1
lim π
= 0(' (4lim
sin (1lim 4
20
220
40f t dr
r f r dr r r f d d t
t
t t
t ==⎰⎰⎰
R π
13、计算二重积分⎰⎰-+D
dxdy y x |4|22，其中D是圆域922≤+y x
解：⎰⎰-+D
dxdy y x |4|22==
-+-⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d ππθθ20
3
2
220
20
2 4( 4(2
41π 14、计算二重积分⎰⎰D
y x dxdy e
}
, max{22，其中D={(x,y| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}
12
2
1x
x
dx y dx x
11、设D={(x,y|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求⎰⎰+D
y x dxdy e的值
解：⎰⎰+D
y
x dxdy e
=⎰⎰⎰⎰-==+1
21
10
1
1( ((e dy e dx e dy e
dx y x
l y
x
12设I=⎰⎰--D
dxdy y x R 222,其中D是由x 2+y2=Rx所围城的区域，求I (331
1ln(2
22222 (0 6、计算⎰⎰⎰+Q
dxdydz y x (22其中Ω为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的
区域(
π5
64
7、计算⎰⎰⎰Q
zdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域
(2/27
8、设函数f(u有连续导数，且f(0=0,求dxdydz z y x f t t
, (为(
A ⎰⎰a a y
dx y x f dy 0
, ( B ⎰⎰a y
a
dx y x f dy 0
, (
C ⎰⎰a y dx y x f dy 0
, ( D ⎰⎰a x
dx y x f dy 0
, (
8、求⎰⎰
=D
dxdy y
x I 2
2，其中:D由x=2,y=x,xy=1所围成. (49
9、设I=⎰⎰
⎰⎰
--2
2
2
=12π，求a的值。
解：
dxdy y x a D
⎰⎰
--2
2
2
=3
. 34. 21a π 81
=a
3、设D由圆, 2 1( 2(22围成=-+-y x求⎰⎰D
dxdy 3
解：由于D的面积为π2,故⎰⎰D
dxdy 3=π6
4、设D：}10, 53| , {(≤≤≤≤y x y x，