第1讲巧解“弦图”与面积(解析)

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正方形弦图讲解及应用[讲解]

正方形弦图讲解及应用
[例1] 如图，321l l l 、、是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两
条平行直线间的距离为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，正方形ABCD 的面积是25.
（1）连接EF,证明△ABE 、△FBE 、△ED 、△CDF 的面积相等
（2）求h 的值
[例2] 已知，在直角梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,设∠BDC=α,以D 为旋转中心，将腰DC 逆时针旋转90°至DE,连接AE,CE.
(1) 当α
=45°时，求△EDA 的面积 (2) 当α
=30°时，求△EDA 的面积 (3) 当0°＜α＜90°时，猜想△EDA 的面积与α大小有何关系？若有关系写出△EDA 的面积S 与α的关系式；若无关系，请证明结论
[例3] 如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG。

过A做AH⊥BC与H，AH的反向延长线与EG交与P，求证：BC=2AP
[例4] 如图，已知正方形ABCD边长为a，对角线AC、BD相交于点O，将另一边长为A的正方形OEFG的一个顶点放在O处，其相邻两边与正方形ABCD的相邻两边相交于M、N两点，当正方形OEFG绕着O点旋转任意角度时，请探索：在旋转过程中，两个正方形重叠部分图形的周长与面积是否发生变化，若变化，请求出其变化范围；若不变，请求出相应的定值
[例5]E、F分别是正方形ADCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF，H为垂足，求证：AH=AB
[例6]如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=√5，BP=√2，PC=1，求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长。

三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型(学生版+解析版)

三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。

弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。

一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。

广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

图1图2图3(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH =S正方形ABCD+S正方形PQMN.1(2023秋·湖北·九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么图中小正方形的面积是()A.2B.3C.4D.52(2022·安徽安庆·八年级期末)汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD =45，则△ADE的面积为()A.24B.6C.25D.2103(2023·山西八年级期末)如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.24B.52C.61D.764(2022·杭州九年级月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是()A.S1=2B.S2=3C.S3=6D.S1+S3=85(2023·广东·九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是模型2. 勾股树模型6(2022·福建·八年级期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是．7(2022·浙江·乐清市八年级期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()A.S 甲=S 丁B.S 乙=S 丙C.S 甲-S 乙=S 丁-S 丙D.S 甲+S 乙=S 丙+S 丁8(2022·河南八年级期末)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，⋯按照此规律继续下去，则S 9的值为()A.126B.127C.128D.1299(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．10(2023·浙江八年级期中)如图，以Rt △ABC 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为S 1、S 2，Rt △ABC 的面积S 3．若S 1=4，S 2=8，则S 3的值为．11(2022春·浙江温州·九年级校考开学考试)如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连接KN 交AG 于点M ，若S 1S 2=916，则tan ∠ACB 为()A.12B.23C.34D.51212(2023·贵州遵义·统考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB =90°，分别以Rt △ABC 的三条边为边向外作正方形，连接BE ，DG 、BE ，交AC 于点Q ，若∠BAC =30°，BC =2，则四边形EQGD 的面积是．13(2023秋·浙江·八年级专题练习)【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】(1)请叙述勾股定理；(2)验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：(以下图形均满足验证勾股定理所需的条件)【探索发现】(3)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(4)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．课后专项训练1(2022·云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上增加了8个正方形，⋯⋯，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是()A.12B.32C.64D.1282(2022·浙江初三期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC=8，则BC的长为()图1图2A.42B.6C.254D.1323(2023·浙江·杭州八年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1-S2=12，S△ABC=4，则正方形BCFG的面积为()A.16B.18C.20D.224(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF 的长为()A.9B.92C.32D.35(2022·四川成都·模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积6(2023春·广东潮州·九年级校考期末)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD 的面积的大小为()A.144B.100C.49D.257(2023春·湖北武汉·八年级统考期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，中空的部分是小正方形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ，若GO =GP ，则直角三角形的边CG 与BG 之比是()A.12B.25C.2-1D.3-28(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC 为等边三角形，AD 、BE 、CF 围成的△DEF 也是等边三角形．已知点D 、E 、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点，若△ABC 的面积为14，则△DEF 的面积是()A.1B.2C.3D.49(2023·河北石家庄·校考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BE，DG，BE交AC于点Q．若∠BAC=30°，BC=2，则四边形EQGD的面积是()B.23C.53+3D.3A.53+3210(2023·江苏扬州·统考中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为．11(2022秋·四川成都·八年级校考期中)“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图1)，欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相交于点P,Q．若∠ABE=30°，则DGQM的值为.12(2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中)如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：(1)S1、S2、S3满足的数量关系是．(2)现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则S△ACB=．13(2023·湖北孝感·统考三模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．14(2022·山东临沂·统考二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1(如图1)，则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为(用含n的式子表示，n为正整数)．15(2023·浙江台州·八年级校考期中)如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O(正方形两条对角线的交点)，则Ⅱ中有水部分的面积为．16(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=．17(2023·江苏徐州·统考二模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接AC，若AG平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为2，则正方形ABCD的面积为．18(2023·陕西渭南·统考二模)魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，则BF的长为．19(2022·宁夏吴忠·统考一模)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为．20(2023·山东济宁·统考二模)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=；②b与c的关系为，a与d的关系为．21(2022·湖南·八年级课时练习)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长24，OC=3，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3，若S1+S2+S3=40，求S2．22(2023·广东深圳·校联考三模)中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC=3，斜边AB=5，则中间小正方形的边长CD=，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC=90°，BP=10时，△PAB的面积为．拓展延伸：如图③，已知∠MBN=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．(1)已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF=BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．(2)在(1)的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB=10，CF=2时，直接写出线段DE的长．三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

密不可分的弦图与面积

密不可分的弦图与面积作者：李小龙来源：《理科考试研究·初中》2014年第02期我国汉代数学家赵爽在他所著的《勾股圆方图》中，利用图1（人们称它为“赵爽弦图”）所示的拼图，简捷巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”是证明勾股定理最著名的证法之一，充分体现了我国古代的数学文明和数学文化，因此被选为第24届国际数学家大会的会标.除图1外，图2表示另一种弦图.利用图1并结合完全平方公式也可以这样证明勾股定理：设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则中间小正方形的边长为a-b，根据四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积等于外面大正方形的面积，得无论是利用图1还是利用图2证明勾股定理，都用到了图形面积关系之间的关系.由此可见，勾股定理与面积的缘分还真不浅呢！一、单一“弦图”型例1 （1）第24届国际数学家大会于2002年8月20日在北京举行，大会的会标如图3所示.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积.（2）现有一张长为6.5 cm，宽为2 cm的矩形纸片，如图4所示.请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形（要求在图3画出分割线，再画出拼成的正方形，并标明相应的数据）.解析（1）可设图3中每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，则中间的小正方形的边长为a-b，其面积为（a-b）2.依题意，得a+b=5，a2+b2=13.所以（a+b）2=a2+b2+2ab=13+2ab=25，所以2ab=12，所以（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1.即中间小正方形的面积为1.（2）给出的矩形纸片的面积为6.5×2=13 （cm2），其值正好与（1）中大正方形的面积相等.而通过计算得到小正方形的面积为1，因而小正方形的边长为1.受此启发，分割成的直角三角形的边长应满足a-b=1 （cm）.而矩形纸片的宽为2 cm，故长直角边可尝试为3 cm.因而可得图5的拼法.说明：问题（1）的解答对问题（2）具有启示和铺垫的作用，要注意从所给的数据中发现前后两问之间的联系，进而找到分割方法.二、复合“弦图”型例2 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图6）.图7由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S1+S说明：本题中的“弦图”具有一定的隐蔽性，需要添加辅助线才能将其找出.找出“弦图”后，可以方便地求出矩形的长和宽，从而顺利地求出面积.。

专题01 勾股定理的基本应用(解析版)

专题01 勾股定理的基本应用题型一求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()24a b +=，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：设大正方形的边长为c ，则22214c a b ==+，2()24a b +=Q ，22224a ab b \++=，解得5ab =，\小正方形的面积是：1441425141042ab -´=-´=-=，故选：C ．2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，则正方形C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，24610C S \-=+正方形，8C S \=正方形．故选：C ．3．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD D 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设AC a =，BC b =，由题意得：6a b +=，2220a b +=，222()2a b a b ab +=+-Q ，22062ab \=-，8ab \=，BCD \D 的面积118422ab ==´=．图中BCD D 的面积为4．故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为2S ，L 按此规律继续下去，则2022S 的值为( )A ．20221()2B ．20211()2C ．2022D ．2021【解答】解：在图中标上字母E ，如图所示．Q 正方形ABCD 的边长为1，CDE D 为等腰直角三角形，222DE CE CD \+=，DE CE =，221S S S \+=．观察，发现规律：2111S ==，211122S S ==，321124S S ==，431128S S ==，¼，11()2n n S -\=．当2022n =时，202212021202211()()22S -==，故选：B ．5．如图，以正方形ABCD 的边AD 为直径作一个半圆，点M 是半圆上一个动点，分别以线段AM 、DM 为边各自向外作一个正方形，其面积分别为1S 和2S ，若正方形的面积为10，随点M 的运动12S S +的值为( )A ．大于10B ．小于10C ．等于10D ．不确定【解答】解：AB Q 为半圆的直径，90AMD \Ð=°，22210AM DM AD \+==，21S AM =Q ，22S DM =，1210S S \+=．故选：C ．6．如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE D @D ；②90ACE Ð=°；③四边形ABDE 的面积是21()2a b +；④22111()2222a b c ab +-=´；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：//AB DE Q ，AB BD ^，DE BD \^，90B D \Ð=Ð=°．在ABC D 和CDE D 中，90AB CD B D BC DE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()ABC CDE SAS \D @D，A DCE \Ð=Ð，ACB E Ð=Ð．90A ACB Ð+Ð=°Q ，90DCE ACB \Ð+Ð=°．180DCE ACB ACE Ð+Ð+Ð=°Q ，90ACE \Ð=°，故①②正确；//AB DE Q ，AB BD ^，\四边形ABDE 的面积是21()2a b +；故③正确；Q 梯形ABDE 的面积-直角三角形ACE 的面积=两个直角三角形的面积，\22111()2222a b c ab +-=´，222a b c \+=．故③④⑤都正确．故选：A ．7．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ，6CD =，12AB =，则ABD D 的面积是( )A ．18B ．24C ．36D ．72【解答】解：作DH AB ^于D ，如图，AD Q 平分BAC Ð，DH AB ^，DC AC ^，6DH DC \==，1126362ABD S D \=´´=．故选：C ．8．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，5AC =，12BC =，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++等于( )A ．60B ．80C ．90D ．120【解答】解：连接PF ，过点F 作FD AK ^于点D ，AB EB =Q ，90ACB ENB Ð=Ð=°，而90CBA CBE EBN CBE Ð+Ð=Ð+Ð=°，CBA EBN \Ð=Ð，()CBA NBE AAS \D @D ，故4ABC S S D =；同理ADF ABC D @D ，AC DF AQ CP \===，90QAC KDF PCD Ð=Ð=Ð=°Q ，//AQ DF \，\四边形CDFP 是矩形，90CPF \Ð=°，180QPC CPF \Ð+Ð=°，Q \，P ，F 三点共线，又FA AB =Q ，90FDA ACB Ð=Ð=°，而90FAD CAB CAB ABC Ð+Ð=Ð+Ð=°，FAD ABC \Ð=Ð，()FAD ABC AAS \D @D ，同理可证ACT FDK D @D ，2FDA ABC S S S D D \==，同理可证TPF KME D @D ，AQF ABC D @D ，13ADF ABC S S S S D D \+==，综上所证：1234133125902ABC S S S S S D +++==´´´=．故选：C ．9．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为4和10，则b 的面积为　14　．【解答】解：如图，a Q 、b 、c 都为正方形，BC BF \=，90CBF Ð=°，24AC =，210DF =，1290Ð+Ð=°Q ，2390Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，在ABC D 和DFB D 中，13BAC FDB BC FB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ABC DFB \D @D ，AB DF \=，在ABC D 中，2222241014BC AC AB AC DF =+=+=+=，b \的面积为14．故答案为14．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则空白部分的面积为 60　．【解答】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，347AO AB AC \=+=+=，3710KL \=+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110´=，\空白部分的面积为22211034560---=，故答案为：60．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾6AE =，弦10AD =，则小正方形EFGH 的面积是　4　．【解答】解：如图，Q 勾6AE =，弦AD =弦10AB =，\股8BE ==，\小正方形的边长862=-=，\小正方形的面积224==．故答案是：4．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为　8　．【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，4186B S \+=-正方形，8B S \=正方形．故答案为：8．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6　．【解答】解：如图，作LM FE ^交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ，Q 四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，90EKI EDR IHG \Ð=Ð=Ð=°，29DE =，24HI =，3DE \=，2HI =，1809090EDK KHI Ð=Ð=°-°=°Q ，90DKE KHI HIK \Ð=°-Ð=Ð，在EDK D 和KHI D 中，EDK KHI DKE HIK EK KI Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EDK KHI AAS \D @D ，2DK HI \==，3DE HK ==，13232EDK KHI S S D D \==´´=；90DEF HIJ Ð=Ð=°Q ，18090DEM DEF \Ð=°-Ð=°，18090HIN HIJ Ð=°-Ð=°，90KEL KIL Ð=Ð=°Q，90MEL DEK KEM \Ð=Ð=°-Ð，90NIL HIK KIN Ð=Ð=°-Ð，//EF l Q ，//IJ l ，//EF IJ \，90EML EMN N \Ð=Ð=Ð=°，在EML D 和EDK D 中，MIL DEK EML EDK EL EK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EML EDK AAS \D @D ，EM ED EF \==，3EFL EML EDK S S S D D D \===；在LNI D 和KHI D 中，NIL HIK N KHI IL IK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()LNI KHI AAS \D @D ，IN IE IJ ==Q ，3LJI LNI KHI S S S D D D \===，336EFL LJI S S D D \+=+=，\阴影部分的总面积为6．14．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH D 、BDC D 、GFI D 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++=　18　．【解答】解：DF DC =Q ，DE DB =，且180EDF BDC Ð+Ð=°，过点A 作AJ EH ^，交HE 的延长线于点J ，90J DFE \Ð=Ð=°，90AEJ DEJ DEJ DEF Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，AEJ DEF \Ð=Ð，AE DE =Q ，()AEJ DEF AAS \D @D ，AJ DF \=，EH EF =Q ，AHE DEF S S D D \=，同理：BDC GFI DEF S S S D D D ==，1233AHE BDC GFI DEF S S S S S S S D D D D ++=++=´，13462DEF S D =´´=，12318S S S \++=．故答案为：18．题型二求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16【解答】解：如图，Q 两个小正方形的面积分别为10和6，26AC \=，210BC =，由勾股定理得，4AB ===．故选：A ．16．如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，以AB 为边在ABC D 外作正方形，其面积为9，以BC 为斜边在ABC D 外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B 作BD AC ^交AC 于点D ，则(AD = )A ．85B ．94C ．95D ．2【解答】解：Q 以AB 为边的正方形的面积为9，29AB \=，Q 以BC 为斜边的等腰直角三角形的面积为4，\等腰直角三角形的腰长为216BC \=，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，则5AC ===，1122ABC S AB AC AC BD D =´´=´´Q ，\1134522BD ´´=´´，解得：125BD =，由勾股定理得：95AD ===，故选：C ．17．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ．已知15AB =，Rt ABC D 的周长为15+，则CD 的长为( )A ．5BC ．D ．6【解答】解：如图所示：Rt ABC D Q 的周长为15+，90ACB Ð=°，15AB =，AC BC \+=，222215225AC BC AB +===，22()AC BC \+=，即222405AC AC BC BC +´+=，2405225180AC BC \´=-=，90AC BC \´=，Q 1122AB CD AC BC ´=´，90615AC BC CD AB ´\===；故选：D ．18．若ABC=，高24=，则BC的长为( )cm．AD cmAC cmD中，30AB cm=，26A．28或8B．8C．28D．以上都不对Q为边BC上的高，【解答】解：AD\Ð=Ð=°．90ADB ADCBD===，在Rt ABDD中，18CD===．在Rt ACDD中，10当点D在线段BC上时，如图1，181028=+=+=；BC BD CD当点D在线段CB的延长线上时，如图2，18108=-=-=．BC BD CD\的长为28或8．BC故选：A．19．如图，在ABCBC=，6AB=，4AC=，则DE的^于D，且5D中，CE是AB边上的中线，CD AB长　2　．【解答】解：设BD x=-，=，则5AD x在Rt ACD D 中，222CD AC AD =-，在Rt BCD D 中，222CD BC BD =-，2222AC AD BC BD \-=-，即22226(5)4x x --=-，解得，12x =，则12BD =，2DE BE BD \=-=，贵答案为：2．20．如图，锐角三角形ABC 中，2C B Ð=Ð，AB =，8BC CA +=，则ABC D 的面积为　【解答】解：过A 作AE BC ^于E ，延长BC 到D 使CD AC =，则CAD D Ð=Ð，ACB D CAD Ð=Ð+ÐQ ，2ACB D \Ð=Ð，2C B Ð=ÐQ ，B D \Ð=Ð，AB AD \=，BE DE \=，8BC CA +=Q ，8BD BC CD BC AC \=+=+=，4BE \=，AE \==，222AE CE AC \+=，即228(4)(8)BC BC +-=-，解得：5BC =，ABC \D 的面积11522BC AE ==´´=g故答案为：．21．如图所示，ABC D 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为　3　．【解答】解：由图形可知，5BC =，BC 边上的高为3，ABC \D 的面积1155322=´´=，由勾股定理得，5AC ==，则115522BD ´´=，解得，3BD =，故答案为：3．22．如图，在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，AC 的中垂线DE 交AC 于点D ，交BC 于点E ．延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求出CD 的长；（2）求出CF 的长．【解答】解：（1）在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，则AC ===，DE Q 是AC 的中垂线，12CD AC \==（2）DF Q 是AC 的中垂线，FA FC \=，3AB =Q ，33FB FA CF \=-=-，在Rt FBC D 中，222CF BC FB =+，即2226(3)CF CF =+-，解得：152CF =．23．如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，45CBE Ð=°，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．（1）如图1，若13AB =，10BC =，求AF 的长度；（2）如图2，若AF BC =，求证：222BF EF AE +=．【解答】（1）解：如图1，AB AC =Q ，AD BC ^，BD CD \=，10BC =Q ，5BD \=，Rt ABD D 中，13AB =Q ，12AD \==，Rt BDF D 中，45CBE Ð=°Q ，BDF \D 是等腰直角三角形，5DF BD \==，1257AF AD DF \=-=-=；（2）证明：如图2，在BF 上取一点H ，使BH EF =，连接CF 、CH 在CHB D 和AEF D 中，Q 45BH EFCBH AFE BC AF=ìïÐ=Ð=°íï=î，()CHB AEF SAS \D @D ，AE CH \=，AEF BHC Ð=Ð，CEF CHE \Ð=Ð，CE CH \=，BD CD =Q ，FD BC ^，CF BF \=，45CFD BFD \Ð=Ð=°，90CFB \Ð=°，EF FH \=，Rt CFH D 中，由勾股定理得：222CF FH CH +=，222BF EF AE \+=．24．如图，在ABC D 中，AD BC ^，垂足为点D ，13AB =，5BD =，15AC =．（1）求AD 的长；（2）求BC的长．【解答】解：（1）AD BC ^Q ，90ADB CDA \Ð=Ð=°．在Rt ADB D 中，90ADB Ð=°Q ，222AD BD AB \+=，222144AD AB BD \=-=．0AD >Q ，12AD \=．（2）在Rt ADC D 中，90CDA Ð=°Q ，222AD CD AC \+=，22281CD AC AD \=-=．0CD >Q ，9CD \=．5914BC BD CD \=+=+=．题型三通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为( )A ．214B ．215C ．225D ．223【解答】解：21ABCD S =Q 正方形，221AB \=，设DH x =，则33AH DH x ==，22921x x \+=，22110x \=，根据题意可知：AE CG DH x ===，3CF AH x ==，32FE FG CF CG x x x \==-=-=，2FGN CGNS S D D \=AEM CGN S S D D =Q ，FGN AEM CGN S S S D D D \=+，\阴影部分的面积之和为：()12NGFM S NG FM FG =+×梯形1()2EM MF FG =+×12FE FG =×21(2)2x =´22x =215=．故选：B ．26．如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点M 是AB 的中点，点N 在AC 上，MN AB ^．若8AC =，4BC =，则NC 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．【解答】解：如图，连接BN ，AB Q 的垂直平分线交AB 、AC 于点M 、N ，AN BN \=，设NC x =，则8AN BN x ==-，在Rt BCN D 中，由勾股定理得：222BN BC CN =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，即3NC =，故选：A ．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a =，HG b =，则斜边BD 的长是()A B C ．a b +D ．a b-【解答】解：设CD x =，则DE a x =-，HG b =Q ，AH CD AG HG DE HG a x b x \==-=-=--=，2a bx -\=，22a b a bBC DE a -+\==-=，2222222()()222a b a b a b BD BC CD +-+\=+=+=，BD \=，故选：B ．28．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD Ð，则BE =　76　．【解答】解：如图，延长CF ，BA 交于点G ，连接EF ，过点F 作FH CE ^于H ，过点E 作EM CF ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，且52AB =，4BC =，//AB CD \，52AB CD ==，90D ABC CBE Ð=Ð=Ð=°，DCF G \Ð=Ð，CF Q 平分ECD Ð，DCF FCE \Ð=Ð，FH DF =，G ECF \Ð=Ð，EC EG \=，ECG \D 是等腰三角形，CM MG \=，CE CF =Q ，ECF \D 是等腰三角形，EM CF ^Q ，FH CE ^，EM \和FH 是等腰三角形腰上的高，EM FH DF \==，Rt CDF Rt CME(HL)\D @D ，52CM CD \==，5CG \=，Rt CBG D 中，3BG ===，设BE x =，则3EC EG x ==+，Rt CBE D 中，222(3)4x x +=+，解得：76x =，76BE \=．故答案为：76．29．如图是“赵爽弦图”， ABH D ，BCG D ，CDF D 和DAE D 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于　6　．【解答】解：10AB =Q ，:3:4AH AE =，设AH 为3x ，AE 为4x ，由勾股定理得：222222(3)(4)(5)AB AH AE x x x =+=+=，510x \=，2x \=，6AH \=，故答案为：6．30．[阅读理解]如图，在ABC D 中，4AB =，6AC =，7BC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，求线段AD 的长．解：设BD x =，则7CD x =-．AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°．在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-．又4AB =Q ，6AC =，222246(7)x x \-=--．解得2914x =，2914BD \=．AD \==．[知识迁移]（1）在ABC D 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．)i 如图1，若14BC =，求线段AD 的长；)ii 若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC D 中，AB =，AC =，过点A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ，将ABD D 沿直线AB 翻折后得到对应的ABD D ¢，连接CD ¢，若252AD =，求线段CD ¢的长．【解答】解：（1）)i 设BD x =，则14CD x =-，AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-，13AB =Q ，15AC =，22221315(14)x x \-=--，5x \=，5BD \=，12AD \===；)ii 在Rt ABD D 中，5BD ===，在Rt ACD D 中，9CD ===，当ABC Ð为锐角时，如图11-，5914BC BD CD =+=+=，当ABC Ð为钝角时，如图12-，954BC BD CD =-=-=；（2）如图2，连接DD ¢交AB 于点N ，则DD AB ¢^，过点D ¢作D H BD ¢^于H ，在Rt ABD D 中，254BD ==；在Rt ACD D 中，5CD ==，AB Q 垂直平分DD ¢，254D B DB ¢\==，2D D DN ¢=，1122ABD S AD BD AB DN D =×=×Q ，\252524DN ´=，DN \=2D D DN ¢\==，设HB m =，则254HD HB BD m =+=+，22222D H D D HD D B HB ¢¢¢=-=-Q ，22222525(()44m m \-+=-，154m \=，154HB \=，152541544HC HB BD CD \=++=++=，5D H ¢===，D C ¢\===．。

小升初的考试形式分析几何题心算技巧(三)弦图

2019育才双语，实验北小升初的考试形式分析几何题心算技巧（三）弦图
弦图是中国古代数学家赵爽提出，并用它证明了勾股定理。

现在的小学奥数中，利用弦图来解几何题是非常好用的，掌握熟练，可以心算一些类型的几何题。

例题：如图正方形ABCD中，GH=5，EF=4，阴影部分面积是120，求正方形ABCD的面积。

这道题的阴影面积是无法直接计算的，表面看来是无从下手，但是通过构
造弦图
可知中间的小长方形的面积是4×5=20，小长方形周围的四个阴影三角形和阴影外围的四个白三角形面积相等。

所以大正方形的面积是（120-20）×2+20=220
巧妙利用弦图，完全可以快速的心算出答案。

下面再看一道题
例题：正方形ABCD，DE=4，长方形BCEF的面积是16.25，求正方形ABCD的边长
如果可以用笔，可以列方程设正方形ABCD的边长是x，则x（x-4)=16.25
但是需要会解一元二次方程。

我们利用长方形BCEF构造弦图
中间的小正方形面积是4×4=16，四个长方形的面积是16.25×4=65 所以大正方形的面积是16+65=81，边长是9
长方形BCEF的：长+宽=9；长-宽=4；
又变成了最熟悉的和差问题，
正方形ABCD的边长=（9+4）÷2=6.5。

人教版初二数学讲义《特殊图形的旋转与弦图》

题型切片（两个）对应题目题型目标正方形弦图例1，例2，练习1，练习2；特殊图形中的旋转例3，练习3；例4，练习4；例5，练习5；例6．本讲内容主要分为两个题型，题型一为正方形弦图，重点在于弦图的构造，这种能力对于做一些正方形的题目有辅助作用，这就要求学生对弦图比较熟悉，不断通过相关题目进行训练；题型二为特殊图形中的旋转变换，在该版块中列举了三个常考图形——等腰直角三角形，等边三角编写思路题型切片知识互联网7特殊图形的旋转与正方形弦图形以及正方形，一般情况下旋转的角度分别为90°，60°和90°，旋转其它度数的题目在探究中略有罗列，老师可对旋转题型在此做适当的总结．本讲的最后一道例题是2013年朝阳一模第22题，是一道动手操作题与旋转的结合，综合性比较强，难度较大，需要学生不仅对弦图理解较深入，且对旋转运用熟练，计算量也比较大，程度较好的班级可以适当拓展2013海淀一模22题，借此对此题型进行补充及完善．正方形弦图是由四个全等的直角三角形顺次连接而成的图形，其中有我们以前学过的数学模型“三垂直模型”．①外弦图：条件：正方形ABCD 、正方形EFGH结论：△ABF 、△BCG 、△CDH 、△DAE 两两全等②内弦图：条件：正方形ABCD 、正方形EFGH结论：△AEH 、△BFE 、△CGF 、△DHG 两两全等【例1】如图，l 1、l 2、l 3、l 4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD 的面积是25． ⑴ 连接EF ，证明△ABE 、△FBE 、△EDF 、△CDF 的面积相等． ⑵ 求h 的值．Gl 2l 1l 3l 4l 4l 3l 1l 2BH G A BCDE FF E DCB A【解析】 ⑴ 由题意可知ABE FEB EFD CDF △≌△≌△≌△，∴面积均相等．⑵ 方法一：过点A 作直线3l 的垂线AH ，交2l 于点G ．由弦图可证明ABG DAH △≌△， ∴ HD AG h ==典题精练题型一：旋转的构造在AHD △中，()22225h h += 解得5h =方法二：分别过B D 、作直线4l 的垂线，利用弦图证明．【例2】如图，向ABC △的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H ，AH的反向延长线与EG 交于P ．求证：2BC AP =．【解析】方法一：过点E 、G 分别作AP 的垂线，垂足为K 、Q ．在AEK △和BAH △中∵90EAK BAH ∠+∠=︒，90BAH ABH ∠+∠=︒ ∴EAK ABH ∠=∠AKE BHAEAK ABH AE BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEK BAH △≌△∴AK BH =同理ACH GAQ △≌△ ∴CH AQ =在PEK △和PGQ △中 EKP GQP KPE QPG EK GQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PEK PGQ △≌△ ∴PK PQ =∴BC BH CH AK AQ AQ PQ PK AQ =+=+=+++ 即()22BC AQ PQ AP =+=．方法二：延长AP 至点K ，使得AK BC =．连接EK ． ∵AB AE ⊥∴90EAK BAH ∠+∠=︒ ∵AH BC ⊥∴90ABH BAH ∠+∠=︒ ∴EAK ABC ∠=∠ 同理，PAG ACB ∠=∠ ∵AE AB =，AK BC = ∴EAK ABC △≌△∴AC EK AG ==，∠=∠=∠ACB EKA PAG ∴EK AG ∥∴EKP GAP △≌△∴1122PA KP AK BC ===，即2BC AP =．【点评】此题是非常经典的“婆罗摩笈多”定理的一部分，由此图可以总结以下几个结论：⑴ ABC AEG S S =△△；⑵ 若AH BC ⊥，则EP PG =，2BC AP =；G A B C DE F H P⑶ 若EP PG =，则AH BC ⊥，2BC AP =．等腰直角三角形（旋转90°），等边三角形旋转（旋转60°），正方形旋转（旋转90°）EDCB A②①FE DC B APFEDCBAGFEDCBA【例3】已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，过点C 作CE BC ⊥于C ，D 为BC 边上一点，且BD CE =，连结AD 、DE ．求证：BAD CDE ∠=∠．【解析】延长EC 至F ，使CF CE =，连结AF 、DFCE BC CF CE ⊥=，， DF DE ∴=又CE BC ⊥，FDC CDE ∴∠=∠9045BAC AB AC B ACB ∠=︒=∴∠=∠=︒，，45ACF ∴∠=︒ B ACF ∴∠=∠,BD CE CF CE ==,BD CF ∴=在ABD △与ACF △中 F F AB AC B AC BD C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACF ∴≅△△SAS （）思路导航典题精练题型二：特殊图形中的旋转FEDCBAA BC DEP'BPACBP ,AD AF BAD CAF ∴=∠=∠， AD F AFD ∴∠=∠90BAD DAC ∠+∠=︒，90CAF DAC ∴∠+∠=︒ 45ADF ∴∠=︒45BAD ADC B ADC ∠=∠-∠=∠-︒,45FDC ADC ADF ADC ∠=∠-∠=∠-︒， BAD FDC ∴∠=∠BAD CDE ∴∠=∠．【例4】 ⑴如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且3PA =，4PB =，5PC =．求APB ∠的度数．【解析】如图，作BQ =BP ，且∠CBQ =∠ABP连接PQ 、CQ∴△ABP ≌△CBQ （SAS ） ∴∠PBQ =60°∴△PBQ 是等边三角形 ∴PQ=PB =4∵3QC PA ==，5PC =∴PCQ △是直角三角形，且90PQC =︒∠ 又∵60PQB =︒∠， ∴150CQB =︒∠由全等知，∠APB =∠CQB ∴150APB =︒∠⑵如图，若P 是等边△ABC 外的一点，其他条件不变，求∠APB 的度数.【分析】此题最常见的三种做法：分别以题中的已知三边各自向外作等边三角形，去构造手拉手数学模型，然后证明手拉手模型中两个旋转三角形全等.目的是要把已知的三边3,4,5构造在直角三角形中.【解析】方法一：以PA 为一边向四边形PACB 的外面作正三角形AMP ，则MAB PAC ∠=∠， ∴MAB PAC ∆∆≌，∴4PB =，5BM =，3MP =，∴90BPM ∠=︒，906030BPA ∠=︒-︒=︒．方法二：以PB 为一边向四边形PACB 的外面作正三角形PBN ,证法参照方法一方法三：如图，作CP '，使CP CP '=，ACP BCP '=∠∠，连接PP '显然，ACP BCP '△≌△，∴ACP BCP '=∠∠，3AP BP '== ∴60PCP '=︒∠，∴PCP '△是等边三角形．C ABP ABC P Q∴5PP PC '==，在PBP '△中 ∵4PB =，3BP '=，5PP '= ∵222PP PB BP ''=+， ∴90PBP '=︒∠∴90BP C P CP CPB ''++=︒∠∠∠ ∴30BP C CPB '+=︒∠∠ ∴30APC CPB +=︒∠∠ 即30APB =︒∠【例5】如图，在正方形ABCD 内有一点P ，且5PA =，2BP =，1PC =．求BPC ∠度数的大小和正方形ABCD 的边长．PDCBAEP'PDCBA【解析】如图，将BPC △绕点B 逆时针旋转90°，得BP A '△，则BPC BP A '△≌△．∴1AP PC '==，2BP BP '==．连接PP '，在Rt BP P '△中，∵2BP BP '==，90PBP '∠=°， ∴2PP '=，45BP P '∠=°．在AP P '△中，1AP '=，2PP '=，5AP =， ∵22212(5)+=，即222AP PP AP ''+=． ∴AP P '△是直角三角形，即90AP P '∠=°． ∴135AP B '∠=°．∴135BPC AP B '∠=∠=°．过点B 作BE AP '⊥交AP '的延长线于点E ． ∴45EP B '∠=°．∴1EP BE '==．∴2AE =． ∴在Rt ABE △中，由勾股定理，得5AB =．∴135BPC ∠=°，正方形边长为5．【例6】小雨遇到这样一个问题：如图1，直线123l l l ∥∥，1l 与2l 之间的距离是1，2l 与3l 之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线1l 、2l 、3l 上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．真题赏析图 1l 1l 2l 3图 2ABCDE Hl 3l 2l 1小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线1l 任取一点A ，作AD ⊥2l 于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交3l 于B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线2l 于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于．参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线123l l l ∥∥，1l 与2l 之间的距离是2，2l 与3l 之间的距离是1，试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线1l 、2l 、3l 上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹）（2013朝阳一模）l 3l 2l 1图 3【解析】图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于5．如图，图3中等边三角形ABC 的面积等于733．连接DE ，过E 作EH ⊥l 3于H ，△ADE 为等边三角形，故在四边形ADFE 中∠DFE =120°，且∠EDG =30°，故EG =1，EH =2，BE =433，AE =2，AB =2213∴S △ABC =733 【拓展】问题：如图1，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD ，使它的顶点A 、B 、C 、D 分别在直线a 、b 、d 、c 上，并计算它的边长.AED CBl 3l 2l 1HGF AED CB l 3l 2l 1图1 图2小明的思考过程：他利用图1中的等距平行线构造了33⨯的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH ，如图2所示,再分别找到它的四条边的三等分点A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60︒，边长为1）中，画出一个等边△ABC ，使它的顶点A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线a 、b 、c 上；（2）如图4，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行线，1l 、2l 之间的距离是215，2l 、3l 之间的距离是2110，等边△ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，直接写出△ABC 的边长.图3 图4 【解析】（1）5（2）①如图： (答案不唯一)②7215.【探究】旋转模型探究【探究1】三垂直全等模型(弦图)；【变式1】直线232+=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，求将AB 绕点A 逆时针旋转45°所得到的直线解析式.【解析】如图，可得()52,C -，则AC 的解析式为y =5x +15. 【探究2】等线段，共端点【变式2】中点旋转(旋转180°)CBD'C例：在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．图 6G E F D BCA【解析】 D E =5．11【变式3】普通等线段，共端点；例：如图，五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC +DE =CD ，∠BAE ＝∠BCD ＝120°，∠ABC ＋∠AED ＝180°，连结AD 。

小学五年同步辅导专题甄选.

小学五年同步辅导专题.小学五年同步辅导专题【本讲教育信息】一. 教学内容：用“弦图”求面积同学们，你们好！今天，我们一起来研究“弦图”的知识。

这就是一个“弦图”。

“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。

三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。

我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。

（一）阅读思考例1. 有一大一小的两个正方形（如下图），对应边之间的距离都是1厘米，如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？分析与解答：要想求出图中大正方形的面积，根据公式，只要先求出大正方形或小正方形的边长就行。

下面我们就设法求出这两个量中的某个量。

解这道题有很多种方法；但都要添加辅助线。

方法1：方法2：方法3：方法4：图中两个梯形共12平方厘米，它们每个面积是平方厘米，因为梯形的高是2厘米，所以梯形上下底之和是厘米，上下底之差是2厘米，所以梯形的上底（大正方形边长）是4厘米，所以大正方形面积是平方厘米。

例2. 从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？分析与解答：我们可以将四个剩下的长方形这样的木板拼成一个如下图的“弦图”。

从图中可以看出，中间的小正方形面积是平方米，大正方形的面积是平方米。

由于，所以大正方形的边长是4.5米。

也就是剩下的长方形的长和宽的和是4.5米，长与宽的差是0.5米。

从图中也可以看出，大正方形的边长＝小正方形边长＋长方形宽×2，所以长方形的宽是2米，那么长是2.5米。

所以锯下的木条的面积是平方米。

（二）尝试体验1. 四个完全一样的长方形木板，拼成如图的正方形，大正方形周长32厘米，小正方形周长8厘米。

求：每块长方形木板的面积和周长。

2. 同样大小的长方形纸片摆成下面这样的图形。

五年级第一讲勾股定理(超一)

第一讲勾股定理与弦图一．知识精讲勾股定理:直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

勾股定理实际上包含两方面的内容：○1如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方； ② 如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

弦图：外弦图内弦图二．例题精讲【例题1】（1）求下列体形的周长与面积。

GFEH（2）一块木板如图所示，已知AB=3,BC=4,DC=13,AD=12，木板的面积为。

【例题2】（1）如图在美丽的毕达哥拉斯树中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知所有的正方形面积总共是80，那么最大的正方形面积是多少？（2）下图是由一个直角边都是1的直角三角形向外作直角三角形得到，形成一个美丽的螺旋图案，第8个直角三角形的斜边是多少？如果一直螺旋下去，第几个直角三角形斜边长是100？【例题3】（1）一根竹竿AB紧靠在竖直的墙上，竹竿滑下来，顶端A下滑了0.3米，底端B向左滑了1.5米，那么竹竿有米。

（2）如图，三角形ABC中，AB=9，AC=11，BC=10，过点A作BC边的高AD，求BD,DC的长。

【例题4】下图是一个长为16，宽为10的长方形，沿着图中虚线的位置将这个长方形折叠成一个等腰梯形，则这个梯形的面积是。

【例题5】(1)如图，梯形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直。

AB平行于CD，又AB=3，AC=9，BD=12．试求梯形DC的面积．(2)已知梯形的两条对角线互相垂直，其中对角线BD为15厘米，梯形的高DE为12厘米，此梯形的面积为多少平方厘米？【例题6】（1）如图，一个边长为17厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计）。

小学数学竞赛七、用“弦图”求面积

七、用“弦图”求面积小朋友，给你八个边长分别为3厘米、4厘米的直角三角形，不许重迭，不许剪裁，你能拼出一个正方形来吗？聪明的小朋友一定会想出许多巧妙的方法.图1就是小慧想出的一种拼法，这就是有名的“弦图”.三国时期吴国数学家赵爽，在为我国早期数学巨著《周髀算经》作注释时，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明.“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形.根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，可使我们得到一些面积问题的解题思路.例1有一大一小的两个正方形（见图2），对应边之间的距离都是1厘米，如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？分析与解要想求出图2中大正方形的面积，根据公式，只要先求出大正方形或小正方形的边长就行.下面设法来求这两个量中的某个量.图2与图1有类似之处，添辅助线将图2变成图3，就成了一个“弦图”.图3中小正方形外围的四个长方形的形状和面积都一样，这样其中一个的面积为（12÷4=）3平方厘米，又因为这个长方形的宽为1厘米，所以长方形的长为（3÷1=）3厘米，大正方形的边长为4厘米，这一来面积就可求出了.12÷4=3（平方厘米）（一个长方形面积）3÷1=3（厘米）（长方形的长）3+1=4（厘米）（大正方形的边长）4×4=16（平方厘米）（大正方形的面积）利用同解法1类似的想法还可以找到下面的一些解法.也可以先添辅助线，将图2变成图4，先求图4中长方形A的面积，因为大正方形四角都是边长为1厘米的正方形，而剩下的四个长方形形状和面积都一样，所以A的面积为：（12-1×4）÷4=2（平方厘米）又因为长方形A的宽为1厘米，所以它的长为：2÷1=2（厘米）大正方形的面积为：12+2×2=16（平方厘米）还可以另添辅助线，将图2变为图5.图5中4个梯形的形状和面积都一样，所以每个梯形的面积为（12÷4=）3平方厘米.梯形面积等于上、下底之和乘以高再除以2，每个梯形上、下底（即大、小正方形的两个边长）之和为6，而大小正方形边长之差为2厘米，所以大正方形的边长为4厘米，这一来大正方形面积为（4×4=）16平方厘米.另外，适当移动小正方形后，再添辅助线，将图2变为图6.因图6中两个梯形的面积与形状都一样，所以一个梯形的面积为（12÷2=）6平方厘米.和解法3类似，可求出梯形上、下底之和与差分别为6厘米和2厘米.故梯形的上底（即大正方形的边长）为4厘米，大正方形的面积为（4×4=）16平方厘米.以上解法各有千秋，小朋友，你还有其他的解法吗？例2用同样大小的22个小纸片摆成图7所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积和.分析与解图7猛一看似乎无从下手，但只要你仔细观察，马上就会发现，该图1中间三个图形的形状一样，都是与图3一样的“弦图”.我们知道，“弦图”的特点是，小长方形的长与宽的和，恰好是大正方形的边长，而长方形的长与宽之差，恰好是小正方形的边长.现在要求图7中阴影部分的面积和，由于每个小阴影部分都是一个小正方形，所以只要求出它的边长就行了，而小正方形边长等于长方形长与宽之差，由于长方形的长是18厘米，因此只要求出它的宽，问题便解决了.为求出长方形的宽，我们再来观察图7.从图7的第一排和第二排可以看出，小纸片的五个长等于它的三个长加它的三个宽，也就是它的两个长等于它的三个宽.由于两个长等于（18×2=）36厘米，所以每个宽为12厘米，这样问题就好解决了.由于图中5个小纸片的长等于3个小纸片的长加上3个小纸片的宽，所以3个小纸片的宽等于2个小纸片的长.每个小纸片的长为18厘米，所以3个纸片的宽为36厘米，因而每个小纸片的宽为12厘米.一个阴影部分小正方形的边长等于长方形长与宽的差，即小正方形的边长为（18-12=）6厘米.因此一个阴影小正方形的面积为（6×6=）36平方厘米， 3个阴影部分面积和为：36×3=108（平方厘米）例3从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？分析与解先将题目中的已知条件画成图8，我们先看图8中下面剩下的那个长方形.已知它的面积等于5平方米，它的长与宽的差为0.5米，根据“弦图”的启示，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个如图9那样的一个“弦图”.图9是一个大正方形，它的边长等于长方形的长与宽之和，中间那个小正方形的边长，等于长方形长与宽之差，即等于0.5米.这样小正方形的面积为（0.5×0.5=）0.25平方米，那么大正方形的面积为（5×4+0.25=）20.25平方米.由于 4.5×4.5=20.25，所以大正方形的边长为 4.5米.这样我们便知道了剩下的长方形长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，使用：（和+差）÷2=大数，（和-差）÷2=小数这两个公式中的任一个，便能求出长方形的长来，这个长就是锯下的小长方形的长.有了这个小长方形的长，而宽又已知为0.5米，那么用面积公式便能求出它的面积来.即45图9中大正方形的面积为：5×4+0.5×0.5=20.25（平方米）因为 4.5×4.5=20.25，所以大正方形边长为4.5米.原正方形的边长为：（4.5+0.5）÷2=2.5（米）锯下一条小长方形的面积为：2.5×0.5=1.25（平方米）。

初中数学解题模型专题讲解27---弦图及推广图在三角形面积最大值中的应用

总结与归纳：此类三角形面积最大值问题能否类似于弦图来解决，关键在于这个三角形的某个
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内角或某 2 个内角之和能不能成为一个正多边形的内角. 1.当有一个内角为α 的三角形的对边已知，α 能成为一个正多边形的外角(即剩下
2 个角的和可成为正多边形的内角)时，我们用“关联正多边形Ⅰ型”来证明或解答其面积最大值；
内弦图
图1
图2
弦图一般用来证明勾股定理之外，笔者研究发现还可以用来求某些直角三角形面积最大值问题.
例 1.(1)求斜边为 4 的直角三角形面积的最大值；
(2)求直角边之和为 4 的直角三角形面积的最大值.
解：(1) 如图 3，取 4 个这样的全等直角三角
形组
成外弦图，直角三角形面积等于外
正方形的面
的面积减去内正方形面积的差再除以 4 的结
果.
外正方形的面积为 16，当内正方形的半径最小时，内正方形的面积取得最小
值，而内正方形的半径最小值为 2，此时直角三角形的两边相等，故直角三角形的
1 面积最大值为： ×2×2=2.
2
分析与反思：这 2 道问题略有不同，差别在于已知条件的不同，一个是斜边为定值，一个是直角边之和为定值，因而选择不同的弦图，那么为什么要选择弦图来解决这类问题呢？当然这 2 个问题的解决还有许多方法，不一一列举了，经过观察，我们能发现，首先，直角三角形最大角是直角，正多边形内角为直角的仅仅是正方形，而且，直角三角形两个锐角之和也为直角，因此，此类问题都可以运用弦图来解决.
1 S = absinA 、余弦定理和基本不等式来证明！原因何在？我们观察例 1(2)与例 2(2)，
2 发现 90°和 120°都可以成为一个正多边形的内角，而没有任何一个正多边形的内角可以是 45°！我们应当放弃这种方法！

六年级下册小学奥数几何模块弦图(28页PPT)全国通用

主讲老师：癸酉0311
目录
专题解析例题讲解总结归纳巩固提升
专题解析
专题解析
弦图弦图不仅仅可以作为证明勾股定理的一种手段，在其它一些几何题目中也有弦图的身影，其也作为解决几何问题的一种常规手段.
基本要求满足“内弦图”或“外弦图”的基本要求，多需要进行构造.
内弦图
外弦图
例题讲解
例题讲解
练一练2：如图，已知正方形的边长是12，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例3：如图，梯形ABCD中，上底是10厘米，下底是15厘米，将CD绕D点逆时针旋转90度，使得使得C点落于C ' 处，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练3：如图，等腰梯形ABCD的上底长是22，下底长是35，以CD为边长向外作正方形CDEF，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例4：如图，直角三角形ABC中，AB=12，AC=8，E是BC的中点，且四边形DEFG是正方形，求正方形DEFG的面积.
例题讲解
练一练4：如图，直角三角形ABC中，AD=AF=CF=CE，且三角形DEF是等腰直角三角形，已知 BD=2，BE=6，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例5：如图，正方形ABCD中，E是CD上一点，三角形BEF是等腰直角三角形，已知AG=5，DG=15，求三角形BEF的面积.
例题讲解
例1：如图，直角三角形的直角边分别是4和6，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练1：如图，四边形ABCD是正方形，三角形BCE和三角形CDF是直角三角形，CE：CF=4:3，已知五边形ABEFD的面积是740，求三角形AEF的面积.
例题讲解
例2：如图，已知正方形的边长是10，求图中阴影部分的面积.

“弦图”解题例谈

“弦图”解题例谈特级教师吴乃华“弦图”是由八个形状相同、大小相等的直角三角形，拼成的四个长方形而围成的中空也为正方形的正方形（图1）。

早在一千七百多年前，三国时期的吴国数学家赵爽，在为我国数学巨著《周髀算经》作注释时，就利用它对勾股定理作出了严格而又简捷的证明。

弦图的特点是大正方形的边长等于长方形的长边与宽边的和，中空部分的小正方形的边长,就是长方形长边与宽边的差。

根据大、小两个正方形的边长与长方形长和宽的关系，斜边与直角边的关系，可以巧妙而简捷地解决许多实际问题。

【例1】一个直角三角形的斜边长101厘米，而它的两条直角边一条比另一条短79厘米，这个三角形的面积多少平方厘米？解：“弦图”这个名称，也可以说是以四个完全一样的直角三角形的斜边为边的正方形，赵爽称它为“勾股圆方图”。

本题，如果我们想到了这个图，问题就变得十分简单了。

如右图2，我们用四个完全一样的直角三角形拼成一个大正方形。

大正方形的边长是101厘米，面积是：101×101＝10201（平方厘米）里面小正方形的边长恰好是两条直角边的差，其面积是：79×79＝6241（平方厘米）右图的阴影部分，正是两个正方形面积的差，也即4个这样的直角三角形面积的和。

所以这个直角三角形的面积是：（10201－6241）÷4＝990（平方厘米）。

【例2】一块正方形铁皮，从它上面剪下一个宽2分米的长条后，剩下的部分为一个面积是15平方分米的长方形（如图3a）。

剪下的长条铁皮的面积是多少平方分米？解法一：设正方形边长为x分米。

根据题意，则有x（x－2）＝15x2－2x＝15x2－2x＋12＝15＋12（x－1）2＝42x－1＝4x＝5这种方法是很难适合大多数小学生的。

解法二：假设剩下的长方形铁皮有4块，我们就可以拼成如右图3b的正方形。

把4个形状相同、大小相等的长方形这样摆放，就构成了一个“弦图”。

这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和。

巧解“弦图”与面积

例1如图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是。

做一做1 四个一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如图），大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。

问：长方形的短边长是几米？例2如图，有一大一小两个正方形，对应边之间的距离都是1厘米。

如果夹在两正方形之间的面积是12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？做一做2 计划修一个正方形的花坛，并在花坛的周围铺上宽2米的草坪，草坪的面积是40平方米，问：修建花坛需占地多少平方米？例32002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长为2和3）。

问：大正方形的面积是多少？做一做3 如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？例4用同样大小的22个小纸片摆成如图所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积之和。

做一做4 38个长为4厘米的小纸片摆成如图所示的图形。

求图中阴影部分面积的和。

例5从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米。

问：锯下的长方形木条的面积等于多少？做一做5 从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一个长方形木条后，剩下的那块长方形的面积为336平方分米。

求：原正方形的面积是多少平方分米？例6在下图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对都是相同的正方形，那么中间正方形的面积是多少？做一做6 如图，一个长方形的纸盒内，放着9张正方形的纸片，其中正方形A和B的边长分别为4和7，那么长方形（纸盒）的面积是多少？例7用尺寸为9×9的正方形纸片一张，剪成3×4和2×5的两种长方形。

为使余料最少，那么，应该剪成多少个3×4的长方形？做一做7 一张长14厘米、宽11厘米的长方形纸片，最多能剪出多少个长4厘米、宽1厘米的纸条？怎样剪？请画图说明。

利用图形面积妙解问题例析

韩素娟（南省安阳市曙光学校）河
我们生活的世界是个丰富多彩的图形世界．利用这些千变万被广泛地应用．
化的图形我们可以解决很多问题．其中方法的优美与巧妙，直观
据不完全统计，勾股定理的证明方法多达４０多种，其中０
总之，人贵在创造，创造思维是创造力的核心．培养有创新
意识和创造才能的人才是中华民族振兴的需要，让我们共同从
启发学生进行猜想，作为教师，首先要点燃学生主动探索课堂做起．
［１年期基教论３２２第３］础育坛５０
方形的面积等于图２中两个正方形面积的和，即Ｃ＝ａ＋ｂ．由２面积（＋ｂ（ｏ）ｏ—ｂ由此可验证平方差公式一６＝（＋ｂ（）ｏ）ｏ一
形面积的差（一ｂ）２．图１２平行四边形形的面积等于（十ｂ（ｏ）ｎ一
６．由于图ｌ由图１）２是１的阴影部分切割拼接而成的，所以一
的会徽就是赵爽所使用的这个弦图．
ｂ等于（６（一ｂ，由此可验证平方差公式Ｇ一ｂ＝（ｂ（ｚ口＋）口）２口＋）口一
３基教论２１年期］６础育坛［２第３０
解题研究ｒ——一
全平方公式（。一ｂ２ａ）＝ａ —２ｈ＋ｂ．
（结图１的法们以到下计仅参．２合５做我可得以设，供考）
方法二：如图１３中大正方形是由两个小正方形和两个长方形组成的．显而易见，其大正方形的面积（ｏ＋６于两个小正）等方形的面积与两个全等的长方形的面积的和＋２ｈ＋６．由此ａ验证了（ｂ２ａａ－）＝ａ＋２ｈ＋６．同样道理如图１４：４中的边长为一６）的正方形面积等于边长为。的正方形面积减去两个长和宽分

苏教版五年级上册数学巧用“弦图”解决面积问题 (课件)

D：40÷4=10（米） 10×10＝100（平方米）
B、C：220－100＝120（平方米） 120÷2＝60（平方米）
A：60÷10＝6（米） 6×6＝36（平方米）
答：小正方形试验田的面积是36平方米。
B
D
10米A6米Fra bibliotekC四、练习巩固。
如图，用四个相同的长方形拼成一个面积为100平方厘米的大正方形，每个长方形的周长是多少厘米？ 10厘米
巧用“弦图” 解决面积问题
一、你知道吗？
弦图（如右图）是由8个完全一样的直角三角形拼成 4个相同的长方形围成的，中间空出1个小正方形。
一、你知道吗？
三国时期，中国数学家在对《周髀算经》作注释时，就利用“弦图”对勾股定理作出了严格而简明的证明。
二、例题讲解。
有一大一小的两个正方形（如右图），对应边之间相距 1米，如果夹在两个正方形之间的部分的面积为12平方米，那么大正方形的面积是多少呢？
12÷4=3（平方米）
3÷1＝3（米）
3＋1＝4（米）
4×4＝16（平方米）
答：大正方形的面积是16平方米。
方法二
有一大一小的两个正方形（如右图），对应边之间相距1米，如果夹在两个正方形之间的部分的面积为12平方米，那么大正方形的面积是多少呢？
12÷4=3（平方米）
3×2÷1＝6（米）
上下底之和是6米，上下底之差是2米。
2米
上下底之和是6米，上下底之差是2米。
（6＋2）÷2＝4（米）
4×4＝16（平方米）答：大正方形的面积是16平方米。
观察例1，解决这个问题关键要做什么?
在求面积过程中我们可以根据“弦图”巧添辅助线，关键是将图形转化成已学过的图形，从而解决问题。

弦图问题赏析

弦图问题赏析作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第03期勾股定理神秘而美妙，它的证法丰富而精彩.产生勾股定理各种巧妙证法的关键之一，是弦图的不同的结构，而对应于不同结构的弦图，又可以提出许多数学问题.下面略举几例，供同学们参考.点评：本题也可由a2+b2=25。

ab=8，利用乘法公式（a-b）2=a2+b2-2ab求出a-b，得到小正方形的边长.点评：在“赵爽弦图”中，大正方形的边长等于直角三角形两直角边的平方和的算术平方根，小正方形的边长等于直角三角形两直角边的差.解题中要灵活运用这些结论寻找解题途径.例3 （2019年，孝感）在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P，则点P'的坐标为（）.A.（3，2）B.（3，-1）C.（2，-3）D.（3，-2）解：如图5，作PA⊥y轴于点A，作P'B⊥y轴于点B.由此可联想到“弦图”，就会发现△OAP≌△PBO，答案唾手可得.点P'的坐标为（3，-2），选D.点评：“弦图”中包含着多个“一线三直角”的模型，因此遇到“一线三直角”（即简化的“弦图”）的条件时，可联想“弦图”中的全等三角形.例4 （2011年·温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图6）.图7由弦图变化而得，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S1+S2+S3=10，则S2的值是_____.解：设四边形MNKT的面积为x，八个全等直角三角形每個的面积为y.因正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，且S1+S2+S3=10，由图形可知S1=8y+x，S2=4y+X，S3=X.∴S1+S2+S3=3x+12y=10 ，x+4y=10/3.∴S2=X+4y=10/3.练习1.（2017年·襄阳）“赵爽弦图”利用面积关系巧妙地证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图8所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）.A.3B.4C.5D.62.（2018年·温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图9所示的长方形是由两个这样的图形拼成的，若a=3，b=4，则该长方形的面积为（）.A. 20B.24 c.99/4D. 53/2。