高斯——克吕格投影正算公式-17.01.01
高斯-克吕格投影
高斯-克吕格投影高斯-克吕格(GAUSS-KRUGER)是等角横切椭圆柱投影，由德国数学家高斯提出，后经克吕格扩充并推倒出计算公式，故称为高斯-克吕格投影，简称高斯投影。
该投影以中央经线和赤道投影后为坐标轴，中央经线和赤道交点为坐标原点，纵坐标由坐标原点向北为正，向南为负，规定为X轴，横坐标从中央经线起算，向东为正，向西为负，规定为Y轴。
所以，高斯-克吕格坐标系的X、Y轴正好对应MAPGIS坐标系的Y和X。
为了控制变形，本投影采用分带的办法。
我国1:2.5-1:50万地形图均采用6度分带；1:1万及更大比例尺地形图采用3度分带，以保证必要的精度。
6度分带从格林威治零度经线起，每6度分为一个投影带，全球共分为60个投影带。
东半球的30个投影带的中央经线用L0=6n-3计算（n为投影带带号），从0到180度，其编号为1-30。
西半球也有30个投影带，从-180度回到0度，其编号为31-60，各带的中央经线用L0=6(n-30)-3-180计算。
该投影带将地球划分为60个投影带，每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。
一般从南纬度80到北纬度84度的范围内使用该投影。
3度分带法从东经1度30分算起，每3度为一带。
这样分带的方法在于使6度带的中央经线均为3度带的中央经线。
但是，在标准比例尺图幅编号中，带号是从西经-180度算起，每6度为1带，自西向东1-60。
这样，我们国家的高斯带号在标准图幅编号中，要加30，如20带，表示为J50等。
6度分带投影区的代号与其所对应的经度范围如6度分带图表所示。
由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，使用时只需变一个带号即可。
因此，计算一个带的坐标值，制成一个表，就可以供查取各投影带的坐标时使用，称为高斯坐标表，表中的值成为通用坐标值。
在高斯坐标系中，为了避免横坐标Y有负值，将其起算原点向西移动500公里，即对横坐标Y值按代数法加上500000米。
高斯——克吕格投影正算-17.01.03
1 第一项
cosi B 0
e
2 2
j
0
k 1
Dk!
公
式
1
a1 N c
上式中的 c cos B 。上式与《控制测量学》中的 a1 N cos B 完全相同。
2 第二项
cosi B
0
e
2 2
j
k 2
Dk!
公
式
0
1
a2
N sc 2 1 Nt cos 2 B 完全相同。 2
N s c 1 546c 2 4200c 4 5040c 6 40320 9219c 2 51240c 4 52920c 6 2 49644c 2 228375c 4 213150c 6 4 121800c 2 495684c 4 430269c 6 6 151872c 2 566832c 4 465816c 6 8 94080c 2 329088c 4 259056c 6 10 23040c 2 76608c 4 58240c 6 12
高斯——克吕格 投影正算
Hanford 2017 年 01 月 03 日
目
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目 录
第1章 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高斯——克吕格投影正算 ...........................................................................1
a3
1 N (1 t 2 2 ) cos3 B 6
上式与《控制测量学》中的 a3 完全相同。
4 第四项
2 cosi B e2 公 式 k Dk! 0 0 4 -1 N s c 1 6c 2 9c 2 2 4c 2 4 a4 2 0 4 6 24 4 1 4 9 6 2 4 4 把余弦 c 替换为正切 t，可得 1 a4 Nt (5 t 2 9 2 4 4 ) cos 4 B 24
高斯投影计算
确定投影关系 -----数学规则 数学规则
x = F1 ( B, L) y = F2 ( B, L)
x = f1 ( q , l ) y = f 2 (q, l )
确定F 确定 1，F2或f1，f2
二、高斯投影条件 (Condition of Gauss projection)
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
2. 具体计算内容
高斯投影
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
m1 = −
dn0 dq 1 dn1 2 dq
1 dn2 3 dq
n0 →m →n2 →m3 →n4 →m5...... 1
m2 = −
m3 = −
1 dm3 n4 = 4 dq
n5 = 1 dm4 5 dq
m4 = −
1 dn3 4 dq
m0 →n1 →m2 →n3 →m4 →n5......
m5 = −
4. 分带投影的缺点 (Shortcoming of belt dispartion) (1) 不便于跨带三角锁网平差 (2) 不利于图幅拼接 解决办法 西带向东带重迭30 西带向东带重迭 ‘ 东带向西带重迭15 东带向西带重迭 ‘
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
1 dn4 5 dq
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
3S基础知识
【转】3S基础知识－高斯-克吕格投影高斯-克吕格投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichＧauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影从地球椭球面正形投影于平面的一般公式 x＋iy=f（q＋il）出发，按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面（见图一）。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系（见图二）。
按高斯-克吕格投影公式，将大地坐标转换为这样的平面直角坐标，称为"高斯-克吕格坐标”。
此投影中央子午线无变形，高斯-克吕格投影1．中央子午线2．分带子午线3．赤道离中央子午线愈远长度变形愈大，必须采用分带投影）加加以限制。
此投影具有投影公式简单、各带投影相同等优点，适用广大测区的一种大地测量地图投影，为许多国家所采用。
我国于1952年开始正式用作国家大地测量和地形图的基本投影，曾用来将椭球面上二等以下的三角锁网化算至高斯投影平面上进行平差，使计算大为简化，并作为我国五十万分之-及更大比例尺的国家基本地形图的数学基础。
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第5章高斯-克吕格投影
x
r M
y
）y ， 则Mr 有x：
2a2
4a43
6a65
......
r M
(
da1
d
3
da3
d
5
da5
d
......)
a1
3a3 2
5a5 4
7a7 6
......
r M
( da0
d
2
da2
d
4
da4
dБайду номын сангаас
6
da6
d
......)
要使上式成立，须有：
（5-5）
a1
r M
da0
yB通=18 254 136.3m
.
X′
X
B -y x
yA x
500㎞ O
y
图5-5 X 轴平移
高斯—克吕格投影的优点：
➢等角性质，许多国家用以测制地形图。
➢适用于多种比例尺，便于编制成套比例尺的地形图。我国1： 50万及其以上更大比例尺的地形图，都采用这一投影。
➢由于投影带经差不大，经纬网同直角坐标网的偏差较小，阅 读和使用较方便。
（5-3）
其中a0、a1、a2、a3，…. 是待定系数，分别是纬度 的函数。
.
➢根据第二个条件，必须满足下列等角条件：
等角投影条件为：
mn
即
E G Mr
将E、G的偏导数形式代入，得
1 M2
[( x )2
( y )2 ]
1 r2
[( x )2
( y )2 ]
.
由经纬线投影后仍保持正交得F=0，即
F x x y y 0
➢由于cos 为小于1的值，其2次方和4次方更小，所以长度变形的大小， 主要取决于。
高斯—克吕格投影(Gauss-Kruger Projection)
X坐标值在赤道以北为正，以南为负；Y坐标 值在中央经线以东为正，以西为负。我国在北半 球，X坐标皆为正值。Y坐标在中央经线以西为负 值，运用起来很不方便。为了避免Y坐标出现负 值，通常将各带的坐标纵轴西移500公里，即将 所有Y值都加500公里。
4
高斯平面投影的特点：
5
3度带和6度带 ➢从0度开始，自西向东每6度分为一个投影带。 ➢从东经1度30分开始，自西向东每3度分为一个投影带。
6
主带中央经线
带边经线
邻带中央经线
漫游窗口
漫游方向
7
分割条带号规定：从0°子午线开始分6°经 度为一带，东半球东经3°、9°、15°…177°分 别是1、2、3…30条6°带的中央子午线，然后继 续自西向东旋转，每转6°增加带号1。
分割3°带原则上与6°带相同，只是从东经 1°30´（即1.5°E）起，每隔3°带为1个投影带。
8
我国1:1万至1:50万的地形图全部采用高斯－克吕格投影。 1:2.5万至1:50万的地形图，采用6°分带方案，全球共分 为60个投影带；1:1万比例尺图采用3°分带方案，全球共 120个带。
9
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）---投影分带
地理信息系统原理及应用
1
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）
高斯－克吕格投影是由高斯于19世纪20年代拟 定，后经克吕格补充而形成的一种地图投影方式。在 英美国家称为横轴墨卡托投影
2
x y
高斯-克吕格投影原理图
3
属于横轴等角切圆柱投影。这种投影是将椭圆柱面套在地球 椭球的外面，并与某一子午线相切（此子午线叫中央子午 线或中央经线），椭圆柱的中心轴通过地球椭球的中心， 然后用等角条件将中央子午线东西两侧各一定经差范围内 的地区投影到柱面上，并将此柱面展成平面，即获得高斯 投影
高斯——克吕格投影
高斯——克吕格投影高斯克吕格投影——由于吕投影是由德家、物理家、天文家高斯于个国数学学学19世吕20年代吕定～后吕德大地吕量家克吕格于国学1912年吕投影公式加以吕充～故吕高斯克吕格投影。
称——;1,何念。
几概高斯克吕格投影的中央吕吕和赤道吕互相垂直的直吕～其他吕吕均吕凹向并称称两极弯吕于中央吕吕的曲吕～其他吕吕均吕以赤道吕吕吕的向曲的曲吕～吕吕吕成直角相交。
在吕投影上～角度有吕形。
中央吕吕吕度比等于个没1～没有吕度吕形～其余吕吕吕度比均大于1～吕度吕形吕正～距中央吕吕愈吕吕形愈大～最大吕形在吕吕吕吕赤道的交点上～面吕吕形也是距中央吕吕愈吕～吕形与愈大。
吕了保吕地吕的精度～采用分吕投影方法～投影范吕的吕西界即将加以限制～使其吕形不超吕一定的限度～吕吕把吕多吕吕合起～可成吕整来个区域的投影;吕4-12,。
;2,高斯克吕格投影的吕形特征——在同一吕吕上～吕度吕形吕度的降低而增大～在赤道吕吕最大～在条随同一吕吕上～吕度吕形吕差的增加而增大～且增大速度吕快。
吕了使投条随影吕吕吕形不至于吕大～控制在允吕范吕～故而采取分吕投影的吕法。
并内以6度投影吕～赤道上吕吕部分吕度最大吕形不超吕来0.14%。
面吕最大吕形不超吕0.27%。
我吕于中吕度地吕～吕度和面吕的吕形都比上述吕要小～国数都不超出吕差～所以我大中比例尺一律采取高斯克吕格投影。
会国——吕12,高斯克吕格投影示意——;3,分吕吕定。
根据我吕定目前只用国6度和3度吕分吕。
我吕定两国1,1万、1,2.5万、1,5万、1,10万、1,25万、1,50万比例尺地形吕～均采用高斯克吕格投影。
1,2.5至1,50万比例尺地形吕采用吕差6度分吕～1,1万比例尺地形吕采用吕差3度分吕。
6度吕是从0度子午吕起～自西向吕每隔吕差6吕一投影吕～全球分吕60吕～各吕的吕用自然序号数1～2～3～…60表示。
以吕吕即0-6吕第1吕～其中央吕吕吕3E～吕吕6-12吕第2吕～其中央吕吕吕9E～其余吕推;吕4-13,。
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
高斯-克吕格投影
(5 tg 2
9 2
4 4 )
a5
N
cos5
120
(5 18tg 2
tg 4)
L
( 2
e22
cos2 , e22
e12 1 e12
)
2020/2/21
16
高斯—克吕格投影的直角坐标公式：
将以上求得的各个系数ai（i =0, 1, 2, …, n）代入前面的方程，加以整理，
d
d
d
d
x
2a2 4a4 3
6a6 5
......
（5-4）
y da1 3 da3 5 da5 7 da7 ......
d
d
d
d
y
a1 3a3 2
5a5 4
7a7 6
......
dy dx
x
d
x
d
x
x
由于对 取导数比较复杂（参见公式5-4），
以下利用等角条件加以变换，得：
x
o
-dy N
-dy
-dx
F
A′
y
y
r
x
图5-3 子午线收敛角
tg
x
M y
y
r
2020/2/21
M
27
子午线收敛角 的变化规律：
sin 3 sin cos2 (1 3 2 ) ......
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
高斯—克吕格投影
CHENLI
33
正轴圆锥投影
Lambert投影（正轴等角割圆锥投影）。
CHENLI
34
相割纬线：j1 = 25° ； j2 = 45°
CHENLI
37
CHENLI
38
3. 地图的内容 主题和内容不同，对投影的要求也不同。
应选择等角投影：航海图、天气图、地形图 应选择等积投影：行政区划图、人口密度图、经济地图 应选择任意投影：教学用图或一般参考图
4.出版方式 单幅图、系列图、地图集
CHENLI
39
CHENLI
29
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）---投影分带
在高斯克吕格投影上，规定以中央经线为X轴， 赤道为Y轴，两轴的交点为坐标原点。
X坐标值在赤道以北为正，以南为负；Y坐标值 在中央经线以东为正，以西为负。我国在北半球， X坐标皆为正值。Y坐标在中央经线以西为负值， 运用起来很不方便。为了避免Y坐标出现负值， 通常将各带的坐标纵轴西移500公里，即将所有Y 值都加500公里。
CHENLI
6
地图投影变形的图解示例
（摩尔维特投影－等积伪圆柱投影）
长度变形 角度变形
CHENLI
7
地图投影变形的图解示例
（UTM－横轴等角割圆柱投影）
面积变形和长度变形
CHENLI
8
投影变形示意图
CHENLI
9
CHENLI
10
地图投影——地图投影的分类
第六章 高斯—克吕格投影
3N
6
cos (1 tg )
3
5N
120
cos5 (5 18tg 2 4tg 4 4 ) ......
（6-7）
16
经纬线形状：
本投影通常是按一定的经差分带投影，每带的经差一般不大（6或3）。
17
图6-2 高斯-克吕格投影全球经纬格网
18
x s
y x
x
-dy
N
由于对取导数比较复杂，以下利用等角 条件加以变换，得：
x x r M y y r M
o
-dy
-dx F 图6-3 子午线收敛角
A’
y
y tg x
25
或利用下式
x x x x d d d dx tg y y y y dy d d d
同理可得：
考虑到H=（EG-F2）=(x/)(y/)-(y/)(x/) 是一个面积元素， 恒为正，在上面两式的开方中，只有当第一个式子取负号，第二个式子 取正号时，才恒成立。所以等角条件还可以表示为：
x r y M
y r x M
10
第六章
高斯-克吕格投影
（Gauss-Krüger Projection）
§6-1 高斯-克吕格投影的原理和公式
投影性质
等角横切椭圆柱投影
名称由来
德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年 代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投 影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。
2
概念
2 2 2 2 2 2
15
高斯—克吕格投影的直角坐标公式：
将以上求得的各个系数a代入前面的方程，加以整理，有：
高斯-克吕格投影
李老师MAPGIS 2009-7-23 9:03:57所谓坐标系，包含两方面的内容：一是在把大地水准面上的测量成果化算到椭球体面上的计算工作中，所采用的椭球的大小；二是椭球体与大地水准面的相关位置不同，对同一点的地理坐标所计算的结果将有不同的值。
因此，选定了一个一定大小的椭球体，并确定了它与大地水准面的相关位置，就确定了一个坐标系地面上任一点的位置，通常用经度和纬度来决定。
经线和纬线是地球表面上两组正交（相交为90 度）的曲线，这两组正交的曲线构成的坐标，称为地理坐标系。
地理坐标是一种球面坐标。
由于地球表面是不可展开的曲面，也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上，因此必须运用地图投影的方法，建立地球表面和平面上点的函数关系，使地球表面上任一点由地理坐标（φ、λ）确定的点，在平面上必有一个与它相对应的点，平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示。
9.1.4高斯-克吕格高斯-克吕格(GAUSS-KRUGER)是等角横切椭圆柱，由德国数学家高斯提出，后经克吕格扩充并推导出计算公式，故称为高斯-克吕格，简称高斯。
该以中央经线和赤道后为坐标轴，中央经线和赤道交点为坐标原点，纵坐标由坐标原点向北为正，向南为负，规定为X轴，横坐标从中央经线起算，向东为正，向西为负，规定为Y轴。
所以，高斯-克吕格坐标系的X、Y轴正好对应MapGIS坐标系的Y和X。
为了控制变形，本采用分带的办法。
我国1:2.5万－1:50万地形图均采用6度分带；1:1万及更大比例尺地形图采用3度分带，以保证必要的精度。
6度分带从格林威治零度经线起，每6度分为一个带，全球共分为60个带。
东半球的30个带的中央经线用 L0=6(n-30)-3 计算（n为带带号），从0到180度，其编号为31-60。
西半球也有30个带，从-180度回到0度，其编号为1-30，各带的中央经线用L0=6n-8-180计算。
该带将地球划分为60个带，每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。
高斯投影
500km
y p2 = 500000+ y p2
=+ 227559.720m （带号）
例：
有一国家控制点的坐标: x=3102467.280m ,y=19367622．380m， （1）该点位于6˚ 带的第几带？
（第19带）
（2）该带中央子午线经度是多少？ （L。=6º ×19-3º=111˚） （3）该点在中央子午线的哪一侧？
2
p2
2
x p1x 302855 .650m p 302855.650m 136780.360m y y .360m p (带号)636780
1
p1
1
国家统一坐标：
xp xp , xp xp
1 1 2 2
p2
p1
o
y
y p1=500000+ y p1
=+ 636780.360m （带号）
不变。
4)、高斯投影的特性
① 中央子午线投影后为直线， 且长度不变。
② 除中央子午线外，其余子午
平行圈 x
线的投影均为凹向中央子午
线的曲线，并以中央子午线 为对称轴。投影后有长度变 形。 ③ 赤道线投影后为直线，但有 长度变形。
子午线 赤道 O y
中央子午线
④ 除赤道外的其余纬线，投 影后为凸向赤道的曲线，并以 赤道为对称轴。 ⑤ 经线与纬线投影后仍然保 持正交。 ⑥ 所有长度变形的线段，其 长度变形比均大于l。 ⑦ 离中央子午线愈远，长度 变形愈大。
克吕格(Kruger，1857～1923)加以补充完善，故又称
“高斯—克吕格投影”，简称“高斯投影”。
2)、测量对地图投影的要求：
①测量中大量的角度观测元素，在投影前后保持不 变，这样免除了大量投影计算工作；
正形投影与高斯克吕格投影
(iy)k k!
3.3.2 高斯投影反算公式
相应的各阶导数为：
dq dX f
1
dX dq
f
Nf
1 c os B f
b1
1 2
d 2q dX 2
f
1 2
d
dB
dq dX
dB dq
dq dX
f
tf
2N
x iy f (q il) Z x iy, W q il Z f (W )
其反函数也是复变函数，可以写成：
q il F(x iy) W F(Z)
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
高斯-克吕格投影的条件： 1. 是正形投影 2. 中央子午线不变形
d6X dq6
N sin B cos5 B(61 58t 2
t4
270 2 330t 2 2 )
3.3.1 高斯投影正算公式
将导数代入展开式，虚实分开后，得到高斯 投影正算公式如下：
x X N sin B cosBl2 N sin B cos3 B(5 t 2 9 2 4 4）l 4
习题
1. 高斯投影的条件是什么？ 2. 简述高斯投影投影正算公式的推导； 3. 已知某点的坐标：B = 290405.3373
L = 1211033.2012 计算：1). 该点的3 带和6 带带号；
2). 该点的3 带高斯投影坐标并反 算检核；
代入 5 式，得：
B Bf c1b2 y2 (c1b4 c2b22 ) y4 (c1b6 2c2b2b4 c3b23) y6