第七讲 等积变形 答案
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学奥数精讲：等积变形求面积“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。
图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转换成易求面积的图形．利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。
例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积?例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=31 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积．例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角基本概念例题分析三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少?例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．练习提高1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，DC ＝CE ，如果△BCE 的面积是15平方厘米，那么梯形ABED 的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍，三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？5、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ＝ED ，BF ＝FC ，CG ＝GD ，平行四边形ABCD 的面积是阴影三角形EFG 的多少倍？（4）6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的31，结果是多少?8、图8-17中，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍，求三角形CDE的面积．9、如图，正方形的边长为10厘米，用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积？答案：【例题分析】例1． 4例2．三角形ABD=10平方厘米三角形ACE=15平方厘米例3. 13例4. 27【练习提高】1. 22.52. 1203. 454. 三角形DEF=24平方厘米 CF=6厘米5. 4倍6. 37.57. 1008. 59. 25。
等积变形
例题讲解
练一练2：正方形ABCD、CEFG、FHIJ如图放置，已知正方形CEFG的边长是7厘米，求图中阴影 部分的面积.
例题讲解
例3：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知三角形CEH的面积是5平方厘米，求图中阴影部分的面 积.
例题讲解
练一练3：长方形ABCD和直角梯形BCEF如图放置，已知长方形的长是5厘米，宽是3厘米，求图 中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练5：正方形ABCD、DEFG如图放置，其边长分别是12厘米、5厘米，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例6：如图，正六边形ABCDEF的面积是1，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
积.
例题讲解
例7：如图，正八边形ABCDEFGH的面积是2020，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业3：如图，ABCD是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD的对角线相交于O，三角形AOE的面积 比三角形BOD的面积小16平方厘米，求梯形AEBD的面积.
巩固提升
作业4：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知正方形ABCD的边长是10厘米，求图中阴影部分的面 积.
巩固提升
作业5：四边形ABCD是梯形，DE//CF，已知三角形ADG、三角形BCH和三角形CDO的面积分别 是19、20和18，求五边形EFHOG的面积.
SABC SA' BC
基本要求 三角形的一条边处在平行线的一支上，与之相对的另外一个顶点在平 行线上随意移动，所得到的新三角形的面积与原三角形面积相等.
例题讲解
例题讲解
例1：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知正方形ABCD的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积. 分析：正方形并排放置是等积变形中最基础的题型； 第一步：找平行线，GF//AD//BE，水平方向看做一组平行线； AB//CG//EF，竖直方向看做一组平行线； 另外两组，对角线BD//CF，AC//GE； 第二步：找等积变形，三角形BDF，BD//CF，且点F在CF上，符合要求； 解析：将点F移动到点C，得到三角形BDC；
等积变形问题
一、打折销售问题（1）售价、进价、利润的关系：利润=售价—成本进价、利润、利润率的关系：利润率＝商品利润商品成本价×100%商品售价＝商品进价×(1+利润率)（2）标价、折扣数、商品售价关系：商品售价＝标价×折扣数（3）商品总销售额＝1件商品售价×销售量例1. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？等量关系：折扣后价格－进价=151.一家商店将某种服装按成本价提高20%后标价，又以9折销售，售价为270元，这种服装成本价是多少元？2、某商场的电视机原价为2500元，现以8折销售，如果想使降价前后的销售额都为10万元，那么销售量应增加多少？3、一家服装店将某种服装按成本提高40%后标价，又以八折优惠卖出，•结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本为多少？4、一件夹克按成本提高50%后标价，后因季节关系案标价的8折出售，每件以60元卖出，5、一种药物涨价25%的价格是50元，那么涨价前的价格x满足的方程是____________。
6.某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，些时仍可获利10%，此商品的进价为______．7、某商品进价1500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润率为20%，则此商品是按几折销售的？8、某商场把一个双肩背的书包按进价提高50%标价，然后再按8折（标价的80%）出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8元。
这种书包的进价是多少元？9、商店对某种商品作调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元。
问商品的原价是多少？10.一商场把彩电按标价的九折出售，仍可获利20%，如果该彩电的进货价是2400元，那么彩电的标价是多少元？11.某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？二、相遇与追击问题（画草图）1.行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间2.行程问题基本类型 （1）相遇问题： 快行路程＋慢行路程＝总路程 （二者所用时间相同）（2）追及问题： 快行路程=慢行路程+二者初始距离 （二者所用时间相同）（1）相遇问题： 两者的路程之和=环形跑道一圈的长度（2）追及问题： 两者的路程之差=环形跑道一圈的长度错车问题：两者路程和或差=两个车身的长度和1、甲、乙两人每天早晨坚持跑步，甲每秒跑4m ，乙每秒跑6m.（1）如果他们站在百米跑道的两端同时起跑，那么几秒后两人相遇？（2）如乙站在百米跑道的起点处，甲站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后乙能追上甲？2、一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35km/h 的速度前进。
小学数学 等积变换求面积 PPT+课后作业 带答案
例题对角1线
对角线
对角线
如图所示，两个相等的等腰直角三角形与一个正方形摆放成梯形ABCD。已知等腰直角三 角形的斜边AB长度是8厘米，求梯形ABCD的面积。
斜边
斜边
斜边
大等腰三角形面积=斜边×斜边÷2 小等腰三角形面积=斜边×斜边÷2÷2 等腰直角三角形面积=斜边长度的平方÷4
练习1
如图所示，等腰直角三角形ABD和BCD拼成了一个直角梯形ABCD。已知BD长6厘米，求 梯形ABCD的面积。
G
B
A
连接DF，AC//DF
F
S ACF = S ACD = S 正方形ABCD ÷2
=10×10÷2
=50（平方厘米）
C
D
E
例题5
如图所示，四边形ABCD是一个直角梯形，以上底AD为边向外作长方形ADEF，面积为10 平方厘米，连接BE交AD于O，连接OC。求图中阴影部分的面积。
FE // AC // BC 和 FB // ED
6
等高三角形模型可得， S ABD = S ACD
所以三角形ABC的面积是三角形BDO面积的4倍
三角形ABC的面积=6×4=24（平方厘米）
例题3
如图所示，图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是 多少平方厘米？
A
D 4
G
F
4
B
C
E
三角形面积=底×高÷2 阴影部分三角形的底是小正方形的一条边 而高也是小正方形的一条边 阴影部分的面积=4×4÷2=8（平方厘米）
在梯形中寻找面积 相等的三角形
AD // BC △ ABC和△DBC △ BAD和△CAD △ ABO和△CDO 连接BE
小学奥数几何篇 五大模型——等积变换和共角定理(附答案)
等积变换与共角定理我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；S△ACD=S△BCD；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如下两图例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。
例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ＝四边形ＡＢＣＤ例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积等积变换与共角定理习题1. 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积2. 如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？3. 如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD 的面积。
思维数学-等积变形
等积变形知识精讲三角形和平行四边形的关系非常紧密.回想它们的面积公式,如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块,那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半. 如图除了上面这种情形外,如图2中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同, 所以面积也是平行四边形的一半.〔注意：长方形也是平行四边形〕例题1如图,平行四边形A8CD的面积是100平方厘米,石是其中的任意一.那么图中阴影局部面积是多少平方厘米？「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形,两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢？练习1如图,石是平行四边形A8C.中的任意一点,△AEO与△七8c的面积和是40平方厘米,那么图中阴影局部的面积是多少？如图3,两条平行线间有四个三角形；三角形三角形243、三角形阪43和三角形NAB.它们的底相同.都是A8;高相等,都是两条平行线间的距离,所以这四个三角形的面积是相等的.进一步,我们可以在直线ON上任取假设干个点, 这些点分别与A、8两点形成假设干个同底等高的三角形,这些三角形的面积都是相等的.我们把这种“底相同,高相等〞的情况简称为“同底等高〞,“同底等高〞是我们敢早碰到的三角形等积变形的情形,而“等高〞放常见的情况就是平行线间的距离相等.如果两个三角形同底等高,那么它们的面积相等.利用平行线间的距离相等,构造同底等高的三角形,是很常见的三角形等积变形.例题2如图,平行四边形A8CQ的底边AO长20厘米,高.“为9厘米,E是底边8c 上任意的一点.那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形,把两个三角形变成一个三角形呢?练习2如图,平行四边形A8CD的面积是100平方厘米.那么阴影局部的面积是多少平方厘米？H Dr c如图,A8E厂和8EF都是长方形.A8的长是4厘米,8c的长是3厘米.那么图中阴影局部的面积是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形.把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢?练习3如图,A8C.和C0E尸都是平行四边形,四边形A8FE面积为60平方厘米.请问：阴影局部面积是多少平方厘米？在利用同底等高三角形计算面积的题目中,就重要的一步就是去找其中的平行线, 进而寻找同底等高、面积相等的三角形■例题4如图,梯形A8c.中,石是对角线AC上的一点..石和A3平行.那么与△ AOC面积相等的三角形一共有哪几个？「分析」要找同底等高面积相等的三角形,首先必须找到平行线哦!如图,梯形A8C.中,共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对?画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一.一条好的辅助线.往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单.一般我们习惯把辅助线画出虚线.在上一讲中,我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目,在利用同底等高三角形计算面积的题目中,我们往往需要自己画出平行线去构造、寻找同底等高的三角形,进而进行面积转化.挑战极限例题5如图,大正方形的边长是10厘米,小正方形的边长是8厘米.求阴影局部的面积？「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的,能否通过等积变形,寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦.如图,梯形A3C0中,对角线相交于.点,由A0与8C行,那么就有△A8C与△ O8C同底等高、面积相等；△A3.与△AC.同底等高、面积相等.那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下.△48.与43.£〕都包含有4 08.,而△A8C与△88面积相等,那么就有△ABO与△80面积相等.我们把梯形中出现的这三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等〞,由于△ A8O与△80恰好如同两片翅膝一般,有的时候我们也称其为“蝴蝶模型〞.“蝴蝶模型〞在几何中应用非常广泛,尤其是在高年级学习比例之后,而且,应用蝴蝶模型,往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单.例题6如图,长方形A8CZ〕内的阴影局部的面积之和为70.A3=8, AO=15,那么四边形EFGO的面积是多少？「分析」能否应用“蝴蝶模型〞,使得三块别离的三角形合并呢?作业1、如图,梯形A3CE是由正方形A8C.和等腰直角三角形C0E构成的.等腰直角三角形的斜边是10厘米,那么ABCE的面积是多少平方厘米？2、如图,长方形A88 的面积为6,那么平行四边形的面积是多少？3、如图,一个长方形被分成4个不同的三角形,红色三角形的面积是9平方厘米,黄色三角形的面积是21平方厘米,绿色的三角形面积是10平方厘米.那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？4、如图,长方形的长为16,宽为5.那么阴影三角形的面积和为多少?5、如图,直角梯形ABC.中,CD=30, 30=40, 8.和CO垂直.那么三角形A8C 的面积是多少？。
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=1/4AC,于是AD=3/4AC,
所以，三角形AED的面积=3/4×三角形AEC的面积
=
.
=
【附4】（北京市第四届“迎春杯”刊赛）下图中三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB，BD=2BC，那么三角形BED的面积是________.
分析：连接辅C助线E.
(三角形BCE的面积)︰(三角形DCE的面积)=BC﹕CD=1﹕1，
所以三角形BCE的面积等.于三角形DCE的面积.
又因为(三角形BCE的面积)︰l=BE﹕AB=2﹕1，
所以三角形BCE的面积等于2.
因此三角形BDE的面积等于2+2=4.
【附5】（第四届《小数报》数学竞赛初赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大l0平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
【附2】如图，在△ABC中，DC=3BD，DE=EA，若△ABC面积是2，则阴影部分的面积是多少？
分析：连结FD，由AE=ED可知：S△AFE=S△EFD，S△AEC＝S△DCE
小学五年级数学思维专题训练—等积变形(含答案解析)
小学五年级数学思维专题训练—等积变形例1.长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点，三角形EFG的面积是平方厘米例 2.梯形ABCD中，AE与DC平行，S ABE∆=15，S BCF∆= .例3。
如下图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD= 15.四边EFGO 的面积为。
例4.如下图所示，在平行四边形ABCD中，已知三角形ABP.BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积．例5.如下图所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，EF平行于BD，如果三角形ABE的面积是12平方厘米，那么三角形AFD的面积是平方厘米。
例6.如下图所示，已知AE=EC，CD=DB，S ABC =60，求四边形FDCE的面积．例7.如右图所示，正方形ABC D和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H,已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．例8.如下图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，EG与FH交于点O,S1、S2、S3及S4分别表示4个小四边形的面积．试比较S1+S3与S2+S4的大小．例9.将长15厘米、宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如右图所示，则阴影部分的面积是 平方厘米．例10.右图所示ABCD 是个直角梯形（∠DAB=∠ABC= 900），以 ， AD 为一边向外作长方形ADEF ，其面积为6.36平方厘米，连接BE 交AD 于P ，再连接PC ．则图中阴影部分的面积是 平方厘米。
A.6.36B.3.18C.2.12D.1.59例11.如下图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 。
A ．21B ．32C ．52D ．125例12.如下图所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．例13.一个矩形分成4个不同的三角形（如下图），绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？例14.如下图所示，正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的。
等积变形(附解答)
三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1：连结BD，在△ABD中∵ BE=3AE，∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．在△ABC中，∵CD=2AD，∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米)．在△ABC中，∵BE=3AE∴ S△ABC=4S△ACE=4×3=12(平方厘米)．例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在△ABG中，∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG例7、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．例8、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S △DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理 S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位)．例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴ S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．。
等积变形
直线型面积——等积变形
【例1】用五种以上的方法将三角形ABC分解成面积相等的四个小三角形。
【例2】在三角形ABC中（如图），3BD=DC,阴影部分的面积是20 . 求三角形ABC的面积.
【例3】△ABC中，BD=DC, AE=2BE,已知△ACD的面积是60,求阴影部分的面积.
【例4】已知△ABC的面积为8，2BD=AB, BE=CE,已知△DBE的面积?
【例5】△ABC 中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点，若S △ABC=24
,则S △
MCN=?
【例6】如图：将一个三角形（有阴影的）两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的多少倍？
【小试锋芒】
AD ，△ABC 与△ACD 的面积有什么关系？
2. 的面积？
3. F 是AC 的三等分点，已知△ABC 的面积是108，求三
角形CDE 的面积？
4.下图中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F 是AE 的中点，△
影面积是多少平方厘米？
5. 在△ABC 中（如图），DC=2BD, CE=3AE, 阴影部分的面积是20
6.已知三角形ABC 面积为8, 2BD=AB, BE=CE, 求三角形
DBE 的面积？
★7.如图中：如果△ABC 中的BD=DE=EC, BF=FA, △EDF 的面积是1个面积单位，△ABC 的面积是多少？。
第七讲 六年级奥数——等积変化(教师版)
第七讲 六年级奥数——等积変化（教师版）一、知识储备二、例题讲解1、平行四边形ABCD 面积为18平方厘米，求阴影部分面积。
92、如图，平行四边形的面积为100平方厘米，A 为四边形中任意一点，求阴影部分的面积。
503、如图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。
连接CE 根据一半模型4、在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E点，交DA延长线于F，若三角形ADE的面积为1，求三角形BEF的面积。
15、如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连接BE、AE、CF、BF，那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？△AEC △AFC △ABF6、在梯形ABCD中，OE平行于AD。
如果三角形AOB的面积是7平方厘米，三角形DEC的面积是多少平方厘米？147、如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD边上的中点，H 为AD 边上的任意一点。
求阴影部分的面积。
288、如图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=31CD ，若△ABC 的面积为5平方厘米，求△ABD 和△ACE 的面积（写出思考过程）。
10, 159、如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，三角形ZCY 的面积是多少？4810、梯形ABCD ，三角形ADE 面积是3平方米，三角形ABF 的面积是10平方米，三角形BCF 的面积是20平方米。
求阴影部分面积。
6A BC D Z Y11、如图，大长方形由面积为12平方厘米，24平方厘米，36平方厘米和48平方厘米的小长方形组成，求阴影部分的面积。
5【练习】1、已知长方形面积为16平方厘米，A点为一边上中点，求阴影部分的面积。
42、长方形ABCD的面积为6，那么平行四边形BECF的面积为多少？63、如图，长方形ABCD的面积是12，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN=BN，那么阴影部分的面积是多少？54、如图，有两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分面积。
【思维拓展】数学六年级思维拓展之等积变形(附答案)必考知识点
面积是三角形 AEF 面积的 2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 3
倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的 2 倍，所以平行四边形的面
积是三角形 AFE 面积的(3×2)=6 倍。因此，平行四边形的面积为 8 ×6=48(平
方厘米)。
6
10.【解答】连结 AE、BF、CD(如图)。由于三角形 AEB 与三角
PQRS。因此四块阴影的面积和就等于四边形 PQRS 的面积，即阴影部分与四边
形 PQRS 的面积之比为 1:1。
8. 【解答】连接 BD .设 SDCB S1, SDAB S2
∵ CB BF ，
∴ SCDF
CB BF CB
SCDB
2SCDB ,
又∵ DC CG ,
∴ SCFG SCDF 2S1 ，
4. 如图，在三角形 ABC 中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为 AB 和 AC
的中点，那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？
A
E
F
B
C
1
5. 如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使 BD AB ；延长 BC 至 E ， 使 CE 2BC ；延长 CA 至 F ，使 AF 3AC ，求三角形 DEF 的面积。
于是三角形 DEF 的面积等于三角形 ABC、AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CFD
的面积之和，即 1+2+3+1+2+6+3=18。
11.【解答】连接辅 C 助线 E。
(三角形 BCE 的面积)︰(三角形 DCE 的面积)=BC﹕CD=1﹕1，
所以三角形 BCE 的面积等于三角形 DCE 的面积。
2024年 三角形中的重要模型等积模型(含答案)
专题07 三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。
图1 图2 图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。
A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、V V ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．V【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:QCG GF=【答案】14.4【分析】连接BF , 12BDC ABC S S =V V ；根据示为2BDC S V 和3S V∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =， S \V 2ABC BDC S S \==V V(1)如图2，延长ABC V 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA （用含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S = （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；Q 延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE \12ACD AED ECD S S S D D D ==，ACD ABC S D ，22ECD ABC S S a D D \==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S D D ==同理：22EFA ABC S S a D D ==，2ECD BFD S a D D =，3ECD EFA S S S S D D \=++∵点E 是线段AD 的中点，12BCE ABC S =V ．∥，连接，若过C作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
小学数学 几何问题之等积变形问题 完整版题型训练 PPT带答案带练习
练习6
6、右图ADEF为正方形,BD的长为9,FC的长为4,求右图沿阴影长方形的 四周作四个正方形,四个正方形的面积之和为68平方厘米,其阴影的长方形 的周长是16厘米,求阴影部分的面积。
设正方形ADEF边长为a 4×9=36=6×6 a=6 三角形ABC面积=（6+9）×（6+4）÷2=75
练习7 7、右图沿阴影长方形的四周作四个正方形,四个正方形的面积 之和为68平方厘米,其阴影的长方形的周长是16厘米,求阴影部 分的面积
设阴影长方形长与宽分别为a,b a×a+b×b=130÷2=65 a+b=22÷2=11 经尝试a,b分别为4,7 阴影长方形面积=4×7=28（平方厘米）
ห้องสมุดไป่ตู้
课后作业
练习1
1、如图,图形甲与乙的面积差又可以看做是长方形 ABCD与（ 三角形 ）的差
ABF
练习2
2、将右图通过平移的方法变成一个长方形
小学数学几何问题之 等积变形
例1 下图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起: 求阴影部分的面积
20-5=15(厘米) (15+20)×8÷2=140(平方厘米)
例2
下图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角 形ABF比三角形EDF的面积大9平方厘米，求ED的长。
4×6-9=15（平方厘米） EC=15×2÷6=5（厘米） ED=5-4=1（厘米）
设阴影长方形长与宽分别为a,b a×a+b×b=68÷2=34 A+b=16÷2=8 经尝试长与宽分别为5,3 阴影面积=3×5=15（平方厘米）
平行四边形ABCD面积--三角形BCE面积=10（平方 厘米） 三角形BCE面积=10×8÷2=40（平方厘米） 平行四边形ABCD面积=40+10=50（平方厘米）
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学五年级奥数精讲等积变形求面积（含答案）小学奥数精讲：等积变形求面积基本概念“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道：等底等高的两个三角形面积相等．这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平行的直线上，如右图中的三角形A1BC与A2BC、A3BC的面积都相等。
图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转换成易求面积的图形．利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。
例题分析例1、已知三角形ABC的面积为1，BE＝2AB，BC＝CD，求三角形BDE 的面积1例2、如下图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，3求△ABD及△ACE的面积．例3、2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．练习提高1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？23、如图，四边形ABCD是平行四边形，DC＝CE，如果△BCE的面积是15平方厘米，那么梯形ABED的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，三角形DEF的面积是多少平方厘米？CF长多少厘米？5、如图，在平行四边形ABCD中，AE＝ED，BF＝FC，CG＝GD，平行四边形ABCD的面积是阴影三角形EFG的多少倍？（4）6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？7、如右图，平行四边形ABCD的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接1AO、BO、CO、DO，三角形AOD与三角形BOC的面积和的，加上三角形AOB与三角形DOC21的面积和的，结果是多少33。
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A E B
厘米．求三角形 CDF 的面积．
C
D F C
【解析】连结 AF、EC ∵S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF； 又∵AC 与 EF 平行 ∴S△ACE=S△ACF, S△ADE=S△CDF=4（平方厘米） 练习 5 下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 45 厘米，三角 ）平方厘米． A
A E O D
B
C
【解析】梯形和题目已知条件告知平行，图中平行条件较多，关注平行线模型， △DEC 的面积可以看成是△DOC，△EOD 和△EOC 三部分面积之和。 ∵AD∥BC ∴S△DOC=S△AOB=7（平方厘米） ∵AD∥EO ∴S△EDO=S△AOE 又∵EO∥BC ∴S△EOC=S△EOB ∴S△EOD+S△EOC=S△AOE+S△EOB=S△AOB=7（平方厘米） 故:S△DEO=S△DOC+S△DEO+S△EOC=7+7=14（平方厘米）
练习 2
如图，长方形面积为 121212 平方厘米，BE=2AE，AF=2CF，问：阴 ）平方厘米.
C F
影部分面积为（
D
D
4.5份 1份
C F
2份 1.5份
A
E
B
A
E
B
【解析】连结 FB，121212÷(4.5+1+2+1.5)×1=13468（平方厘米） 练习 3 米．
F
如图， ABC 的面积是 10 平方厘米，将 AB 、 BC 、 AC 分别延长一倍到 ）平方厘
D 、 E 、 F 且两两连接，得到一个新的 DEF ． DEF 的面积是（
F
A B D
A B D
C
C
E
E
【解析】 连结 FB、DC、AE 1
根据题意可知，S△ADF=2S△ABC, 同理可知 S△BDE=S△CEF=2S△ABC 于是， S△DEF=(1+2×3)S△ABC=7S△ABC=7×10=70(平方厘米) 练习 4 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果 ADE 的面积为 4 平方
3
第七讲 三角形等积变形
--感谢潘莹老师
【周周测】
练习 1 如图， D 为 BC 的五等分点， 2BD=3CD， E 为 AD 的三等分点， DE=2AE， ）.。
A
E
若三角形 EDC 的面积等于 100，则三角形 ABD 的面积等于（
A
E
B
D
C
B
D
C
【解析】连结 EB，S△BDE=100÷2×3=150，S△ABD=150÷2×3=225
已知 AB＝6 厘米，则阴影部分的面积是（
【解析】连结 DF,CF，△DHG 和△DHF 同底等高，面积相等；又因为 BD 和 CF 2Байду номын сангаас
互相平行，所以根据平行线模型△DHF 和△BHC 面积相等；从而阴影部分面积恰 好为△BDC 的面积，即小正方形 ABCD 的一半，6×6÷2=18（平方厘米）
练习 7 在梯形 ABCD 中， OE 平行于 AD ．如果三角形 AOB 的面积是 7 平方厘米， 则三角形 DEC 的面积是（ ）平方厘米．
形 ABC 的面积是（ A B
B F
F E D C
E
D
C
【解析】连接 AD 根据平行线模型得:S△ABF=S△FCD. 等量代换得:S△ABC=S△BCD, ∴S△ABC=45×45÷2=1012.5（平方厘米） 练习 6 如图， 正方形 ABCD 和正方形 ECGF 并排放置， BF 与 CD 相交于点 H， ）平方厘米。