第3章 静定结构的内力计算

在D左截断BD，取右边为隔离体，得 FQDB = 0 在AB杆下端截断，取上部为隔离体，得 MAB = 320 kN·m。
作 FQ 图（符号）和 M 图（受拉边），图3.8d、e。
80
80 80
3.3 静定结构内力计算举例
80
160
40
240 kN·m
80
160 kN·m
80
80 kN
D
80 kN
截面单杆内力的求法
(a) 1
✓ 其余杆件共点，向公共点取矩
✓ 其余杆件平行，向公垂线投影
(b)
图3-4
3.2 静定结构内力计算的基本方法
直杆荷载和内力的微分关系及增量关系
内力正负号规定（图3.5a）
L
M
R
M
✓ 轴力拉为正
L
qy
FN
M
M+d M
FNR
✓ 剪力顺时针为正 FN
qx
FQL
FN+dFN
(c)
（2）作剪力图和弯矩图
在自由端 C 和 E， FQCB = MCB = 0， FQED = 80 kN， MED = 0
3.3 静定结构内力计算举例
取隔离体同上，依次求得（水平杆弯矩以下侧受拉
为正；竖杆弯矩以右侧受拉为正）：
FQBC = –80 kN， FQDE = 80 kN， FQBD = 80 kN， FQBA = –80 kN； MBC = –160 kN·m， MDE = 80 kN·m， MBD = – 240 kN·m， MBA = –80 kN·m
为避免联立方程，可按以下顺序：
✓ 图3.1b，由ΣFx= 0 求FxA，ΣMB= 0 求FyA； ✓ 图3.1c，由ΣMC = 0 求FNEG； ✓ 图3.1d (FNEG已知, EA和ED为单杆), 由ΣFx= 0 求FNEA； ✓ 图3.1e (FNAE = FNEA),由ΣFx= 0 求FNAD。
（3.6）
3.2 静定结构内力计算的基本方法
有用的结论（用于直杆内力计算、作图和校核）： 轴向荷载只影响轴力，横向荷载只影响剪力和弯矩， 力偶荷载只影响弯矩 剪力图的斜率＝横向分布荷载的集度，但符号相反； 弯矩图的斜率＝剪力 横向集中力作用处剪力图不连续但斜率不变，弯矩图 连续但斜率改变 无横向荷载作用时，剪力图和弯矩图为直线，剪力图 平行（或重合）于杆轴，弯矩图一般为斜直线 横向均布荷载下，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线
3.3 静定结构内力计算举例
3.3.1 悬臂式静定结构
例3-1 悬臂式刚架（图3.8a） 解 1. 定性判断
20 kN/m
D
C
B
A
E
1m
80 kN
4m
各杆无轴向荷载 → FN图均为直线， 4m 4m 且与杆轴平行或重合 (a)
CB和BD只受均布荷载 → FQ图为斜直线， M 图为抛物线
AB和DE无横向分布荷载 → FQ图∥杆轴， M 图为斜直线
要求：
3.1 引 言
深入理解静定结构内力计算的原理 熟练掌握静定结构内力计算的方法 了解静定结构的特性和各类结构的受力特点
几何组成分析与本章的关系：
判断结构是否静定
静定 ↔ 几何不变且无多余约束
提示分析途径，简化内力计算
内力计算前先作组成分析，事半功倍
3.2 静定结构内力计算的基本方法
3.2 静定结构内力计算的基本方法
Ⅰ
A
q
FP
DCF
E
G
B
Ⅰ h
a
a
a
a
A
FxA
FyA
q
FP
DCF
E
G
(b)
B
FyB
A FxA
FyA
q (a)
FNCD DC
FQCD E FNEG
FNEA
FNED
E
(c)
(c)
FNDA
F M QDA
QDC
D
MQDA
FQDC
(e()d)
FNDC
FNDE
(f)
FxA
FNEG
3.2.1 隔离体平衡法
隔离体 — 用截面切断若干杆件，将结构的
一部分和其余部分分开
隔离体平衡法 — 对隔离体应用平衡条件，
列关于未知力的方程（组）， 解出未知力
灵活性 — 隔离体可大可小（图3.1） 大 — 整个上部结构（图3.1b） 小 — 部分杆件（图3.1c）
甚至一个结点（图3.1d、e、f）
隔离体的平衡条件
外力构成平面平衡力系，平衡条件为：
ΣFx = 0，ΣFy = 0，ΣM = 0 或
（3.1）
ΣFx = 0，ΣMA = 0，ΣMB = 0 其中 A 和 B 的连线不与 x 轴垂直；或
（3.2）
ΣMA = 0，ΣMB = 0，ΣMC = 0 其中 A、B、C 不共线。
（3.3）
3.2 静定结构内力计算的基本方法
结论：对于直杆段，在杆端弯矩图上叠加等代简支梁
的弯矩图，就得到所求的弯矩图。
M(x) = M e (x) + M 0 (x)
（3.7）
Me
=
Me
+
M0
M0
(d)
(e)
(f)
图3-7
3.2 静定结构内力计算的基本方法 注意：叠加是纵标代数相加，不是图形简单拼合。
• 如果M e图不平行于杆轴，则M 0图的基线倾斜，但 它在杆轴上的投影不变； M 0图的纵标仍⊥杆轴 （不是⊥基线），其几何形状将改变，图3.7。
但梁式杆AD在无限接近A 处被切断，可认为FQAD 通 过A，MAD = 0，隔离体所受外力仍为汇交力系，也可 应用结点法。 ■ 重要(易错)：不能遗漏剪力FQAD ！
截面法
3.2 静定结构内力计算的基本方法
一般平面力系，用（3.1）/（3.2）/（3.3）求未知力。
q
适用情况
A
FNCD
隔离体含多个结点（图3.1b、c） FxA
结点法和截面法
FNEA
FNED
结点法（桁架和组合结构常用）
隔离体只含一个铰结点，
FNEG
E
FQAD
被切断的都是二力杆，图3.1d， 3.1 (de) FxA A
FNAD
汇交力系，平衡条件为
ΣFx = 0，ΣFy = 0 （3.4）
FNAE FyA 3.1 e
图3.1e，隔离体只含铰结点A，两杆不都是二(力f) 杆，
图3.6：
FyA

FP1 b1
l
FP2
b2

FP1 b1 l

FP2 b2 l
FyA 1 FyA2
条件：
✓ 小变形，列平衡方程时可以忽略变形。
✓ 线弹性，应力与应变成正比。
意义： 将复杂问题分解为比较简单的问题。
3.2 静定结构内力计算的基本方法
叠加法作直杆的弯矩图 图3.7a，将AB 所受的力和力矩分为两组：
(d)
还要用到其他隔离体的平衡条件
3.1f
3.2 静定结构内力计算的基本方法
结点单杆和截面单杆
单杆 — 二力杆，用一个平衡方程可求内力
◆ 结点单杆
■ 二力未知，且不共线 两杆均为单杆（图3.2a，1、2为单杆）
■ 三力未知，两杆共线 第三杆为单杆（图3.2b，3为单杆）
结点单杆内力的求法
■ 向垂直于其余未知力的方向投影
3.2 静定结构内力计算的基本方法
■ 图3.2a，如结点不受荷载（FP =0）， 则单杆 1 和 2 均为零杆；
如 FP 沿一个单杆作用，则另一单杆为零杆。 ■ 图3.2b，如结点在垂直于非单杆1、2的方向
Fp 无荷载，则单杆3为零杆。
1
2
3
FN1 (a)
FN2 图3-2
12 (b)
3.2 静定结构内力计算的基本方法
3.2 静定结构内力计算的基本方法
方向 — 已知力（矩）按实际方向
未知力（矩）暂按正方向 根据计算结果的符号确定其实际方向 图3.1，FNEG － EG杆E端的轴力 FQAD － AD杆A端的剪力
MDA － DA杆D端的弯矩 FxA、FyA －支座 A 在 x 方向和 y方向的反力
3.2 静定结构内力计算的基本方法
图3-1
FQAD
A
FNAD
FNAE FyA
(f)(e)
3.2 静定结构内力计算的基本方法
关键 — 正确反映隔离体受力状态，
不要遗漏外力
“外力”分为两类：
✓ 直接作用于隔离体的荷载 ✓ 其余部分对隔离体的作用力
后一类对结构是内力，对隔离体是外力 注意 —
✓ 分清二力杆和梁式杆 ✓ 分清不同支座对应的反力（表1.1）
DC
或虽只含一个结点，但该结点为
FQCD
FyA
E FNEG
刚结点或组合结点（图3.1f） 3.1c
(c)
仅由本身平衡条件能求出全部未知力的条件
未知力数≤3 没有三个未知力共点或相互平行
FNDA
F M QDA
QDC
D
MQDA
FQDC
FNDC
也没有两个未知力的作用线重合
FNDE
■ 否则仅考虑隔离体本身是不够的
分段叠加法：
✓ 选控制截面(结点、集中力作用点…)，将结构分成 若干段； ✓ 计算控制截面的弯矩； ✓ 作各段的 M e图（直线） ； ✓ 对有横向荷载作用的杆段叠加 M 0图。
3.3 静定结构内力计算举例
◆ 按几何组成，静定结构可分为： ✓ 悬臂式 — 以固定支座连接于地基不必先求反 ✓ 简支式 — 与地基按两刚片规则相连一般要先求反力 ✓ 三铰式 — 与地基按三刚片规则连接，或先按三刚片 规则形成上部结构，一般要先求反力或拉杆的拉力 ✓ 复合式 — 重复应用以上规则 ✓ 复杂静定结构 — 不能按以上规则分析