第1讲 巧解“弦图”与面积(解析)

第一讲巧解“弦图”与面积

“弦图”是由八个完全一样的直角三角形组拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形，如图所示。

“弦图”的特点：(1)小长方形长宽之和＝大正方形边长；

(2)小长方形长宽之差＝小正方形边长。

根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。

(1) 一张5×5的方格纸，每个方格都编了号码（如下图）。挖去一个方格后，可以剪成8个1×3的长方形，那么应挖去的方格的编号是几？

答案：挖去13号

解析：利用弦图的方法，画一画，便很容易看出，挖去的方格的编号应为13。

剪成的8个长方形分别是：

（1）1号、6号、11号；（2）2号、7号、12号；

（3）3号、4号、5号；（4）8号、9号、10号；

（5）14号、19号、24号；（6）15号、20号、25号；

（7）16号、17号、18号；（8）21号、22号、23号。

结果如右上图。

(2)用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框（见下图）。边框的外周长为264厘米，里面小正方形的面积为900平方厘米。问：每块长方形条砖的长与宽各是多少厘米？

答案：长：24；宽：18

解析：由题中信息可以先求到大正方形与小正方形的边长。

（1）900＝30×30 →小正方形的边长为30厘米

（2）大正方形的边长：264÷4＝66（厘米）

（3）观察图形可知：

2长＋1宽＝66→①

2长－1宽＝30→②

（4）利用消去法将①、②相加可得：

长为：（66＋30）÷4＝24（厘米）

宽为：66－24×2＝18厘米

(3)大、小两个长方形摆成如下图所示的形状，小长方形的长是宽是2倍。如果大、小两个长方形对应边之间的距离是1厘米，夹在大、小两个长方形之间那部分图形的面积是40平方厘米，那么大、小长方形的面积各是多少平方厘米？

答案：大：112；小：72

解析：四个角上是边长为1厘米的小正方形，图中最小的长方形的宽为1厘米。

我们可以先求到图中最小的长方形的长。

（1）6个最小长方形的面积之和为：40－4×1＝36（平方厘米）

（2）1个最小长方形的面积为：36÷6＝6（平方厘米）

最小长方形长为：6÷1＝6（厘米）

（3）中间长方形的长为：6×2＝12（厘米）

中间长方形的面积为：6×12＝72（平方厘米）

（4）最大长方形的面积为：72＋40＝112（平方厘米）

(4)如下图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是多少？

答案：53

解析：由“正方形与阴影长方形的边分别平行，”可知四角处的四个四边形均为长方形。

再由题中的信息可求得正方形的面积为10×10＝100。

观察图形可知：四边形ABCD的面积等于外围四个长方形面积之和的一半加上中间阴影长方形的面积。（外围的每个长方形都被分成了两个完全相同的三角形）

外围四个长方形的面积之和：10×10－6＝94

四边形ABCD 的面积：94÷2＋6＝53

(5)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？

答案：68

解析：如右上图。

（1）将四个角上的空白三角形往里翻转，把阴影部分完全覆盖，中间红色边线小长方形被覆盖了2遍，说明空白部分的总面积比阴影面积多8。

即：S 空－S 阴＝4×2＝8（平方厘米）

（2）阴影面积为：（12×12－8）÷2＝68（平方厘米）

(6)已知下图所示的长方形是由若干个相同的小长方形拼成的，它的长比宽多30厘米。求阴影小正方形的总周长。

答案：60

解析：观察图形可知，阴影正方形的边长等于小长方形的长与宽之差。所以我们得知道小长方形的长与宽分别是多少。

设小长方形的长为A ，宽为B 。

（1）观察图形可知：

3A ＋3B ＝5A → 3B ＝2A

大长＝3A＋3B →①

大宽＝A＋3B →②

因为大长－大宽＝30厘米，用①－②得：

（3A＋3B）－（A＋3B）＝30

3A－A＝30

2A＝30

A＝15

（2）B＝15×2÷3＝10（厘米）

（3）小正方形的边长为：15－10＝5（厘米）

（4）总周长为：5×4×3＝60（厘米）

(7)用6张大小不同的小正方形纸片拼成如下图所示的图形。已知最小的正方形面积是l，问：图中红色正方形的面积是多少？

答案：16

解：如右上图，设第二小正方形的边长为X。

（1）可表示出另外3个正方形的边长分别为（X＋1）、（X＋2）、（X＋3）。

（2）红色正方形的边长可表示为：（X＋3）＋1－X

所以红色正方形的边长为：（X＋3）＋1－X＝4

（3）红色正方形的面积为：4×4＝16

(8)如下图，正方形ABCD的边长为5，E、F为正方形外两点，满足AE＝CF＝4，BE＝DF＝3，那么EF2＝__________

答案：98

解析：如下图，延长EA 、FD 交于G 点，延长EB 、FC 交于H 点。

GEHF 为正方形，EF 是正方形的对角线。

S △AEB ＝S △GAD ＝S △FDC ＝S △HCB

观察图形可知：

AG ＝CH ＝DF ＝BE ＝3

GD ＝BH ＝CF ＝AE ＝4

由勾股定理可得：

EF 2＝72＋72

＝49＋49

＝98

(9)-个直角三角形斜边长为9，两直角边之差为1，求这个直角三角形的面积。 答案：20

解析：用4个斜边为9，两直角边之差为1的直角三角形构造弦图如下。

GE ＝GF ＝3＋4＝7