第二讲：古代希腊数学
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希腊数学的先行者课件人教新课标(3)
2
第二讲 古代希腊数学
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯 雅典时期的希腊数学
黄金时代——亚历山大学派
欧几里得与几何《本来》 阿基米德的数学成绩 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
亚历山大后期和希腊数学的衰落
3
一、希腊数学的先行者 ——泰勒斯
希腊数学先后出现过许 多数学学派，其中最早 的一个学派叫做伊奥尼 亚学派.其首创人为秦 勒斯（Thales，约公元 前625一约前547）他 是现在所知的古希腊最 早的数学家、哲学家， 是古希腊数学的先行者。
多数学者认为该次日食产生在公元前585年5月28日下 午3时。
6
秦勒斯另一项令人津津乐道的事迹是他在埃及 时，测定了金字塔的塔高.
7
泰勒斯在数学方面划时代的、影响最深远的贡献是引人命题 证明的思想.命题的证明，就是借助一些公理或真实性业已确 定的命题来论证某一命题真实性的思想过程.它标志着人类对 客观事物的认识已经从实践上升到理论.这是数学史上一次不 平常的飞跃.正是因为有了逻辑证明，数学命题的正确性得到 保证，数学理论才能立于不败之地：次高潮，
1
第二讲 古代希腊数学
希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊 半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、 小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
海滨移民具有两大优势： 第一，他们具有典型的开辟精神，对于所接触的事物，不愿
因袭传统； 其次，他们身处与两大河谷毗邻之地，易于汲取那里的文化。
到揭示。数学的结构体系才能建立，数学的进一步发展才有 基础。从泰泰勒斯开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。
2007年9月
古代希腊数学
8
谢谢观赏！
2007年9月
第二讲 古代希腊数学
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯 雅典时期的希腊数学
黄金时代——亚历山大学派
欧几里得与几何《本来》 阿基米德的数学成绩 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
亚历山大后期和希腊数学的衰落
3
一、希腊数学的先行者 ——泰勒斯
希腊数学先后出现过许 多数学学派，其中最早 的一个学派叫做伊奥尼 亚学派.其首创人为秦 勒斯（Thales，约公元 前625一约前547）他 是现在所知的古希腊最 早的数学家、哲学家， 是古希腊数学的先行者。
多数学者认为该次日食产生在公元前585年5月28日下 午3时。
6
秦勒斯另一项令人津津乐道的事迹是他在埃及 时，测定了金字塔的塔高.
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泰勒斯在数学方面划时代的、影响最深远的贡献是引人命题 证明的思想.命题的证明，就是借助一些公理或真实性业已确 定的命题来论证某一命题真实性的思想过程.它标志着人类对 客观事物的认识已经从实践上升到理论.这是数学史上一次不 平常的飞跃.正是因为有了逻辑证明，数学命题的正确性得到 保证，数学理论才能立于不败之地：次高潮，
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第二讲 古代希腊数学
希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊 半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、 小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
海滨移民具有两大优势： 第一，他们具有典型的开辟精神，对于所接触的事物，不愿
因袭传统； 其次，他们身处与两大河谷毗邻之地，易于汲取那里的文化。
到揭示。数学的结构体系才能建立，数学的进一步发展才有 基础。从泰泰勒斯开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。
2007年9月
古代希腊数学
8
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2007年9月
第2讲 古代希腊数学(上)
（１）万物皆数
毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数（仅指整 数），对数进行分类，分数被看成两个整数之比。 最重要的数是1、2、3、4，认为分别代表水、火、 气、土四种元素。而10则是一个完美的数，因为 10=1+2+3+4学派自认为足够“包罗万象”了。相应 地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元） 和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都 服从于一定的比例数，天体的运动受数学关系的支 配，形成天体的和谐。
亲和数（即a是b的因数之和,b也是a的因数之和）
220的因子： 1，2，110，4，55，5，44，10，22，11，20 因子之和为284 284的因子： 1，2，142，4，71 因子之和为220 过剩数（即因数之和大于该数） 不足数（即因数之和小于该数）
（２）毕达哥拉斯学派的形数
(ⅰ)三角形数： N =1+2+3+…+n = n (n +1) / 2 ;
A
D
C
B
芝诺悖论: 阿基里斯 阿基里斯(善跑英雄)追龟说，阿基 里斯追乌龟，永远追不上。因为当他追 到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一 段，他再追完这一段，龟又向前爬了一 小段。这样永远重复下去，总也追不上。
阿基里斯追不上乌龟
飞箭静止说，每一瞬间箭总在 一个确定的位臵上，因此它是不 动的。
芝诺悖论: 飞矢不动
下列矩形中,哪些比较匀称?
① ③ ⑦ ④
5×8
8×13
⑥
13×21
② ⑤ ⑧
21×34
下列矩形中,哪些比较匀称?
① ③ ⑦ ④
5×8
8×13
⑥
13×21
② ⑤ ⑧
21×34
第二讲：古代希腊数学
第二讲古代希腊数学1、古典时期的希腊数学公元前600－前300年。
1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派）泰勒斯（公元前625－前547年），被称为“希腊哲学、科学之父”。
1.2 毕达哥拉斯学派数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯定理，完全数、亲和数，正五角星作图与“黄金分割”，发现了“不可公度量”。
1.3 伊利亚学派芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。
1.4 诡辩学派（智人学派）古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。
1.5 柏拉图学派柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，创办雅典学院（前387－公元529），讲授哲学与数学。
1.6 亚里士多德学派（吕园学派）亚里士多德（公元前384－前322年）是古希腊最著名的哲学家、科学家。
集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，堪称“逻辑学之父”，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣经。
2、亚历山大学派时期希腊数学黄金时代，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。
2.1 欧几里得（公元前325－前265年）公元前300年成为亚历山大学派的奠基人，用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦，成为后人难以跨跃的高峰。
《原本》13卷：由5条公理，5条公设，119条定义和465条命题组成，构成了历史上第一个数学公理体系。
2.2阿基米德（公元前287－前212年）数学之神，与牛顿、高斯并列有史以来最伟大的三大数学家之一。
最为杰出的数学贡献是《圆的度量》，把希腊几何学几乎提高到西方17世纪后才得以超越的高峰。
墓碑：球及其外切圆柱。
2.3 阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190年）贡献涉及几何学和天文学，最重要的数学成就是《圆锥曲线》，希腊演绎几何的最高成就。
《圆锥曲线》全书共8卷，含487个命题。
数学史--第二讲-古希腊数学--课件
• 崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪 完全征服希腊各国夺得了地中海地区的霸权，建立了 强大的罗马帝国。唯理的希腊文明被务实的罗马文明 所取代。同影响深远的罗马法典和气势恢弘的罗马建 筑相比，罗马人在数学领域却谈不上有什么显赫的功 绩。
• 通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占 领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说 ：“几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些 我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说：“ 给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中 捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就 欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
其贡献涉及几何学和天文学。最重要的数学成就是在 前人基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。《圆锥曲 线论》就是这方面的系统总结。
评价：
（1）他对圆锥曲线的研究所达到的高度，直到17世纪 笛卡尔和帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
（2）他的工作中包含了近代微分几何的课题和射影几 何学的萌芽思想。
• 通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占 领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说 ：“几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些 我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说：“ 给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中 捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就 欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
其贡献涉及几何学和天文学。最重要的数学成就是在 前人基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。《圆锥曲 线论》就是这方面的系统总结。
评价：
（1）他对圆锥曲线的研究所达到的高度，直到17世纪 笛卡尔和帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
（2）他的工作中包含了近代微分几何的课题和射影几 何学的萌芽思想。
数学史第二讲古代希腊数学ppt课件
想的来源
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内 角和小于两直角的一侧相交.
机械上
阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在 久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种 利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺 旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。
这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。
希腊化时期的数学
数学之神
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
阿基米德 (公元前287-前212年)
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
数学上：几何
将一个曲边图形“细”分成若干个 “小的矩形或三角形”(即各种简单 “直边形”)。 首先分别求这些“小直边形的面积”
投石器和起重机
阿基米德利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把 大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗 马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪······
阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。根据一 些年代较晚的记载，当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战 舰吊到半空中，然后重重地摔下使战舰在水面上粉碎。
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内 角和小于两直角的一侧相交.
机械上
阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在 久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种 利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺 旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。
这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。
希腊化时期的数学
数学之神
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
阿基米德 (公元前287-前212年)
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
数学上：几何
将一个曲边图形“细”分成若干个 “小的矩形或三角形”(即各种简单 “直边形”)。 首先分别求这些“小直边形的面积”
投石器和起重机
阿基米德利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把 大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗 马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪······
阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。根据一 些年代较晚的记载，当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战 舰吊到半空中，然后重重地摔下使战舰在水面上粉碎。
古希腊数学发展史
欧几里得《原本》可以说是数学史上的 第一座理论丰碑。它最大的功绩，是在 于数学中演绎范式的确立，这种范式要 求一门学科中的每个命题必须是在它之 前已建立的一些命题的逻辑结论，而所 有这样的推理链的共同出发点，是一些 基本定义和被认为是不证自明的基本原 理—公设或公理。这就是后来所谓的公 理化思想。
毕达哥拉斯学派第一次数学危机
毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572～497年)出 生于靠爱奥尼亚沿海的萨摩斯岛．青年时代， 毕达哥拉斯曾就学于泰勒斯．以后他曾到亚洲 和埃及旅行，特别是在埃及，他学到了很多数 学知识．约在公元前530年，毕氏返回到故里， 并建立了毕达哥拉斯学派。致力于哲学与数学 的研究，相传“哲学”(意为“智力爱好”)和 “数学”(意为“可 学到的知识”)这两个词正 是毕达哥拉斯本人所创。 大约在公元前五世纪末传说由希帕苏斯 (Hippasus)发现了不可通约量的存在，这对毕 氏学派的“一切量均可通约”的观念是一个莫 大的打击．数学史上把这称为第一次数学危
第二讲 古希腊数学
论证数学的发端
古代希腊的地理范围，包括希腊半岛、爱琴
海诸岛和小亚细亚西部沿海地带
希腊数学一股指从公元前600年至公元600年 间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿 与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及 非州北部的数学家们创造的数学。 大批游历 埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回 了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦 社会特有的唯理主义气氛中，这些经验的算 术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结 构的论证数学体系。
2、无限性概念的早期探索
希腊人在理性数学活动的早期，已经接触 到了无限性、连续性等深刻的概念，对 这些概念的探讨，也是雅典时期希腊数 学的特征之一。
数学史--第二讲-古希腊数学--课件
• 雅典学派（柏拉图学派）：柏拉图（前427－前347） 创立，后著名数学家欧多克斯（前408－前307）率徒 加入。
2020/7/18
• 亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的学生亚里 士多德（前384－前322）于公元前335年创立。相传 亚里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的 《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
• 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规 的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实 际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。
2020/7/18
• 诡辩学派的希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割 圆曲线”。
• 柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题发现了 圆锥曲线。
• 诡辩学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方 问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形 ，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。安提 丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭” 。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割 圆术思想不谋而合。
2020/7/18
因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何 量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机 。 • 数字神秘主义 例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性 的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解 的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。 • 证明的思想 例如：勾股定理的证明，推测毕达哥拉斯从铺地砖中 获得了启发。
2020/7/18
2.2.2阿基米德的数学成就
• 阿基米德 (公元前 287-212) 是公认的古希腊时代最伟大 的数学家。他生于西西里岛 的叙拉古，但很可能曾在亚 历山大学习数学，后回到故 乡，仍与亚历山大学派有密 切联系。后被罗马士兵杀害 。
2020/7/18
• 亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的学生亚里 士多德（前384－前322）于公元前335年创立。相传 亚里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的 《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
• 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规 的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实 际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。
2020/7/18
• 诡辩学派的希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割 圆曲线”。
• 柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题发现了 圆锥曲线。
• 诡辩学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方 问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形 ，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。安提 丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭” 。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割 圆术思想不谋而合。
2020/7/18
因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何 量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机 。 • 数字神秘主义 例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性 的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解 的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。 • 证明的思想 例如：勾股定理的证明，推测毕达哥拉斯从铺地砖中 获得了启发。
2020/7/18
2.2.2阿基米德的数学成就
• 阿基米德 (公元前 287-212) 是公认的古希腊时代最伟大 的数学家。他生于西西里岛 的叙拉古，但很可能曾在亚 历山大学习数学，后回到故 乡，仍与亚历山大学派有密 切联系。后被罗马士兵杀害 。
第二讲古代希腊数学(精)
5
一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
毕达哥拉斯
在今意大利东南沿海的克洛托内建立毕达哥拉斯学 派。这是一个宗教式的组织，但致力于哲学与数 学的研究，相传“哲学”和“数学”这两个词正 是毕达哥拉斯本人所创。
毕达哥拉斯学派的几何成就： 证明了勾股定理 正多面体作图
2007年9月
古代希腊数学
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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
思考：用几何方法，证
明第Ⅱ卷命题4，即
ab
b2
b
证明代数关系式
a b2 a2 2ab b2
a
a2
ab
a
b
2007年9月
古代希腊数学
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二、黄金时代——亚历山大学派 2、阿基米德的数学成就
阿基米德
阿基米德（Archimedes）， 生卒年代：前287-212 。 古希腊伟大的数学家、力 学家。早年在当时的文化 中心亚历山大跟随欧几里 得的学生学习。
2007年9月
古代希腊数学
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
2007年9月
古代希腊数学
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
三大几何问题 古希腊的三大著名几何问题： ⑴化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方
形； ⑵倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知
立方体的两倍； ⑶三等分角，即分任意角为三等分。
后人对阿基米德给以极高的 评价，常把他和I.牛顿、 C.F.高斯并列为有史以来 三个贡献最大的数学家。
2007年9月
古代希腊数学
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二、黄金时代——亚历山大学派 2、阿基米德的数学成就
“平衡法”简介
古 希 腊 数 学2
数学之神----阿基米德 四 数学之神 阿基米德 公元前287年，阿基米德诞生于西西里岛的 年 阿基米德诞生于西西里岛的 公元前 西西里岛 叙拉古(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族， 今意大利锡拉库萨 叙拉古 今意大利锡拉库萨 。他出生于贵族，与 叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。 叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。 阿基米德的父亲是天文学家兼数学家， 天文学家兼数学家 阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊 为人谦逊。他十一岁时， 博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关 被送到古希腊文化中心亚历山大 亚历山大里亚城去 系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城去 学习。 学习。
公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相 等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系 存在着以下一些缺陷。 没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得 原本》 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但 是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的
三 欧几里得与《原本》 欧几里得与《原本》 欧几里德(约公元前300 古希腊数学家) 古代希腊最负盛名 欧几里德(约公元前300年，古希腊数学家)是古代希腊最负盛名、 300年 最负盛名、 最有影响的数学家之一， 数学家之一 最有影响的数学家之一，他是亚历山大里亚学派的 成员。 ----《几何原本》 成员。编撰旷世巨著 ----《几何原本》(Elements) 共有13 共有13卷。 13卷 这一著作对于几何学、 这一著作对于几何学、数学和科学的 未来发展， 未来发展，对于西方人的整个思维 方法都有极大的影响。 几何原本》 方法都有极大的影响。《几何原本》 的主要对象是几何 几何学 的主要对象是几何学， 建立了第一个数学理论体系—— 建立了第一个数学理论体系—— 几何学。 几何学。 标志着人类科学研究的公理化方法 的初步形成. 的初步形成.
古希腊数学
第二讲古希腊数学《雅典学院》壁画介绍拉斐尔(1483-1520)，是意大利文艺复兴时期的著名画家。
1508年，拉斐尔被罗马教皇尤里乌斯二世邀去绘制梵蒂冈皇宫签字厅的四幅壁画。
画于三面墙上和屋顶的四幅绘画，依据诗人德拉·欣雅杜尔的诗来配画，以歌颂神学、哲学、诗歌、法学为内容。
拉斐尔在四面墙上画了四幅壁画：神学的《圣礼之争》（或教义之争）、哲学的《雅典学院》、诗歌的《帕拿巴斯山》、法学的《三德》。
《雅典学院》以古希腊著名哲学家柏拉图所创建的雅典学院为题，并以柏拉图及其弟子亚里士多德为中心，将古希腊、罗马、斯巴达以及意大利时期五十多位哲学家、科学家、思想家、文学家学者齐聚一堂，以此歌颂人类对智慧和真理的追求，赞美人创造力。
位居画面中心的左为柏拉图，右为亚里土多德，一个手指着上天，另一个则伸出右指着他前面的世界，以此表示他们不同的哲学观点：柏拉图的唯心主义和亚里土多德的唯物主义。
这两个中心人物的两侧有许多重要的历史人物：左边穿白衣、两臂交叉的青年是马其顿王亚历山大，转身向左扳手指的是苏格拉底，斜躺在台阶上的半裸着衣服的老人是犬儒学派的哲学家第奥根尼。
台阶下的人物分为左右两组。
左边一组中，站着伸头向左看的老者是阿拉伯学者阿维罗意，在他左前方蹲着看书的秃顶老人是毕达哥拉斯。
右边弯腰和别人讨论的是阿基米德，手拿圆规者为欧几里得，右边尽头手持天体模型者是托勒密。
图中还出现的学者有伊壁鸠鲁、赫拉克立特、芝诺。
1．论证数学的兴起泰勒斯(约前625-前547)，迄今所知最早的希腊数学家。
没有任何第一手资料介绍这位学者本人或证实他所取得的成就，但他的生活与工作却留下了不少传说。
据称他领导的爱奥尼亚学派首开证明之先河，他自己也证明了不少定理。
在论证数学的方向上，泰勒斯迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们还是倾向于将论证数学的成长归功于毕达哥拉斯以及他所创建的学派。
毕达哥拉斯(约前580-前500)，出生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，年轻时曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于今意大利南部沿海的克洛托内，并在那里建立了自己的学派。
(定稿)第二讲 古希腊数学
阿基米德的数学成就之 用平衡法求球的体积
阿基米德用“平衡法”推导了球体积 公式。刻在阿基米德墓碑上的几何图 形代表了他所证明的一条数学定理： 以球的直径为底和高的圆柱，其体积 是球体积的3/2，其表面积是球面积的 3/2。
阿基米德的数学成就之 用平衡法求球的体积
阿基米德的“平衡法”，将需要求积的量分 成一些微小单元，再与另一组微小单元进行 比较，而后一组的总和比较容易计算。因此， “平衡法”实际上体现了近代积分法的基本 思想，是阿基米德数学研究的最大功绩。但 是，“平衡法”本身必须以极限论为基础， 阿基米德意识到了他的方法在严密性上的不 足，所以他用平衡法求出一个面积或体积后， 必再用穷竭法加以严格的证明。
第一次数学危机
不可公度比的发现使毕达哥拉斯学派对 许多定理的证明都不能成立。 例：如果两个三角形的高相同，则它们 的面积之比等于两底边之比。
A
B
C
D
E
新比例论
100多年后，欧多克斯（Eudoxus,408-355） 提出了“新比例论”，才用回避的方法暂 时消除了“第一次危机”。 新比例定义：设A、B、C、D是任意四个 量，其中A和B同类（即均为线段、角或面 积），C和D同类，若对任意两个（正）整 数m和n，mA与nB的大小关系，取决于 mC与nD的大小，则称A：B=C：D。
亚里士多德学派之 形式逻辑的建立
亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨， 而是重视观察、分析和实验性的活动（如 解剖）。亚里士多德是古希腊学者中最博 学的人，是古代百科全书式的自然科学家， 也是对近代自然科学影响最大的古代学者。 他的著作甚多，在自然科学方面主要有 《物理学》、《论产生和消灭》、《天 论》、《气象学》、《动物的历史》、 《论动物的结构》等。
(完整版)数学史(第2章古希腊数学)
第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。
概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。
三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。
同时也有对前人进行评述和整理工作。
主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。
毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。
普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。
（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。
以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。
（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。
该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。
（4）发现了不可公度量。
评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。
加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。
不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。
古希腊数学
由于不可公度量的发现，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的 信条受到了冲击，这在数学史上称为“第一次数学危机”。
毕氏学派——几何学
毕达哥拉斯定理 五角星形与黄金分割 立体几何
毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯定理
五角星形与黄金分割
立体几何
毕达哥拉斯学派称正多面体为“宇宙 体”，今天已知三维空间正多面体只有五 种：正四面体、正六面体、正八面体、正 十二面体和正二十面体。据欧几里得《几 何原本》记载：“其中三个（正四、六、 八）归功于毕达哥拉斯学派”。
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯(Pythagoras，约公 元前572～约公元前497)是古希腊哲 学家、数学家、天文家和音乐理论 家.出生于爱琴海中的萨摩斯岛 (Samos，今希腊东部小岛).青年时期 他曾经离开家乡到世界各地游学.40 岁左右，他定居意大利半岛南部的 克罗多内(Crotone)，并在这里组织 了一个集政治、宗教和学术研究于 一体的秘密会社，这就是著名的毕 达哥拉斯学派.在学术方面，这个学 派主要致力于哲学和数学的研究.
20
伊利亚学派
芝诺的功绩在于把动和 静的关系、无限和有限的关 系、连续和离散关系以非数 学的形态提出，并进行了辩 证的考察。
芝诺
(约公元前490-约前425年)
芝诺悖论1
芝诺悖论1：两分法，即运动不存在
原因：位移事物在达到目的地之前必须先 抵达一半处，即不可能在有限的时间内通 过无限多个点。
芝诺悖论2
毕氏学派——数的理论
万物皆数 自然数的分类
形数
不可公度（无理数）
1. 万物皆数
毕达哥拉斯学派认为:事物的本 原是数.世界上的万事万物及其运动变 化规律都可以用整数或者整数之比表 示出来. 这种“万物皆数”的观念从 另一个侧面强调了数学对客观世界的 重要作用，这也是数学化思想的最初 表述形式.
高中数学人教A版选修第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者课件
高 中 数 学 人 教A版选 修3-1 第 二讲 古 希 腊数学 一 希 腊 数学 的先行 者 课 件 (共30 张PPT)
过程和方法 •联系学过的知识，学习古希腊时期的 数学成就； •总结学习著名科学家的生活故事.
情感态度与价值观
·希腊人在数学方面比在任何其他学科 有着更惊人的进步.
高 中 数 学 人 教A版选 修3-1 第 二讲 古 希 腊数学 一 希 腊 数学 的先行 者 课 件 (共30 张PPT)
高 中 数 学 人 教A版选 修3-1 第 二讲 古 希 腊数学 一 希 腊 数学 的先行 者 课 件 (共30 张PPT)
教学重难点 难点 泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命 题的证明，它标志着人们对客观事物的认 识从感性上升到理性，这在数学史上是一 个不寻常的飞跃.
重点 天文、数学和哲学是不可分的，泰勒 斯同时也研究天文和数学.
---M·克莱因
伊奥尼亚学派
亚里士多德学派
毕达哥拉斯学派
欧多克斯学派
柏拉图学派
高 中 数 学 人 教A版选 修3-1 第 二讲 古 希 腊数学 一 希 腊 数学 的先行 者 课 件 (共30 张PPT)
诡辩学派
埃利亚学派
高 中 数 学 人 教A版选 修3-1 第 二讲 古 希 腊数学 一 希 腊 数学 的先行 者 课 件 (共30 张PPT)
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教学目标
知识和能力
•了解伊奥尼亚学派数学学派极其成就；
•能熟悉泰勒斯时期的数学水平；
•学习伟大的数学家泰勒斯的优秀品质 和科学研究态度.
高 中 数 学 人 教A版选 修3-1 第 二讲 古 希 腊数学 一 希 腊 数学 的先行 者 课 件 (共30 张PPT)
人教版高中数学选修3-1第二讲古希腊数学第二节毕达哥拉斯学派
第二讲 古希腊数学 （公元前600—600）
知识回顾
• 泰勒斯把几何学作 为一门演绎科学确 立起来，是几何学 的开端. • 从泰勒斯开始，命 题证明成为希腊数 学的基本精神.
导入新课
伊奥尼亚学派之后，到了公 元前6世纪末，由于波斯游牧民族 的进攻，人们向西逃难，把希腊 文化带到了西方.意大利和西西里 岛变成了学术的新中心.毕达哥拉 斯在这里创立了毕达哥拉斯学派.
1+3+6
1+3+6+10
毕达哥拉斯学派对数字的研究加强了数 概念中的理论倾向，如果说埃及与巴比伦算 术主要是实用的数字计算技巧，那么毕达哥 拉斯学派的算术则更多体现出某种初等数论 的萌芽，这是向理论数学过渡时观念上的飞 跃.并且由于数形结合的观点，这种飞跃实质 上推动了几何学的抽象化倾向.
4.不可公度
毕达哥拉斯学派把自然数分为奇数、 偶数、质数、合数、完全数、亲和数. 至今二千多年来，一些数学家对质数 （素数）、完全数、亲和数等仍在不停 息地研究，成果丰盈，并且借助计算机 和创新数学方法.
毕达哥拉斯学派认为10是一个完美 的数.因为1，2，3，4是头四个自然数， 分别代表水、火、气、土四种元素，而 10=1+2+3+4被认为“包罗万象”了.最 有趣的是把10作为宣誓的誓词，用崇敬 的语言写道：
教学重难点
难点
勾股定理的多种证法和多边形数.
重点
勾股定理、多边形数和无理数的发 现过程.
内容介绍
1.毕达哥拉斯
毕达哥拉斯学派创始人毕达哥拉 斯是希腊论证数学的另一位祖师.毕达 哥拉斯信奉“万物皆数”.他与我国的 孔子处于同一时代.毕达哥拉斯没有著 作传世，身世也充满谜团.
毕达哥拉斯
知识回顾
• 泰勒斯把几何学作 为一门演绎科学确 立起来，是几何学 的开端. • 从泰勒斯开始，命 题证明成为希腊数 学的基本精神.
导入新课
伊奥尼亚学派之后，到了公 元前6世纪末，由于波斯游牧民族 的进攻，人们向西逃难，把希腊 文化带到了西方.意大利和西西里 岛变成了学术的新中心.毕达哥拉 斯在这里创立了毕达哥拉斯学派.
1+3+6
1+3+6+10
毕达哥拉斯学派对数字的研究加强了数 概念中的理论倾向，如果说埃及与巴比伦算 术主要是实用的数字计算技巧，那么毕达哥 拉斯学派的算术则更多体现出某种初等数论 的萌芽，这是向理论数学过渡时观念上的飞 跃.并且由于数形结合的观点，这种飞跃实质 上推动了几何学的抽象化倾向.
4.不可公度
毕达哥拉斯学派把自然数分为奇数、 偶数、质数、合数、完全数、亲和数. 至今二千多年来，一些数学家对质数 （素数）、完全数、亲和数等仍在不停 息地研究，成果丰盈，并且借助计算机 和创新数学方法.
毕达哥拉斯学派认为10是一个完美 的数.因为1，2，3，4是头四个自然数， 分别代表水、火、气、土四种元素，而 10=1+2+3+4被认为“包罗万象”了.最 有趣的是把10作为宣誓的誓词，用崇敬 的语言写道：
教学重难点
难点
勾股定理的多种证法和多边形数.
重点
勾股定理、多边形数和无理数的发 现过程.
内容介绍
1.毕达哥拉斯
毕达哥拉斯学派创始人毕达哥拉 斯是希腊论证数学的另一位祖师.毕达 哥拉斯信奉“万物皆数”.他与我国的 孔子处于同一时代.毕达哥拉斯没有著 作传世，身世也充满谜团.
毕达哥拉斯
第二讲 古代希腊数学(上、下)
【 泰勒斯在数学方面的贡献 】
泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引 入了命题证明的思想。它标志着人们对客观 事物的认识从经验上升到理论，这在数学史 上是一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑 证明，它的重要意义在于：保证了命题的正 确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学 构成一个严密的体系，为进一步发展打下基 础；使数学命题具有充分的说服力，令人深 信不疑。
第二讲 地中海的灿烂文明——古代希腊 数学（上）
公元前600年——600年
古希腊文明的象征之一
帕提农神庙
(前447－前432年）
古希腊的变迁
波希战争（前499－前449）
希 腊 时 期
爱奥尼亚时期：公元前11世纪－前6世纪 公元前11世纪－前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区 公元前9－前6世纪：希腊各城邦先后形成 雅典时期：公元前6－前3世纪 亚历山大时期：公元前323年－前30年 亚历山大后期：公元前30年－公元640年
3. 通过预言日食制止的战争 当时，米底王国与两河流域下游的迦勒底人联 合攻占了亚述的首都尼尼微，亚述的领土被两国瓜分 了。米底占有了今伊朗的大部分，准备继续向西扩张， 但受到吕底亚王国的顽强抵抗。两国在哈吕斯河一带 展开激烈的战斗，接连五年也没有决出胜负。 战争给平民百姓带来了灾难，平民百姓们流离失 所。泰勒斯预先推测出某天有日食，便扬言上天反对 人世的战争，某日必以日食作警告。当时，没有人相 信他。后来果然不出所料，在公元前585年5月28日， 当两国的将士们短兵相接时，天突然黑了下来，白昼 顿时变成黑夜，交战的双方惊恐万分，于是马上停战 和好，后来两国还互通婚姻。这件事记载在希罗多德 的《希波战争史》第一卷。 这次战争的结束，当然还有政治、经济等方面 的原因，日食只是起到一个“药引”的作用。
人教A版高中数学选修3-1第二讲古希腊数学四数学之神─阿基米德教学课件 (共31张PPT)
02 情 景 二 ： 阿 基 米 德 三 角 形 问 题
y
如图，已知抛物线
上两个点
B
以 x2 y
AF
x0x=p(y0+y) A，B为切点的切线 PA，PB相交于点P
O
x
P (x0,y0)
求证：
SPAB
x1 x2 3 4
02 情 景 二 ： 阿 基 米 德 三 角 形 问 题
y
A
F
B x 0x =p(y0+y)
人教A版选修3-1
第二讲 古希腊 数学
• 四.数学之神——阿基米德
第二讲 古希腊数学
数学之神 知多 少
历史背景：
罗马
叙拉古
亚历山大
阿基米德(公元前287-前212)
西西里岛
欧几里得(公元前300年)
数学方面代表作：
......
LOREM IPSUM DOLOR
01 阿基米德圆柱容球问题 02 阿基米德三角形问题 03 阿基米德螺线问题
O
x
P (x 0,y0)
02 情 景 二 ： 阿 基 米 德 三 角 形 问 题
y
如图，已知抛物线
上两个点
B
以 x2 y
AF
x0x=p(y0+y) A，B为切点的切线 PA，PB相交于点P
O
x
P (x0,y0)
求证：
SPAB
x1 x2 3 4
LOREM IPSUM DOLOR
01 阿基米德圆柱容球问题 02 阿基米德三角形问题 03 阿基米德螺线问题
内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均
相切，计圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则
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希
亚历山大时期：公元前323年－前30年 马其顿帝国：前6世纪－前323年（前337年希腊 各城邦承认马其顿的霸主地位，前334－前323亚历山大东征）
腊
化
亚历山大后期：公元前30年－公元640年 前48－前30年凯撒、屋大维侵占埃及
时
期
公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书
公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷
罗马帝国：公元前27年－公元395年
西罗马帝国：公元395年－公元476年 东罗马帝国：公元395年－公元1453年
（610年改称拜占廷帝国）
1 古典时期的希腊数学 (公元前600-前300年)
古典时期的希腊数学
(
爱
哲学：万物源于水
奥
尼 亚
创数学命题逻辑证明之先河
学
派
泰勒斯定理
米 利
▪ 圆的直径将圆分为两个相等的部分.
掷 铁 饼 者 米 隆 约 前 年
( , 450 )
古典时期的希腊数学
伊
利
亚
学
芝诺悖论：运动不存在
派
位移事物在达到目的地
之前必须先抵达一半处，
即不可能在有限的时间内
通过无限多个点。
芝诺 (约公元前490-前430年)
古典时期的希腊数学
伊 利 亚 学 派
芝诺悖论: 阿基里斯
古典时期的希腊数学
伊 利 亚 学 派
希腊化时期的数学
《天文学大成》
第一、二卷：地心体系的基本轮廓 第三卷：太阳运动 第四卷：月亮运动 第五卷：计算月地距离和日地距离 第六卷：日食和月食的计算 第七、八卷：恒星和岁差现象 第九－十三卷：分别讨论五大行星的运 动，本轮和均轮的组合在这里得到运用
托勒密（埃及，90－165年）
思想的来源
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内 角和小于两直角的一侧相交.
希腊化时期的数学
数学之神
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
阿基米德 (公元前287-前212年)
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
希腊化时期的数学
阿基米德之死
希腊化时期的数学
《圆锥曲线》
8卷，487个命题
克莱因（美，1908－1992）：它是这样一座 巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上 几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实 可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。
吕
园 学
用于数学推理
派
矛盾律、排中律
亚里士多德
(公元前384-前322年)
)
希腊化时期的数学
2 亚历山大时期 (公元前300-前30年)
希腊化时期的数学
亚历山大时期：希腊数学黄金时代
亚历山大（匈牙利, 1980）
希腊化时期的数学
•《原本》（Στοιχετα）
• 13卷
• 5条公理、5条公设 • 119条定义和 465条命题
希腊化时期的数学
托勒密的本轮－均轮模型
希腊化时期的数学
丢番图的《算术》 (公元200-284年)
希腊化时期的数学
丢番图的墓志铭
五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿，
坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了所经历的道路。 上帝给予的童年占六分之一，
享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年， 他也走完了人生的旅途。
欧几里得 (公元前325-前265年)
• “几何无王者之道”
希腊化时期的数学
《原本》
• 第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉斯定理、初等 作图法等
• 第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积 • 第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切 • 第五、六卷：比例论与相似形 • 第七、八、九、十卷：数论 • 第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭法，是微积分
μαθηματια
古典时期的希腊数学
毕
达
哥
完全数
拉
斯
学 派
亲和数
不可公度量
毕达哥拉斯定理 （希腊，1955）
古典时期的希腊数学
毕 达 哥 拉 斯 学 派
古典时期的希腊数学
雅典时期：开创演绎数学
帕提农神庙(前447－前432年）
古典时期的希腊数学
帕提农神庙(前447－前432年）
古典时期的希腊数学
都
▪ 等腰三角形两底角相等.
学
派
▪ 两相交直线形成的对顶角相等.
泰勒斯
▪ 如果一个三角形有两角、一边分别
与另一个三角形的对应角、边相等, 那 么这两个三角形全等.
(约公元前625-前547年)
▪ 半圆上的圆周角是直角.
)
古典时期的希腊数学
毕 达 哥 拉 斯 学 派
毕达哥拉斯 (约公元前560-前480年)
学
派
柏拉图 (约公元前427-前347年)
古典时期的希腊数学
柏 拉 图 学 派
雅典学院(公元前387－公元529年)
古典时期的希腊数学
古希腊最著名的哲学家、科学家
亚里士多德(公元前384－前322年)（乌拉圭, 1996）
古典时期的希腊数学
(
亚
里 士
“吾爱吾师，
多 德
吾尤爱真理”
学
派
形式逻辑方法
第二讲
古代希腊数学
论证数学的发端 亚历山大学派 希腊数学的衰落
古希腊的变迁
爱奥尼亚时期：公元前11世纪－前6世纪
波希战争（前499－前449）
希 腊
公元前11世纪－前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区
时
期
公元前9－前6世纪：希腊各城邦先后形成
雅典时期：公元前6－前3世纪
伯罗奔尼撒战争（前431－前404）
芝诺悖论: 飞矢不动
古典时期的希腊数学
(
诡
辩 学
古典几何三大作图问题
派
智 人 学 派
)
三等分任意角
化圆为方
倍立方
(
古典时期的希腊数学
诡 辩 学 派 智 人 学 派
安蒂丰(约公元前480－前411年)的穷竭法 林德曼（德，1852－1939年）
)
古典时期的希腊数学
柏
打开宇宙之迷的钥匙是
拉 图
数与几何图形
阿波罗尼奥斯
贝尔纳（英，1901－1971）：他的工作如此 的完备，所以几乎二千年后，开普勒和牛顿可
以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质。
(约公元前262-前190年)
希腊化时期的数学
古罗马斗兽场 (建于公元70-82年)
希腊化时期的数学
希腊化时期的数学
3 亚历山大后期 (公元前30-公元600年)