(整理)匀速直线运动速度位移公式推导运用.

课题

第二章匀速直线运动速度位移公式推导运用

教学目标掌握匀变速直线运动的基本规律，速度公式，位移公式推导运用

重点、难点匀速直线运动的性质，速度公式，位移公式、匀变速直线运动的速度-时间图象

考点及考试要求匀变速直线运动的位移与时间关系的公式s=v0t+1/2at2及其应用。应用v-t图象推导出匀变速直线运动的位移公式s=v0t+1/2at2。

教学内容

知识框架

一、匀速直线运动:

1、这是什么图象?图线中的一点表示什么含义？图像反映出什么物理量间的关系？

2、图象具有什么特点？从图象可判断物体做什么运动？

3、物体的加速度是多少？

二、匀变速直线运动，以小车为例

丙

从图丙可以看出，由于v-t图象是一条倾斜的直线，速度随着时间逐渐变大，在时间轴上取取两点t1,t2,则t1,t2间的距离表示时间间隔?t= t2—t1，t1时刻的速度为v1, t2时刻的速度为v2,则v2—v1= ?v，?v即为间间隔?t内的速度的变化量。

提问：?v与?t是什么关系？

A、匀变速直线运动v-t图象特点？物体的加速度有什么特点?

B、直线的倾斜程度与加速度有什么关系?

1、定义：

沿着一条直线，且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动。匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜的直线。

2、匀变速直线运动的分类

在匀变速直线运动中，如果物体的速度随时间均匀增加，这个运动叫做匀加速直线运动；

如果物体的速度随时间均匀减小，这个运动叫做匀减速直线运动。

3、v-t图象性质

at t v x += 质点在任一时刻的瞬时速度及任一速度所对应的时刻；2、比较速度的变化快慢3、确定加速度的大小和方向。

（1）、描述图1线①②③表示的运动情况怎样? （2）、图1中图线的交点有什么意义?

思考1:图2和3物体运动的速度怎样变化?

思考2:图3在相等的时间间隔内,速度的变化量总是相等吗? 思考3:图3物体在做匀加速运动吗?

三、速度与时间的关系式

四、匀速直线运动的位移

1、结论：匀速直线运动的位移就是v – t 图线与t 轴所夹的矩形“面积”。

2、公式法：x=vt

3、面积也有正负,面积为正,表示位移的方向为正方向, 面积为负值,表示位移的方向为负方向. 五、匀变速直线运动的位移

1、推导：由图可知：梯形OABC 的面积S=（OC+AB ）×OA/2 代入各物理量得：X=1/2(v 0+v t ) 又v=v 0+at ，x=v 0t+at 2/2

2、位移公式：x=v 0t+at 2/2

3、对位移公式的理解:

⑴反映了位移随时间的变化规律。

⑵因为v 0、α、x 均为矢量，使用公式时应先规定正方向。（一般以υ0的方向为正方向）若物体做匀加速运动,a 取正值,若物体做匀减速运动,则a 取负值. (3)若v 0=0,则x=at 2/2

(4)特别提醒:t 是指物体运动的实际时间,要将位移与发生这段位移的时间对应起来. (5)代入数据时,各物理量的单位要统一.(用国际单位制中的主单位) 六、匀变速直线运动的位移与速度的关系

1、速度公式： v ＝v 0+at ，

2、位移公式：

位移与速度关系：ax

v v 22

02=-

图1

图2

图3

考点一：速度公式运用

典型例题

1．物体作匀加速直线运动，加速度为2m／s2，就是说( )

A．它的瞬时速度每秒增大2m／s B．在任意ls内物体的末速度一定是初速度的2倍

C．在任意ls内物体的末速度比初速度增大2m/s D．每秒钟物体的位移增大2m

2．物体沿一直线运动，在t时间内通过的路程为S，它在中间位置s／2处的速度为v l，在中间时刻t／2时的速度为v2，则V l和v2的关系为( )

A．当物体作匀加速直线运动时，v1>v2 B．当物体作匀减速直线运动时，v1>v2

C．当物体作匀速直线运动时，v1=v2 D．当物体作匀速直线运动时，v1

3．一物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为O．5 m/s2，则此物体在4s末的速度为___________m／s；4s初的速度为___________m／s。

4．摩托车从静止开始，以a l=1．6m/s2的加速度沿直线匀加速行驶了t l=4s后，又以a2=1．2 m／s2的加速度沿直线匀加速行驶t2=3s，然后做匀速直线运动，摩托车做匀速直线运动的速度大小是____________。

5、如图是某质点做直线运动的速度图像。由图可知物体运动的初速度________m/s，加速度为__________m/s2。可以推算经过________s，物体的速度是60m/s，此时质点的位移为_______。

知识概括、方法总结与易错点分析

1. 推导和理解匀变速直线运动的速度公式。

2. 匀变速直线运动速度公式的运用

针对性练习

1、汽车以40km/h的速度匀速行驶,现以0.6m/s2的加速度加速10s后速度能达到多少?

2、某汽车在某路面紧急刹车时，加速度大小是6m/s2，如果必须在2s内停下来，汽车的行驶速度最高不能超过多少？

3：一质点从静止开始以lm/s2的加速度匀加速运动，经5 s后做匀速运动，最后2 s的时间质点做匀减速运动直至静止，则质点匀速运动时的速度是多大?减速运动时的加速度是多大?

3、5m/s，-2.5m/s2

运动示意图

4、卡车原来以10m/s 的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，使卡车匀减速前进，当车减速到2m/s 时，交通灯转为绿灯，司机当即停止刹车，并且只用了减速过程的一半时间就加速到原来的速度，从刹车开始到恢复原速过程用了12s 。求：（1）减速与加速过程中的加速度大小；（2）开始刹车后2s 末及10s 末的瞬时速度。

5 、跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地而某一高度静止于空中时，运动员离开飞机自由下落，运动

一段时间后打开降落伞，展伞后运动员以5m/s 2的加速度匀减速下降，则在运动员减速下降的任一秒内（）

A.这一秒末的速度比前一秒初的速度小5m/s

B.这一秒末的速度是前一秒末的速度的0.2倍

C.这一秒末的速度比前一秒末的速度小5m/s

D. 这一秒末的速度比前一秒初的速度小10m/s

6、一个物体以5m/s 的速度垂直于墙壁方向和墙壁相撞后，又以5m/s 的速度反弹回来。若物体在与墙壁相互作用的时间为0.2s ，且相互作用力大小不变，取碰撞前初速度方向为正方向，那么物体与墙壁作用过程中，它的加速度为（）

A. 10m/s 2

B. –10m/s 2

C. 50 m/s 2

D. –50m/s 2

考点二：位移公式运用

典型例题

1、一物体运动的位移与时间关系2

64x t t =-（t 以s 为单位），则（） A. 这个物体的初速度为12m ／s B. 这个物体的初速度为6m ／s C. 这个物体的加速度为8m ／s 2 D. 这个物体的加速度为－8m ／s 2

2、两辆汽车同时由同一地点沿同一方向做直线运动，甲车匀速前进，乙车匀加速前进，它们的v-t 图像如图所示，则下列判断正确的是（）

第2题

A 前2s 甲车速度大，后2s 乙车的速度比甲车速度大

B 前2s 甲车在乙车前，后2s 乙车超过甲车

C 在4s 内两车的平均速度相等

D 距离出发点40m 远处两车相遇

3、初速度为v 0，以恒定的加速度a 做匀加速直线运动的物体，若使速度增加为初速度的n 倍，则经过的位移为

（）

A.()122

0-n a v B.()120-n a v C.22

02n a

v D.

()22

012-n a v 4、如图所示的四个图分别为四个质点做直线运动的速度-时间图象，请根据图象回答下列问题

①第2s 末，哪个质点离出发点最远。（） ②第2s 末，哪些质点回到起始位置。（） ③第2s 内，哪些质点做加速运动（） ④第2s 内，哪些质点做减速运动。（） 5、甲、乙、丙三辆汽车同时以相同的速度经过某一个路标，此后甲一直做匀速直线运动，乙先加速后减速，丙先减速后加速，它们经过下一个相同的路标时的速度仍然相同，则（）

A.甲车先经过下一个路标

B.乙车先经过下一个路标

C.丙车先经过下一个路标

D.无法判断哪辆车先经过下一个路标

知识概括、方法总结与易错点分析

掌握匀变速直线运动的性质，

掌握匀变速直线运动的位移与时间关系的公式s=v 0t+1/2at 2

及其应用。

针对性练习：

1、一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m。汽车开始加速时的速度是多少？ 9

2.一质点以一定初速度沿竖直方向抛出，得到它的速度一时间图象如图2—3—6所示．试求出它在前2 s内的位移，后2 s内的位移，前4s内的位移．

3、刹车问题! 在平直公路上，一汽车的速度为15m/s。从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度运动，问刹车后10s末车离开始刹车点多远？ 56.25m

4、一质点沿一直线运动，t=0时，位于坐标原点，下图为质点做直线运动的速度－时间图

象。由图可知：

⑴该质点的位移随时间变化的关系式是：x=____________。

⑵在时刻 t=___________s时，质点距坐标原点最远。

⑶从t=0到t=20s内质点的位移是___________；通过的路程是___________。

5、一辆载满乘客的客机由于某种原因紧急着陆，着陆时的加速度大小为6m/s2，着陆前的速度为60m/s，问飞机着陆后12s内滑行的距离为多大？ 300m

考点三：图像综合计算题

典型例题

1、甲、乙两物体沿同一直线运动的v－t图象如图所示，则下列说法正确的是( )

第1题第2题第3题A．在2 s末，甲、乙两物体的速度不同，位移不同B．在2 s末，甲、乙两物体的速度相同，位移不同

C ．在4 s 末，甲、乙两物体的速度相同，位移不同

D ．在4 s 末，甲、乙两物体的速度不同，位移相同 2、如图所示为一物体做匀变速直线运动的速度—时间图象，根据图线得出如下几个判定，正确的是（）

A ．物体始终沿正方向运动

B ．物体先沿负方向运动，在t ＝2 s 后开始沿正方向运动

C ．运动过程中，物体的加速度保持不变

D ．4 s 末物体回到出发点 3、如图是物体做直线运动的vt 图象，由图象可得到的正确结果是 ( )

A ．t ＝1 s 时物体的加速度大小为1.0 m/s 2

B ．t ＝5 s 时物体的加速度大小为0.75 m/s 2

C ．第3 s 内物体的位移为1.5 m

D ．物体在加速过程的位移比减速过程的位移大

4、作匀加速直线运动的物体，先后经过A 、B 两点时，其速度分别为v 和7v ，经历的时间为t ，则( )

A ．经A 、

B 中点位置时的速度是5v B ．从A 到B 所需时间的中点(t /2)的速度是4v

C ．AB 间的距离为5v t

D ．AB 间的距离为4v t

5、如图所示是两个质点做匀变速直线运动的v －t 图象，两条线交点的横、纵坐标分别为t 0、v 0，关于这两个质

点的运动，以下说法正确的是( )

A ．由于A 、

B 的初速度v A <0，v B >0.所以v A

C ．t 0时刻两质点相遇

D ．若0时刻两质点从同一地点出发，则t 0时刻，B 质点位移比A 大，两质点速度相知识概括、方法总结与易错点分析

掌握v-t 图象性质。质点在任一时刻的瞬时速度及任一速度所对应的时刻；2、比较速度的变化快慢3、确定加速度的大小和方向。

针对性练习

1、如图表示甲、乙两运动物体相对同一原点的位移-时间图象。下面有关说法中正确的是（）

A ．甲和乙都做匀变速直线运动

B ．甲、乙运动的出发点相距s 0

C ．乙运动的速率大于甲运动的速率

D ．乙比甲早出发t 1的时间

第1题

第2题

2、如图，一物体做匀变速直线运动的速度图象，令t=0时的位置为原点，若只研究前4s 的运动情况，则由图象可知（）

A ．物体始终沿正方向运动 v/(m ·s -1)

5 -5

t/s

2 4 s s 0/2 0

s 0 乙

t 1

t 2

甲

B．物体先沿负方向运动，2s后开始沿正方向运动

C．在2s末物体的位移为负，2s后位移为正

D．t=2s时，物体距原点最远

3、两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定加速度刹车。在它刚停止时，后车也以相同加速度刹车。若前车刹车行驶距离为s，若要保证两车不相撞，则两车匀速行驶时的车距至少应为多少？画出两车速度与时间图像。用图像知识来解决此题，

巩固练习

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一、速度与时间

1．匀变速直线运动是速度随时间_________________的直线运动，即相等的时间内，___________________都相等的直线运动，即____________________不随时间变化的直线运动。 2．汽车做匀加速直线运动，第一个2秒内速度增加1 m/s ，则第五个2秒内速度增加 ,它的加速度为。 3．如图所示的速度—时间图象中，质点A 、B 、C 运动的加速度分别为A a = /m s 2，B a = /m s 2，

C a ＝ /m s 2，其中的加速度最大。在0t s =时的速度最大，在4t s =时的速度最大，在t = s 时，A 、B 的速度一样大。

4．一质点作匀变速直线运动，其速度表达式为v ＝（5－4t ）m/s ，则此质点运动的加速度a 为___________m/s 2，4s 末的速度为___________m/s ；t ＝_________s 时物体的速度为零。 5．下列运动过程可能实现的是（）

A. 运动物体的速度很大，但加速度很小

B. 运动物体的速度很小，但加速度很大

C. 运动物体的加速度减小，速度却增大

D. 运动物体的加速度增大，速度却减小

6．如图所示是某一物体运动的v t -图象，从图象可知速度与加速度在下列哪段时间方向相同（）

A. 0～2s

B. 2～4s

C. 4～5s

D. 5～6s

7．一辆车由静止开始做匀变速直线运动，在第8s 末开始刹车，经4s 停下来，汽车刹车过程也在做匀变速运动，那么前后两段加速度的大小之比是（）

A. 1：4

B. 1：2

C. 2：1

D. 4：1

8．以10 m/s 的速度匀速行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，加速度大小为３m ／s 2。则汽车刹车后第４s 末的速度大小为（）

A ．２.5 m ／s

B ．２m ／s Ｃ．０ D .3 m ／s

9．一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4/m s ，1s 后速度的大小变为10/m s ，在这1s 内该物体的（） A. 速度变化的大小可能小于4/m s B. 速度变化的大小可能大于10/m s

C. 加速度的大小可能小于4/m s 2

D. 加速度的大小可能大于10/m s 2

10．一个以初速度v 0沿直线运动的物体，t 秒末速度为v t ，如图所示，则关于t 秒内物体运动的速度v 和加速度

a 说法中正确的是( )

A v 越来越大 B.v 越来越小 C.a 随时间逐渐增大 D.a 随时间逐渐减小

11．A 、B 两物体均做匀变速直线运动，A 的加速度a 1＝1.0 m/s 2，B 的加速度a 2＝－2.0m/s 2，根据这些条件做出的以下判断，其中正确的是（）

A ．

B 的加速度大于A 的加速度 B ．A 做的是匀加速运动，B 做的是匀减速运动

C ．两个物体的初速度都不可能为零

D ．两个物体的运动方向一定相反

二、位移与速度

1、火车长100m ，从车头距离桥头200m 处由静止开始以1m/s 2加速度作匀加速直线运动，桥长150m 。求整个火车通过桥的时间。

2、汽车以l0m ／s 的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2s 速度变为6m ／s ，求：

（1）刹车后2s 内前进的距离及刹车过程中的加速度；（2）刹车后前进9m 所用的时间；

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简谐运动位移公式推导

简谐运动位移公式推导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

简谐运动位移公式推导问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a）所示，将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。图（a）分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力为F, 由胡克定律,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律，m物体加速度a====-x (1) 可令= (2) 代入（a）,得 =X或X=0 (3)

显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程求解：对于X=0，即X’’+X=0 (4) (4)式属可将阶的二阶微分方程，若设X’=u，消去t,就要把把X”转化为关于X与t的函数，那么 X’’===u , u+X=0, u X 下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得 = 得=+C，即+C1 (5) u=x’,x’== (6) 再次分离变量，=dt (7) 两边积分，右边=t，但左边较为复杂，经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：运用三角代换，令X= (7)式左边化为==-, 两边积分，得-–=t+C2

由此可得，X=t+), 即 X=A t+) (8) 其中 A, Ψ皆为常数此方程即为简谐运动方程若Ψ=0,X-t为余弦曲线，如图（b）所示图（b）验证：通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐曲线，与 X=A t+)图像基本吻合，故可判断X=A t+)即为所求,如图（c）所示。图（c）

简谐运动的动力学条件和周期公式的推导

简谐运动的动力学条件和周期公式的推导 [摘要]：本文从简谐运动的概念出发，用数学知识，推理出了简谐运动的动力学条件及弹簧振子的周期公式、单摆做小角度摆动的周期。从逻辑上对机械振动一章的知识有了一个整体的认识。 [关键词]：简谐运动，动力学条件，周期公式，弹簧振子，单摆 [正文] 课程标准实验教科书《物理》3—4第十一章从运动学的角度对简谐运动进行了定义，恰好从数学课上学生也学到了关于导数的知识。这就为构造简谐运动的逻辑提供了条件，通过这样的一个逻辑构造，可以让学生体会数学在物理学中的应用。同时，也可以让学生充分体会物理学逻辑上的统一美。激发学生学习物理，从理论上探究物理问题的兴趣和决心。如果质点的位移与时间的关系遵从正弦的规律，即它的振动图象（ x —t 图象）是一条正弦，这样的运动叫做简谐运动。由定义可知，质点的位移时间关系为t A x sin ………………（1）对时间求导数可得速度随时间变化的规律：t A dt dx v cos ………………（2）再次对埋单求导数可得加速度随时间变化的规律：t A dt dv a sin 2 (3) 由牛顿第二定律可知，质点受到的合力为： ma F ………………（4）由（3）（4）可知： t mA F sin 2 (5) 将（1）式代入（5）式可得： x m F 2..................（6）上式中，m 和都是常数，从而可以写成下面的形式kx F (7) 其中2m k ，至此得到了质点做简谐运动的动力学条件：质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置。对于的弹簧振子来说，（7）式中的k 表示弹簧的劲度系数，对比（6）式可知k m 2，

简谐运动位移公式推导

简谐运动位移公式推导问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a）所示，将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。图（a）分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力为F, 由胡克定律F=?kX,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律，m物体加速度a=dv dt =d2X dt2 =F m =-k m x(1) 可令k m =ω2 代入（a）,得 d2X dt2=?ω2X或d2X dt2 +ω2X=0 显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程

求解：对于d2X dt 2+ω2X=0，即X ’’+ ω2X=0 (4) (4)式属可将阶的二阶微分方程，若设X ’=u ，消去t,就要把把X ”转化为关于X 与t 的函数，那么 X ’’= dX "dt = du dx dx dt =u du dx , u du dx +ω2X=0, u du dx =?ω2X 下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得 udu =?ω2 Xdx 得 12u 2=? 12ω2 x 2+C ，即u 2=? ω2 x 2+C1 (5) u=x ’,x ’= 2 x 2 =dx dt 再次分离变量， C1? ω2 x 2=dt (7) 两边积分，右边=t ，但左边较为复杂，经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：运用三角代换，令X= C1ωcos z (7)式左边化为 d cos z ωsin z =?sin zdz ωsin z =-dz ω, 两边积分，得 -–z ω=t+C2 由此可得， X= C1ωcos(ωt+ωC2),

高三物理简谐运动的公式描述.docx

简谐运动的公式描述教案教学目标 1．知识与技能 (1)会用描点法画出简谐运动的运动图象． (2)知道振动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线． (3)了解替代法学习简谐运动的位移公式的意义． (4) 知道简谐运动的位移公式为x=A sin （ωt＋），了解简谐运动位移公式中各量的物理含义． (5) 了解位相、位相差的物理意义． (6) 能根据图象知道振动的振幅、周期和频率、位相． 2．过程与方法 (1) 通过“讨论与交流”匀速圆周运动在Ⅳ方向的投影与教材表1— 3— 1 中数据的比较，并描出z— t 函数曲线，判断其结果，使学生获知匀速圆周运动在x 方向的投影和简谐运动的图象一样，是一条正弦或余弦曲线． (2)通过用参考圆替代法学习简谐运动的位移公式和位相，使学生懂得化难为易以及应用已学的知识解决问题． (3)通过课堂讲解习题，可以巩固教学的知识点与清晰理解重点与难点． 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节的学习，培养学生学会用已学的知识使难题化难为易、化繁为简，科学地寻找解决问题的方法． (2)培养学生合作学习、探究自主学习的学习习惯． ●教学重点 ,难点 1.简谐运动位移公式x=Asin（ω t ＋）的推导 2.相位 , 相位差的物理意义 .. ●教学过程教师讲授简谐振动的旋转矢量法。y 在平面上作一坐标轴 OX，由原点 O 作一长度等于振幅的矢量 A t=0 ,矢量与坐标轴的夹角等于初相矢量 A 以角速度w 逆时针作匀速圆周运动，研究端点M 在 x 轴上投影点的运动， 1.M 点在 x 轴上投影点的运动 x=Asin（ω t＋）为简谐振动。 x 代表质点对于平衡位置的位移，t 代表时间，简谐运动的三角函数表示回答下列问题 a:公式中的 A 代表什么 ? b:ω叫做什么 ?它和 f 之间有什么关系? c:公式中的相位用什么来表示? d:什么叫简谐振动的初相? M A t M 0 o x P x

单摆周期原理及公式推导

关于单摆的回复力 ①在研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示. ②因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，我们可将重力G 分解到速度ｖ的方向及垂直于ｖ的方向.且Ｇ1＝Ｇsin θ＝mg sin θＧ2＝G cos θ＝mg cos θ ③说明：正是沿运动方向的合力Ｇ1＝mg sin θ提供了摆球摆动的回复力. 单摆做简谐运动的条件 ①推导：在摆角很小时，sin θ＝l x 又回复力Ｆ＝mg sin θ Ｆ＝mg ·l x （ｘ表示摆球偏离平衡位置的位移，ｌ表示单摆的摆长） ②在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相反，大小成正比，单摆做简谐运动. ③简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)，那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线. 单摆周期公式推导设摆线与垂直线的夹角为θ, 在正下方处时θ=0,逆时针方向为正，反之为负。则摆的角速度为θ’（角度θ对时间t 的一次导数）, 角加速度为θ’’（角度θ对时间t 的二次导数）。对摆进行力学分析，由牛顿第二运动定律，有 (m)*(l)* θ’’ = - mg*sin θ 即θ’’+ (g/l )*sin θ = 0 令 ω = (g/l)1/2 ,有 θ’’ + (ω2)*sin θ = 0 当 θ很小时， sin θ ≈ θ （这就是考虑单摆运动时通常强调“微”摆的原因）这时，有 θ’’ + (ω^2)*θ ≈ 0 该方程的解为 θ = A*sin(ωt+φ) 这是个正弦函数，其周期为 T = 2π/ω = 2π*√(l/g)

简谐振动及其周期推导与证明

简谐振动及其周期公式的推导与证明简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐振动。位移：用x 表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出x 的一般式：)cos(?ω+=t A x （下文会逐步解释各个物理符号的定义）；振幅：用A 表示，指物体相对平衡位置的最大位移；全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完全相同所经历的过程；频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f 表示；周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T 表示；角频率：用ω表示，频率的2π倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量。角频率、周期、频率三者的关系为：ω=2π/T =2πf ；相位：?ωφ+=t 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率就是角频率，即dt d φω=；初相：位移一般式中?表示初相，即t =0时的相位，描述简谐振动的初始状态；回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。（因此回复力同向心力是一种效果力）如果用F 表示物体受到的回复力，用x 表示小球对于平衡位置的位移，对x 求二阶导即得： )cos(2?ωω+-=t A a 又因为F=ma ，最后可以得出F 与x 关系式： kx x m F -=-=2ω 由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。式中的k 是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k 恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。简谐振动周期公式：k m T π 2=，该公式为简谐振动普适公式，式中k 是振动系统的回复力系数，切记与弹簧劲度系数无关。单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐振动。我们设偏角为θ，单摆位移为x ，摆长为L ，当θ很小时，有关系式： L x ≈≈≈θθθtan sin ，而单摆运动的回复力为 F=mgsin θ，

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法物理竞赛中在解决简谐运动问题时，经常会涉及周期的求解。本文通过具体实例，介绍物理竞赛中简谐运动周期的四种求法。一、周期公式法由简谐运动的周期公式可知，运用周期公式求周期的关键是求出回复力系数 k。通常情况下，可以通过两种途径求出回复力系数。一是通过对简谐运动物体进行受力分析求出回复力，然后根据物体简谐运动时回复力大小的特征F=kx，找到回复力F与位移x的关系求出回复力系数k；二是通过求简谐运动物体在位移为x时的势能，然后根据物体做简谐运动时势能的关系求出回复力数k。例1 如图1所示，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为L，m与M、M 与水平面之间光滑，求摆线偏转很小角度，从静止释放后，系统振动的周期。图1分析与解由于摆球m周期与整个系统运动周期相等，因此系统振动的周期可以通过求摆球m周期来求出。凹形滑块M受到水平地面的支持力、重力 G=Mg及m对M的水平作用的作用（图2），由于 M只能在水平面上滑动，因此M沿水平面做往复运动时受到的回复力 (1) 对摆球m进行受力分析（图3），可得到下列关系式：

(2) 例2 如图4所示，横截面积为S，粗细均匀的U形管中灌有密度为ρ，质量为m 的水银，现在将B管管口用塞子密封后加热，由于封在B管中空气的膨胀，使水银面在A管内上升，若此时将B管口的塞子拔去，那么水银做简谐运动的周期是多少？图4 分析与解设A、B两管液面相平时为水银柱的零势能位置，则当B管中水银面距两管液面相平时的液面高度为x时，整个水银柱具有的势能为。二、刚体角加速度法

绕定轴转动的刚体的角加速度和外力的关系应遵循刚体定轴转动定律：即刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。采用这种方法时，往往通过刚体定轴转动定律求出刚体转动的角加速度，然后根据加速度与角加速度的关系求出刚体转动的角速度，从而求出刚体做简谐运动的周期。例3 如图5所示，质量为m的小球用轻杆悬挂，两侧用劲度系数为k的弹簧连接。杆自由下垂时，弹簧无形变，图中a、b已知，求摆杆做简谐运动的周期T。图5 分析与解设轻杆向右偏很小的角度θ时，小球向右偏离平衡位置距离x=bsinθ≈bθ，此时右侧弹簧压缩了aθ，左侧弹簧伸长了aθ。根据刚体定轴转动定律可得：三、解方程组法

简谐运动位移公式推导

简谐运动位移公式推导问题：质量为m 的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a ）所示, 将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑， m 物体将作往复运动，试求位移x 与时间t 的函数关系式。 j ■ E 0 C 图（a ）分析：m 物体在弹力F 的作用下运动，显然位移 X 与弹力F 有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F 替换成关于X 与t 的量，再求解该微分方程。推导：取物体平衡位置 0为坐标原点，物体运动轨迹为X 轴，向右为正。设弹力为F, 由胡克定律 ,K 为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律，m 物体加速度a 二曲二山‘二【】】二-m x 代入（a ）,得(1) 址2 可令|^= - -J ...................... (2) ..................

d2x d2x 2 —7 2 P + U) dt 二一 3 X 或 dt X=0 ................. (3) 显然，想求出位移X 与时间t 的函数关系式，须解出此微分方程 (4)式属可将阶的二阶微分方程, 若设X =u ，消去t,就要把把X’转化为关于X 与t 的函数，那么 dX H dudx du X'' = dt = dxdr 二卫％ du F 面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得 .......................... (6) .................... dx 再次分离变量， ' =dt ⑺ 两边积分，右边=t ，但左边较为复杂，经过仔细思考，笔者给出一种求解方法： dr X=0 ， 2 即 X '' +3 X=0 得 1 2 尹 = -7°2 2 X +C , (5) u=x ' ‘ Jjci - ,X =7^丄 O >2X 2=E 2 2 2 即 u =- 3 X +C1 Judu =- a?Jxdx

简谐运动位移公式推导

简谐运动位移公式推导问题：质量为m 的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a ）所示，将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m 物体将作往复运动，试求位移x 与时间t 的函数关系式。图（a ）分析：m 物体在弹力F 的作用下运动，显然位移X 与弹力F 有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F 替换成关于X 与t 的量，再求解该微分方程。推导：取物体平衡位置O 为坐标原点,物体运动轨迹为X 轴，向右为正。设弹力为F, 由胡克定律 F =?kX ,K 为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律，m 物体加速度a=dv dt =d2X dt 2=F m =-k m x (1) 可令k m =ω2 (2) 代入（a ）,得 d2X dt 2=?ω2X 或d2X dt 2+ω2X=0 (3) 显然，想求出位移X 与时间t 的函数关系式，须解出此微分方程

求解：对于d2X dt 2+ω2X=0，即X ’’+ ω2X=0 (4) (4)式属可将阶的二阶微分方程，若设X ’=u ，消去t,就要把把X ”转化为关于X 与t 的函数，那么 X ’’=dX"dt = du dx dx dt =u du dx , u du dx +ω2X=0, u du dx =?ω2X 下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得 ∫udu =?ω2∫Xdx 得 12u 2=? 12 ω2 x 2+C ，即u 2=? ω2 x 2+C1 (5) u=x ’,x ’=√C1? ω2 x 2 =dx dt (6) 再次分离变量，dx √C1? ω=dt (7) 两边积分，右边=t ，但左边较为复杂，经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：运用三角代换，令X=√C1ω cos z (7)式左边化为d cos z ωsin z =?sin zdz ωsin z =-dz ω, 两边积分，得 -–z ω =t+C2 由此可得， X=√C1ω cos (ωt+ωC2),

简谐运动周期公式证明

为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F =-kx（并且在此强调回此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移X，所以在2个示意图中都是用一条线表示的。[6] 一般简谐运动周期公式证明因为简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。见右图。圆周运动的；很明显v无法测量到，所以根据得到。其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即（F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。所以得到；因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得到：。然后再将V带入之前的圆周运动T中，即可得到。[4] 单摆周期公式证明首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于5°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。

单摆周期公式证明见示意图，在偏角很小时，我们可以近似的看做图中红色箭头即位移x（回复力）垂直于平衡位置。于是我们便可以得到sinα≈ 。同时因为回复力为重力与速度平行方向上的分力即图中重力分力2，重力分力1即L的延长线。于是我们可以得到△AOB与重力和它的分力所构成的三角形相似（注意相似时的三角形方向）即可得到：（注意：此处比例关系中的位移x虽然在k=1的假设下数值上等于回复力F，但才是真正的回复力F，因为回复力F为重力与速度平行方是必须清楚在意义上G 2 ）[7] 向上的分力即G 2 于是根据相似我们可以得到，于是化简得到，于是得到，然后将这个转换带入一般简谐运动周期公式便得到了单摆的周期公式。[1] 5运动方程推导编辑定义：一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动： R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅； ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率，

简谐运动的证明与周期计算

简谐运动的证明与周期计算徐汇区教师进修学院张培荣当物体所受回复力符合f ＝－kx 时，物体的运动就是简谐运动，简谐运动的周期为T ＝2πm /k ，当物体运动的时间是周期的整数倍，或是由最大位移运动到平衡位置，就可以直接利用周期公式进行计算，如果不是这种情况，那就要利用单位圆来计算了，关于单位圆，我们另外写文章给大家介绍，这里就计算两个前一类的问题。例1：一长列火车因惯性驶向倾角为α的小山坡，当列车速度减到零时，列车一部分在山坡上，还有一部分仍在水平地面上，试求列车从开始上山到速度减到零所经历的时间，已知列车总长为L ，摩擦不计。分析与解：在上山的过程中，设某时刻列车质量为M ，在山上的长度为x ，则列车所受的阻力为Mx L g sin α，考虑到与运动方向相反，所以可以写成f ＝－Mx L g sin α，它符合f ＝－kx ，其中k ＝M L g sin α，那么列车的这段运动可以看成是简谐运动的一部分，刚好从最大速度位置运动到最大位移处，时间为四分之一周期，则 t ＝T 4 ＝π2 M k ＝π2 ML Mg sin α ＝π2 L g sin α 。例2：如果沿地球的直径挖一条隧道，求物体从此隧道一端释放到达另一端所需时间。设地球是一个密度均匀的球体，其半径为R ，地面的重力加速度为g ，不考虑阻力。分析与解：在运动过程中，设某时刻物体离地球球心为x ，地球质量为M ，我们可以把地球分成一个半径为x 的球体和一个内半径为x 、外半径为R 的球壳，球壳对壳内物体的万有引力为零，球体对球外物体的万有引力可以把球体看成质点，其质量集中于球心，此球的质量为：Mx 3R 3 则此时物体所受地球的万有引力指向地心，大小为F ＝G Mx 3 R 3 m x 2 ＝G Mmx R 3 ，考虑到力的方向与位移方向相反，所以F ＝－G Mmx R 3 ，它符合f ＝－kx ，其中k ＝GMm R 3 ，那么物体的运动是简谐运动，所求时间就是半个周期，则 t ＝T 2 ＝πm k ＝πmR 3GMm ＝πR 3GM 。由于G Mm R 2 ＝mg ，所以GM ＝R 2g ，可得：t ＝πR g 。其实，在中学阶段，凡求变加速运动的时间，只有两种可能，一是椭圆运动，二是简谐运动，都是利用周期公式进行计算的，所以不要只看形式，而是要分析它的受力情况，当所受力与距离平方成反比时，物体常做椭圆运动，当物体受力与位移成正比时，常做简谐运动。